Graphes et ordonnancement
6.1 Introduction. Quelques probl` emes
6.1.1 Les ponts de K¨onigsberg
Figure6.1 – Les sept ponts
La ville de K¨onigsberg (Prusse orientale) comptait 7 ponts, dispos´es selon la figure 6.11. L’histoire veut que L´eonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu `a r´esoudre le probl`eme qui pr´eoccupait fortement ses habitants : est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des sept ponts de la ville ?
Probl`emes classiques du mˆeme type :
Figure 6.2 – Les enveloppes
• Peut-on dessiner sans lever le crayon et en ne passant qu’une seule fois sur chaque arˆete les deuxfigures 6.2?
Figure 6.3 – Les cinq pi`eces
• Peut-on �passer� d’une pi`ece `a l’autre en franchissant une fois et une seule chacune des fronti`eres (figure6.3) sans passer par l’ext´erieur ? en passant par l’ext´erieur ?
1. Leonhard Euler,�Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis�(1759), dans M´emoires de l’Acad´emie des sciences de Berlinhttp://eulerarchive.maa.org//docs/originals/E053.pdf
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6.1.2 Probl`emes d’´echange
Les sept coll`eges de la ville poss`edent chacun une ´equipe de hand-ball. Les professeurs d’EPS souhaitent organiser des rencontres entre ces ´equipes dans le courant du mois de mai, de telle sorte que chaque ´equipe en rencontre trois autres. Quel planning de rencontres peut-on proposer aux organisateurs ?
Probl`emes classiques du mˆeme type :
Montrer que le nombre de personnes vivant ou ayant v´ecu sur terre et qui ont donn´e un nombre impair de poign´ees de mains est pair.
Montrer que dans n’importe quel groupe de six personnes, il y en a au moins trois qui se connaissent mutuellement ou trois qui ne se connaissent pas.
6.1.3 D´ecrire et compter les chemins
Un parcours de sant´e est am´enag´e pour les sportifs dans le parc de la ville.
S1
S4 S2
S3
Figure6.4 – Un graphe orient´e (4 sommets, 7 arˆetes).
Il est compos´e de chemins `a sens unique, et de quatre points de rep`ere tous distants de 500 m`etres, comme indiqu´e sur le sch´ema 6.4. S1 d´esigne l’entr´ee et S4 la sortie. On fera l’hypoth`ese que tout trajet commence enS1 et se termine enS4.
Combien y a-t-il de trajets diff´erents de 1,5 km ? 2 km ? 2,5 km ? 10 km ?
6.2 Vocabulaire
Les graphes du probl`eme des sept ponts ou des enveloppes sont des graphes non orient´es. Nous ´etudierons ici des graphes orient´es : les arcs reliant les sommetssont orient´es ; ils ont une origine et une extr´emit´e.
On peut d´efinir un graphe `a l’aide
• d’un graphique sagittal ;
• d’une relation binaire. Si l’ensemble des sommets est not´eS ={S1, S2, S3, S4}, le graphe de la figure 6.4 peut ainsi ˆetre vu comme une partie du produit cart´esien S×S : {(S1,S2), (S1,S4),(S2,S4),(S3,S2),(S3,S4),(S4,S2), (S4,S3)}
• d’un tableau de successeurs et de pr´ed´ecesseurs
• d’une matrice d’adjacence.
Par exemple, le graphe de la figure6.4 peut ˆetre repr´esent´e par la matrice
M =
S1 S2 S3 S4 S1 0 1 0 1 S2 0 0 0 1 S3 0 1 0 1 S4 0 1 1 0
Le 1 indique la pr´esence d’un arc de S1 vers S2.
On peut faire au sujet de cette matrice un certain nombre de remarques telles que :
— La somme des termes est ´egale au nombre d’arˆetes du graphe orient´e.
— La premi`ere colonne est remplie de z´eros : c’est la cons´equence du fait qu’aucune arc n’a S1 pour extr´emit´e.
— Il y a deux 1 sur la derni`ere ligne : cela traduit le fait que le sommet S4 est `a l’origine de deux arcs.
— La somme des termes de la quatri`eme colonne est 3 car 3 arcs pointent vers S4. La suite ordonn´ee (S1, S2, S4) est unchemin de longueur 2.
(S2, S4, S3, S2) est un circuit: c’est un chemin dont le premier et le dernier sommet sont confondus.
(S1, S2, S4, S3) est un chemin hamiltonien : c’est un chemin qui passe par tous les sommets une fois et une seule. Il est de longueur 3 (on passe par trois arcs).
Remarque : tout graphe peut ˆetre lu comme un graphe orient´e : en effet une arˆete non orient´ee peut ˆetre lue comme ´etant une paire d’arˆetes d’orientations diff´erentes. Pour cette raison, on peut consid´erer, si besoin est, tout graphe non orient´e comme un cas particulier de graphe orient´e.
6.3 Matrice associ´ ee ` a un graphe
De mani`ere g´en´erale, la matrice associ´ee `a un graphe `ansommetsS1 ,S2, . . .,Sn est la matrice carr´ee M = (aij)1≤i,j≤n avecaij =ksikest le nombre d’arˆetes deSi vers Sj. La matrice associ´ee `a un graphe indique les chaˆınes (chemins) de longueur 1 liant deux sommets quelconques du graphe.
Exemple du parcours de sant´e. Cherchons `a exprimer les chaˆınes de longueur 2 `a l’aide de chaˆınes de longueur 1 : pour aller de S1 `a S3 en deux ´etapes, par exemple, il faut
pouvoir aller de S1 `a un sommet quelconque Si du graphe, puis de ce sommet `a S3. Il s’agit donc de d´enombrer, pour toutiallant de 1 `a 4, les arˆetes d’origineS1 et d’extr´emit´e Si et celles d’origineSi et d’extr´emit´eS3.
Pour un idonn´e, le produit de ces deux nombres sera le nombre de chaˆınes de longueur 2, d’origineS1 et d’extr´emit´eS3, passant parSi. La somme des nombres obtenus en faisant varier i de 1 `a 4 est exactement le nombre de chaˆınes de longueur 2, d’origine S1 et d’extr´emit´eS3. Si l’on note ce nombre b13, on a :
b13=
�4 i=1
a1iai3 =a11a13+a12a23+a13a33+a14a43
On reconnaˆıt la formule de calcul du terme de la premi`ere ligne, troisi`eme colonne, de la matriceM2 =M×M.
Version colori´ee :
M×M =
S1 S2 S3 S4 S1 0 1 0 1 S2 0 0 0 1 S3 0 1 0 1 S4 0 1 1 0
×
S1 S2 S3 S4 S1 0 1 0 1 S2 0 0 0 1 S3 0 1 0 1 S4 0 1 1 0
=
0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2
1 = 0×0
� �� �
(S1,S1)(S1,S3)
+ 1×0
� �� �
(S1,S2)(S2,S3)
+ 0×0
� �� �
(S1,S3)(S3,S3)
+ 1×1
� �� �
(S1,S4)(S4,S3)
Th´eor`eme 1. SoitM la matrice associ´ee `a un graphe G. Le coefficient d’indiceij de la matriceMn est le nombre de chemins de longueur nreliantSi `a Sj.
D´emonstration : la d´emonstration de ce th´eor`eme peut ˆetre admise comme g´en´eralisation
� intuitive � du raisonnement fait plus haut. Le programme ne demande pas de d´emonstration de ce r´esultat.
R´esolution du parcours de sant´e
Notre probl`eme ´etait : combien existe-t-il de chaˆıne(s) de longueur 3 (ou 4, ou 5) reliant S1 `aS4?
Le probl`eme peut maintenant ˆetre pos´e dans les termes suivants : �Quel est le terme d’indice (1,4) de la matrice M3, o`u M est la matrice associ´ee au graphe de la figure 6.4? Quel est le terme d’indice (1,4) deM4, de M5?�
Les calculs donnent : M2 =
0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2
, puis : M3 =
0 2 1 2 0 1 0 2 0 2 1 2 0 2 2 1
Il y a donc deux (2)chaˆınes de longueur 3 reliant S1 `a S4.
On peut maintenant affirmer qu’il y a deux trajets de 1,5 km allant deS1 `aS4. Remarques :
— La matrice M3 donne le nombre de chaˆınes, mais ne les d´ecrit pas. On pourrait cependant obtenir ces chaˆınes en�remontant�dans les calculs et en observant de quelle fa¸con ce 2 a ´et´e obtenu.
— Il est ici inutile de calculer tous les termes de M3 , puisqu’on n’en cherche qu’un seul. Mais ´etait-il n´ecessaire de calculer tous les termes deM2?
6.4 Matrice d’adjacence bool´ eenne
Les matrices d’adjacence bool´eennes ne comportent que des 0 et des 1 (1 s’il existe un arc d’un sommet `a un autre, 0 sinon) . On peut effectuer dessus l’addition et la multipli- cation bool´eennes : ⊕et⊗.
Exemple : avec A=
0 1 1 1 0 1 1 0 0
etB =
1 0 1 1 0 0 0 1 0
.
A⊕B =
1 1 1 1 0 1 1 1 0
et A⊗B =
1 1 0 1 1 1 1 0 1
On noteM[p] la puissance bool´eennep-i`eme. C’est le produit bool´een de p matrices M.
M[p]=M⊗M ⊗· · ·⊗M
� �� �
pfacteurs
Le coefficient situ´e ligne i et colonne j est ´egal `a 1 s’il existe au moins un chemin du sommetiau sommet j, et 0 sinon.
En pratique (pour l’´epreuve), on calculeMp puis on remplace tous les coefficients non nuls par des 1 . . .
Dans l’exemple ci-dessus, on calcule A2 =
2 0 1 1 1 1 0 1 1
et on en d´eduit
A[2]=
1 0 1 1 1 1 0 1 1
Remarque : dans un graphe `ansommets, de matrice d’adjacenceM, siM[n]n’est pas la matrice nulle, alors il existe un chemin de longueurn; il passe parn+ 1 sommets, donc le graphe contient au moins un circuit.
6.5 Fermeture transitive d’un graphe
La fermeture transitive d’un graphe `a n sommets S1, . . ., Sn, est le graphe obtenu en ajoutant tous les arcs deSi `aSj s’il existe un chemin de Si `a Sj.
M´ethode :
SiM est la matrice d’adjacence du graphe, la matrice de la fermeture transitive du graphe est
M�=M⊕M[2]⊕· · ·⊕M[n]
Exemple du parcours de sant´e.
M�=M⊕M[2]⊕M[3]⊕M[4]
M�=
0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0
+
0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1
+
0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
+
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
=
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
S1
S4
S2
S3
Graphe de d´epart
S1
S4
S2
S3
Fermeture transitive du graphe
6.6 Niveaux d’un graphe sans circuit
Dans un graphe orient´e sans circuit, on peut ordonner les sommets par niveaux.
• Le niveau 0 contient les sommets qui n’ont pas de pr´ed´ecesseurs.
• Le niveau 1 contient les sommets qui n’ont pas de pr´ed´ecesseurs (dans l’ensemble des sommets priv´e des sommets de niveau 0).
• . . .
• Le niveau k contient les sommets qui n’ont pas de pr´ed´ecesseurs (dans l’ensemble des sommets priv´e des sommets de niveaux inf´erieurs).
On repr´esente ensuite le graphe en alignant verticalement les sommets de mˆeme niveau.
On appelle arborescenceun graphe orient´e poss´edant un sommet unique de niveau 0 (la racine) et tel que tout autre sommet peut ˆetre atteint par un chemin commen¸cant `a la racine.
6.7 Graphe pond´ er´ e
voir les exercices
Exercice 6.1. Pour chacun des graphes ci-dessous, faire le tableau des successeurs et des pr´ed´ecesseurs et ´ecrire la matrices d’adjacence (les sommets seront pris dans l’ordre alphab´etique).
A
B C
A
B C
D A B
C D
E
Exercice 6.2. Compl´eter les tableaux et construire le graphe correspondant.
Sommet A B C D
Successeurs B,C B B,D C Pr´ed´ecesseurs
Sommet A B C D
Successeurs C A,C D B
Pr´ed´ecesseurs
Sommet A B C D E
Successeurs
Pr´ed´ecesseurs B,E A B,C,D,E A B Exercice 6.3. Ecrire la matrice d’adjacence´ M du graphe ci-dessous.
A B
C D
Calculer M2. Expliquer la signification des quatre nombres de la deuxi`eme ligne de la matriceM2.
Combien y a-t-il de chemins de longueur 2 dans le graphe ? Les citer.
Exercice 6.4. Ecrire la matrice d’adjacence´ M du graphe ci-dessous : A
B
C
D
CalculerM3. Expliquer pourquoi on peut affirmer qu’il existe deux chemins de longueur 3 reliantB `aA. Citer ces deux chemins.
Le graphe poss`ede-t-il des circuits de longueur 3 ?
Calculer M4. Entre quels sommets n’existe-t-il pas de chemin de longueur 4 ? Exercice 6.5. Ecrire la matrice d’adjacence´ M du graphe ci-dessous :
A
B C
D E
Combien y a-t-il de chemins de longueur 4 qui partent de A? Citer ces chemins. Parmi eux, y a-t-il des chemins hamiltoniens ?
Exercice 6.6. Ecrire la matrice d’adjacence´ M du graphe ci-dessous : A
B
C
Quels arcs doit-on rajouter pour faire la fermeture transitive du graphe ?
Calculer les matrices bool´eennesM[2] etM[3]. En d´eduire la matriceM de la fermeture transitive.
Exercice 6.7. 41 `a 47 ; 50 ; 53 `a 55 ; 68.fiche pdf,fiche pdf
Exercice 6.8. Graphes pond´er´es, trajets minimaux : 6.16 , 70, 71. fiche pdf
Exercice 6.9. D´enombrer les trajets de E `a S sur l’´echiquier , sachant que seuls les d´eplacements de gauche `a droite et de bas en haut sont possibles.
Exercice 6.10. Dans le parc du probl`eme 3, on a r´eam´enag´e le parcours de sant´e de telle sorte que tous les chemins sont maintenant praticables dans les deux sens. Un sportif d´ecide d’emprunter chaque jour un nouveau trajet de 2 kilom`etres : combien de jours peut-il tenir cet engagement ?
Exercice 6.11. Que peut-on dire d’un graphe dont la matrice associ´ee M est telle que M2 ne contienne aucun 0 ? Que peut-on dire d’un graphe dont la matrice associ´ee M est telle que M+M2+M3+M4) ne contienne aucun 0 ?
Exercice 6.12. Graphes des diviseurs. Les sommets sont les nombres{2,3, ..., n}, un arc jointp `a q sip diviseq. Dessiner le graphe pourn= 12.
6.8 Ordonnancement : m´ ethode MPM
On ordonne le graphe des tˆaches par niveaux, en ajoutant une tˆache �D´ebut�et une tˆache�Fin�.
Chaque sommet est repr´esent´e par un petit tableau comme ci-dessous. Souvent, les marges ne sont pas pr´esentes.
Nom de la tˆache
Date au plus tˆot Date au plus tard Marge totale Marge libre
J T(J) t(J) M T(J) M L(J) Date au plus tˆot de d´ebut d’une tˆache
La tˆache au plus tˆotT(J) de d´ebut d’une tˆacheJ est la date `a partir de laquelle toutes les tˆaches pr´ec´edant (imm´ediatement)J sont termin´ees.
T(J) est le plus grand des nombres T(l) +d(l) o`u l est une tˆache pr´ec´edant imm´ediatement J,
T(l) est la date au plus tˆot de d´ebut de la tˆache l, d(l) est la dur´ee de la tˆache l.
Date au plus tard de d´ebut d’une tˆache
La date au plus tardt(J) de d´ebut d’une tˆacheJ est la date la plus grande permettant de commencer la tˆache sans retarder lafin du projet.
t(J) est le plus petit des nombres t(K)−d(J) o`u K est une tˆache succ´edant imm´ediatement `a J, t(K) est la date au plus tard de d´ebut de la tˆacheK, d(J) est la dur´ee de la tˆacheJ.
Marge totale d’une tˆache
La marge totale M T(J) d’une tˆache J est le retard maximum possible pour le d´ebut de la tˆacheJ sans retarder lafin du projet.
M T(J) =t(J)−T(J) o`u
t(J) est la date au plus tard de d´ebut de la tˆacheJ, T(J) est la date au plus tˆot de d´ebut de la tˆacheJ. Marge libre d’une tˆache
La marge libreM L(J) d’une tˆacheJ est le retard maximum possible pour le d´ebut de la tˆacheJ sans retarder la date au plus tˆot de d´ebut de chaque tˆache suivant imm´ediatement J.
M L(J) est le plus petit des nombres T(K)−T(J)−d(J), o`u K est une tˆache succ´edant imm´ediatementJ,
T(K) etT(J) sont les dates au plus tˆot des tˆachesK etJ, d(J) est la dur´ee de la tˆacheJ.
Tˆache et chemin critiques
Une tˆache critique est un tˆache de marge totale nulle.
Unechemin critiqueest constitu´e d’une succession de tˆaches critiques reliant le d´ebut
` a la fin.
La dur´ee minimale de r´ealisation d’un projet est la valeur d’un chemin critique, c’est-`a-dire la somme des dur´ees des tˆaches critiques qui le constituent.
Exercice 6.13. La mise en service d’un nouvel ´equipement routier demande la r´ealisation d’un certain nombre de tˆaches. Le tableau ci-dessous repr´esente ces diff´erentes tˆaches avec leurs relations d’ant´eriorit´e.
Tˆaches A B C D E F G
Dur´ees (jours) 6 3 6 2 4 3 1
Tˆaches ant´erieures - - - B B A,D C,E,F 1. D´eterminer le niveau de chacune des tˆaches.
2. Construire le graphe d’ordonnancement du projet et calculer les dates au plus tˆot et au plus tard de chaque tˆache.
3. D´eterminer le chemin critique. Quelle est la dur´ee minimale de r´ealisation du projet ? 4. Calculer la marge totale de la tˆache E ? Quelle est sa signification ?
5. Calculer la marge libre de la tˆache C ? Quelle est sa signification ?
Exercice 6.14. La r´ealisation d’un projet n´ecessite plusieurs tˆaches successives dont les dur´ees en jours sont donn´ees dans le tableau suivant, ainsi que les tˆaches devant ˆetre r´ealis´ees ant´erieurement.
Tˆaches A B C D E F G H I J
Dur´ees 4 2 2 1 2 5 3 3 3 4
Tˆaches ant´erieures - - A A A,B C D,E E,G H F,I 1. D´eterminer le niveau de chacune des tˆaches.
2. Construire le graphe d’ordonnancement du projet et calculer les dates au plus tˆot et au plus tard de chaque tˆache.
3. D´eterminer le chemin critique. Quelle est la dur´ee minimale de r´ealisation du projet ? 4. En r´ealit´e, la tˆache C a n´ecessit´e une dur´ee de 5 jours. Est-ce que cela a eu une
incidence sur la dur´ee de r´ealisation du projet ?
5. Calculer la marge totale et la marge libre de chacune des tˆaches.
Exercice 6.15. Un projet est constitu´e de quinze tˆaches soumises aux contraintes sui- vantes.
Tˆaches A B C D E F G H I J K L M N O
Dur´ees (jours) 5 3 1 4 2 3 3 4 5 2 1 4 3 5 1
Tˆaches ant´erieures - - - A,B C D C,D E G G,H F,I J J J L,M On consid`ere le graphe orient´e correspondant aux conditions d’ant´eriorit´e donn´ees par le tableau pr´ec´edent.
1. D´eterminer le tableau des tˆaches par niveau.
2. Donner le tableau des successeurs.
3. Construire le graphe d’ordonnancement du projet (selon la m´ethode PERT ou MPM) et d´eterminer pour chaque tˆache les dates au plus tˆot et au plus tard.
4. En d´eduire les chemins critiques et la dur´ee minimale de r´ealisation du projet.
Exercice 6.16. La planification d’un projet de cr´eation d’un robot requiert les sept tˆaches list´ees ci-dessous.
Description de la
tˆache Tˆache Dur´ee (en jour) Pr´ed´ecesseurs
Achat de la structure A 1 -
Mod´elisation
num´erique B 5 A
Montage de la maquette C 1 A, D
Achat des capteurs D 3 -
D´eveloppement du pro-
gramme E 1 D
Test du programme sur la maquette et ajuste- ments
F 4 C,E
N´egociation des frais de
fabrication G 1 B,F
1. D´eterminer le niveau de chacun des sommets.
2. Donner le tableau des successeurs de chaque sommet.
3. Construire le graphe d’ordonnancement du projet (m´ethode M. P. M. ou P. E. R.
T.) en incluant les dates au plus tˆot et au plus tard.
4. Donner un chemin critique et la dur´ee minimale du projet.
5. Calculer la marge libre et la marge totale de la tˆache A.
6. La tˆache A commence avec un jour de retard.
(a) Ce retard aura-t-il une incidence sur le d´ebut des tˆaches suivantes ? Justifier.
(b) Ce retard aura-t-il une incidence sur la date defin du projet ? Justifier.
Exercice 6.17. Une soci´et´e de services et d’ing´enierie informatiques planifie la mis en place d’un nouveau syst`eme d’information interne dans une entreprise. Les tˆaches n´ecessaires `a la r´ealisation de ce projet sont r´epertori´ees dans le tableau suivant.
Tˆache `a r´ealiser Rep`ere Dur´ee en jours Tˆache(s) pr´ec´edente(s)
Nombre d’intervenants
n´ecessaires
Etablissement du ca-´
hier des charges A 2 2
R´edaction du cahier
technique B 2 A 2
D´efinition des droits
d’acc`es aux donn´ees C 1 B 1
Choix, achat du
mat´eriel D 4 B 3
Installation du
mat´eriel E 1 D 2
Formation des res-
ponsables techniques F 2 C, D 1
Installation et param´etrage du syst`eme
G 2 C, E 2
R´eduction de la no- tice d’utilisation et information des sa- lari´es
H 1 F, G 2
On souhaite ordonner la r´ealisation de ces tˆaches de fa¸con `a ce que le nouveau syst`eme soit fonctionnel le plus tˆot possible.
Pour cela, on consid`ere le graphe orient´e correspondant eux conditions d’ant´eriorit´e donn´ees par le tableau pr´ec´edent.
1. D´eterminer le niveau de chacun des sommets de ce graphe.
2. Donner le tableau des successeurs de chaque sommet.
3. Construire le graphe d’ordonnancement du projet (selon la m´ethode P. E. R. T. ou M. P. M.).
D´eterminer pour chaque tˆache les dates au plus tˆot et au plus tard.
En d´eduire le chemin critique et la dur´ee minimale de r´ealisation du projet.
4. Pour des questions de gestion du personnel, la soci´et´e de services et d’ing´enierie informatiques ne souhaite pas mobiliser plus de trois intervenants par jour. Peut-on planifier les tˆaches avec cette contrainte sans modifier la dur´ee totale du projet ? Exercice 6.18. Un lyc´ee a ´et´e dot´e de postes informatiques et de logiciels.
Le proviseur envisage de transformer une salle de cours en salle informatique. Pour cela, le responsable du projet d´efinit les tˆaches `a r´ealiser avec leur dur´ee.
Le tableau suivant regroupe l’ensemble de ces donn´ees.
Tˆache `a r´ealiser Rep`ere Dur´ee en jours
Tˆaches pr´ec´edentes Vider la salle de cours et
d´emonter le mat´eriel inutilis´e. A 2 –
Nettoyer et repeindre la salle. B 4 A
Installer les tables et fixer un
tableau. C 1 B
Commander et r´eceptionner le
mat´eriel de cˆablage. D 10 –
D´eballer et contrˆoler le
mat´eriel de cˆablage livr´e. E 1 D
Cˆabler la salle. F 3 B, E
Installer et brancher les postes
informatiques. G 1 C, F
Installer les logiciels, configu- rer les postes et tester leur fonctionnement.
H 7 G
Le but de cet exercice est d’ordonner la r´ealisation de ces tˆaches de fa¸con `a ce que la salle soit disponible le plus rapidement possible.
On consid`ere le graphe orient´e correspondant aux conditions d’ant´eriorit´e donn´ees par le tableau pr´ec´edent.
1. D´eterminer le niveau de chacun des sommets du graphe.
2. Donner le tableau des successeurs.
3. (a) Construire le graphe d’ordonnancement du projet (selon la m´ethode P.E.R.T.
ou M.P.M.)
D´eterminer pour chaque tˆache les dates au plus tˆot et au plus tard.
(b) En d´eduire le chemin critique et la dur´ee minimale de r´ealisation du projet.
4. En fait, la r´ealisation de la tˆache B a n´ecessit´e 10 jours au lieu de 4 car il a fallu enduire un mur et le laisser s´echer avant de le peindre.
Ce changement a-t-il une incidence sur la dur´ee du projet ? Expliquer pourquoi.
Exercice 6.19. Une soci´et´e de services techniques en informatique doit mettre en place un r´eseau interne de 50 ordinateurs pour une entreprise. Les tˆaches n´ecessaires `a la r´ealisation de ce projet ont ´et´e reproduites dans le tableau suivant.
Description de la tˆache Abr´eviation Tˆaches ant´erieures
Dur´ee (en jours) Identification des besoins
mat´eriels/logiciels et com- mandes
COM 1
Acheminement/Livraison des
OS/logiciels LOG COM 3
Achat du mat´eriel pour les
UC + Cˆables r´eseau MAT COM 1
Acheminement/Livraison des
´ecrans ECR COM 6
Assemblage des UC ASS MAT 1,5
Installation des OS/logiciels INST LOG, ASS 2
Pose des cˆables r´eseau dans
l’entreprise CABL MAT 4
Mise en place des postes dans
l’entreprise POST INST,ECR 1
Configuration du r´eseau in-
terne CONF POST,CABL 1
On consid`ere le graphe orient´e de sommets COM, LOG, MAT, ECR, ASS, INST, CABL, POST, CONF correspondant aux conditions d’ant´eriorit´es donn´ees par le tableau pr´ec´edent.
1. (a) Quels sont les pr´ed´ecesseurs du sommet POST ? (b) Quels sont les successeurs du sommet COM ?
2. D´eterminer le niveau de chacun des sommets du graphe en expliquant la m´ethode utilis´ee.
3. Construire le graphe d’ordonnancement du projet (selon la m´ethode MPM ou PERT) et ´etablir les dates au plus tˆot et au plus tard de chaque tˆache.
4. D´eterminer le chemin critique et la dur´ee de r´ealisation du projet.
5. (a) Calculer la marge totale de la tˆache ASS. `A quoi correspond-elle ? (b) Calculer la marge libre de la tˆache ASS. `A quoi correspond-elle ?
