Stabilisation polynomiale et analytique de l’équation des ondes sur un rectangle

BLAISE PASCAL

Ammar Moulahi et Salsabil Nouira

Stabilisation polynomiale et analytique de l’équation des ondes sur un rectangle

Volume 17, n^o2 (2010), p. 401-424.

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Stabilisation polynomiale et analytique de l’équation des ondes sur un rectangle

Ammar Moulahi Salsabil Nouira

Résumé

On considère l’équation des ondes sur un rectangle avec un feedback de type Dirichlet. On se place dans le cas où la condition de contrôle géométrique n’est pas satisfaite (BLR Condition), ce qui implique qu’on n’a pas stabilité exponentielle dans l’espace d’énérgie. On prouve qu’on peut trouver un sous espace de l’espace d’énergie tel qu’on a stabilité exponentielle. De plus, on montre un résultat de décroissance polynomiale pour toute donnée initiale régulière.

Polynomial and analytic stabilization of a wave equation

Abstract

the wave equation on a rectangle surface with feedback, that does not satisfy the classical geometric control condition BLR. We prove an exponential stability result for some subspace of the energy space. Moreover, we give a polynomial stability result for all regular initial data.

1. Introduction et résultat principal

Soient Ω = (0, aπ) ×(0, bπ), avec a, b > 0; Γ₀ = {0} × (0, bπ) et Γ1 = ∂Ω\Γ0. On considère l’équation des ondes avec conditions aux limites dissipatives.















∂_t²u−∆u= 0 dansΩ×(0,+∞), u= _∂ν^∂(G[∂_tu]) surΓ₀×(0,+∞),

u= 0 surΓ1×(0,+∞),

u(x,0) =u⁰(x), ∂tu(x,0) =u¹(x) dansΩ,

(1.1)

Mots-clés : Stabilisation, équations des ondes, inégalités d’observabilité, basses et hautes fréquences, décroissance polynomiale.

Classification math. :35B40, 35L05, 34H05, 34H15, 93D15.

où G = (−∆)⁻¹:H⁻¹(Ω) −→ H₀¹(Ω) et ν = ν(x) désigne le vecteur normal unitaire sortant.

Pouru= (u⁰, u¹)∈E0 =L²(Ω)×H⁻¹(Ω), il existe une unique solution u de (1.1)

u∈C (0,+∞), L²(Ω)∩C¹ (0,+∞), H⁻¹(Ω). De plus, u(t)satisfait l’estimation de l’énergie, pour tout t≥0,

E(0)−E(t) = Z t

0

Z

Γ0

∂[G(∂u/∂s)]

∂ν

2

dΓ0ds (1.2) avec

E(t) = 1 2

ku(t)k²_L2(Ω)+k∂_tu(t)k²_H−1(Ω)

. On considère le problème conservatif associé à (1.1)











∂_t²φ−∆φ= 0 dansΩ×(0,+∞),

φ= 0 sur∂Ω×(0,+∞),

φ(x,0) =u⁰(x), ∂tφ(x,0) =u¹(x) dansΩ.

(1.3) Ammari-Tucsnak [6] et Ammari [3] ont montré l’équivalence entre le pro- blème de stabilité exponentielle et l’inégalité d’observabilité exacte :

∃T, C >0t.q.

Z T 0

∂[G(∂_tφ)]

∂ν

2 L²(Γ₀)

dt≥Ckuk²_E

0, ∀u∈E0. (1.4) On note par S_T l’ensemble suivant :

ST ={u∈ E0/(φ, ∂tφ) satisfait (1.4)}.

Il est clair que la condition de contrôle géométrique n’est pas satisfaite (voir [7] et [9]) ce qui implique que l’espace S_T est strictement inclu dans l’espace d’énergie L²×H⁻¹.

La question de contrôlabilité analytique a été bien étudiée et on peut citer tout particulièrement [1, 2, 11, 10, 13] où ils ont montré des résultats permettant d’avoir des renseignements sur l’espace des données contrôl- lables, soit dans le cas des géométries particulières, soit sous des hypo- thèses plus générales. Plus tard, [3]-[5] et [8] ont étudié la stabilisation de l’équation des ondes dans le cas des géométries particulières.

Le but de cet article est d’étudier la stabilisation analytique de l’équa- tion des ondes, sur un rectangle, par l’intermédiaire d’un feedback de type Dirichlet.

Le plan de cet article est comme ainsi. Dans la Section 2, on déter- mine quelques résultats d’observabilité à hautes et à basses fréquences.

Dans la Section 3 on donne quelques notions de stabilisation des systèmes d’évolution. Dans les Sections 4 et 5, on donne les preuves des résultats principaux.

Pour α∈R^∗+, on introduit les espaces suivants : X0,α:=





 X

(n,k)∈N^∗×N^∗

an,ke^−αnsin(kx

a ) sin(ny

b )/(an,k)∈l²







;

X1,α:=





 X

(n,k)∈N^∗×N^∗

a_n,ke^−αnsin(kx

a ) sin(ny

b )/ an,k

qn² b² +^k_a²2

∈l²







; Xα:=X0,α×X1,α.

On remarque que si α⁰ > α, alors Xα⁰ ⊂ Xα et que X0 = E0. On peut aussi remarquer que tous les éléments deX_α sont prolongeables par holo- morphie dans la bande complexe|Imy|< bα. Inversement, si une fonction u(x, y) = ^X

(n,k)∈N^∗×N^∗

sin(kx

a ) sin(ny

b ) de l’espace L²(Ω) est prolongeable par holomorphie dans la bande complexe |Imy|< bα+εpour ε >0, alors on peut prouver qu’elle est dans X_0,α.

Pour donner une caractérisation de l’espace ST, on introduit : α_S(T) = inf{α∈R+; X_α ⊂S_T}.

On a donc le premier résultat principal :

Théorème 1.1. (1) Pour tout δ >0, il existe une constante C_δ >0 telle que pour tout T > TS = 2π√

a²+b², αS(T)≤ Cδ

bT^1−δ·

(2) Il existe une constante c >0 telle que pour tout T > T_S, α_S(T)≥ c

bT²·

(3) Pour α > αS(T) il existe deux constantes γ, et c > 0 telles que pour tout t≥0,

E(t)≤c e^−γtE(0), ∀u∈Xα.

Remarque 1.2. La première assertion du théorème précédent implique que toute donnée initiale analytique est dans un certainS_T pourT suffisament grand, i.e., toute donnée initiale dont les coefficients de Fourier décroissent en y comme e^−αn est dans S_T, si T est plus grand queT(α) = ^1−δ

qCδ

bα. Comme le système décrit par (1.1) n’est pas exponentiellement stable dans l’espace d’énergie E0, on a alors le résultat de décroissance polyno- miale, pour toute donnée initiale régulière, suivant :

Théorème 1.3. Le système décrit par (1.1) est polynomialement stable dans

D(A) =ⁿ(u, v)∈H¹(Ω)×L²(Ω) ;u_|∂Ω =∂_ν[G(v)] 1_|Γ0^o,

i.e. il existe une constante C > 0 telle que pour tout (u⁰, u¹)∈ D(A) on a :

E(t)≤ C

1 +t||(u⁰, u¹)||²_D(A),∀t≥0.

2. Inégalités d’observabilité

Dans cette section on va donner les inégalités d’observabilité à hautes et à basses fréquences concernant les solutions du système (1.3) (qui sont de même type que ceux dans [12]) et déterminer explicitement les constantes qui interviennent dans ces inégalités en fonction de la fréquence de cou- pure.

On considère alors la décomposition de l’espace des données initiales suivante :

Définition 2.1. Soit u=



 X

n,k∈N^∗

a^j_n,ksin(kx

a ) sin(nx b )





j=1,2

une donnée initiale dans E0. On pose

u∈E₀ⁿ si m6= n ⇒ a_m,k^j = 0, u∈E₀⁽¹⁾ si k> ^a_b²2n ⇒ a^j_n,k= 0, u∈E₀⁽²⁾ si k≤ ^a_b²₂n ⇒ a^j_n,k= 0, u∈E₀^i,n ⇐⇒E₀⁽ⁱ⁾∩E₀ⁿ;i= (1,2).

On peut donc réecrire l’espace E0 sous la forme :















E0 = ^M

n

E₀^1,n

!

L M

n

E₀^2,n

! , u = u¹+u² = ^X

n∈N^∗

(u¹_n+u²_n).

Soit

e¹_n,k =

r 2

abπ² sin(k

ax) sin(n by),0

!

;

e²_n,k=



0, r 2

abπ² s

n² b² + k²

a² sin(k

ax) sin(n by)



. La suite (e¹_n,k, e²_n,k) forme une base Hilbertienne de E0.

Pour tout n∈N^∗, si on restreint les données initiales dans E₀ⁿ, alors on a l’inégalité d’observabilité

kuk²_E

0 ≤C(n, T)

∂[G(u⁰)]

∂ν

2

L²(Γ0×(0,T))

. (2.1)

Comme l’hypothèse de contrôle géométrique de C. Bardos, G. Lebeau et J.

Rauch [7] n’est pas satisfaite, alors la constante C(n, T) n’est pas unifor- mément bornée enn. Pour ceci, on utilise la décomposition précédente : les basses fréquences pour lesquellesC(n, T)tend vers l’infini quandn→+∞

et les hautes fréquences pour lesquelles on a le contrôle géométrique.

Proposition 2.2. (basses fréquences). Pour tout > 0 et δ >0 il existe un temps T1(, δ) ≤ ^C_1+δ^δ et une constante C_,δ tels que pour tout entier non nul n et pour toute donnée initiale u ∈E₀ⁿ, la solution du problème (1.3) vérifie

ku¹k²_E0 ≤C,δe^21bn Z bπ

0

Z T1(,δ)

−T₁(,δ)

∂G(φ⁰)

∂x (0, y, t)

2

dt dy.

Preuve :

Comme le gap entre les fréquences tend vers zéro, dans le cas des basses fréquences, les inégalités de type Ingham n’auront pas lieu dans la preuve de cette proposition. L’idée donc d’après Allibert [1] est de construire une

suite des fonctions notéeh^k,n, à support compact tels que pour toutj 6=k, h^k,n(t) est orthogonale aux fonctions proprese^±it

qn2 b2+^j2

a2

.

Lemme 2.3. Pour tout entier impair q et pour tout >0, il existeT1(q, ) plus petit que Cq

q+1

1−q tels que pour tout couple(n, k0)∈N^∗×N^∗, on peut trouver une fonction h^k_,q^0,n∈L² qui vérifie les propriétés suivantes :

(1) supp(h^k_,q^0,n)⊂[−T1(q, ), T1(q, )].

(2) kh^k_,q^0,nk_L2 ≤C e^21bn. (3) Si k6=k0,^R h^k_,q^0,n(t)e^±it

qn2 b2+^k2

a2

dt= 0.

(4) Si (n, k0)∈I ={(k, n)∈N^∗×N^∗/k≤ ^a_b²2n},

Z

h^k_,q^0,n(t)e^±it q

n2 b2+^k2

a2

dt

≥ c (¹_bn)^Nq.

Les constantes dépendent uniquement de q et . De plus, il est possible de choisir h^k_,q^0,n paire ou impaire, qu’on la note h^k_e⁰_,q^,n dans le cas paire et h^k_o⁰_,q^,n dans le cas impaire.

Maintenant, soit n∈N^∗ etu∈E₀ⁿ, on pose

u= ^X

k≤^a2

b2n

a¹_n,ke¹_n,k+a²_n,ke²_n,k.

On obtient

φ(x, y, t) = ^X

k≤^a2

b2n

r 2

abπa¹_n,ksink axsinn

bycosλ_n,kt +

r 2

abπλ_n,ka²_n,ksink axsinn

bysinλ_n,kt.

Donc,

∂G(φ⁰)

∂x (0, y, t) = ^X

k≤^a2

b2n

r 2 abπ

k asinn

by −a¹_n,k

λ_n,ksinλ_n,kt+a²_n,kcosλ_n,kt

! .

On note par K l’opérateur défini par

K: E0 →L²(Γ₀)

u→ ^∂[G(φ_∂x^0)](0, y, t).

Pour (k0, n)∈N^∗×N^∗ tel quek0≤ ^a_b2² netL∈N^∗, on a Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)K



 X

k≤L

a¹_n,ke¹_n,k+a²_n,ke²_n,k



dt

= r 1

2abπsin(n

by) ^X

1≤k≤L

a¹_n,k k i a λ_n,k

Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)(e^−iλn,kt−e^iλn,kt)dt +a²_n,kk

a Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)(e^iλn,kt+e^−iλn,kt)dt.

Commeh^k_eε,q^0,n est paire, on déduit que Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)K



 X

k≤L

a¹_n,ke¹_n,k+a²_n,ke²_n,k



dt

=− ^X

1≤k≤L

r 2 abπ

k

iaλ_n,ka¹_n,ksin(n by)

Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)e^iλn,ktdt,

Si L≥k0, alors de (3) du Lemme 2.3, on obtient Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)K



 X

k≤L

a¹_n,ke¹_n,k(x, y) +a²_n,ke²_n,k(x, y)



(t)dt

=−k0

q 2 abπ

iaλn,k0

a¹_n,k0sin(n by)

Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)e^iλn,k0tdt.

Ainsi, comme(n, k0)∈Ialors d’après la propriété (4) du lemme précédent, on a

Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)K



 X

k≤L

a¹_n,ke¹_n,k+an,ke²_n,k



dt

≥ c n^Nq|a¹_n,k

0

λ_n,k0||sin(n by)|.

Si Ltend vers l’infini, on trouve

a¹_n,k

0

λ_n,k0

|sin(n by)|

≤ 1 cn^Nq

Z

h^k_e⁰_,q^,n(t)K



 X

k≤L

a¹_n,ke¹_n,k+a²_n,ke²_n,kdt





. (2.2) De même on montre que

|a²_n,k

0||sin(n

by)| ≤ 1 cn^Nq

Z

h^k_o⁰_,q^,n(t)K



 X

k≤L

a¹_n,ke¹_n,k+a²_n,ke²_n,kdt



 . En utilisant la propriété (2) du Lemme 2.3 ainsi que (1), on trouve

|a¹_n,k0|²≤Cn^2(Nq+1)e^21bn Z bπ

0

Z T1(q,)

−T₁(q,)

|Ku|²dtdy,

|a²_n,k

0|²≤Cn^2Nqe^21bn Z bπ

0

Z T1(q,)

−T1(q,)

|Ku|²dtdy.

Or,

kuk²_E

0 =^X|a¹_n,k|²+|a²_n,k|², on obtient donc

kuk²_E

0 ≤C⁰n^(2Nq+1)e^21bn Z bπ

0

Z T1(q,)

−T1(q,)

|Ku|²dtdy, avecT1(q, ε)≤Cqε

1+q

1−q = _ε^C_1+δ^δ etδ →0⁺quandq→+∞, ce qui détermine

la preuve de la Proposition 2.2.

Lemme 2.4. (Hautes fréquences) Pour tout T2 > 2π√

a²+b², il existe une constante C_T2 > 0 telle que pour tout entier n > 0 et toute donnée initiale u dans E₀^2,n la solution du problème (1.3) satisfait

ku²k²_E

0 ≤C_T2 Z bπ

0

Z T2

0

∂[G(∂_tφ)]

∂x (0, y, t)

2

dt dy.

Preuve.Pour u∈E₀⁽²⁾,φ(x, y, t) s’écrit φ(x, y, t) = ^X

k>^a2

b2n

a_n,ksinkx a sinny

b e^itλn,k

avec λn,k= qk²

a² +ⁿ_b2². Comme

T2>2π^pa²+b² > 2π inf

k>^a2

b2n



 s

(k+ 1)² a² + n²

b² − s

k² a² +n²

b²



 ,

en utilisant l’inégalité d’Ingham [16], on obtient Z bπ

0

Z T2

0

∂[G(∂_tφ)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy= ^X

n∈N^∗

abπ 2

Z T2

0

| ^X

k>^a2

b2n

ik a

a_n,k λn,k

e^iλn,ktdt|²

≥C_T2 ^X

k>^a2

b2n

|a_n,k λn,k

|². Ceci implique que

Z bπ 0

Z T2

0

∂[G(∂tφ)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy≥CT2kuk²_E

0.

3. Quleques notions de stabilisation des systèmes d’évolu- tion

Soit H un espace de Hilbert muni de la norme||.||_H, et soit l’opérateur auto-adjoint strictement positif A1 : D(A₁) → H, et de résolvante com- pacte. Pour α ≥ 0, on introduit l’espace de Hilbert H_α = D(A^α₁), avec la norme kzk_α = kA^α₁zk_H, et on note par H−α l’espace dual de l’espace H_α, pour α > 0 :H−α = H_α^∗. On note encore par A1 l’extension (ou la restriction) sur Hα, de l’opérateurA1, on a donc

A1 :Hα →Hα−1 ∀α ∈R, (3.1) où A1 l’opérateur non borné de H.

Introduisons, maintenant l’opérateur linéaire continu B1:U → H₋1 2, avec U un autre espace de Hilbert identifié à son dual.

On considère le système suivant, décrit par

w(t) +¨ A1w(t) +B1y(t) = 0, w(0) =w0, w(0) =˙ w1, t∈[0,∞), (3.2) y(t) =B₁^∗w(t), t˙ ∈[0,∞). (3.3)

Le système (3.2)-(3.3) est bien posé : Pour(w0, w1)∈H1

2

×H, le problème (3.2)-(3.3) admet une unique solution w∈C([0,∞);H¹

2

)∩C¹([0,∞);H)

telle queB₁^∗w(·)∈H¹(0, T;U). De plus,wsatisfait l’estimation de l’éner- gie, pour tout t≥0

k(w0, w1)k²_H1

2

×H − k(w(t),w(t))k˙ ²_H1

2

×H = 2 Z t

0

d

dtB₁^∗w(s)

2 U

. (3.4) De (3.4) on remarque que l’application t 7→ k(w(t),w(t))k˙ ²_H

1 2

×H est dé- croissante.

On considère le problème conservatif associé à (3.2)-(3.3) :

ϕ(t) +¨ A1ϕ(t) = 0, (3.5)

ϕ(0) =w0,ϕ(0) =˙ w1. (3.6) On sait bien que (3.5)-(3.6) est bien posé dans H1×H1

2 et dansH1 2 ×H.

On considère, maintenant l’opérateur linéaire non borné A_d:D(A_d)→H¹

2

×H, A_d=

0 I

−A₁ −B₁B₁^∗

, (3.7)

où

D(A_d) =ⁿ(u, v)∈H¹

2

×H, A1u+B1B₁^∗v∈H, v∈H¹

2

o.

Le résultat ci-dessous, voir [6], montre que sous une certaine hypothèse de régularité, la stabilité exponentielle est équivalente à une inégalité d’ob- servabilité forte et que la stabilité polynomiale est une conséquence de l’inégalité d’observabilité faible. Plus précisement, on a :

Théorème 3.1 (Ammari-Tucsnak [6]). On suppose que pourγ >0 on a sup

Reλ=γ

λB^∗₁(λ²I+A1)⁻¹B1

_L(U)<∞. (3.8) Alors les assertions suivantes, sont vérifiées :

(1) Il existe deux constante C, δ >0telles que pour tout t >0et pour tout (w⁰, w¹)∈H1

2

×H, on a k(w(t),w(t))k˙ _H1

2

×H ≤C e^−δt||(w⁰, w¹)||_H1

2

×H,

si et seulement si il existeT, C >0tels que :∀(w0, w1)∈H1×H1 2

, on a

B₁^∗ϕ⁰(t)_L2(0,T;U)≥C ||(w0, w1)||_H

1 2

×H, (3.9)

avec ϕ(t) est la solution du système (3.5)-(3.6).

(2) S’il existe T, C > 0 et α >−¹₂ tels que : ∀(w0, w1) ∈H1×H¹

2

, on a

B₁^∗ϕ⁰(t)_L2(0,T;U)≥C ||(w0, w1)||_H

−α×H_−α−1 2

, (3.10)

avec ϕ(t) est la solution de (3.5)-(3.6).

Alors il existe une constante C1 >0 telle que pour tout t > 0 et pour tout (w⁰, w¹)∈ D(A_d), on a

k(w(t),w(t))k˙ _H1

2

×H ≤ C1

(1 +t)^4α+21

||(w⁰, w¹)||_D(Ad). (3.11)

4. Démonstration du Théorème 1.1

4.1. Majoration de α_S(T) :

Dans cette partie on montre la première assertion du Théorème 1.1, pour ceci on a besoin du lemme suivant inspiré de [14] (voir aussi [4]), qui permet de caractériser l’espace ST.

Lemme 4.1. Soit v ∈ E0, alors v ∈ ST si et seulement si il existe une constante C_v >0 telle que pour toute donnée initiale u = (u⁰, u¹) ∈E0, la solution u du problème (1.3) satisfait

|hu, vi_E0| ≥C_v

∂[G(∂_tu)]

∂ν (., t) _L2(Γ

0×(0,T))

. On choisit donc δ, >0et on prend v∈G. On peut écrire

v(x, y) = ^X

n∈N^∗

e^−nb vⁿ(x, y), avec vⁿ(x, y) =Vⁿ(x) sin(n^y_b) et(kvⁿk_E0)_n∈l²(N^∗).

Soit T(, δ) = sup T1(, δ),2π√

a²+b². CommeT1(, δ)≤ _1+δ^C , pour suffisamment petit, alorsT(, δ)≤ ^C

^1+δ.

Pour tout u∈E0 etv= (0, v), on a

|hu, vi_E0|=

X

n∈N^∗

he^−nb uⁿ, vⁿi_E0 . Donc

|hu, vi_E0| ≤ ^X

n∈N^∗

e^−nbkuⁿk_E0kvⁿk_E0. (4.1) Comme∀ n∈N^∗, et∀uⁿ∈E₀ⁿ, on a

kuk²_E0 =ku¹k²_E0+ku²k²_E0. Alors, par la Proposition 2.2 et le Lemme 2.4

kuk²_E

0 ≤C_,δe^2nb Z bπ

0

Z T1(,δ)

−T1(,δ)

∂[G(∂tu)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy +C_T

Z bπ 0

Z T(ε,δ) 0

∂[G(∂_tu²)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy.

Par suite kuk²_E

0 ≤C_,δ⁰ e^2nb Z bπ

0

Z T(,δ)

−T(,δ)

∂[G(∂tu)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy +C_T

Z bπ 0

Z T(,δ) 0

∂[G(u⁰)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy +

Z bπ 0

Z T(,δ) 0

∂[G(u⁰¹)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy.

Ce qui implique kuk²_E

0 ≤C_,δ⁰ e^2nb Z bπ

0

Z T(,δ)

−T(,δ)

∂[G(u⁰)]

∂x (0, y, t)

2

dt dy+

CT

Z bπ 0

Z T(,δ) 0

∂[G(∂tu)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy+C⁰ku¹k²_E

0. Ainsi, la Proposition 2.2 entraîne que

kuk²_E

0 ≤C_,δ⁰⁰ e^2nb Z bπ

0

Z T(,δ)

−T(,δ)

∂[G(u⁰)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy.

Si on remplace cette inégalité dans (4.1), on trouve

|hu, vi_E0| ≤ C_,δ^{00 X}

n∈N^∗

s Z bπ

0

Z 2T(,δ) 0

∂[G(∂uⁿ/∂_t)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy

Vⁿ(x) sin(n by)

_E

0

≤C_,δ⁰⁰ v u u t

X

n∈N^∗

Z 1 0

Z 2T(,δ) 0

∂[G(∂uⁿ/∂t)]

∂x (0, y, t)

2

dtdy

× s

X

n∈N^∗

kVⁿ(x) sin(n by)k_E0

≤C_,δ⁰⁰ Cv

∂[G(u⁰ⁿ)]

∂ν _L2(Γ

0×(0,2T(,δ))

.

4.2. Minoration de α_S(T) :

Dans cette section, on reprend la démonstration du Théorème 1.2 dans [1] avec des modifications techniques liées à la géométrie du domaine.

Pour ceci, on utilise le fait que l’espace des données stabilisables ST est contenu dans l’espace des données contrôllables qu’on notera F_T. Donc, on va caractériser les espaces Xα etFT par ses images par l’opérateur B introduit par Lebeau dans [13],

Bf(x, y) :=

Z

e^{i(xa.ξ1+ybξ2)}f^b(ξ)e^−|ξ|dξ avec |ξ|=

qξ²₁ a² + ^ξ_b²₂².

On cherche alors l’espaceF_T des données initiales(u1(x), ∂_tu1)/_t=0pour lesquelles il existe une fonction g ∈ L²(Γ0) telle que la solution du pro- blème







∂_t²u1−∆u1= 0, Ω×(0,+∞), u=gχΓ0,

(u1, ∂tu1)/t=0 =u1

(4.2) satisfait

(u1, ∂tu1)/t=T = 0

Avant d’utiliser l’operateur B, on prolonge les solutions obtenues sur R² suivant les directions x, y.

Soit u1 la solution du problème précédent, on prolonge cette solution par antisymétrie en x∈[0,2aπ]et en y∈[0,2bπ]en posant

u2(aπ+x, y, t) =−u₂(aπ−x, y, t), u2(x, bπ+y, t) =−u₂(x, bπ−y, t).

On note par g le prolongement antisymétrique sur [0,2bπ]. On a alors le système suivant :







∂_t²u2−∆u2= 0, (0,2aπ)×(0,2bπ)×(0,+∞), u/x=0=g(y, t), u2/x=2aπ =−g(y, t),

(u2, ∂_tu2)/_t=T = 0.

(4.3) Enfin, on peut prendre l’extension périodique de u2 en x ∈R, notée P u.

P u satisfait alors :







∂_t²v−∆v= (2gδ⁰_x=0)∗(^Pδx=2akπ), avec g àsupport dans [0, T] (v, ∂tv)/t>T = 0.

(4.4) NotonsF_T l’espace engendré par(v, ∂_tv)_|t=0 où gest une distrubition sur R à support dans[0, T]et2bπ-périodique.

Tout élément de FT est un couple de fonctions qu’on les prolonge par antisymétrie et par périodicité comme ci-dessus. Ces fonctions rendues antisymétriques et périodiques sont contenues dans l’espace F_T. Alors F_T ⊂ F_T etP F_T ⊂ F_T.

Notons que pourβ >0les séries de Fourier des fonctions dans Xβ sont formellement les mêmes pour les fonctions prolongées par antisymétrie et par périodicité. On obtient donc

α_S(T)≥α_C(T) = inf{α∈R+; Xα ⊂F_T}.

On définit le domaine E_α ⊂ C² (indépendant de la partie réelle de ses variables), par :

(x, y)∈ E_α ⇔







−bα <Imy < bαet|Imx| ≤1

bα <Imy < bα+ 1 et (Imy−bα)²+|Imx|²<1 b−1α <Imy <−bαet (Imy +bα)²+|Imx|² <1.

On note R² 3(x, y)∈ RE_α si(ix, iy)∈ E_α.

On énonce, maintenant les deux lemmes joueant un rôle crucial dans la preuve de la minoration de l’analyticité α_S(T).

Lemme 4.2. Pour tout nombre réel α et tout couple (x0, y0) dans R² il existe une fonction v dansX0,α telle queBv∈ E_α et

Bv n’a pas de prolongement holomorphe en (x0, y0+i(bα+ 1)).

Lemme 4.3. Pour tout T > 0, il existe un ouvert Ω_T de C² connexe et contenant E0 sur lequel toute fonction de Bf se prolonge en une fonction holomorphe.

Pour ∈]0,1[, ce domaine contient les points (aπ, y1−i) avec : y1 =i

√ 2 2

1−T²+a² π²+ q

(T²−1−a² π²)²+ 4T^{2 1}₂

.

De ces deux lemmes, on déduit la minoration de α_S(T).

En effet, soit >0. Posons β:= ¹_b(Im y1−1−). Soit v la fonction de X_0,β donnée par le Lemme 4.2 pourx0=aπety0 = 0. Cette fonction n’a pas de prolongement holomorphe en (aπ, y1−i). Or, le Lemme 4.3 nous assure que toute fonction de Bf se prolonge en ce point pour 0< < 1.

Donc (v,0) ∈/ F_T. Par suite X_β 6⊂ F_T. En faisant tendre vers 0, on obtient

α_S(T)≥

√ 2 2b

1−T²+a²π² +

q

T⁴+ 2(1−a²π²)T²+ (1 +a²π²)^{2 1}₂

−

√2

b ≈ a²π² 2bT². 4.2.1. Démonstration du Lemme 4.2

Pour la démonstration de ce lemme on a besoin de quelques résultats techniques qu’on va les donner avec leurs démonstrations.

Pour (x0, y0)∈R², soitφ_α(n, k) := ⁿ_by0+^k_ax0−^qn_b2² +^k_a²₂ −αn.

Lemme 4.4. Pour tout réelα >0, pour toutβ <1, pour chaque0< α <

α⁰, et pour tout couple (x0, y0)∈ RE_bα⁰ tq |x0| ≤β, il existe une constante Cα−α⁰,β >0 telle que

∀(n, k)∈N^∗2, φα(n, k)≤ −C_α−α⁰_,β s

n² b² +k²

a².