Courbes B-splines

(1)

Cours de mathématiques

Chapitre 17

Courbes B-splines

Uneourbede Bézierest totalement modiéedès qu'ondéplaeun point de ontrle :on

dit quela méthode de Bézierest une méthode globale.

LesCourbesB-Splines 1

ontétédéniesdanslesannées70àtraversunalgorithmeeae

ar pyramidal (analogue à elui de De Casteljau) pour remédier à l'inonvénient de la

globalité : le déplaement d'un point de ontrle de laourbe n'aete ainsi plus qu'une

partielimitéede laourbe,equiamèneunplusgrandonfortdanslaoneptionassistée

par ordinateur.

La méthode B-Splineest don une méthode loale.

Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2011–2012

1. spline sepronone[splain℄,equiledistinguedespleen[spli:n℄(Wikipedia)

(2)

1.

Courbes B-Splines (Modèle de Riesenfeld, degré 2)

1.1.

Nature du problème

On donne

4

^points

P ₀

^,

P ₁

^,

P ₂

^et

P ₃

^.

On veut obenir deux ars de ourbes

C ₀

et

C ₁

.

C ₀

a pour représentation :

− − − − − − − −→

OM ₀ ( t ) = R ₀ ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R ₁ ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ₂ ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂

^.

C ₁

− − − − − − − −→

OM ₁ (t) = R ₀ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ₁ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R ₂ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

^.

R ₀

^,

R ₁

^et

R ₂

^sont ^des ^polynmes^de ^degré

2

^et

t

^est ^dans ^l'interv^alle

[0; 1]

^.

On impose lesontraintes suivantes :

1

^. ^Les ^ourbes

C ₀

et

C ₁

ne dépendent pas du repère hoisi.

tradution :

M ₀

^est ^le ^baryentre ^de

(P 0 , R ₀ ) (P 1 , R ₁ ) (P 2 , R ₂ )

^soit

R ₀ ( t ) + R ₁ ( t ) + R ₂ ( t ) = 1

^(en ^partiulier ^pour

t = 0) 2

^. ^Les ^ourbes

C ₀

et

C ₁

se raordent.

tradution :

− − − − − − − −→

OM ₀ (1) = ⁻ OM ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ (0)

^soit

R ₀ (1) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R ₁ (1) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ₂ (1) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ = R ₀ (0) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ₁ (0) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R ₂ (0) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

Après identiationdes oeients des veteurs, on obtient:

R ₀ (1) = 0 ; R ₁ (1) = R ₀ (0) ; R ₂ (1) = R ₁ (0) ; R ₂ (1) = 0 . 3

^. ^Les ^ourbes

C ₀

et

C ₁

ont mêmetangenteau pointde raordement.

tradution :

₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ _−→

OM ₀ (1) ′

= ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ _−→

OM ₁ (0) ′

soit

R ^′ ₀ (1) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R ^′ ₁ (1) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ^′ ₂ (1) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ = R ^′ ₀ (0) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ₁ ^′ (0) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R ^′ ₂ (0) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

Après identiationdes oeients des veteurs, on obtient:

R ^′ ₀ (1) = 0 ; R ^′ ₁ (1) = R ^′ ₀ (0) ; R ^′ ₂ (1) = R ₁ ^′ (0) ; R ^′ ₂ (1) = 0.

Les polynmes

R _i

^étant^de ^degré ^deux, ^on^a ^:







R ₀ (t) = a ₀ t ² + b ₀ t + c ₀ R ₁ (t) = a ₁ t ² + b ₁ t + c ₁ R ₂ ( t ) = a ₂ t ² + b ₂ t + c ₂

et par suite







R ^′ ₀ (t) = 2a 0 t + b ₀ R ^′ ₁ (t) = 2a 1 t + b ₁ R ^′ ₂ ( t ) = 2 a ₂ t + b ₂

En érivant les ontraintes i-dessus, on obtient un système de neuf équations à neuf

inonnues :







c ₀ + c ₁ + c ₂ = 1 ;

a ₀ + b ₀ + c ₀ = 0 ; a ₀ + b ₁ + c ₁ = c ₀ ; a ₂ + b ₂ + c ₂ = c ₁ ; c ₂ = 0 ; 2a 0 + b ₀ = 0 ; 2a 1 + b ₁ = b ₀ ; 2a 2 + b ₂ = b ₁ ; b ₂ = 0.

En résolvant e système,on obtient :

R ₀ (t) = t ²

2 − t + 1

2 ; R ₁ (t) = − t ² + t + 1

2

^et

R ₂ (t) = t ²

2 .

(3)

Un exemple de traé de ourbe en présenté plus loin.

Définition 1 :

La ourbe formée par

C ₀

et

C ₁

est la ourbe B-Spline obtenue ave

4

^points ^de

dénition

P ₀

^,

P ₁

^,

P ₂

^et

P ₃

^et ^les

3

^polynmes^de^Riesenfeld^du ^seond^degré.^On^les

note

R _0,2 (t); R _1,2 (t)

^et

R _2,2 (t).

1.2.

Ajout d'un point de dénition (degré 3)

Ajoutons

P ₄

^aux

4

^points ^préédents. Ôn â âlors ^deux possibilités: Soit on ajoute un ar :

On obtient alors trois ars

C ₀

,

C ₁

et

C ₂

;

C ₂

ayant pour points de dénition

P ₂

^,

P ₃

^et

P ₄

assoiés aux mêmes polynmes

R _0,2

^,

R _1,2

^et

R _2,2

^.

Si ondéplae

P ₀

^, ^seul ^l'ar

C ₀

est modié.

C ₁

et

C ₂

restentxes.

Si ondéplae

P ₁

^, ^les^ars

C ₀

et

C ₁

sont modiés.

C ₂

restent xes.

Le aratère loal voulu est bien obtenu.

Soit on augmente le nombre de points de dénition pour haun des ars :

Ave 5points de dénition, onpeut dénir

2

^ars

G ⁰

^et

G ¹

^dénis ^haun ^par

4

^points^de

dénition assoiés à 4 polynmes du troisièmedegré.

Pour

G 0 : ⁻ OM ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ (t) = Q ₀ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + Q ₁ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + Q ₂ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + Q ₃ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

^.

Pour

G ¹ : ⁻ OM ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ (t) = Q ₀ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + Q ₁ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + Q ₂ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃ + Q ₃ (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₄

^.

ave

Q ₀

^,

Q ₁

^,

Q ₂

^et

Q ₃

^polynmes^du ^troisième^degré.

En opérantde façonsimilaireà e qui a été fait en début de hapitre, ontrouve :



 

 

 

 

Q ₀ (t) = − ^t ₆ ³ + ^t ₂ ² − ₂ ^t + ¹ ₆ Q ₁ ( t ) = ^t ₂ ³ − t ² + ² ₃ Q ₂ (t) = − ^t ₂ ³ + ^t ₂ ² + ₂ ^t + ¹ ₆ Q ₃ ( t ) = ^t ₆ ³

Définition 2 : polynômes de Riesenfeld

Les polynmestrouvés sont dits polynmes de Riesenfeld de degré

3

^.

On les note

R _0,3 ( t ); R _1,3 ( t ); R _2,3 ( t )

^et

R _3,3 ( t ) .

Plus généralement, le i-ème polynme de Riesenfeld de degré

n

êst âlulé âve ^la

formule :

R _i,n (t) = (n + 1)

n−i

X

j=0

( − 1) ^j (t + n − i − j) ⁿ

j!(n + 1 − j)!

(4)

1.3.

Exemple

On onsidère lespointsde ontrle

P ₀ (1; 2)

^,

P ₁ (2; 0)

^,

P ₂ (3; 4)

^et

P ₃ (4; 1)

^.

Courbe B-spline (Modèle de Rieseneld de degré 2)

C ₀

− − − − − − − −→

OM ₀ (t) = R _0,2 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R _1,2 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R _2,2 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂

= ( t ²

2 − t + 1 2 )

1 2

+ ( − t ² + t + 1 2 )

2 0

+ t ²

2 3

4 =

t + ³ ₂ 3t ² − 2t + 1

C ₁

− − − − − − − −→

OM ₁ ( t ) = R _0,2 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R _1,2 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R _2,2 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

= ( t ²

2 − t + 1 2 )

2 0

+ ( − t ² + t + 1 2 )

3 4

+ t ²

2 4

1 =

t + ⁵ ₂

− ^7t ₂ ² + 4t + 2

Tableaudes variationsonjointes :

t x ^′ ₀ (t)

x ₀ (t)

y ₀ ( t )

y ₀ ^′ (t)

0 ¹ ₃ 1

+

3 2 3 2

5 2 5 2 1 3

11 6

11 2 3 2 3

22 − 0 +

t x ^′ ₁ (t)

x ₁ (t)

y ₁ ( t )

y ₁ ^′ (t)

0 ⁴ ₇ 1

+

5 2 5 2

7 2 7 2 4 7

43 14

22 22 7 22

7 5 2 5 2

+ 0 −

Traé de laourbe :

1 2 3 4

1 2 3 4 5

b b b

P ₀

P ₁ P ₂

P ₃

Remarques :

1

^.

x ₀ (t) = t + ³ ₂

y ₀ (t) = 3t ² − 2t + 1

^don

t = x ₀ − ³ ₂

y ₀ = 3(x 0 − ³ ₂ ) ² − 2(x 0 − ³ ₂ ) + 1 = 3x ² ₀ − 11x 0 + ⁴³ ₄

C'est l'équation d'uneparabole.

(5)

2

^. ^La ^ourbe ^B-Spline ^ne ^passe ^pas ^par ^les^points ^de ^dénition.

3

^.

C ₀

est la ourbe de Bézier de points de ontrle

M ₀ (0)

^,

P ₁

^et

M ₀ (1)

^et

C ₁

est la ourbe de Bézier de points de ontrle

M ₁ (0)

^,

P ₂

^et

M ₁ (1)

^. ^(Admis ^et ^seulement

vrai pour le degré

2

^, ^voir^la ^setion³ ^sur ^le ^lienêntre ^les ^modèles ên ⁿ ^de ôurs.)

En ajoutant le point

P 4 (1; 2)

^aux ^points ^dénis préédemment.

Soit on ajoute un ar : B-spline Riesenfeld de degré 2

C ₂

− − − − − − − −→

OM ₂ (t) = R _0,2 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R _1,2 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃ + R _2,2 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₄

= ( t ²

2 − t + 1 2 )

3 4

+ ( − t ² + t + 1 2 )

4 1

+ t ²

2 1

2 =

_−4t ² _+2t+7

4t ² −6t+5 2 2

Traé de laourbe :

1 2 3 4

1 2 3 4 5

b b b

P ₀

P ₁ P ₂

P ₃

Soit on augmente le nombre de points de dénition pour haun des ars :

B-spline Riesenfeld de degré 3

C ₀

− − − − − − − −→

OM ₀ (t) = R _0,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R _1,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R _2,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R _3,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

= ( − t ³ 6 + t ²

2 − t 2 + 1

6 ) 1

2 + ( t ³

2 − t ² + 2 3 )

2 0

+ ( − t ³ 2 + t ²

2 + t 2 + 1

6 ) 3

4 + t ³ 6

4 1

=

t + 2

−13t ³ +18t ² +6t+6 6

C ₁

− − − − − − − −→

OM ₁ ( t ) = R _0,3 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R _1,3 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R _2,3 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃ + R _3,3 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₄

= ( − t ³ 6 + t ²

2 − t 2 + 1

6 ) 2

0 + ( t ³

2 − t ² + 2 3 )

3 4

+ ( − t ³ 2 + t ²

2 + t 2 + 1

6 ) 4

1 + t ³ 6

1 2

=

_−2t ³ _+3t+9

11t ³ −21t 3 ² +3t+17 6

(6)

Traé de laourbe :

1 2 3 4

1 2 3 4 5

b b b

P ₀

P ₁ P ₂

P ₃

Remarque : On remarque que si les ourbes de degré 3 permettent de traer un point

doubleouunpointderebroussement,elleaugmenteependantlesvariationsdelaourbe.

On préfèreainsi utiliserautantque possible lespolynmesde Riesenfeldde degré 2.

2.

Courbes B-Splines (Modèle de Cox et de de Boor)

2.1.

Fontions B-splines

Définition 3 : Vecteur Noeud

On appelleveteur-n÷ud une suited'entiers naturels

(t 0 ; t ₁ ; · · · ; t _k )

^tels^que ^:

t ₀ = 0

^et

soit

t _i+1 = t _i + 1 ;

soit

t _i+1 = t _i .

Chaque nombre

t _i

^est ^un ^n÷ud.

Exemples :

(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4)

^est ^un ^veteur ^n÷ud ^sans ^répétition ^(n÷ud ^simple).

(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3)

^. ^On ^peut ^avoir ^des ^n÷uds ^multiples.

0

^est ^un ^n÷ud ^triple

et

3

^est ^double.

(1 , 2 , 2 , 3)

^n'est ^pas ^un veteur-n÷ud ar

t ₀ 6 = 0

^.

(0, 1, 1, 3, 4)

^n'est ^pas ^un veteur-n÷ud ar

t ₃ = t ₂ + 2

^.

Définition 4 : Fonctions B-Splines

Le veteur-n÷ud

(t ₀ ; t ₁ ; · · · ; t _k )

^étant ^hoisis, ^les ^fontion ^Splines ^ou ^B-Splines

N ^(i,m)

^de ^degré

m

^assoiés ^à ^e ^veteur ^n÷ud ^sont ^dénies ^sur ^R ^par ^:

N (i,0) (t) =

1

^si

t _i 6 t < t _i+1 ; 0

^sinon.

et pour

m = 1; 2; 3 · · · : N (i,m) (t) = t − t _i

t _i+m − t _i N (i,m −1) (t)+ t _i+m+1 − t

t _i+m+1 − t _i+1 N (i+1,m −1) (t)

Paronvention, siundes dénominateursestnul,onannuleletermeorrespondant.

(7)

Remarque : La dénition des fontions B-splines pour

m = 0

^implique ^que ^toutes ^les

fontions B-splines sont nulles sur

] − ∞ ; 0]

^et ^sur

[

^dernier ^noeud

; + ∞ [

^.

C'estunedénitionréursiveàdoubleindiequiimposeunalultriangulairedéroissant.

Dans la pratique, on inverse le proédé et on alule le maximum de fontions B-spline

pour

m = 0

^avant ^de ^faire ^elle ^pour

m = 1

^et ^ainsi ^de ^suite ^dans ^l'ordre ^roissant ^de

m

^.

(voirl'exemple i-dessous pour mieux omprendre).

Exemple : Soit le n÷ud

(0 ; 1 ; 2 ; 3)

^.

On a

t ₀ = 0

^,

t ₁ = 1

^,

t ₂ = 2

^et

t ₃ = 3 .

Déterminons lesfontions B-Splines assoiées à e n÷ud:

• m = 0

^(Degré

0

⁾^:

i = 0 N ^0,0 (t) =

1

^si

0 6 t < 1 ; 0

^sinon.

1 − 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

b b

i = 1 N 1,0 (t) =

1

^si

1 6 t < 2 ; 0

^sinon.

1 − 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

b b

i = 2 N 2,0 (t) =

1

^si

2 6 t < 3 ; 0

^sinon.

1 − 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

b b

i > 3

Pour déterminer

N 3,0 ( t )

^,^il ^faut^onnaitre

t ₄

^qui ^n'existe ^pas. ^Le^problème ^est ^similaire

pour

N ^4,0 (t)

^,

· · ·

^Pour ê ^veteur ^noeud, îl^n'y â ^don ^que ^trois ^fontions^B-splines

de degré 0,

N 0,0 (t)

^,

N 1,0 (t)

^et

N 2,0 (t)

^.

• m = 1

^(Degré ¹⁾^:



 



 



N (0,1) (t) = t − t ₀

t ₁ − t ₀ N (0,0) (t) + t ₂ − t

t ₂ − t ₁ N (1,0) (t) = t × N (0,0) (t) + (2 − t) × N (1,0) (t) N ^(1,1) (t) = t − t ₁

t ₂ − t ₁ N ^(1,0) (t) + t ₃ − t

t ₃ − t ₂ N ^(2,0) (t) = (t − 1) × N ^(1,0) (t) + (3 − t) × N ^(2,0) (t) N ^(2,1) (t) = t − t ₂

t ₃ − t ₂ N ^(2,0) (t) + t ₄ − t

t ₄ − t ₃ N ^(3,0) (t) · · ·

^mais ^on^ne ^onnaitⁿⁱ

t ₄

^, ⁿⁱ

N ^(3,0) (t).

Pour e veteur noeud, il n'y aque deux fontions B-splines de degré1

t N ^(0,0) (t) N (1,0) ( t ) N ^(0,1) (t)

0 1 2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 t 2-t 0

t N ^(1,0) (t) N (2,0) ( t ) N ^(1,1) (t)

1 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 t-1 3-t 0

1 − 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

1 − 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

(8)

• m = 2

^(Degré ²⁾^:



 

 

 

 

N ^(0,2) (t) = t − t ₀

t ₂ − t ₀ N ^(0,1) (t) + t ₃ − t

t ₃ − t ₁ N ^(1,1) (t) = t

2 × N ^(0,1) (t) + 3 − t

2 × N ^(1,1) (t)

Le alul de

N (1,2)

^fait^intervenir

t _i+m+1 = t ₁₊₂₊₁ = t ₄

^et

N (2,1)

^qui ^n'existent ^pas.

Pour e veteur noeud, il n'y aqu'une fontion B-spline de degré

2

^.

t

N (0,1) (t) N (1,1) (t) N (0,2) (t)

0 1 2 3

0 t 2 − t 0 0

0 0 t − 1 3 − t 0

0 ^t ₂ ² − t ² + 3 t − ³ ₂ ⁽³⁻ ₂ ^t) ² 0

1 − 1 1 2 3 4 5

•

^Pour ê ^veteur ^noeud, îl ^n'yâ ^pas ^de ^fontion ^B-spline ^de ^degré ^3.

2.2.

Courbes B-splines

Définition 5 : B-Splines, modèles de Cox et de de Boor

On dénit une ourbe B-Spline assoiée à

n + 1

^points ^de ^ontrle

P ₀

^,

P ₁

^,

· · · P _n

de la façon suivante :

− − − − − − − →

OM =

i=n

X

i=0

N ^(i,m) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^→ _i .

ave

N (i,m)

^de ^degré

m

^qui ^dépend ^du ^veteur ^n÷ud ^hoisi.

Exemple : On hoisit leveteur n÷ud

(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3)

^.

On prendles 5pointsde ontrle

P ₀ (1; 0)

^,

P ₁ (4; 2)

^,

P ₂ (2; 4)

^,

P ₃ (0; 4)

^et

P ₄ ( − 4; 4)

^.

Les 5fontions de B-Splines de degré

2

^sont ^:

t

N (0,2) (t) N ^(1,2) (t) N (2,2) (t) N ^(3,2) (t) N (4,2) ( t )

−∞ 0 1 2 3 + ∞

0 (1 − t) 0 0 0

0 ¹ ₂ t(4 − 3t) ¹ ₂ (t − 2) ² 0 0

0 ^t ₂ ² − t ² + 3t − ³ ₂ ^(t ⁻³⁾ ₂ ² 0

0 0 ¹ ₂ (t − 1) ² ¹ ₂ (3 − t)(3t − 5) 0

0 0 0 (t − 2) 0

(9)

La ourbe B-Spline assoiées àe veteur-n÷ud et es points de ontrle est :

− − − − − − − →

OM =

i=4

X

i=0

N (i,2)

− − − − − − →

OP _i .

•

^sur

] − ∞ ; 0]

^et ^sur

[3 ; + ∞ [

^,^la ^ourbe ^B-Spline ^est ^nulle.

•

^sur

[0; 1]

^:

− − − − − − − →

OM (t) = N (0,2)

− − − − − −→

OP ₀ + N (1,2)

− − − − − −→

OP ₁ + N (2,2)

− − − − − −→

OP ₂ + N (3,2)

− − − − − −→

OP ₃ + N (4,2)

− − − − − −→

OP ₄

= (t ² − 2t + 1) × 1

0 + ( − 3t ²

2 + 2t) × 4

2 + t ² 2 ×

2 4

+ 0 × 0

4 + 0 × − 4

4 =

− 4 t ² + 6 t + 1

− t ² + 4 t

•

^sur

[1; 2]

^:

− − − − − − − →

OM ( t ) = N (0,2)

− − − − − −→

OP ₀ + N (1,2)

− − − − − −→

OP ₁ + N (2,2)

− − − − − −→

OP ₂ + N (3,2)

− − − − − −→

OP ₃ + + N (4,2)

− − − − − −→

OP ₄

= 0 × 1

0 + ( t ²

2 − 2 t + 2) × 4

2 + ( − t ² + 3 t − 3 2 ) ×

2 4

+ · · ·

· · · ( t ²

2 − t + 1 2 ) ×

0 4

+ 0 ×

− 4 4

=

− 2t + 5

− t ² + 4t

•

^sur

[2; 3]

^:

− − − − − − − →

OM (t) = N ^(0,2) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + N ^(1,2) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + N ^(2,2) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + N ^(3,2) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃ + + N ^(4,2) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₄

= 0 × 1

0 + 0 × 4

2 + ( t ²

2 − 3t + 9 2 ) ×

2 4

+ · · ·

· · · ( − 3 t ²

2 + 7 t − 15 2 ) ×

0 4

+ ( t ² − 4 t + 4) × − 4

4 =

− 3t ² + 10t − 7 4

La ourbe B-Spline est obtenue en traant haundes trois moreauxde parabole.

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

P ₀

P ₁ P ₂

P ₃ P ₄

b b

b

Remarques :

(10)

•

^Longueur ^du ^veteur ^noeud ^à ^hoisir ^:

Sil'ona5pointsde ontrleetquel'onsouhaiteuneourbeB-splines de degré2,alors

il faut déterminer les fontions B-splines

N ^(0,2)

^,

N ^(1,2)

^,

· · ·

^,

N ^(4,2)

^. ^Le ^alul ^de ^ette

dernière fontion fait intervenir le noeud

t _i+m+1 = t ₄₊₂₊₁ = t ₇

^e ^qui ^implique ^que ^le

veteurnoeud hoisis doit être au moinsde longueur

i + m + 2 = 8

^(de

t ₀

^à

t ₇

^).

Plus généralement,pour aluler

N ^(i,m)

^,îl^fautûn ^veteur^noeud ^de ^longueur âu^moins

i + m + 2

êt ^pour ûne ôurbe ^B-spline îl ^faut ûn ^veteur ^noeud ^de ^longueur âu ^moins

nbre points + degré + 1.

•

^Caratère ^loal ^:

Ledénitionréursivede

N (i,m)

împlique^queêtte^fontionêst^nulle^sauf^sur

[ t _i ; t _i+m+1 ]

^.

Enonséquene, siondéplae

P _i

^on^ne ^modie ^que^la^partie^de ^la^ourbe ^pour ^laquelle

t ∈ [t i ; t _i+m+1 ]

^donônâ^bienûne^modiation^loale^de ^laôurbe.^Plus généralement,

siledegrédes fontionsB-splines est

m

^alors ^le^déplaement^d'un^point^ne^modie^que

m + 1

^segments^de ^la^ourbe.

•

^N÷ud ^multiple ^:

L'insertion de n÷ud permet d'introduire plus de dégrés de liberté dans la ourbe.

Chaque n÷ud inséré représente un point de ontrle supplementaire. L'insertion de

n÷ud oredon plus de exibilitépour ledesign des ourbesde B-spline.

3.

Lien entre les modèles

3.1.

Courbes de Bezier et polynmes de Riesenfeld

Théorème 1 (admis) :

la ourbe de Bézier dont les points de ontrle sont

P ₁

^,

P ₂

^,

P ₃

^et

P ₄

^est ^en ^fait ^la

ourbe B-spline (modèle de Riesenfeld) de degré 3 dont les points de ontrle

P ₁ ^′

^,

P ₂ ^′

^,

P ₃ ^′

^et

P ₄ ^′

^sont ^alulés^de ^la ^manière ^suivante. ^Si ^les^oordonnées ^des ^points

P ₁

^,

P ₂

^,

P ₃

^et

P ₄

^sont

(x 1 ; y ₁ )

^,

(x 2 ; y ₂ )

^,

(x 3 ; y ₃ )

^et

(x 4 ; y ₄ )

^, ^alors^les^oordonnées

(x ^′ ₁ ; y ₁ ^′ )

^,

(x ^′ ₂ ; y ₂ ^′ )

^,

(x ^′ ₃ ; y ₃ ^′ )

^et

(x ^′ ₄ ; y ₄ ^′ )

^des ^points

P ₁ ^′

^,

P ₂ ^′

^,

P ₃ ^′

^et

P ₄ ^′

^sont^données^par ^les^formules

suivantespourlespremièresoordonnées etdesformules similaires pourlaseonde.

Passage de Bezierà Riesenfeld :

x ^′ ₁ = 6x 1 − 7x 2 + 2x 3

x ^′ ₂ = 2x 2 − x ₃ x ^′ ₃ = − x ₂ + 2x 3

x ^′ ₄ = 2x 2 − 7x 3 + 6x 4

Passage de Riesenfeldà Bezier:

x ₁ = 1

6 (x ^′ ₁ + 4x ^′ ₂ + x ^′ ₃ ) x ₂ = 1

6 (4x ^′ ₂ + 2x ^′ ₃ ) x ₃ = 1

6 (2 x ^′ ₂ + 4 x ^′ ₃ ) x ₄ = 1

6 ( x ^′ ₂ + 4 x ^′ ₃ + x ^′ ₄ )

Exemple:Ononsidèrelesquatrepointsdeontrle

P ₀ (0; 0)

^,

P ₁ (1; 2)

^,

P ₂ (2; 0)

^et

P ₃ ( − 1; 0)

^.

Courbe de Béziers

(11)

Il y a quatre pointsde ontrle don onutilise les polynmes de Berstein de degré3.

− − − − − − − →

OM ( t ) =

i=3

X

i=0

B i,3 ( t ) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^→ _i

= B ^0,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + B ^1,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + B ^2,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + B ^3,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

= (1 − 3t + 3t ² + t ³ ) 0

0 + (3t − 6t ² + 3t ³ ) 1

2 + (3t ² − 3t ³ ) 2

0 + (t ³ ) − 1

0 =

− 4 t ³ + 3 t 6t ³ − 12t ² + 6t

Courbe B-spline (modèle de Riesenfeld)

Les points de ontrle de la ourbe B-spline ont pour oordonnées :

x ^′ ₁ = 6x 1 − 7x 2 + 2x 3 = − 3 x ^′ ₂ = 2x 2 − x ₃ = 0

x ^′ ₃ = − x ₂ + 2x 3 = 3

x ^′ ₄ = 2x ₂ − 7x ₃ + 6x ₄ = − 18

y ^′ ₁ = 6y 1 − 7y 2 + 2y 3 = − 14 y ^′ ₂ = 2y 2 − y ₃ = 4

y ^′ ₃ = − y ₂ + 2y 3 = − 2 y ^′ ₄ = 2y ₂ − 7y ₃ + 6y ₄ = 4

LaourbeB-spline(modèledeRiesenfeld)orrespondantauxpointsdeontrole

P ₀ ( − 3; − 14)

^,

P ₁ (0; 4)

^,

P ₂ (3; − 2)

^et

P ₃ ( − 18; 4)

^a ^pour ^équation

− − − − − − − →

OM (t) = R _0,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R _1,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R _2,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂ + R _3,3 (t) ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₃

= ( − t ³ 6 + t ²

2 − t 2 + 1

6 ) − 3

− 14

+ ( t ³

2 − t ² + 2 3 )

0 4

+ · · ·

· · · + ( − t ³ 2 + t ²

2 + t 2 + 1

6 ) 3

− 2

+ ( t ³ 6 )

− 18 4

=

− 4t ³ + 3t 6 t ³ − 12 t ² + 6 t

Les équations sont bien identiques don lesourbes sont bien les mêmes.

3.2.

Fontion B-Splines et polynmes de Riesenfeld

Théorème 2 (admis) :

On démontre que lorsque les n÷uds sont simples, on retrouve la dénition donnée

à l'aide des polynmes de Riesenfeld.

Exemple : On onsidère leveteur n÷ud

(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5)

^.

Les fontions B-Splinesde degré

2

^sont ^alors ^:

t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[

N ^(0,2) ¹ ₂ t ² − t ² + 3t − ³ ₂ ¹ ₂ (t − 3) ² 0 0

N (1,2) 0 ¹ ₂ (t − 1) ² − t ² + 5t − ¹¹ ₂ ¹ ₂ (t − 4) ² 0

N (2,2) 0 0 ¹ ₂ ( t − 2) ² − t ² + 7 t − ²³ ₂ ¹ ₂ ( t − 5) ²

(12)

Seul le as de

N (0,2) ( t )

^est ^détaillé.^Pour

N (1,2) ( t )

^et

N (2,2) ( t )

^les^aluls ^sontsimilaires.

On a

N ^(0,2) (t) =



 



 



t ²

2

^pour

t ∈ [0; 1[

− t ² + 3t − ³ ₂

^pour

t ∈ [1; 2[

(3−t) ²

2

^pour

t ∈ [2; 3[

On pose

t = 1 − u

^. ^Pour

t ∈ [0; 1[

^,^on ^a

u ∈ [0; 1[

^et

N (0,2) (1 − u ) = ⁽¹ ⁻ ₂ ^u) ² = ^u ₂ ² − u + ¹ ₂

^.

Onpose

t = 2 − u

^.^Pour

t ∈ [1; 2[

^,^on^a

u ∈ [0; 1[

^et

N (0,2) (2 − u) = − (2 − u) ² +3(2 − u) − ³ ₂ =

− u ² + u + ¹ ₂

^.

On pose

t = 3 − u

^. ^Pour

t ∈ [2; 3[

^,^on ^a

u ∈ [0; 1[

^et

N (0,2) (3 − u ) = ^u ₂ ²

^.

On retrouve lespolynomes de Riesenfeldde degré2 :

R ₀

^,

R ₁

^et

R ₂

^.

Attention, onne fait que retrouver les polynmes de Reisenfeld. Cela ne signie pas que

l'on a la mêmeourbe.En eet, on a:

t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[

N ^(0,2) R ₀ R ₁ R ₂ 0 0

N (1,2) 0 R ₀ R ₁ R ₂ 0

N ^(2,2) 0 0 R ₀ R ₁ R ₂

don

t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[

N (0,2) × P ₀ R ₀ × P ₀ R ₁ × P ₀ R ₂ × P ₀ 0 0

N (1,2) × P ₁ 0 R ₀ × P ₁ R ₁ × P ₁ R ₂ × P ₁ 0

N (2,2) × P ₂ 0 0 R ₀ × P ₂ R ₁ × P ₂ R ₂ × P ₂

− − − − −→

OM ( t ) R ₀ × P ₀ R ₁ × P ₀ + R ₀ × P ₁ R ₂ × P ₀ + R ₁ × P ₁ + R ₀ × P ₂ R ₂ × P ₁ + R ₁ × P ₂ R ₂ × P ₂

alors qu'ave Riesenfeld,on a:

− − − − − − − →

OM (t) = R ₀ ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₀ + R ₁ ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₁ + R ₂ ⁻ OP ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^−→ ₂

Remarque: Cerésultat,valable uniquementdansleas de n÷udsimple,permet,àpartir

des polynomesdeRiesenfeld,d'obtenirlesfontionsB-splinessanspasserpar lesformules

réursives.

3.3.

Courbes B-Spline et ourbes de Bezier

Il y a un lien dans ertainsas entre lesourbesB-Splines et lesourbesde Bezier.

On ne verra iiqu'un exemple dans le as

m = 2

^. ^Leâs ^généralêst ^plus ômpliqué.

On hoisit un veteurn÷uddontlesn÷uds extrêmesontun ordre de multipliitéégale à

m + 1 = 3

^.^Par ^exemple, ^le^veteur ^n÷ud

(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3)

^.

On hoisit les5 points de ontrle

P ₀ (1; 0)

^,

P ₁ (4; 2)

^,

P ₂ (2; 4)

^,

P ₃ (0; 4)

^et

P ₄ ( − 4; 4)

^.

La ourbe a été dénieet traée préédemment (voirplus haut).

On remarqueque :

•

^Pour

t = 0

^,^on^a

M (0) = P ₀

^et

₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ _→ OM ′

(0) = 6

4 = 2 ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ₀ ⁻ ⁻ P ⁻ ^→ ₁ .

(13)

•

^Pour

t = 3

^,^on^a

M (3) = P ₄

^et

₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ _→ OM ′

(3) = − 8

4 = 2 ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ₃ ⁻ ⁻ P ⁻ ^→ ₄ .

On retrouve lespropriétés des ourbes de Bézier.

4. Exeries

4.1. Modèle de Riesenfeld

17.1

^On ^onsidère ^les^polynmes ^de ^Rieseneld ^de ^degré ^2.

On onsidère lespoints

P ₀ (0; 0)

^,

P ₁ (0; 2)

^,

P ₂ (2; 2)

^,

P ₃ (4; 4)

^et

P ₄ (6; 0)

^.

1

^.

a

^. ^Déterminer ^une représentation paramétrique du premier ar de ourbe déter- miné par

P ₀

^,

P ₁

^et

P ₂

^, ^soit

x = f ₀ ( t ) y = g ₀ (t)

b

^. ^Déterminer^une représentation paramétriquedu deuxièmearde ourbedéter- miné par

P ₁

^,

P ₂

^et

P ₃

^, ^soit

x = f ₁ ( t ) y = g ₁ ( t )

c

^. ^Déterminer^unereprésentationparamétriquedu troisièmearde ourbedéter- miné par

P ₂

^,

P ₃

^et

P ₄

^, ^soit

x = f ₂ (t) y = g ₂ (t)

2

^. ^Établir ^les^trois ^tableaux^des ^variations^onjointes ^de

f ₀

^et

g ₀

^,^puis

f ₁

^et

g ₁

^et ^enn

f ₂

^et

g ₂

^.

3

^. ^Construire ^les ^trois ^ars ^de ^ourbe.

17.2

^On ^onsidère ^les^polynmes ^de ^Rieseneld ^de ^degré ^3.

On onsidère lespoints

P ₀ (0; 0)

^,

P ₁ (0; 2)

^,

P ₂ (2; 2)

^,

P ₃ (4; 4)

^et

P ₄ (6; 0)

^.

1

^.

a

^. ^Déterminer ^une représentation paramétrique du premier ar de ourbe déter- miné par

P ₀

^,

P ₁

^,

P ₂

^et

P ₃

^, ^soit

x = f ₀ (t) y = g ₀ (t)

b

^. ^Déterminer^une représentation paramétriquedu deuxièmearde ourbedéter- miné par

P ₁

^,

P ₂

^,

P ₃

^et

P ₄

^, ^soit

x = f ₁ ( t ) y = g ₁ (t)

2

^. ^Établir ^les^deux ^tableaux ^des ^variations^onjointes ^de

f ₀

^et

g ₀

^, ^puis ^de

f ₁

^et

g ₁

^.

3

^. ^Construire ^les ^deux ^ars ^de ^ourbe.

4.2.

Modèle de Cox et de de Boor

17.3

^On ^onsidère ^leveteur-n÷ud

(0 ; 1 ; 1 ; 2)

^.

1

^. ^Déterminer ^sur l'intervalle

[0; 3[

^les ^fontions ^B-Splines

N (0,0)

^,

N (1,0)

^,

N (2,0)

^,

N (0,1)

^,

N (1,1)

^et

N (0,2)

^.

2

^. ^Pour ^haune ^des ^es ^fontions ^:

a

^. ^T^raer ^sareprésentation graphique.

b

^. ^Préiser^si êlleêst ôntinue, ^dérivâble.

(14)

17.4

^On ^onsidère ^le^veteur ^n÷ud

(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5)

^.

2

^sont ^alors ^:

t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[

N (0,2) 1

2 t ² − t ² + 3t − ³ ₂ ¹ ₂ (t − 3) ² 0 0

N ^(1,2) 0 ¹ ₂ (t − 1) ² − t ² + 5t − ¹¹ ₂ ¹ ₂ (t − 4) ² 0

N (2,2) 0 0 ¹ ₂ (t − 2) ² − t ² + 7t − ²³ ₂ ¹ ₂ (t − 5) ²

Soit

C

laourbeB-Splinedénieparlestroispointsdeontrle

P ₀ (1; 2)

^,

P ₁ (3; 0)

^,

P ₂ (1; − 1)

^.

1

^. ^Donner ^lareprésentationparamétriquede

C

sur haundes intervalles

[0; 1[

^;

[1; 2[

^;

[2; 3[

^;

[3; 4[

^et

[4; 5[

^.

2

^. ^Dresser ^le^tableau ^des ^variations^onjointes ^de

x

^et

y

^sur

[0; 5[

^.

3

^. ^T^raer ^la ^ourbe

C

.

17.5

^On^donne^les^points^de^ontrle

P ₀ (0; 0)

^,

P ₁ (1; 0)

^,

P ₂ (1; 1)

^et

P ₃ (0; 1)

^.^Soit^le^veteur

n÷ud

(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2)

^.

2

^sont ^alors ^:

t [0; 1[ [1; 2[

N (0,2) ( t − 1) ² 0

N (1,2) − ³ ₂ t ² + 2t ¹ ₂ (t − 2) ²

N (2,2) 1

2 t ² − ³ ₂ t ² + 4 t − 2

N (3,2) 0 (t − 1) ²

1

^. ^Donner ^une représentation paramétrique pour

t ∈ [0; 1[

^et

t ∈ [1; 2[

^de ^la ^ourbe ^de

B-Spline assoiée aux pointsde ontrle etau veteur-n÷ud donnés i-dessus.

2

^. ^Dresser ^le^tableau ^des ^variations^onjointes ^de

x

^et

y

^sur

[0; 2[

^.

3

^. ^T^raer ^la ^ourbe

C

.

17.6

^On ^onsidère ^le^veteur ^n÷ud

(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3)

^.

On donnele tableausuivant :

t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[

N ^(0,1) 0 0 0

N (1,1) 1 − t 0 0

N (2,1) t 2 − t 0

N (3,1) 0 t − 1 3 − t

N ^(4,1) 0 0 t − 2

N (0,2) (1 − t) ² 0 0

N (1,2) 1

2 t (4 − 3 t ) ¹ ₂ ( t − 2) ² 0

N (2,2) 1

2 t ² − t ² + 3 t − ³ ₂ ¹ ₂ ( t − 3) ² N ^(3,2)

N (4,2) 0 0 (t − 2) ²

1

^. ^À ^l'aide ^de ^la^formule^de ^réurene ^dénissant^les ^fontion ^B-Splines, ^donner

N (3,2)

sur lesintervalles

[0; 1[

^;

[1; 2[

^et

[2; 3[

^.

2

^. ^Soit ^les

5

^points

P ₀ (1; 0)

^,

P ₁ (4; 2)

^,

P ₂ (2; 4)

^,

P ₃ (0; 2)

^et

P ₄ ( − 4; 4)

^.

a

^. ^Donner ^une représentation paramétrique de la ourbe de B-Spline de degré

2

assoiée aux pointsde ontrle et auveteur-n÷ud donnési-dessus.

(15)

b

^. ^Dresser ^le ^tableau^des ^variations^onjointes ^de

x

^et

y

^sur

[0; 3[

^.

c

^. ^T^raer ^la ^ourbe.

d

^. ^Vérier ^que^:

• M (1)

^est^le^milieu^de

[ P ₁ P ₂ ]

^et^que

( P ₁ P ₂ )

êst ^tangente^à^laôurbeên

M (1)

^;

• M (2)

^est^le^milieu^de

[ P ₂ P ₃ ]

^et^que

( P ₂ P ₃ )

êst ^tangente^à^laôurbeên

M (2)

^;

• (P 0 P ₁ )

êst ^tangente^à ^la ôurbe ên

P ₀

^et

(P 3 P ₄ )

êst ^tangente ^à^la ôurbe ên

P ₄

^.

3

^. ^On ^onserve ^les^points

P ₀

^,

P ₁

^,

P ₂

^et

P ₄

^et ^on^prend

P ₃ ^′ (0; 6)

^à ^la^plae ^de

P ₃

^.

a

^. ^Démontrer ^que^le^moreau ^de ^la^ourbe ^B-Spline orrespondantà

t ∈ [1; 2[

^est

alors un segment d'une droite dont ondonnera l'équation.

b

^. ^Quel âr ^de ôurbe êst înhangé^par ^rapport ^àêlle ^de ^la^question ^2.^?

c

^. ^F^aire ^le ^tableau^des ^variations ^de ^la représentation paramétrique de laourbe pour

t ∈ [2; 3[

^.

d

^. ^T^raer ^la ^ourbe^dans ^le^même ^repère.

4.3. Annales

17.7

^Frane ²⁰⁰⁹ ^CPI

Le plan est muni d'un repère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^où^l'unité ^graphique ^est ²entimètres.

On se propose de onstruire la ourbe B-spline obtenue à partir de quatre points de

dénition

P ₁ , P ₂ , P ₃

^et

P ₄

^et^de ^trois ^polynmes ^de ^Riesenfeld ^du ^seond ^degré.

Les quatre points sontdonnés par leurs oordonnées dans le repère

(O; ~

i

,~

^j

)

^.

P ₁ (0 ; 3) , P ₂ (1 ; − 2) , P ₃ (4 ; 3)

^et

P ₄ (2 ; 5) .

La ourbe B-spline herhée est laréunion de deux ars de ourbe

C ¹

^et

C ²

^.

A. Détermination d'une représentation paramétrique de l'ar de ourbe

C ₁ 1

^. ^On^rappelle^que^les^polynmes^de^Riesenfeld

R _i

^de^degré^2,^pour

i

^prenant^les^valeurs

0, 1ou 2,sont dénis pour tout

t

appartenant à

[0 ; 1]

^par ^:

R _i (t) = 3

j=2 − i

X

j=0

( − 1) ^j (t + 2 − i − j) ² j !(3 − j)! .

Démontrer que, pour tout

t

^de

[0 ; 1] , R ₀ ( t ) = t ²

2 − t + 1 2 . 2

^. ^L'ar ^de ^ourbe

C 1

^est ^l'ensemble^des ^points

M ₁ ( t )

^tels ^que ^:

− − − − − − − − − − − − − − −→

O

M ₁ ( t ) = R ₀ ( t ) ⁻

^O

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ₁ ⁻ ⁻ ( ^−→ t ) + R ₁ ( t ) ⁻

^O

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ₂ ⁻ ⁻ ( ^−→ t ) + R ₂ ( t ) ⁻

^O

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ₃ ⁻ ⁻ ⁻ ( ^−→ t ) .

On admet que pour tout

t

^de

[0 ; 1] : R ₁ (t) = − t ² + t + 1

2

^et

R ₂ (t) = 1 2 t ²

^.

Démontrer que l'ar de ourbe

C ¹

^est ^déni ^par ^la représentation paramétrique :



 

 

x = f ₁ (t) = t ² + t + 1 2 y = g ₁ (t) = 5t ² − 5t + 1

2

où

t

^appartient ^à ^l'interv^alle

[0 ; 1].

(16)

B. Étude de variations et onstrution de la ourbe B-spline

1

^.

a

^. ^Étudier ^les ^variations ^des ^fontions

f ₁

^et

g ₁

^sur

[0 ; 1]

^, ^où

f ₁

^et

g ₁

^sont ^les

fontionsdéniesàla question2.de lapartie A.Rassembler lesrésultatsdans

un tableau unique.

b

^. ^Donner^un ^veteur^direteur^de ^haune ^des ^tangentes ^à^l'ar^de ^ourbe

C 1

^aux

points

M ₁ (0) , M ₁ ¹ ₂

, M ₁ (1)

^.

2

^. ^L'ar ^de ^ourbe

C ²

^est ^l'ensemble^des ^points

M ₂ (t)

^tels ^que ^:

− − − − − − − − − − − − − − −→

O

M ₂ (t) = R ₀ (t) ⁻

^O

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ₂ ⁻ ⁻ (t) + ^−→ R ₁ (t) ⁻

^O

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ₃ ⁻ ⁻ (t) + ^−→ R ₂ (t) ⁻

^O

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ P ⁻ ⁻ ⁻ ₄ ⁻ ⁻ ⁻ (t). ^−→

On admet que l'ar de ourbe

C 2

^est ^déni ^par ^la représentation paramétrique :



 

 

x = f ₂ (t) = − 9

2 t ² + 3t + 5 2 y = g ₂ (t) = − 3

2 t ² + 5t + 1 2

où

t

^appartient ^à^l'interv^alle

[0 ; 1].

Le tableaudes variationsonjointes des fontions

f ₂

^et

g ₂

^est ^le ^suiv^ant ^:

t 0 ¹ ₃ 1

f ₂ ^′ (t)

³ ⁺ ⁰

− − 6

f ₂ ( t )

5 2

3

1

g ₂ ^′ (t)

5

+

2

g ₂ (t)

1 2

2

4

Donner un veteur direteur de haune des tangentes à l'ar de ourbe

C 2

^aux

points

C ¹

^aux ^points

M ₂ (0), M 2 1 2

, M ₂ (1)

^.

3

^. ^On^rappelle^que^le^plan^est^muni^d'un^repèreorthonormal

( O ; ~

i

,~

^j

)

^où^l'unité^graphique

est 2entimètres.

a

^. ^Construire ^sur ^une ^feuille^de ^papier millimétré,lestangentes àl'ar de ourbe

C 1

^aux ^points

M ₁ (0) , M ₁ 1

2

et

M ₁ (1)

^,^puis ^l'ar ^de ^ourbe

C 1

^.

b

^. Construire,surlemêmegraphique,lestangentesàl'ardeourbe

C ²

^aux^points

M ₂ (0), M 2

1 3

, M ₂ (1)

^, ^puis ^l'ar ^de ^ourbe

C ²

^.

c

^. ^Plaer ^les^points ^de ^dénition ^sur ^la^gure.

4

^.

a

^. ^Donner ^les ^oordonnées ^du ^point

I

ôù ^se ^raordent ^les ârs ^de ôurbe

C ¹

^et

C ²

^.

b

^. ^Montrer ^que ^la ^tangente ^ommune ^à ^l'ar

C 1

^et ^à ^l'ar

C 2

^au ^point

I

^est ^la

droite

(P 2 P ₃ )

^.

Courbes B-splines

Cours de mathématiques

Chapitre 17