TOumpé Intellectual Groups, Assurez votre réussite / Contrôle Continu © Septembre 2020 1
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Évaluation Contrôle Continu N°1 Classe Terminale Série C Épreuve MATHÉMATIQUES Durée 4 heures Coefficient 7
L’épreuve comporte deux parties obligatoires sur deux pages numérotées de 1 à 2. Le candidat traitera dans l’ordre de son choix les questions qui lui paraissent les plus faciles. La qualité de la rédaction est un élément important de notation ainsi que la justification de chacune de vos affirmations.
PARTIE A : ÉVALUATIONS DES RESSOURCES (15.5 points) EXERCICE 1 : LOGIQUE MATHÉMATIQUE
Dans chacune des questions ci-après, précisez le type de raisonnement logique à adopter puis utilisez-le afin de démontrer les affirmations. Il est à noter que la qualité de la rédaction est un élément phare dans vos démonstrations.
1. Montrer que pour tout réel x, on a : 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2. Montrer que : √1 + √1 + √1 + ⋯ = 1 + 1
1+ 1
1+ 1 1+⋯
3. Montrer que si 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑄 (ensemble des nombres rationnels) alors 𝑎 + 𝑏 l'est aussi.
4. Montrer que l'assertion suivante est fausse : « Tout entier positif est somme de trois carrés » 5. Soit n un entier naturel. Montrer que si 𝑛² est pair, alors n l’est également.
6. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel non nul par : 𝑈𝑛 = 1 + 1
√2+ 1
√3+ ⋯ + 1
√𝑛 Montrer que pour tout entier naturel 𝑘 non nul, √𝑘 + 1 − √𝑘 ≤√𝑘1
7. Démontrer pour tout 𝑛 ≥ 1 que : 𝑆𝑛 = 1
1×2+ 1
2×3+ 1
3×4+ ⋯ + 1
𝑛(𝑛+1)= 1 − 1
𝑛+1
8. Soit (Un) la suite définie pour tout 𝑛 entier naturel par U0=1 et Un+1= √2 + 𝑈𝑛 Démontrer que 0 < 𝑈𝑛 < 2
9. a) Soit a 𝜖 IR+, démontrer que pour tout entier n, (1 + 𝑎 ) n ≥ 1 + 𝑛𝑎 b) Montrer que tout entier n, 10 n – 1 est multiple de 9.
10. On considère les propositions suivantes : P(n) : « 4n – 1 est divisible par 3 »
Q(n) : « 4n + 1 est divisible par 3 »
a) Montrer que les propositions P(n) et Q(n) sont héréditaires b) Montrer que P(n) est vraie pour tout n ∈ IN
c) Que peut-on dire pour Q(n) ?
EXERCICE 2 : ARITHMÉTIQUE
1. Résoudre dans Z² les équations suivantes : a) 𝒙𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚
b) 𝒙𝟐− 𝒚𝟐− 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟎
2. Déterminer les entiers relatifs 𝑛 tes que 𝑛 – 4 divise 3𝑛 – 17
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3. Déterminer les entiers positifs a et b sachant que a < 4000 et que la division euclidienne de a par b donne un quotient de 82 et un reste de 47
4. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 22013 + 562 par 4.
5. Quand on divise un nombre par 12, le reste est 8. Quand on divise ce même nombre par 10, on augmente le quotient de 1 et le reste devient 2. Quel est ce nombre ?
6. Démontrer que sur la droite 𝑦 =3
4𝑥 +1
8 il n'y a pas de points à coordonnées entières.
7. a) Démontrer que pour tout réel x, y et tout entier n non nul, on a :
b) En déduire que 609 divise 54n − 24n
8. Montrer que tout entier naturel est congru modulo 9 à la somme des chiffres de son écriture décimale.
PARTIE B : EVALUATION DES COMPÉTENCES (04.5 points)
Compétence visée : Estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon qu’il se déplace dans l’eau ou sur terre.
Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).
Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).
Tâche 1 : En combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage ?
Tâche 2 : En combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court ?
Tâche 3 : Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum.
Examinatrice : MASSOUNG SANDRA, Encadreur de Mathématiques
Université de Yaoundé 1
