TOumpé Intellectual Groups, Assurez votre réussite / Contrôle Continu © Septembre 2020 1
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Évaluation Contrôle Continu N°1 Classe Terminale Série D Épreuve MATHÉMATIQUES Durée 3 heures Coefficient 4
L’épreuve comporte deux parties obligatoires sur deux pages numérotées de 1 à 2. Le candidat traitera dans l’ordre de son choix les questions qui lui paraissent les plus faciles. La qualité de la rédaction est un élément important de notation ainsi que la justification de chacune de vos affirmations.
PARTIE A : ÉVALUATIONS DES RESSOURCES (15.5 points) EXERCICE 1 : RÉCURRENCE ET SUITES NUMÉRIQUES
1. Montrer que pour tout réel x, on a : 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 =𝑐𝑜𝑠12𝑥 2. Démontrer par récurrence pour tout 𝑛 ≥ 1 que : 3. a) 1
1×2+ 1
2×3+ 1
3×4+ ⋯ + 1
𝑛(𝑛+1)= 1 − 1
𝑛+1
b) 12+ 22+ 32+ ⋯ + 𝑛2=𝑛2(𝑛+1)2
4
4. Soit (Un) la suite définie pour tout 𝑛 entier naturel par U0=1 et Un+1= √𝑈𝑛 + 1 a) Démontrer que 0 < 𝑈𝑛 < 2
b) Démontrer que Un ≤ Un+1 c) Que peut-on déduire ?
5. a) Soit a 𝜖 IR+, démontrer que pour tout entier n, (1 + 𝑎 ) n ≥ 1 + 𝑛𝑎 b) Montrer que tout entier n, 10 n – 1 est multiple de 9.
6. On considère les propositions suivantes : P(n) : « 4n – 1 est divisible par 3 »
Q(n) : « 4n + 1 est divisible par 3 »
a) Montrer que les propositions P(n) et Q(n) sont héréditaires b) Montrer que P(n) est vraie pour tout n ∈ IN
c) Que peut-on dire pour Q(n) ?
EXERCICE 2 : ÉQUATIONS – INÉQUATIONS – SYSTÈMES LINÉAIRES
1. Un groupe d’amis organise une partie de chasse aux buffles, autruches et oies. A leur retour, on compte au total 75 têtes et 210 pattes d’animaux tués. Sachant que le transporteur a perçu une somme de 170000𝐹 à raison de 3000𝐹 par buffle, 1500𝐹 par autruche et 2000𝐹 par oie, déterminer le nombre de buffles, d’autruches et d’oies tués à la chasse
2. On considère le polynôme P définit par P(x) = 𝑥³ − 8𝑥² − 16𝑥 + 128. Déterminer deux réels a et b tels que : P(x) = (𝑥² − 16)(𝑎𝑥 + 𝑏), puis en déduire l’ensemble solution de l’équation P(x)=0 dans ℝ
3. La cellule Informatique TOumpé Intellectual met à la disposition de ses apprenants divers documents parmi lesquels les fiches de cours, de révisions, des contrôles continus et bien d’autres. Pour la satisfaction de ses apprenants, la production journalière de 𝑺 fiches de cours et 𝒎 fiches d'exercices est donnée par la relation : 𝑺𝟐+ 𝟒𝑺 + 𝟖𝒎 ≤ 𝟐𝟒𝟗𝟔 (𝟏)
a) Pour 𝒎 = 𝟕𝟐 résoudre dans ℝ l’inéquation (1) puis donner un encadrement des valeurs de S
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b) Étudier le signe de 10000 − 32𝑚
c) Montrer que si 𝒎 ≥ 𝟑𝟏𝟐𝟓 , l’inéquation (1) n'admet pas de solution dans ℝ
d) En déduire un encadrement de 𝒎 pour que la satisfaction des apprenants soit réalisée.
EXERCICE 3 : NOMBRES COMPLEXES
1. Mettre sous la forme 𝒂 + 𝒊𝒃 les nombres suivants : a) 𝟑+𝟔𝒊
𝟑−𝟒𝒊 𝒃) (𝟏+𝒊
𝟐−𝒊)𝟐+ 𝟑+𝟔𝒊
𝟑−𝟒𝒊 2. Calculer le module et l'argument de 𝒖 =√𝟔−𝒊√𝟐
𝟐 et 𝒗 = 𝟏 . En déduire le module et l’argument de 𝒘 =𝒖
𝒗
3. Résoudre dans C (ensemble des nombres complexes) les équations suivantes : 𝒂) 𝒛𝟐+ 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 𝒃) 𝒛𝟐− (𝟏 + 𝟐𝒊)𝒛 + 𝒊 − 𝟏 𝒄) 𝒛⁴ + 𝟏𝟎𝒛² + 𝟏𝟔𝟗 = 𝟎
PARTIE B : EVALUATION DES COMPÉTENCES (04.5 points)
Compétence visée : Estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon qu’il se déplace dans l’eau ou sur terre.
Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).
Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).
Tâche 1 : En combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage ?
Tâche 2 : En combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court ?
Tâche 3 : Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum.
Examinateur : NKENGOUNG LEONARD , Chef du Département de Mathématiques
