gradient pour prendre une décision
Institut de science financière et d’assurances
Chatelain Pierre
16 octobre 2019
Keywords—Solvency II, ORSA, Prospective modelisation, gradient study, P&C in- surance, Risk appetite, Analysis, Ratio at the maximum
Under the Solvency IIDirective, firms inforce their Own Risk and Solvency Assess- ment in order to keep up with the regulatory framework and their own risk appetite.
This paper presents the study of a P&C insurance, so as to determine the optimal asset allocation.
At first, this paper presents theSolvency II Directive and especially the use of the Standard Formula in a ORSA process. Before explaining our technical assumption on our prospective model of financial asset, this thesis will present two specific cases: transition’s effects when potential annuities come into services and the case of a solvency ratio at its optimum relatively to the yield curve. Using the model, the optimum allocation for the Risk Appetite is defined thanks to the gradient descent algorithm. The implementation’s specificity of this method highlights the links and the mecanism particular to the ORSA process.
Through this paper, the example used, demonstrates the benefit of the gradient descent.
This method gives a simple vue and analysis of the risk appetite applied to the ORSA.
Moreover, we show how this method can take into account some of the risk appetite’s constraints.
Mots-clefs—Solvabilité 2, ORSA, Modélisation Prospective, Étude du gradient, As- surances IARD, Appétence aux risques, Analyse, Ratio au maximum
Dans le cadre de la directive Solvabilité 2, les entreprises ont mis en place un processus d’évaluation des risques et de la solvabilité. Ce processus vérifie le respect des exigences réglementaires et de l’appétence au risque défini par l’entreprise. Ce mémoire présente le cas de la recherche de l’allocation optimale selon les objectifs et les contraintes propres à l’entreprise.
Après avoir expliqué le contexte de l’ORSA dans le cadre de la formule standard, ce présent mémoire s’intéresse au cas d’une assurance non-vie. Dans un premier temps, deux cas spécifiques au Passif sont étudiés : les effets du passage de rentes potentielles à rentes en services et le cas d’un ratio de solvabilité à son optimum par rapport à la courbe des taux. Ensuite, ce mémoire présente un outil de projection pluriannuel pour l’Actif d’une entreprise d’assurance non-vie. Enfin en dernière partie, l’allocation optimale par rapport à l’appétence au risque est déterminée en utilisant la méthode de descente du gradient.
Les particularités de la mise en place de cette méthode permettent de comprendre plus facilement les différentes mécaniques, interactions propres à l’ORSA.
A travers ce cas pratique, il est montré que la méthode du gradient permet d’obtenir des informations faciles à comprendre et à analyser. De plus, elle permet de prendre en compte de façon simple l’appétence au risque de l’entreprise.
Cette année d’alternance entre l’ISFA et l’équipe DRA de la Banque Postale a été véritablement intéressante d’un point de vue professionnel, personnel et relationnel. J’ai pu apprendre, maîtriser de nombreux sujets qui m’ont permis d’obtenir une vision et un vocabulaire professionnel. Et, de plus, j’ai pu participer activement à la vie de l’équipe en prenant part à divers travaux sur des parties en Vie et en Non-Vie. Je remercie en particulier :
— Aurélie GIRY, directrice de la Direction Risque et Actuariat (DRA) de m’avoir permis de faire mon alternance et mon stage chez La Banque Postale Assurances.
— Simon THIBAULT, manager de l’équipe Santé, pour son encadrement sans faille et ses nombreuses relectures. Son soutien a été exemplaire durant cette année d’al- ternance !
— Nathalie HAVET, ma tutrice à l’ISFA pour son encadrement et sa relecture at- tentive.
— Gregory WORTHINGTON, manager de l’équipe Non-Vie, pour son encadre- ment et son expertise technique qui m’a permis d’ajouter des contenus extrêmement intéressants.
— Alice MABILLE pour ses réponses et son travail qui m’ont permis de faire ce mémoire.
— Toutes les personnes de l’équipe DRA.
De plus, je remercie toutes les personnes qui ont pris le temps de me relire et de me corriger. Leurs avis ont été très fructueux et m’ont permis de rendre le tout plus clair, précis et concis.
Depuis la directive Solvabilité 2, les assureurs excédant un montant de primes de 5 millions ou des provisions de plus 25 millions sont dans l’obligation d’organiser un certain nombre de processus pour la gestion des risques. En particulier, ils doivent mettre en place unOwn Risk and Solvency Assessment-ORSA- qui est un processus d’évaluation interne des risques et de solvabilité.
L’ORSA fait partie intégrante du pilier 2 de la directive Solvabilité 2 et est défini par l’article R.354-31. Le processus nécessite trois évaluations :
1. L’évaluation du Besoin Global de Solvabilité -BGS; 2. Le respect dans le temps des contraintes réglementaires ;
3. L’écart des hypothèses retenues pour le calibrage de la formule standard avec le profil de risque de l’entreprise.
Les évaluations se font en lien avec le profil de risque des engagements mais aussi du Risk Appetite - tolérance aux risques - et la stratégie commerciale de l’entreprise. L’article 45 donne seulement desguidelines et pas de méthode précise à contrario du calcul duSolvency Capital Requirement - SCR. Il existe donc différentes méthodes d’évaluations propres à chaque organisme assurantiel.
Une fois le processus de l’ORSA mis en place, il est nécessaire de le comprendre, de le tester et de l’analyser. La décision de choisir telle ou telle allocation d’actifs, investisse- ments, ... doit dépendre duRisk Appetite. Il est d’usage de tester nombre de scénarii pour comparer différentes situations mais la difficulté réside dans l’interprétabilité du résultat.
En effet, les interactions sont multiples et très souvent complexes. Si tester des scénarii permet d’en choisir un parmi les autres, les raisons intrinsèques sont souvent plus difficiles à mettre en lumière. Comment la direction des risques peut-elle ainsi déterminer des pré- conisations optimales à l’aide de l’ORSA tout en les expliquant ? Ce mémoire se veut de présenter une aide à la prise de décision par des méthodes actuarielles dans le contexte réglementaire de l’ORSA.
Dans le cadre de la méthode développée par La Banque Postale Assurance, ce mémoire va s’intéresser dans un premier temps aux particularités de la formule standard et dans un deuxième temps à la recherche de la meilleure allocation d’actifs à l’aide de processus d’évaluation propres à l’ORSA.
Tout d’abord, nous définirons la méthode d’évaluation de l’ORSA considérée. La mé- thode repose sur la définition d’un Risk Appetite par rapport à ceux du scénario central et de stress. Pour cela, ce mémoire développera les objectifs de cette méthode ainsi que le cadre de l’utilisation de l’ORSA.
Une fois le cadre du mémoire posé, nous allons étudier quelques cas spécifiques à l’assurance Non-Vie (IARD) et qui ont été rencontrés durant un exercice ORSA. En
1. Article 45 de Solvabilité 2
particulier, nous montrerons que la formule standard n’est pas toujours en adéquation avec nos attentes. Aussi nous étudierons un cas de maximum global par rapport à la courbe des taux sans risque.
Même si notre allocation d’actifs est optimale par rapport à la courbe des taux, elle ne l’est pas totalement par rapport aux engagements de l’entreprise. Dans l’optique de déterminer l’allocation optimale vis à vis de notre profil de risque, nous expliciterons le modèle de projection des actifs financiers utilisé.
Suite à la définition des hypothèses de la modélisation, nous expliciterons la méthode de recherche d’une allocation optimale par rapport à un profil et une appétence de risque donnée. Pour cela, nous utiliserons le gradient de la formule standard pour chercher la meilleure allocation. Nous verrons qu’en fonction des paramètres choisis et des valeurs à minimiser, la méthode de descente du gradient permet de mieux comprendre et d’expliquer les choix à faire pour optimiser le ratio S.2et produits financiers.
Dans ce mémoire, nous considérons que le lecteur a des connaissances sur les méthodes de valorisation deSolvabilité 2(Best Estimate -BE-Risk Margins -RM- et construction du bilan S.2) et sur les méthodes de calcul du capital réglementaire en formule standard.
Dans un souci de confidentialité, les données ont été modifiées au préalable.
1 L’ORSA : une évaluation à l’aide de scénario de stress 8
1.1 Solvabilité 2 . . . 8
1.1.1 Les objectifs et intérêts de Solvabilité 2 . . . 8
1.1.2 Les Best Estimates . . . 10
1.1.3 Les SCRs . . . 11
1.2 ORSA . . . 12
1.2.1 Les orientations sur l’ORSA . . . 13
1.2.2 Définition du Risk appetite . . . 14
1.2.3 Besoin Global de Solvabilité . . . 18
2 Étude des engagements du Passif 21 2.1 La diversité des engagements . . . 21
2.1.1 Rappels . . . 21
2.1.2 Les différents types d’engagements . . . 22
2.2 Formule Standard et Rentes en non-vie . . . 23
2.2.1 Le contexte . . . 23
2.2.2 Les impacts du SCR . . . 23
2.3 Particularité face à la courbe des taux . . . 26
2.3.1 Le cadre . . . 26
2.3.2 Étude . . . 28
2.3.3 "Non-parrallel Shift" . . . 32
2.3.4 Conclusion . . . 35
3 Un modèle prospectif de l’actif 36 3.1 La modélisation de l’actif . . . 36
3.1.1 Classification des actifs. . . 36
3.1.2 Modélisations des obligations . . . 37
3.1.3 Modélisation des actifs financiers non obligataires . . . 44
3.1.4 Modélisation des OPC . . . 45
3.2 Allocations d’actifs : les méthodes d’investissements. . . 50
3.2.1 Définition des Cash-Flows . . . 50
3.2.2 Investissements/Désinvestissements . . . 50
3.2.3 Hypothèses . . . 50
3.2.4 Règle de gestion . . . 51
3.2.5 Stratégie #1 : Réallocation totale du portefeuille . . . 51
3.2.6 Investissement . . . 52
3.2.7 Stock . . . 53
3.2.8 Stratégie #2 : Buy and hold. . . 53
3.3 Les limites des hypothèses du modèle prospectif . . . 54
3.3.1 Risque de défaut d’une obligation et de dégradation . . . 54
3.3.2 Hypothèse de la prime de risque . . . 55
3.3.3 Les obligations et l’évolution du spread . . . 55
3.3.4 Annualisation de flux. . . 56
3.4 Conclusion. . . 56
4 La recherche d’une allocation optimale 58 4.1 Optimisation par la méthode du gradient . . . 58
4.1.1 Le choix de la méthode . . . 58
4.1.2 Les paramètres d’inputs et le choix de la fonction f . . . 59
4.1.3 Déterminer les dérivées partielles de la Valeur de Marché. . . 60
4.1.4 Respecter les conditions sur lesω et la définition deα . . . 62
4.2 Le pouvoir explicatif de la méthode du gradient . . . 65
4.2.1 Optimiser le Ratio . . . 65
4.2.2 Étude des dérivées partielles . . . 66
4.2.3 Optimiser les produits financiers sous contrainte d’un ratio. . . 69
4.3 Risk appetite, méthode du gradient et scénarii de stress . . . 75
4.3.1 Optimiser sous plusieurs contraintes . . . 75
4.3.2 Analyser les éléments de l’optimisation et préconiser . . . 77
4.3.3 Comparer différents scénarii et les analyser . . . 78
L’ORSA : une évaluation à l’aide de scénario de stress
Avant d’entrer dans le vif du sujet de l’ORSA, il faut parler de la directiveSolvabilité 2 qui est le squelette de la réglementation prudentielle en assurance.
1.1 Solvabilité 2
Même si l’ORSA a vocation finale d’obliger les assureurs à prendre en compte tous leurs risques, la directive Solvabilité 2 est tout d’abord un processus institutionnel de contrôle. Nous allons expliciter les objectifs de la directive européenne.
1.1.1 Les objectifs et intérêts de Solvabilité 2
La réglementation Solvabilité 2 est la suite de Solvabilité 1 qui se consacre aux marges de prudence. Solvabilité 2a pour objectif d’obliger les compagnies d’assurances européennes à prendre en compte l’ensemble des risques1 associés à son activité. Ils sont de natures diverses - risque de marque, de marché, de souscription, ... - et, en plus, corrélés entre eux. Pour cela, le régulateur requiert un niveau de capitaux propres minimal pour faire face aux différents risques associés à la société d’assurance. Pourquoi les états imposent-ils des contraintes aux assureurs ?
L’assurance est un vecteur de stabilité de l’économie et dans le cas d’une défaillance de plusieurs assureurs, souvent l’état doit compenser les pertes pour ses citoyens. De plus, l’as- surance gère le risque systémique de l’économie et donc amortit les coûts pour les différents acteurs économiques (Trainar, 2011)[30, p.30]. Pour étayer la réponse, il suffit de regarder la relation entre un marché assurantiel mature (ici montant des provisions techniques) et le développement de l’économie du pays comme sur la figure [1.1]. Mais le domaine assurantiel n’est pas le seul facteur influant sur l’économie. Existe-il des équivalents à Solvabilité 2 en particulier de l’ORSA?
Un équivalent à Solvabilité 2 pour le domaine bancaire est BALE 3 qui est non- contraignant. La directive bancaire s’applique à gérer le risque systémique2de son domaine donc la stabilité, crédibilité du système bancaire et en particulier s’occupe de la liquidité du marché bancaire. A contrario, Solvabilité 2s’occupe de la protection des assurés en
1. Risque ici : aléa d’un événement ayant des effets positifs ou négatifs
2. Le risque systémique est le risque de matérialisation d’une rupture dans le fonctionnement des services financiers susceptible d’affecter l’ensemble du secteur ainsi que l’économie réelle (Jean- François Lepetit, 2010).
Figure1.1 – Un marché assurantiel important dans les pays à fort PIB (Provisions techniques par rapport aux PIB).
s’assurant de la bonne gestion des risques (Al-Darwish, 2011 [3]). C’est pourquoi le proces- sus ORSA est propre à l’assurance. Il vérifie entre autre que les assureurs ne provoquent pas un risque systémique dommageable aux assurés. En effet, en augmentant les exigences de capital, les assurances peuvent plus difficilement faire faillite en même temps. En soi, les assureurs sont des amplificateurs du risque systémique (Frey, 2013) [11]. Le mécanisme de contagion de Eisenberg (2001) [9] montre bien les liens propres au domaine assurantiel.
Le rapport de l’ACPR[9] explique pourquoi le domaine bancaire ne prend pas autant en compte cette notion de risque. Ainsi le SCR et son étude dans le temps de l’ORSA ne trouve pas d’équivalent dans le domaine bancaire.
Dans le cadre de la gestion des risques, est-ce-que l’objectif d’un capital correspondant à un quantile à 99.5% sur 1 an est prudent ?
Pour répondre à cette question, il faut considérer le point de vue économique et le point de vue actuariel. Obliger les acteurs assurantiels à conserver un capital couvrant 99.5 % des scénarios sur un horizon d’un an est équivalent à dire au maximum qu’il faut re-capitaliser un seul assureur sur 200 par an. C’est sur les observations des défaillances d’assureur que Solvabilité 2 s ’est inspirée3. Avec une moyenne d’un ratio de solvabilité de 238% (ACPR, 2017 [1, p.18]), la France est un marché assurantiel européen remarquable - voir la répartition des ratios européens de 2017 [1.2], il est évident que d’un point de vue économique l’objectif est peu contraignant.
Mais d’un point de vue actuariel, la réglementation est plus intéressante. En effet, Solvabilité 2 oblige les directions des risques de calculer , tout d’abord, un quantile de perte à 99.5 % ce qui est actuariellement complexe. Mais aussi la directive oblige à répertorier les risques propres à l’entreprise puis de prévoir une gestion de ses risques. Les schémas d’épidémies ou de contagions du domaine assurantiel montrent que les assureurs se basent sur leur confiance envers les fonds propres des autres acteurs. Ainsi la réglementation participe de manière indirecte à la stabilisation de la confiance du marché. Et finalement, pour les institutions, la directive permet de s’assurer que l’ensemble des acteurs prennent bien en compte l’ensemble de leurs risques et comment ils évoluent (ACPR, 2017[1]). Soumis à la même réglementation, les autorités prudentielles peuvent plus facilement comprendre les évolutions du marché comme nous le montre la figure 1.3. Elle permet aussi de faire des scénarii sur un grand nombre d’entreprises pour tester la résistance du marché à un
3. voir (Gatzert et al., 2012) [12]
Figure1.2 – Répartition des ratios de Solvabilité européen
Figure 1.3 – Contrôle de l’évolution des Ratios par l’ACPR
évènement4.
Dans la partie suivante, nous rappellerons sans s’y attarder les notions deBEet deSCR qui sont nécessaires à connaître pour le modèleORSA. Ces notions sont importantes pour comprendre comment peuvent évoluer les contraintes réglementaires dans le temps. Pour rappel, le schéma 1.4montre les liens entre les différentes notions.
1.1.2 Les Best Estimates
Dans la suite du mémoire, nous allons devoir utiliser les Best Estimates de nos enga- gements pour comprendre la gestion optimale des risques.
Les BEs correspondent à la meilleure estimation sans prudence des engagements5 et doivent être calculés par Groupes homogènes de risques (GRH). Ils correspondent à l’espérance de la valeur actualisée des flux futurs par année composés de la meilleure estimation des encaissements (primes, . . . ) et des décaissements associés (paiements de 4. Stress test de l’European Insurance and Occupational Pensions Authority - EIOPA par exemple
5. La méthode de calcul s’appuie sur l’article 77 de la Directive 2009/138/CE4
Figure1.4 – Schéma des liens entre SCRs, BEs, de l’Actif et du Passif sinistres, frais de placements . . . ). En non-vie deux types de BEsont définis : les BE de sinistres et les BEde primes.
— BE de sinistres : Le BE de sinistres correspond à la provision pour les paiements liés à des sinistres déjà survenus à la date de calcul (connus ou non).
— BEde primes : LeBEde primes est la meilleure estimation des provisions couvrant les sinistres qui surviendront et qui sont couverts par les obligations d’assurance ou de réassurance existantes à la date de calcul entrant dans la notion de frontière de contrats6.
Dans le contexte de ce mémoire, il faut retenir que le montant des BEs correspond à la valeur actualisée des flux futurs et dépend donc de la courbe des taux sans risque et de la durée de l’engagement.
Les BEs sont la brique de base du calcul des SCR par module. Nous allons par la suite rappeler quelques généralités sur lesSCRs et en particulier sur les modulesSCRde marché, Vie et Non-Vie.
1.1.3 Les SCRs
La réglementation Solvabilité 2 oblige les assureurs à calculer deux types de capitaux :
• SCR (Solvency Capital Requirement) : Capital nécessaire pour être solvable dans 99.5% des cas sur un an ;
• MCR (Minimum Capital Requirement) : Capital en dessous duquel l’agrément de la société d’assurances est retiré.
Même si le calcul de ses deux métriques est réglementé, le régulateur laisse le choix de trois méthodes pour le calcul des capitaux de solvabilité (voir le tableau [1.1]) :
De façon générale, plus l’organisme d’assurance est important, plus ses risques sont complexes et nécessitent une mise en place d’un modèle interne ou hybride. Mais nous allons seulement nous intéresser à la formule standard dans la suite de ce mémoire. Dans 6. Article 18 du Règlement Délégué (UE) 2015/35 amendé par le Règlement Délégué (UE) 2016/467.
Nom Méthode Avantage Inconvénient Formule Standard Modèle générique
pour toutes les com- pagnies assujetties à S.2.
Rapide à mettre en place, facile à mettre à jour.
Ne prend pas en compte le profil de risque propre à l’entreprise.
Modèle Interne Modèle développé par l’entreprise en fonc- tion de ses propres risques.
Prend en compte la structure du risque de l’entreprise.
Complexe à
faire, à main- tenir à jour et nécessite beaucoup de données.
Modèle Hybride Utilisation d’un mo- dèle interne sur cer- taines parties spéci- fiques.
Permet d’avoir une partie des avan- tages et des inconvénients des deux mé- thodes.
Table 1.1 – Les différentes méthodes de calcul du SCR
le cadre de l’utilisation de cette méthode, le SCRest subdivisé par risque en module (voir la pieuvre [1.5] de Solvabilité 2 fournie parEIOPA).
Le SCR est une mesure de risque
Pour rappel, une mesure de risque notée R est une fonction définie sur l’espace des variables aléatoires prenant ses valeurs dans R. La fonction doit vérifier les propriétés suivantes :
1. Invariance en loi,X =L Y =⇒ R(X) =R(Y); 2. Croissance,X ≤Y =⇒ R(X)≤ R(Y);
3. Invariance par translation,∀k∈R,=⇒ R(X+k) =R(X) +k; 4. Homogénéité,∀λ∈R+,=⇒ R(λX) =λ× R(λX);
5. Sous-additivité,R(X+Y)≤ R(X) +R(Y);
6. Convexité, ∀α∈[0,1],R(αX+ (1−α)Y)≤αR(X) + (1−α)R(Y).
Dans le cadre de notre étude, le SCRde marché, de Prime et Réserve ainsi que le SCR Vie seront l’objet d’une étude approfondie.
Concernant les risques de souscription de LBPAI (La Banque Postale Assurances IARD), leSCR Vie correspond seulement aux engagements de rente suite à un contrat d’assurance non-vie. Le reste des engagements va se retrouver dans le module du SCR Non-Vie. Nous détaillerons ces deux SCRs dans le chapitre 2.
Le but de la réglementation est que les entreprises s’imprègnent de leurs propres risques pour mieux se protéger. Ainsi en partant d’une base commune leSCR, ils doivent diverger vers leurs risques propres par le biais de l’ORSA.
1.2 ORSA
L’ORSA est un processus défini par l’article 45 de la directiveSolvabilité 2. Celui- ci précise que l’ORSA est un ensemble de "procédures qui sont proportionnées [...] à
Figure1.5 – Décomposition du SCR en sous-modules
la complexité des risques inhérents à son activité" et donc l’entreprise doit "identifier et évaluer de manière adéquate les risques [...] à court et long terme". Cette évaluation propre à l’entreprise doit faire l’objet d’un rapport mais surtout doit être utilisée pour concevoir, déterminer les impacts des stratégies propres à l’entreprise. L’ACPRinsiste sur son utilisation à chaque décision stratégique. Nous allons revenir sur les lignes directrices ou orientations pour la confection du processus puis comment il se décline au sein de la Banque Postale Assurances.
1.2.1 Les orientations sur l’ORSA
Comme il a été expliqué pendant l’introduction, le processus ORSA nécessite trois évaluations. Il n’y a pas de méthode réglementaire comme il y en a pour le calcul du SCR; c’est pourquoi il existe différentes méthodes pour les évaluations suivantes :
1. L’évaluation du Besoin Global de Solvabilité -BGS; 2. Le respect dans le temps des contraintes réglementaires ;
3. L’écart des hypothèses retenues pour le calibrage de la formule standard avec le profil de risque de l’entreprise.
La2.ème évaluation est la plus simple à concevoir. Elle se base sur l’évaluation prospec- tive des fonds propres, duSCRet duMCRsur la base duBusiness Plan. Les hypothèses d’évolution des indicateurs en entrée - les sinistres sur primes (SP), les taux de chutes, les hypothèses économiques ... - pour chaque pas de temps permettent de calculer le SCR réglementaire. Nous montrerons dans le chapitre 3un exemple sur le module du SCR de marché.
La 3.ème évaluation s’intéresse à l’adéquation des hypothèses retenues pour calibrer la F S avec le profil de risque de l’entité. Au final, il est recalculé un nouveau capital de
solvabilité propre à l’entreprise.
La 1.ème évaluation correspond à la détermination du capital nécessaire en fonction des évolutions possibles de son risque, de "sa stratégie d’entreprise ou de l’environnement financier" mais aussi de la caractérisation de ses fonds propres7. L’horizon de projection doit être cohérente avec celle des BGS.
LeBGSdoit être calculé en fonction du niveau de l’appétence au risque ouRisk Appetite de la société. Cette troisième évaluation n’entre pas dans le coeur du mémoire.
1.2.2 Définition du Risk appetite
LaRisk Appetiteou tolérance au risque est une notion difficile à cerner. Il correspond au montant de risque que l’entité est prête à prendre. Il est donc clair que l’appétence au risque est indissociable avec les objectifs de rentabilité. Quels indicateurs et quels seuils faut-il prendre en compte dans la définition de l’appétence ? Dans un document - « Préparation à Solvabilité 2 : enseignements de l’exercice d’ORSA pilote 2013 » [7] l’ACPR le définit comme une prise en compte de "l’attitude de l’organe d’administration, de gestion ou de contrôle envers les principales catégories de risques". Il faut surtout qu’elle soit "claire et suffisamment détaillée" dans ses objectifs stratégiques envers l’organe de contrôle ou de gestion. Dans la définition, leRisk Appetite est une approchetop - down où les dirigeants déterminent, à partir des risques existants, des objectifs ou des seuils qui sont ensuite redéfinis à chaque échelon de l’entreprise à partir des risques définis à leur niveau.
Déterminer un pilotage du Risk Appetite ?
Dans les publications duFinancial Analysis and Accounting Research Center [4],(Therond, 2010 [29]), le processus de définition du Risk Appetite voulu par l’ORSA se veut un pro- cessus de management comme l’explique de façon détaillée Shang et Chen en 2012 [28] dans le cadre de solvabilité 2. Ce sont les acteurs qui amènent les indicateurs et les risques qui entreront dans la définition de l’appétence au risque puis les dirigeants adaptent des seuils sur les indicateurs en fonction de la stratégie voulue et communiquent sur leurs choix.
Ce qui est intéressant, c’est le caractère évolutif du Risk Appetite défini par la directive Solvabilité 2 comme le montre graphiquement le processus d’action de Shang et Chen [1.6].
Il est important de voir que le processus est continu et qu’il se veut auto-évolutif en fonction des risques et de l’activité de l’entreprise. Le principe est de prendre en compte l’ensemble des risques pour chaque décision. Le Risk Appetite va donc s’approprier diffé- rentes métriques propres à chaque activité et chaque organisme d’assurance.
Les métriques utilisées
La première métrique à laquelle il est naturel de penser est la métrique du SCR réglementaire ou de son ratio de couverture. Mais il existe diverses métriques comme le montre le tableau [1.2] non exhaustif. Le choix des métriques se fait en fonction du niveau de contrôle voulu. Plus il y a de métriques, plus le contrôle est fin mais complexe. Le choix d’une métrique doit s’accompagner de la détermination d’indicateurs. A partir de ses indicateurs, il faut ensuite définir des seuils d’alertes entraînant des processus d’alerte et des plans d’action en réaction.
Globalement, il existe trois types de métriques : 7. Article 262 de la directiveSolvabilité 2
Figure 1.6 – Processus d’action
1. Comptables (bilan, résultat ...) : Ce sont des métriques historiques très souvent familières.
2. Économiques (mesure de risque, probabilité de ruine,...) : Elles sont souvent très adaptées à l’ORSA mais plus difficiles à mettre en place.
3. Qualitatives : Ce sont globalement les métriques difficilement quantifiables comme le risque d’image, de réputation mais qui sont de mon point de vue les plus impor- tantes8.
Prenons par exemple la métrique économique d’un gap de duration. On peut le calculer à une date t comme suit :
Gapduration(t) =DurationP assif(t)−DurationActif(t).
Cette métrique peut correspondre à une appétence au risque sur le long terme où l’en- treprise veut maintenir un échéancier semblable entre les flux de l’Actif et le Passif. Cela permet de conserver un équilibre entre les flux de trésorerie de l’Actif et du Passif. Les seuils d’alerte pourraient être −1 an et +1 an et les seuils critiques seraient de −1.5 ans et +2 ans. Ainsi pendant la définition du Risk Appetite, la gouvernance définit les seuils d’alertes et critiques et les communique. La direction des risques avec l’aide des acteurs concernés définit les plans d’actions possibles et des indicateurs qui permettent de res- ter dans la zone d’appétence. Dans l’exemple [1.7] pour vérifier l’appétence au risque, il faudrait que la maturité moyenne des obligations en portefeuille reste entre deux valeurs.
Si le gap de liquidité est trop faible, un plan d’action possible serait de vendre certaines obligations. Dans le cas où le gap de duration dévie, un processus déjà défini doit se mettre en place pour réajuster les métriques9.
8. Les exemples sont nombreux. Les schémas d’épidémie du système assurantiel par exemple (Eisenberg, 2001[9]) montrent l’importance de la confiance envers les autres acteurs. Un risque d’image d’un ré-assureur peut avoir des impacts financiers importants envers les autres acteurs.
9. Il est évident que généralement il existe de nombreux inputs à prendre en compte complexi- fiant largement la mécanique.
Métriques Utilisation Avantages Inconvénient Ratio
S.2
Vérifier la sol- vabilité de l’en- treprise dans des cas extrêmes.
Donne un budget au profil de risque.
Complexe et en prend peu en compte la stabilité du rendement.
Profit Vérifier que l’entreprise est rentable dans le temps.
Permet de conser- ver un lien fort avec le but même d’une entreprise et res- treint la volatilité du risque.
Difficile d’estimer une notion de seuil avec cette métrique seule.
Liquidité
ou de
trésorerie
Vérifier la sta- bilité et le ca- ractère cyclique de la trésorerie, peut aussi ser- vir à vérifier les liquidités dispo- nibles après une catastrophe.
Objectifs et Seuils faciles à définir et à comprendre.
Ne prend pas en compte la solvabi- lité et le rendement.
Dividende Vérifier les pro- babilités de ver- ser un dividende stable dans le temps.
Facile de définir les seuils et de les com- prendre, restreint la volatilité, donc du risque associé au résultat.
Difficile d’estimer une notion de marge avec cette métrique seule et n’explique pas assez les risques sous-jacents.
Chiffres d’affaires
Vérifier que l’in- dicateur est en lien avec les hy- pothèses qui ont été faites.
Complément utile avec le profit et en lien avec la stratégie commer- ciale, indicateur historique.
Très insuffisant pour mesurer le profil de risque.
Indicateur dévelop- pement durable
Vérifier que les actions de l’en- treprise sont du- rables dans le temps et mesu- rer leurs impacts
Indicateur éthique et en lien avec l’ac- tualité.
Difficile à calcu- ler et un indicateur à très long terme, souvent très éloigné de la rentabilité à moyen terme.
Table 1.2 – Avantages et inconvénients des métriques
Il faut rappeler que pour chaque choix stratégique, l’entreprise doit vérifier qu’elle est toujours dans sa zone de Risk Appetite et mettre en place, si nécessaire, des actions ou programmes - réassurance, re-capitalisation,... - pour y rester. Il reste la question de la définition duRisk Appetite. Shang et Chen (2012)[28] offrent un exemple plus complexe - figure 1.8.
Figure 1.7 – Exemple d’un plan d’action lié auRisk Appetite
Figure 1.8 – En réalité, le profil de risque apparaît de façon beaucoup plus com- plexe.
La définition du Risk appetite utilisée pour le mémoire
Dans le cadre de ce mémoire, les métriques utilisées dans la définition duRisk Appetite seront le ratio global de solvabilité10 et le gap de duration.
Comme expliqué précédemment, pour certains acteurs, le paragraphe2.de l’article 45 remet plus en cause la méthode utilisée dans le calcul duSCRque les chocs réglementaires.
Dans cette optique, définissons le besoin en capital comme le capital nécessaire pour : 1. Avoir un ratio de solvabilité supérieur à 110 % dans un scénario central.
2. Avoir un ratio de solvabilité de plus 100 % dans des scénarii de stress correspondant à un quantile à 90 % par exemple.
10. Fonds propres surSCR.
3. Métriques de résultats : avoir tous les résultats de l’entreprise positifs dans l’horizon de l’ORSA. Et maximiser les produits financiers.
De façon qualitative, cette définition du Risk Appetite correspondrait à une volonté de maintenir l’entreprise dans une position confortable dans 90 % des cas.
Seulement il est impossible de considérer tous les scénarii possibles à 90 %. Le travail de la direction des risques en lien avec la gouvernance est de choisir des scénarii combinés qui feront office de scénarii de stress. Par exemple, considérons un scénario stressé où un réassureur a vu sa note se dégrader en même temps que les taux augmentaient de 0.5 point.
Dans ce cas là, les dirigeants souhaitent conserver un ratio de solvabilité supérieur à 100
%. Un autre exemple possible serait de faire un scénario de stress en rajoutant un choc sur les obligations gouvernementales.
Dans le cadre de la recherche de l’allocation optimale, nous allons considérer seulement les scénarii combinés suivants (voir annexe 4.3.3 pour plus de détails) :
1. Montée des taux drastiques, chute de l’immobilier forte et ralentissement de l’aug- mentation de la valeur de marché des actions.
2. Les taux bas s’installent sur le long terme, augmentation plus importante de la valeur des actions.
Une fois que les risques souhaités et les risques à éviter sont identifiés dans la définition du Risk Appetite, comment déterminer le capital nécessaire pour vérifier dans le temps nos propres exigences ? En d’autres termes, il faut calculer le BGS - Besoin Global de Solvabilité.
1.2.3 Besoin Global de Solvabilité
Le BGS - Besoin Global de Solvabilité - est une mesure propre à l’entreprise car elle dépend de sa stratégie commerciale, de son profil de risque et de son Risk Appetite. L’éva- luation du BGS ne sera pas l’objet du mémoire. Mais il est important de le comprendre pour ensuite déterminer le choix d’une allocation de l’actif. Cette évaluation qui apparaît en première dans l’article 45 de la directiveSolvabilité 2est en fait la dernière résultante de :
1. La construction du scénario central sur la base duBP- Business Plan; 2. La construction des scénarii de stress qui sont fonction duRisk Appetite; 3. Et l’évaluation duBGS.
Le BGS doit se déterminer sur l’horizon du BP. Dans notre cas l’horizon du BP est de 5 ans. Dans cette note sur l’ORSA [18], il est remarqué que l’horizon temporel doit prendre en compte "les avantages de certains produits dont la rentabilité se fait sur le long terme, souvent pénalisés par une approche d’allocation de capital et de mesure de performance". Seulement la pertinence de l’horizon est directement en lien avec la capacité de prévoir correctement les évolutions futures. Il est évident que si l’entreprise est incapable de prévoir le nouveau traité de réassurance dans 3 ans, elle sera fortement pénalisée dans l’évaluation de sonBGS.
Le calcul doit inclure la stratégie commerciale mais aussi prendre en compte la possi- bilité qu’elle ne soit pas vérifiée : perte de chiffre d’affaire, augmentation de la sinistralité, ... C’est pourquoi des scénarii de stress sont réalisés. Les scénarii sont calibrés en fonction du Risk appetite et du profil de risque de la société. L’évaluation donne le profil de risque de l’entreprise en même temps que sa tolérance au risque. Au final, le BGS est le capital à détenir pour respecter son appétence au risque sur l’horizon du BP.
Figure1.9 – Détermination du BGS Le BGS associé à notre Risk Appetite
Après avoir construit le scénario central sous les hypothèses du BP, il faut construire les scénarii de stress à partir du Risk Appetite. Pour le déterminer le calcul se base sur le scénario central noté SCRC(t) pour une date t mais aussi sur des scénarii de stress notés SCRsi(t) avec i le numéro du scénario. Ici, leRisk Appetite est pour rappel le maximum entre :
— 150% en SCRen scénario central ;
— 100% en SCR en scénario de stress correspondant à un choc décennal (quantile à 90%).
Pour cela, il est nécessaire de construire les scénarii de stress en fonction :
— Du profil de risque de l’entreprise par l’ajout de risques non présents dans laF Sou de calibrer certains risques si la F S n’est pas adaptée11. Par exemple, dans le module SCR de marché, il est possible de faire un scénario sur la hausse du spread des obligations italiennes pour prendre en compte un risque de défaut. Une compagnie d’assurance peut aussi ajouter de nouveaux risques s’ils ne sont pas pris en compte dans laF S.
— DuRisk Appetite : il faut calibrer les scénarii de stress pour qu’ils correspondent à un scénario adverse pouvant survenir tous les 10 ans.
Dans le cadre de la définition du Risk Appetite, les SCR sont associés à des niveaux d’encadrements à respecter qui ont été définis précédemment. Ainsi,BGS sur l’horizon du BP est égale à :
BGS =F ondscpropres(0) + max
t∈[0;Horizon],s∈S∩{C}(∆Xs%×SCRs(t)−F ondsspropres(t)).
Où :
— F ondsspropres(t) est la valeur des fonds propres à la datet pour le scénarios;
— SCRs(t)est la valeur du SCRà la date tpour le scénarios;
— ∆Xs% est la valeur du coefficient du scénarios(par exemple :150 pour le scénario central et 100 pour les scénarii de stress) ;
— S est l’ensemble des scénarii combinés, etC est le scénario central.
11. Cela correspond à la troisième évaluation.
Application
Supposons unBGSdéterminé par un scénario central et un scénario de stress sur un horizon de 3 ans. Calculons le BGS de chacun des scénarii avec les caractéristiques suivantes :
∆Xc% = 150%et∆Xs% = 125%.
Scénario central Valeur
Année
2018 2019 2020 FP 150 300 400 SCR 100 150 300
X%SCR 150 275 450
∆X%SCR−F P 0 - 25 + 50 Scénario stress
Valeur
Année
2018 2019 2020 FP 150 200 250 SCR 100 150 220
X%SCR 125 187,5 275
∆X%SCR−F P -25 -20 + 25 Le BGS ici prend pour valeur :
BGS=F ondscpropres(0) + max(∆Xs%×SCRs(t)−F ondsspropres(t)),
= 150 + max(50; 25) = 200.
Remarque: cette définition n’est pas parfaite car elle ne prend pas en compte la rentabilité des fonds supplémentaires à rajouter.
Nous venons de définir les points clefs de la directiveSolvabilité 2associée à l’ORSA.
Pour rechercher l’allocation d’actifs optimale, il faut tout d’abord étudier les engagements de l’entreprise sous S.2 c’est à dire en étudiant leurs valeurs économiques et leurs SCR.
Seulement le calcul du SCR par la formule standard ne vérifie pas toutes les propriétés attendues et en plus elle a aussi certaines spécificités qu’il est nécessaire de comprendre.
Étude des engagements du Passif
Avant d’étudier l’Actif en vue de déterminer l’allocation optimale, il faut étudier les engagements d’un organisme d’assuranceIARD. Dans cette optique, étudions les engage- ments à échéances longues et l’impact de l’évolution de la courbe des taux sur leSCR.
2.1 La diversité des engagements
2.1.1 Rappels
Rappelons le calcul des modules Non-Vie et Vie pour ensuite pouvoir étudier les spé- cificités des engagements du Passif.
Module de Souscription non-vie
Le module SCR Non-vie correspond au module Souscription en non-vie. Ce même module est subdivisé en trois sous-modules qui sont :
1. Prime et réserve en non-vie ; 2. Cessation ;
3. Catastrophe.
Ce module SCR non-vie - sur les engagements d’assurance non-vie - correspond à la volatilité des résultats de l’ensemble des engagements présents et survenants d’ici un an.
Risque de Cessation et de Catastrophe
Le sous-module Cessation correspond à respectivement un choc de cessation de 40
% des contrats d’assurance et contrats de réassurance simultanément. Le sous-module de catastrophe correspond à un ensemble de scénarii de catastrophes qui sont :
1. Catastrophes naturelles : enMRH, un risque de tempête ; 2. Catastrophes en réassurance dommages non proportionnelles ; 3. Catastrophes d’origine humaine ;
4. Autres catastrophes en non-vie.
Puis pour chaque type de catastrophes, il est déterminé une classification plus précise des catastrophes à implémenter. Les rentes Potentielles ou en Services n’appartiennent pas à ces deux sous-modules.
Prime et Réserve en non-vie
Ce sous-module prend en compte le risque de sous-tarification. Selon l’EIOPA, le module correspond au risque de perte, ou de dommage, le risque de variation de la valeur des passifs d’assurance. Ces risques résultent des fluctuations dans le temps de la fréquence et de la gravité des événements assurés, ainsi que le moment et le montant des règlements de réclamation. Pour la calibration du choc, l’EIOPA suppose que la distribution des pertes suit une distribution Lognormale (EIOPA, 2019 [8]).
SCRP&R=ρ(σ)×Vml
≈3×σ×Vml. (2.1)
OùVml correspond à la mesure de volume pour le risque Prime et réserve,σ correspond à l’écart type pour le risque Prime et réserve etρ(σ) une fonction de dispersion.
L’EIOPA suppose que la fonction de dispersion est une loi Lognormale. Dans ce cas, ρ(σ) ≈ 3 ×σ d’où l’équation 2.1. Sans entrer dans le détail, Vml se calcule comme la somme du volume de primes et réserves qui sont diversifiées en fonction de leur localisation géographique et σ est une agrégation des différentes volatilités de chaque LoB par une matrice de corrélation.
Module de Non-Vie assimilé à de la Vie
Le moduleSCRVie correspond aux engagements de l’assurance non-vie assimilable à de la vie. En particulier, la responsabilité civile automobile, dans certains cas, peut pro- duire de tels engagements de rentes suite à un accident - tétraplégie, hémiplégie, invalidité partielle, ... Le module est divisé en plusieurs sous-modules :
1. Risque de mortalité : hausse soudaine de la mortalité de 15 % ; 2. Risque de longévité : baisse des taux de mortalité de 20 % ;
3. Risque d’invalidité, morbidité : hausse de 35 % des taux d’invalidité des 12 mois à venir, de 25 % du taux d’invalidité des mois postérieurs et de 20 % du recouvrement de l’invalidité ;
4. Risque de dépense en vie : augmentation de 10% du montant des dépenses et d’un point d’inflation des dépenses pour le calcul des provisions techniques ;
5. Risque de révision : Hausse soudaine de prestations de 3 % ;
6. Risque de cessation : Hausse ou baisse des taux de cessation ou bienSCRde cessation de masse ;
7. Risque de catastrophe en vie : Hausse de la mortalité de 0.15 point soudainement.
Tous les chocs ne serons pas utilisés car les chocs n’ont pas tous des impacts négatifs sur le montant des rentes.
2.1.2 Les différents types d’engagements
Étudions le Passif pour choisir les placements associés. Pour cela, il faut comprendre les relations entre les actifs financiers et les engagements que nous expliciterons par la suite. Ces relations sont faites par les flux de trésorerie dans le cadre deLBP IARD. Les placements dépendent des flux de trésorie du passif. Ce dernier dépend en particulier des cadencements. Mais le cadencement de la déclaration des sinistres et le cadencement du règlement des sinistres sont propres à chaque type d’assurance.
L’assuranceIARD peut être associée à trois topologies majeures d’assurance1. 1. Il existe aussi des assurances Protection Juridique, aviation qui ont un marché important.
La classification ministérielle en compte 19 (ACPR, 2019[2])
Topologie Paiement Cadence de sur- venance
Module princi- pal
Assurance d’au- tomobile
De 1 à 2 ans De 1 à 4 ans Non-Vie Assurance de
bien
De 1 à 5 ans De 1 à 5 ans Non Vie Assurance res-
ponsabilité civile
Au maximum
durée de vie de la personne (plus de 10 ans)
De 1 à 7 ans Dépend du si- nistre2
Table 2.1 – Les topologies majeures de l’assurance IARD
2.2 Formule Standard et Rentes en non-vie
2.2.1 Le contexte
Dans cette partie, considérons une entreprise d’assurance française en Non-vie définie comme suit. L’entreprise possède un certain nombre de contrats d’assurance en particulier une assurance automobile. Supposons que les contrats de cette assurance automobile soient réassurés en quote-part de l’ordre de 50 % et que le portefeuille de cette assurance n’est pas mature - qu’il n’y a pas encore de rentes en service.
Dans le cadre d’une responsabilité civile automobile -RC-, le processus est : l’assuré paie sa prime et est couvert sur l’année enRCautomobile. S’il a provoqué un sinistre dans l’année, le bénéficiaire/blessé de l’assurance demandera le dédommagement à l’assureur.
Pour un dommage corporel de faible envergure - bras cassé, commotion, ... - ou pour les décès, le sinistre est remboursé rapidement. L’ensemble de ces sinistres sont assimilables à de la non-vie car ils ne sont pas liés aux tables de mortalité. Ils subissent donc des chocs dans le module SCR Prime et Réserves comme vu précédemment dans la section 2.1.1.
Sinon dans le cas d’un dommage lourd qui va nécessiter une rente - tétraplégie, hémiplégie, ... -, certains coûts seront payés sur le court terme comme la modification de l’habitat mais les soins et les diverses compensations - salaire, tierce personne ...- seront payés sur le long terme. Ces coûts là sont versés en tant que rente et la rente subira des stress dans le module SCRVie.
Seulement les cas de dommages lourds ne sont pas dans la minute associés au module SCR Vie. Tant que le blessé n’a pas son état stabilisé ou tant que l’assureur n’a pas été choisi ; la rente reste en tant que rente potentielle. Cette rente potentielle reste assimilable d’un point de vue réglementaire à de la non-vie donc subit un stress dans le module Souscription en Non-Vie.
Une fois que les deux critères sont vérifiés, soit la rente disparaît des engagements, soit la rente potentielle devient une rente en service et subit des stress dans le module Vie.
Les rentes provenants duRC automobile ne subissent des stress que par les sous-modules longévité, dépense en vie et révision3.
2.2.2 Les impacts du SCR
Intuitivement, si l’entreprise prend plus de risque alors son SCR devrait augmenter.
C’est la propriété de croissance d’une mesure de risque. Dans notre cas, lorsqu’une rente potentielle devient une rente en service, le risque augmente. Seulement on remarque que,
3. Les autres chocs réduisent les montants des engagements
SCR avant Passage d’une rente en service
SCR après SCR Non vie associé SCR Vie associé Effet diversification
- 1.31 % + 0.59 % - 0.45 %
100 % 98.69 % 99.28 % 98.8 % 98.8 %
Table 2.2 – Une baisse du SCR non attendue.
dans le tableau [2.2], le SCR lui diminue. En effet, le fait que l’engagement change de module et donc de choc modifie les effets de diversifications et leSCRassocié. Seulement, les chocs du SCRnon-vie sont plus importants que celui duSCRvie comme le montre le tableau [2.2]. Les autres modules ne sont que très peu impactés par le changement ; seul le module pour défaut de contrepartie varie légèrement à cause de la réassurance. Il y a trois effets qui expliquent la baisse du SCR :
1. LeSCRavant diversification diminue ;
2. Les effets de diversification sont plus importants ;
3. LaRMa un effet amplificateur des deux précédents effets.
Pour mieux comprendre les impacts, regardons plus précisément les effets avant la RM.
Le graphique2.1a été déterminé à partir de la formule standard. Les iso-courbes deSCR du graphique 2.1 sont faites pour un ratio donné. Elles illustrent la valeur du SCR lors d’un passage d’une rente qualifiée de "potentielle" à "en service". En d’autres termes, le graphique représente le SCR en fonction du montant de la rente transférée et le ratio du SCR Non Vie au SCR Vie qui lui est associés. Le graphique a été calculé comme suit,∀ Coef ∈[0,4]:
SCR=F S (SCRV ie+V ar, SCRN onV ie−ratio×V ar, SCRAutre).
V ar= ∆SCRV ie×coef Où :
— SCRV ie correspond au montant initial duSCRVie ;
— SCRN onV iecorrespond au montant initial du SCR Non Vie ;
— SCRAutre correspond aux autres montants des SCRs de la formule standard ;
— F S correspond à la fonction de calcul du SCRpar la Formule Standard ;
— Coef correspond à un montant de transfert des rentes entre le module Vie et Non Vie ;
— Ratiocorrespond à ChocChocN onV ieV ie(rente)(rente).
Par exemple, si ratio= 1, cela veut dire que le montant SCR non vie de la rente est égal à celui en vie. Autrement, si le ratio= 2, cela veut dire que le montant choc d’une rente en non vie est deux fois grand que celui en vie. La variable Coef permet juste de moduler le montant du SCRnon vie associé à la rente.
Sur le graphique [2.1], l’effet de diversification est discernable et il est représenté par le passage du point "avant la mise en service" à "choc égal". Ce dernier correspond à la valeur duSCRsi les chocs Vie et non-Vie étaient équivalents pour la même rente. A l’effet de diversification s’ajoute ensuite la différence brute entre les deux chocs.
L’impact du changement est d’autant plus important que la Risk Margin est ensuite calculée comme :
RiskM argin= 6%×
∞
X
t=0
SCR(t)
(1 +rt)t. (2.2)
Où :
Figure 2.1 – Un effet de diversification non négligeable.
— SCR(t) est leSCR prévu enRun-off à la date t;
— rtest le taux sans risque fourni par EIOPApour la maturitét.
Il y a deux effets importants provenant de l’équation 2.2. La première est simple, le SCR(t), ∀test plus faible donc en actualisant leSCRau taux sans risque, laRMbaisse de 6%×P∞
t=0
∆SCR(t)
(1+rt)t . Les évolutions des SCRs des premières années sont les plus im- pactantes.
La seconde est que sur le long terme, la rente en service se diversifie avec les rentes potentielles car elles ne sont pas dans le même module ce qui diminue encore la Risk Margin. Au final, dans notre exemple la Risk Margin diminue d’environ 25% par rapport à l’ancienne soit 0.8 en pourcentage du SCR total avant le changement et c’est plus que la différence entre les chocs Vie et Non-Vie.
Au final, deux effets rendent la mesure de risque du SCR calculé avec la F S non croissante : la réduction des chocs entre les deux modules pour un même risque et le changement de module. La difficulté est que la RM dépend de la durée des engagements et est particulièrement sensible aux effets de diversification sur le long terme ce qui amplifie énormément le phénomène pour un portefeuille non mature.
Une formule Standard non croissante et une RM problématique
Dans ce cas précis, la formule standard n’est pas croissante. Seulement, par ce processus, la réglementation favorise les assureurs qui traitent rapidement les dossiers des rentes ou qui n’ont plus d’affaire nouvelle. Indépendamment de cette réflexion, il semble que le choc sur les rentes potentielles ne soit pas adapté dans le module Non-Vie ce qui explique les différences entre lesSCR Vie et Non-Vie.
D’après le règlement délégué 2015/35 (UE), l’évaluation de laRMest définie à partir d’une approche coût du capital par la valeur actualisée de l’immobilisation du capital. Dans l’approche d’EIOPA, la RM se doit d’être un indicateur de long terme. En le calculant à partir l’équation 2.2, la RM est très volatile de part les effets de diversification dans un contexte des taux bas. L’effet de diversification sur le long terme se fait entre risque de même nature entre rente potentielle et rente en service respectivement dans le module Non-Vie et Vie. Et l’effet est d’autant plus important que les taux sont faibles. Si leSCR
n’est pas une mesure de risque dans ce cas particulier, le calcul réglementaire est encore plus volatil après l’intégration de la RM. De plus, laRM est très volatile face à la courbe des taux. Cela a des impacts importants sur le ratioS.II.
Si le Passif doit être adapté par l’Actif, il est nécessaire que les échéances de flux soient semblables. Ainsi nous utiliserons le Gap de Duration comme indicateur pour rechercher la meilleur allocation. Seulement la mesure de risque réglementaire qui est le SCRappliqué au Passif a certaines subtilités qu’il est nécessaire de comprendre. En particulier, la position de l’entreprise considérée dans notre étude est optimale par rapport à la courbe des taux.
2.3 Particularité face à la courbe des taux
Optimiser notreBGSselon la définition de notreRisk appetite, est équivalent à maximi- ser notre Ratio S.II. Mais la situation deLBPAI est remarquable. En effet, par rapport à la variation de la courbe des taux, le ratio est déjà optimal. Ainsi pour déterminer une allocation d’actifs optimale par rapport à notre Risk Appetite, il est intéressant d’étudier les évolutions de la duration du passif et celle de l’actif conjointement. Ensuite nous por- terons un intérêt à laRisk Margin par rapport à l’augmentation de la courbe des taux que l’on a comme hypothèse dans notre scénario pour l’ORSA.
2.3.1 Le cadre
La relation Actif-passif, tel qu’il a été défini, a une particularité face aux scénarii de stress sur la courbe des taux : elle est optimale par rapport à n’importe quel stress parallèle de la courbe des taux. Les scénarii de stress se font sur la courbe des taux sans risque mensuels en ajoutant un flat choc. C’est à dire :
rchoct =rt+f lat,∀t∈N.
Oùrt est la courbe des taux sans risque du scénario central etf lat est le choc en points
(a) Exemple de choc à la hausse sur la courbe des taux
(b) L’optimum global du ratio par rapport à la courbe des taux
Figure2.2 – Un cas spécifique à LBPAI
de base. Les chocs qui ont été faits, correspondent à unf latde -200 bps, -100 bps, -50 bps, -25 bps, -10 bps, 10 bps, 25 bps, 50 bps, 100 bps, 200 bps - par exemple la figure [2.2a].
Comme le montre la figure [2.2b], le ratio est à l’optimal à 10 bps près.
Le ratio est le rapport entre les fonds propres et leSCRglobal. Les évolutions des deux composantes sont différentes par rapport aux chocs comme le montre [2.3].
(a) Un optimum proche pour les fonds propres
(b) L’évolution du SCR très semblable à celui du BE
Figure 2.3 – L’optimum du ratio ne coïncide pas avec celui des fonds propres
Il est nécessaire de détailler les différents facteurs qui agissent sur chacun des termes.
Étant donné la complexité des éléments du passif, il faut simplifier le bilan pour mieux étudier les impacts. En posant un bilan économique simplifié comme dans l’article Planchet et al., ((2010) [20]) à la datet= 0 :
Bilan en t = 0
A0
F S0
RM0 SCR0
BE0 Où :
— A0 est la valeur de marché de l’actif ;
— F S0 est la valeur des fonds supplémentaires après déduction des trois éléments du passif suivants ;
— SCR0 est la valeur duSCR horsRM0 à la date 0 ;
— BE0 est le Best estimate duSCR horsRM0 à la date 0 ;
— RM0 correspond à la Risk Margins.
Cette simplification fonctionne car les autres postes du bilan sont insensibles aux taux.
L’intérêt de cette simplification est d’avoir des formules fermées simples. D’après Planchet et al. , (2010 [20]), leSCRpeut se déterminer à l’aide la formule 2.3suivante :
SCR=V aR99,5%(F1+L1 1 +R1
)−L0,
=V aR99,5%(χ)−L0. (2.3)
Avec χ= F1+R1+L1
1 Où :
— Ftsont les prestations payées entre tett+ 1;
— Lt est la valeur de marché des engagements entre tett+ 1;
— Rtest le rendement des actifs entre t ett+ 1;
Simplification de la Risk Margin La valeur de marché du passif L0 est égale à E(F lux0) +RM0 = BEL0 +RM0. De plus, la marge pour risque se calcule comme RM0 = α×P
tE(SCRt)×δ(t) et pouvant s’approximer proportionnellement : RM0 = α×D0×SCR. En effet, cette approximation est correcte dans le cadre des scénarii de test (voir figure [2.4]). Finalement, leSCR s’écrit comme :
Figure 2.4 – L’hypothèse de proportionnalité semble correcte
SCR= 1
1 +α×D0
((1 +α×SCR D0
×(D0−1))×V aR99,5%(F1+L1
1 +R1
)−BEL0),
= V aR99,5%(χ)−BEL0
1 +α×(D0−V aRBEL99,5%(χ)
0 (D0−1)) .
(2.4)
L’avantage de cette formule est qu’elle va permettre d’étudier les impacts un à un des différents indicateurs.
Même si le volume duBEde rentes est faible par rapport auBEtotal, il apparaît qu’il est un facteur important dans le cadre des chocs sur les taux. En effet, si la duration des placements et celle desBEde sinistres et de primes ne sont quasiment pas impactées, celle du BE global suit l’évolution des BEde rentes comme le montre le graphique [2.5a]. En ne regardant que l’impact de chacun des BEsur le SCR - graphique [2.5b], toujours en ayant un volume faible les BEde rentes sont largement plus fortement impactés que les autres BE. D’après le graphique [2.6], la différence entre les impacts de V AR(χ) et BE correspond quasiment au seul impact desBEde rentes auxquels vient s’ajouter l’impact de changement de duration. En résumé, l’analyse desBEpermet de comprendre pourquoi le SCRaugmente quand la courbe des taux augmente mais pas d’analyser le cas d’optimum.
2.3.2 Étude
L’entreprise qui sera l’objet d’étude par la suite a son ratio S.2 à son optimum. Cela implique certaines spécificités. Dans cette partie, l’objectif est de trouver une condition
(a) L’évolution de la duration est impactée essentiellement par celle des rentes
(b) L’évolution duSCRliée très fortement à ceux de sinistre et de rente
Figure2.5 – Le BEde prime est peu impactant sur leSCR alors que les rentes le sont doublement
Figure 2.6 – L’évolution de la duration double les impacts produit par la VAR et les BEs
pour être à l’optimum. En effet, en conservant notre bilan simplifié, les fonds propres de l’entreprise sont égaux à A0 −BE0 −RM0 ainsi le Ratio = A0−BESCR0−RM0
0 .Être à l’opti- mum implique que la dérivée en ce point est nulle. Pour simplifier les calculs, utilisons la convention continue c’est à dire que δ(t, T) = e−r(T−t). Tout d’abord, comme le ratio est à son apogée :
M axr∈R(Ratiot) =M axr∈R(A0−BE0−RM0
SCR0 ),
⇔ δRatiot
δr = 0,
⇔(δA0
δr −δBE0
δr −δRM0
δr )×SCR0 = (A0−BE0−RM0)× δSCR0 δr .
(2.5)
Sous la convention continue :
A0=X
t≥0
FtA×e−rt, δA0
δr =−X
t≥0
t×FtA×e−r(t), BE0+RM0=X
t≥0
FtL×e−rt, δBE0+RM0
δr =−X
t≥0
t×FtL×e−r(t).
(2.6)
En injectant l’équation 2.6dans celle 2.5, la condition d’optimum devient : (−(X
t≥0
t×(FtA−FtL)×e−rt)×δr = (X
t≥0
(FtA−FtL)×e−rt)×δSCR0
SCR0 , ln(SCR1
SCR0
) =− Z 1
0
P
t≥0t×(FtA−FtL)×e−rut P
t≥0(FtA−FtL)×e−rut dru+D.
Après avoir intégré sur l’année et sous la condition de l’optimum toutes choses égales par ailleurs, le SCRévolue en fonction du Gap de liquidité.
SCR1=SCR0×e−R01Durationliq.(ru) dru+D. (2.7) L’équation2.7montre que l’évolution duSCRévolue en fonction de la duration des flux de liquidité. Dans le cas oùrtest constant,SCR1 =SCR0. Ainsi, commeA0−(BE0+RM0) = BEliqu. sous la convention continue :
Z 1 0
Durationliq.(ru) dru=ln(BEliqu.(r0))−ln(BEliqu.(r1)) D= 0
(2.8) S’il y a un effet volume, c’est à dire que les flux de l’actif sont très supérieurs à ceux du passif Durationliq. ≈DurationActif. Structurellement dans les compagnie d’assurance lors d’une analyse de flux, les flux des actifs sont toujours dans les premières années supérieurs aux flux des engagements du passif nets de réassurance. Ce sont eux qui influencent majoritairement la duration de la liquidité.
De manière générale, sirt augmente, la duration diminue,R1
0 Durationliq.(rt) diminue etSCR1augmente. Il est donc nécessaire d’augmenter la duration de l’actif pour contreba- lancer l’augmentation des taux. En résumé, ce sont les flux de l’Actif et leurs répartitions qui sont responsables de l’évolution duSCR en fonction de la courbe des taux.
Cependant cette condition ne permet pas d’avoir un encadrement de la duration de l’actif. Il est possible de déterminer un encadrement en étudiant les sensibilités. D’après le bilan SCR=A0−BE0−RM0−F S0, la sensibilité du SCRs’écrit4 :
− 1 SCR
δSCR
δr =Durationliq.(r0). (2.9) Pour être à l’optimum du ratio, il est nécessaire d’avoir la sensibilité du SCR dans le cas de hausse (resp .baisse) des taux supérieurs (resp. inférieurs) à celle des fonds propres (équation 2.10). C’est à dire que pour toutc,
SensiF P(r0+c)< SensiSCR=Durationliq.(r0+c)
SensiF P(r0−c)> SensiSCR=Durationliq.(r0−c) (2.10) 4. Dans la cadre des taux continus, Hicks (1939 [13]) a déterminé cette même formule.
