Agrégation externe de Mathématiques

Agrégation externe de Mathématiques

TD: Dunford-Schwarz et Applications

E. AUBRY

Références:

J.-M. Arnaudiès, J. Bertin "Groupes, algèbres et géométrie", J. Fresnel "Algèbre des matrices",

X. Gourdon "Les Maths en tête, Algèbre",

E. Leichtnam "Exercices de mathématiques, Algèbre et géométrie", H. Roudier "Algèbre linéaire",

V. Beck, J. Malick, G. Peyré "Objectif Agrégation".

1 Existence et Calcul

Exercice 1 Soit u∈ L(E). On suppose queχ_u =Qk

i=1(X−λ_i)^αi et doncm_u =Qk

i=1(X−λ_i)^βi avec 16βi 6αi pour touti6k. Ei= ker(u−λiId)^αi est appelé sous-espace caractéristique de u associé à la valeur propre λ_i. Montrer les propriétés suivantes:

1. E =⊕^k_i=1Ei etEi = ker(u−λiId)^βi.

2. La restriction deu−λiIdà Ei est nilpotente d'indice βi. 3. Si on noteπ_i la projection surE_ide noyau⊕_j6=iE_j alorsd=P

iλ_iπ_iest diagonalisable,n=u−d est nilpotente et dn=nd.

4. Montrer qu'il existe une base deE dans laquelle la matrice deutriangulaire supérieure, celle ded est diagonale et celle de ntriangulaire supérieure à diagonale nulle. En déduire quedimEi =αi

etdetu= detd.

5. Montrer que si A ∈ M_n(K) est une matrice de polynôme caractéristique scindé alors A est semblable à D+N avec Ddiagonale etN triangulaire supérieure à diagonale nulle.

Exercice 2 (Calcul "pratique")

1) Soit u un endomorphisme de polynôme caractéristique scindé (χu =Qk

i=1(X−λi)^αi). En mettant

1

χu en élément simples montrer qu'on obtient des polynômes Qi tels que 1 = Pk

i=1QiPi, où Pi = Qk

j=1,j6=i(X−λ_j)^αj. Montrer que π_i =P_iQ_i(u) est le projecteur spectral sur l'espace caractéristique associé à λi. En déduire qued=P

iλiπi etn=u−d.

2) Calculer la décomposition de Dunford de la matrice





1 1 2 0 2 1 0 0 2



.

1

Exercice 3 (Calcul plus pratique)

Dans la méthode précédente, on a besoin de savoir factoriser un polynôme annulateur deupour trouver les projecteurs spectraux puisdetn. On va voir une méthode ou une telle factorisation n'est pas utile.

On reprend les notations de l'exercice précédent.

1) Montrer que le polynôme minimal de dest P =Q_k

i=1(X−λ_i) et que si k est de caractéristique0 alors on a P =χ_u/(χ_u∧χ⁰_u). Comment calculerP sans factoriserχ_u?

On va donc chercher d dans K[u] solution de P(d) = 0. Pour cela on applique la méthode de Newton. On pose u0 =u etun+1=un−P(un)◦(P⁰(un))⁻¹.

2) On suppose k>2. Montrer qu'il existeQ∈K[X, Y]tel que

P(Y) =P(X) + (Y −X)P⁰(X) + (Y −X)²Q(X, Y) (utiliser Taylor).

3) Montrer que si a∈k[u]est inversible dans k[u]etb∈k[u]est nilpotente, alors a+b est inversible dans k[u].

4) Montrer que P⁰(u)⁻¹ est un polynôme en u et que P(u) est nilpotent. En déduire que u₁ est bien déni et un polynôme en u, que P(u1) est nilpotent et que P⁰(u1)⁻¹ est un polynôme en u. Itérer le procédé pour montrer que les u_i sont bien dénis pour touti∈Net des polynômes enu.

5) Montrer que P(u_k) = P(u)2^k

Q_k(u) pour tout k ∈ N. En déduire que la suite (u_k)k∈N est stationnaire, que la limite u∞est diagonalisable et que u−u∞ est nilpotent. En déduire qued=u∞

etn=u−u∞.

2 Applications

Exercice 4 Soit A∈Gl_n(C). Calculer la décomposition de Dunford dee^A en fonction de celle de A. Montrer queA est diagonalisable ssie^Aest diagonalisable. En déduire l'ensemble des matrices vériant e^A=In.

Montrer que si e^tA reste bornée lorsque t tend vers +∞ alors toutes ses valeurs propres ont une partie réelle négative. Montrer que si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative alors e^tA reste bornée lorsque t tend vers +∞.

Exercice 5 Soit N ∈ M_n(C) une matrice nilpotente. Montrer que Mt = −Pn−1 k=1

(−tN)^k

k vérie I_n+tN =e^Mt pour toutt∈[0,1]. En déduire que pour toutA∈ Gl_n(C), il existe P ∈C[X]telle que A=e^P(A). A-t-on la même propriété si A n'est pas inversible? En remplaçantCparR?

Exercice 6 (rayon spectral) Soitf(z) =P

k∈Na_kz^kde rayonR. Montrer que siA∈ M_n(C)vérie kAk< R, où k · k est une norme d'opérateur alorsP

k∈Na_kA^k converge dans M_n(C). On appelle rayon spectral deA le réelρ(A) = sup{|λ|, λvaleur propre de A}. 1) Montrer queρ(A) = inf{kAk,où k · k est une norme d'opérateur surM_n(C)}.

2) Soitk · kune norme d'opérateur surM_n(C). Montrer quel_k=kA^kkvériel_k+p ≤l_kl_p pour tout (k, p)∈N. En déduire quel

1 k

k →inf{l

1 k

k, k∈N} puis queρ(A) = limk→∞kA^kk^k1 pour toute norme sur M_n(C).

3) En déduire queP

k∈Na_kA^k converge si ρ(A)< Ret diverge siρ(A)> R. 4) Montrer que pour tout(A, B)∈ M_n(C), on aρ(AB) =ρ(BA).

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