Autour des endomorphismes

Stanislas

Thème

Autour des endomorphismes

nilpotents

2016-2017PSI

Soient n ∈ N^?, E un K-espace vectoiel de dimension nie n et f ∈ L(E). Pour tout k ∈ N^?, on note f^k = f ◦ · · ·f

| {z }

kfois

. L'endomorphisme f est nilpotent s'il existe un entier k ∈ N tel que

f^k = 0_L(E). Dans toute la suite, sauf mention contraire, f et g désignent des endomorphismes nilpotents. Pour toutk∈N, on poser_k= Rgf^k etd_k= dim(Kerf^k).

Partie I : Généralités

1. On suppose que f est non nul. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul p tel que f^p−1 6= 0_L(E) etf^p= 0_L(E).

L'entier p est l'indice de nilpotence de f. Par convention, l'indice de nilpotence de l'endomor- phisme nul vaut0.

2. On note D l'opérateur de dérivation sur Rn−1[X]. Montrer que D est un endomorphisme nilpotent et déterminer son indice de nilpotence.

3. Montrer qu'il existex0∈E tel que x0 6∈Kerf^p−1.

Dans toute la suite, on noteB= (x₀, f(x₀), f²(x₀), . . . , f^p−1(x₀)). 4. Montrer queB est une famille libre et en déduire que p6n.

5. Soitu∈L(E) tel que pour toutx∈E, il existek∈N^? tel que u^k(x) = 0E. a)Montrer que u est un endomorphisme nilpotent.

b)Montrer que ce résultat est faux si on ne suppose plusE de dimension nie.

6. Montrer que, pour tout entier naturelk,r_k−r_k+1 = dim(Kerf∩Imf^k).

7. On suppose que f et g commutent. Montrer que f ◦g et f +g sont des endomorphismes nilpotents.

8. Le scalaire λ ∈ K est une valeur propre de f s'il existe un vecteur x ∈ E non nul tel que f(x) =λx. Montrer que λest une valeur propre de f si et seulement siλ= 0.

Partie II : Indice de nilpotence maximal

On suppose dans cette partie quef est nilpotent d'indice de nilpotence égal à n.

9. Montrer que la famille B = (x₀, f(x₀), f²(x₀), . . . , fⁿ⁻¹(x₀)) est une base de E et décrire Mat_B(f).

10.Déterminer, pour tout k∈J0, nK, les valeurs dedketrk et en déduire queImf^k= Kerf^n−k. 11.SoitF un sous-espace vectoriel de dimensionrdeEstable parf. On notegl'endomorphisme induit par f surF.

a)Montrer que gⁿ= 0_L(E) et en déduire queg^r= 0. b)Montrer que F ⊂Kerf^r.

c) En déduire queF = Kerf^r.

d)Décrire l'ensemble des sous-espaces vectoriels stables par f.

Stanislas A. Camanes

Thème. Autour des endomorphismes nilpotents PSI

12. On noteC(f) ={g∈L(E) ; f◦g=g◦f}. Soit g∈C(f).

a)On note a₀, . . . , an−1 les coordonnées deg(x₀) dans la baseB. Exprimer, pour tout entier k∈J0, n−1K, les vecteursg(f^k(x0)) dans la baseB.

b)En déduire que g est un polynôme en f. c) DéterminerC(f) ainsi que sa dimension.

Stanislas A. Camanes