L.S.Marsa Elriadh
Liste 6
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u,v)
(unité graphique 2 cm).
A tout complexe z distinct de 4, on associe le nombre : Z = .
4 4
z iz
On note A le point d'affixe 4 et on considère l'ensemble C des points M du plan, distincts de A, et d'affixe z telle que Z soit un nombre réel.
1.
a) On pose : z = x + iy et Z = X + iY, avec x, y, X, Y réels.
Exprimer X et Y en fonction de x et y.
b) Ecrire une équation cartésienne de C.
Reconnaître la nature de C et caractériser cet ensemble. Construire C.
2.
On considère le point B d'affixe 4i.
a) Vérifier que
4 4
z
iz est réel si et seulement si le nombre
4 4
z
i
z est imaginaire pur.
b) Quelles sont les affixes des vecteurs AMet BM?
En interprétant géométriquement la condition ci-dessus, établir que M appartient à C si et seulement si AMetBMsont orthogonaux.
En déduire la nature de C et caractériser cet ensemble.
Exercice 2:
dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère le point M d’affixe z et le point N d’affixe f(z)= iz z
6 5 6
4
3 .
1/ déterminer l’ensemble D des point M tels que f(z)=z.
2/ a/ exprimer à l’aide de z et z le nombre complexe
i z z f
2 1
) (
b/ en déduire que ce nombre est réel
c/ en déduire que N appartient a la droite M passant par M et de vecteur directeur u v
2
3/ a/montrer que f(f(z))=f(z) pour tout nombre complexe z
b/ montrer que N est le point d’intersection des deux droite D et M
c/ construire alors N pour un point M donné.
Exercice 3:
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u v
, ), ayant comme unité graphique 4 cm.
On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, 1 et i.
On considère l'application f de P {A} dans P qui, à tout point de M de P {A} d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que : .
i z ' z
z 2
1
1. a) Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
b) Déterminer l'affixe du point C' image de C. Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?
c) Montrer que le point C admet un unique antécédent par f que l'on notera C''. Quelle est la nature du triangle BCC'' ?
2. Donner une interprétation géométrique de l'argument et du module de z'.
L.S.Marsa Elriadh
Liste 6
M : Zribi4 ème Maths Exercices
2
3. Déterminer, en utilisant la question précédente, quels sont les ensembles suivants :
a) L'ensemble Ea des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif.
b) L'ensemble Eb des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul.
c) L'ensemble Ec des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.
Exercice 4 :
soient les complexes z=(1-i)(1+2i); z’=2 6i;et z'' 4i
3 i i 1
.
1/ mettre z; z’ et z’’ sous la forme cartésienne. Placer M; M’ et M’’ d’affixes respectives z; z’ et z’’.
2/ calculerz z
z z ' '
'
; déduisez en que MM’M’’ est isocèle rectangle.
3/ déterminer le point G centre de gravité de MM’M’’ .
4/ construire M’’’ tel que MM’M’’’M’’ soit un carré et trouver son affixe z’’’.
Exercice 5:
on considère l'application de P* dans P* qui à tout point M(z) associe le point M'(z') définie par z' za².
1) montrer que f est bijective.
2) Quel est l'ensemble des points invariants par f?
3) Démontrer que les points O,M et M' sont alignés et que OM .OM'=a².
4) Soit d une demi droite d'origine O; on note d* cette demi droite privé du point O; déterminer f(d*): l'image de d* par f.
5) Soit le cercle de centre O et de rayon r>0; déterminer l'image f( ) de par f. pour quelle valeur de r f( )= .
Exercice 6:
on rappel quej i
1 3
2 .
1/ calculer j² ; j3 ; 1+j et 1+j+j² .
2/ soient a, b et c trois complexes tels que a+jb+j²c=0.
Montrer que a-b = b-c = c-a.
3/ soit A le point du plan d’affixe 2+4i. Construis un triangle ABC dont le sommet B est sur l’axe des réels et le sommet C est sur l’axe des imaginaires.
