3,0

(1)

Depuis le collège, vous êtes confrontés à la notion ( difficile ! ) des puissances d'un nombre.

D'après une légende, un roi proposa à l'inventeur du jeu d'échecs de choisir lui-même sa récompense.

" Donne moi deux grains de blé pour la première case, puis quatre pour la deuxième, puis huit pour la troisième, et seize pour la quatrième et ainsi de suite en doublant chaque fois jusqu'à la soixante quatrième case " répondit l'inventeur. Le roi trouva ce cadeau très modeste. En fait, rien que pour la soixante quatrième case, il faudrait un nombre de grains égal à 2⁶⁴ c'est à dire un nombre supérieur à 16 000 000 000 000 000 000 soit 16 × 10¹⁸. Cette quantité n'a pas pu être offerte par le roi !

Dans ce chapitre nous allons définir la notion d'exposants réels afin de pouvoir résoudre des problèmes de 1 ) placement à durée non entière

2 ) recherche de la raison d'une suite géométrique 3 ) calcul d'un taux d'évolution moyen

4 ) première terme d'une suite géométrique franchissant un seuil donné.

E1 Activité préparatoire.

N ° 1

1 ) Calculer 2⁰ ; 2¹ ; 2² ; 2³ et 2⁴ ( calculatrice interdite ) 2 ) Calculer 2^-1 ; 2^-2 ; 2^-3 ; et 2^-4 ( calculatrice interdite ) 3 ) Compléter l'égalité suivante :

pour tous les nombres entiers relatifs m et n, on a 2^m× 2ⁿ =

4 ) Placer dans le plan rapporté à un repère orthonormal les points de coordonnées ( n ; 2ⁿ ).

Avec − 4 ≤ n ≤ 4 et n entier.

5 ) A l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, compléter le tableau suivant.

( on arrondira à 0,01 près ).

x − 3,5 − 2,5 − 1,5 − 0,8 − 0,6 − 0,4 − 0,2 0,1 0,3 0,5 0,8 1,5 2,5 2,7 2^x

6 ) Compléter le tableau suivant

x 1,3^2,5 1,6^-3,2 0,3⁶¹ 5,4^0,7 6,9^-0,7

Valeur décimale de x arrondie à 0,1 près

y 2,5 ln ( 1,3 ) − 3,2 ln (1,6 )

Valeur décimale de y arrondie à 0,1 près Valeur décimale de ln ( x ) arrondie à 0,1 près

7 ) Recopier et compléter les phrases suivantes

soit a un nombre réel strictement positif et soit b un nombre réel quelconque alors a^b est le nombre réel strictement positif tel que ln ( a^b ) =

alors a^b est l'antécédent du nombre … par la fonction ln.

(2)

1 Définitions et propriétés.

Soit a un nombre réel strictement positif.

Soit b un nombre réel.

Alors a^b ( qui se lit : " a exposant b " ) est le nombre réel strictement positif tel que ln ( a^b ) = b ln ( a ).

Remarques

a^b est l'antécédent du nombre b ln ( a ) par la fonction ln. Dessin : voir feuille annexe.

Lorsque b = n avec n entier relatif, on retrouve la propriété : ln ( aⁿ ) = n ln ( a ).

Propriétés :

Soient a, a', b et b' quatre nombres réels avec a et a' des réels strictement positifs.

Alors 1^b = 1 a^b a^b'= a^b+b'

' b b

a

a = a^b-b'

a^-b = _b a

1

a^b a'^b = ( a a' )^b

b b

' a a

=

( )

_a^a_'^b

( a^b )^b' = a^bb'

E2 Savoir simplifier des écritures.

N ° 2

Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme a^b.

A ) 1,3^2,4 × 1,3^-6,8 B ) ⁷

5 × 1 0,1⁷¹ C )

( )

⁰^,⁹⁸^,⁷⁻²

D )

5 4 3

2 , 1

2 ,

1 E ) ₀_,₈

8 , 0

35 , 3

7 ,

6 F )

( )

5 5

8 , 0

10 8

(3)

E3 Savoir utiliser la notation scientifique.

N ° 3

Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme a × 10ⁿ où a est un nombre réel compris entre 1 et 10

et n est un nombre entier relatif.

A ) 1,2 × 10^-3,4× 5,5 × 10^-2,6× 10^-7

B )

2 2 9

10 8 









 ×

C )

5

6 , 6

4 , 3

10 8

10 2













×

× ⁻

E4 Placements à durée non entière.

N ° 4

1 ) Gwendoline place un capital de 10 000 € durant deux ans et sept mois à intérêts composés au taux annuel de 3,5 %.

A ) Démontrer que la durée de deux ans et sept mois correspond à une fraction d'année de 31 12 . B ) Calculer la valeur acquise par le capital de Gwendoline au bout des 2 ans et 7 mois.

2 ) Aurore place un capital de 15 000 € durant trois ans et quatre mois à intérêts composés au taux annuel t.

Sa valeur acquise au bout de 3 ans et 4 mois est égale à 17 095 €.

A ) A quelle fraction d'année correspond la durée 3 ans et 4 mois ? B ) Démontrer que le taux annuel t vérifie l'égalité

( )

¹+^t¹⁰³ = 17095

15000

C ) En déduire le taux annuel t ; on donnera sa valeur approchée à 10^-2 près sous forme de pourcentage.

2 Cas particulier de l'exposant 1 n .

Soit a un nombre réel strictement positif.

Soit n un nombre entier naturel non nul.

Alors l'équation xⁿ = a admet une seule solution dans l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ : le nombre a .ⁿ¹

Autrement dit l'ensemble des solutions de l'équation xⁿ = a est







 n 1

a

Démonstration : voir feuille annexe.

(4)

Exemple : résoudre l'équation x¹² = 0,66. Voir feuille annexe.

E5 Savoir résoudre des équations.

N ° 5

Résoudre dans l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ chacune des équations suivantes.

Dans le cas où la solution n'est pas un nombre décimal, donner la valeur arrondie à 10^-2 près.

A ) x⁹ = 12 B ) x¹⁸ = 0,1 C ) x⁴ = 2,56 D ) ( 1 + t )⁶ = 1,97 E ) ( 1 + t )¹² = 0,75 E6 Applications.

N ° 6

Le prix du litre d'essence sans plomb 95 a augmenté de 25 % en 7 ans.

Calculer le taux d'évolution annuel moyen du prix d'un litre d'essence sans plomb 95.

N ° 7

Soit ( u_n ) une suite géométrique de raison b positive telle que u₈ = 0,2 et u₁₃ = 625.

Calculer sa raison b.

3 Equations et inéquations.

Soient a et k deux nombres réels strictement positifs et tels que a ≠ 1.

Alors l'ensemble des solutions de l'équation a^x = k est







 ) a ln(

) k ln( .

Soient a et k deux nombres réels strictement positifs et tels que 0 < a < 1.

Alors l'ensemble des solutions de l'inéquation a^x < k est







 ;+∞

) a ln(

) k

ln( .

(5)

Soient a et k deux nombres réels strictement positifs et tels que a > 1.

Alors l'ensemble des solutions de l'inéquation a^x < k est





∞

− ln(a) ) k

;ln( .

Exemple : résoudre l'inéquation 1,1^x > 4. Voir feuille annexe.

E7 Savoir résoudre des équations.

N ° 8

Résoudre dans les équations suivantes

( on donnera la valeur exacte puis la valeur approchée de la solution à 10^-3près )

a ) 4^x = 7 b ) 0,5^x = 9 c )

( )

₃¹^x^{= 2} ^{d )} ⁶^x^{= 0,8}

E8 Savoir résoudre des inéquations.

N ° 9

Résoudre dans chacune des inéquation suivantes.

a ) 0,75^x > 0,5 b ) 3^x > 4 c ) 0,6^x < 0,3 d ) 0,8^x > 2,3 E9 Application : premier terme d'une suite géométrique franchissant un seuil donné.

N ° 10

Soit ( u_n ) la suite géométrique de raison b = 2,2 et de terme initial u₀ = 0,3.

Déterminer le premier terme de la suite qui est strictement supérieur à 10⁵. Donner la limite de la suite ( u_n ).

N ° 11

Soit ( v_n ) la suite géométrique de raison b = 2

3 et de premier terme v0 = 500.

Déterminer le premier terme de la suite qui est strictement inférieur à 1. Donner la limite de la suite ( v_n ).

E10 A la découverte du nombre e.

N ° 12

1. Tracer la courbe représentative de la fonction ln sur l'intervalle [ 1,5 ; 4 ] avec un pas de 0,1.

2. Résoudre graphiquement la solution de l'équation ln ( x ) = 1. Donner une valeur approchée à 10^-2. 3. Quelle est la valeur de ln ( e ) ? Déduire la valeur de ln ( e^k ) pour tout nombre réel k.

(6)

4 Le nombre e.

Définition

On note e le nombre défini par ln ( e ) = 1.

Autrement dit e est l'antécédent du nombre 1 par la fonction ln.

Sa valeur approchée à 10^-3 près est 2,718.

Propriété : pour tout nombre réel k, on a ln ( e^k ) = k.

Equation ln ( x ) = k.

Soit k un nombre réel. Alors pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [, on a ln ( x ) = k ⇔ x = e^k.

Inéquation ln ( x ) = k.

Soit k un nombre réel. Alors pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [, on a ln ( x ) < k ⇔ x < e^k.

Inéquation ln ( x ) > k.

Soit k un nombre réel. Alors pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [, on a ln ( x ) > k ⇔ x > e^k.

Démonstrations et exemples : voir feuille annexe.

E11 Savoir résoudre des équations du type ln ( x ) = k.

N ° 13

Résoudre dans ] 0 ; + ∞ [ chacune des équations suivantes ( donner les valeurs exactes puis les valeurs décimales arrondies à 10^-3 près des solutions ).

a ) ln ( x ) = 5

2 b ) ln ( x ) = − 7 c ) ln ( x ) = − 5 d ) ln ( x ) = 1. e ) ln ( x ) = e

N ° 14

Résoudre dans ] 0 ; + ∞ [ chacune des inéquations suivantes

a ) ln ( x ) < 3,4 b ) ln ( x ) > − 11 c ) ln ( x ) > 3 d ) ln ( x ) < − 1,21 e ) ln ( x ) < e.