PROBABILITES DISCRETES
I EXPERIENCES ALEATOIRES ET MODELES RAPPELS 1° expérience aléatoire
Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé; la prise d'une pièce fabriquée par une machine … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard.
Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on choisit un modèle de cette expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité.
2° Vocabulaire
A une expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers.
Ses éléments sont appelés éventualités.
• Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements.
• Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires.
• Etant donné un univers Ω, l’événement Ω est l’événement certain.
• L’ensemble vide est l’événement impossible.
• L’événement formé des éventualités communes à A et B est noté A ∩ B.
• L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B ou dans les deux est noté A ∪B .
• Etant donné un univers Ω et un événement A, l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A constitue un événement appelé événement contraire de A, noté A .
3° Probabilité.
a) Définition.
A tout sous-ensemble A de Ω on associe un réel, noté p(A), appelé probabilité de l'événement A.
0 ≤ p(A) ≤ 1.
p(Ω) = 1 et p(∅) = 0
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) b) Loi de probabilité
Soit ΩΩΩΩ = {e1, e2, …, en} un ensemble fini. (on travaille ici les probabilités dites "discrètes")
Pour définir une probabilité sur Ω il suffit de définir la probabilité de chaque événement élémentaire.
• on définit une loi de probabilité sur ΩΩΩΩ si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que,
pour tout i, 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} On note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai).
• pour tout événement A inclus dans ΩΩΩΩ, on définit p(E) comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A.
4° Propriétés des probabilités
Parties de E Vocabulaire des événements Propriété
A A quelconque 0 ≤ p(A) ≤ 1
∅ E
Evénement impossible Evénement certain
p(∅) = 0 p(E) = 1
A ∩ B = ∅ A et B sont incompatibles p( A ∪ B) = p(A) + p(B) A A est l’événement contraire de A p(A) = 1 – p(A)
A, B A et B quelconques p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p( A ∩ B) 5° Equiprobabilité
Les expressions suivantes « dé équilibré ou parfait », « boule tirée de l’urne au hasard », « boules indiscernables » … indiquent que, pour les expériences réalisées, le modèle associé est l’équiprobabilité .
a) Définition
On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
b) Calculs dans le cas d’équiprobabilité
Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si E est un événement composé de m événements élémentaires ( donc m ≤ n) : p(A) = card A
card Ω = nombre de cas favorables
nombre de cas possibles où card E et card Ω désignent respectivement le nombre d’éléments de E et de Ω.
II PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 1° Exemples
a) Exemple 1 Deux urnes U1, U2 et U3 indiscernables contiennent :
U1 : 3 boules rouges, 2 boules vertes, Urne U2 : 2 boules rouges, 1 boule verte, U3 contient 3 boules rouges On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne.
Quelle est la probabilité pour quelle soit rouge b) Exemple 2
Le tableau ci contre établit le décompte des fumeurs et non fumeurs dans une entreprise de 300 personnes.
On choisi une personne parmi les 300 personnes de l’entreprise On cherche la probabilité pour que la personne choisie soit un fumeur sachant que c’est un homme. PB(A) = P(A/B)= nombre d’hommes fumeurs
nombre d’hommes = p(A ∩ B) p(B) 2° Définition :
p désigne une probabilité sur un univers fini Ω. A et B étant deux événements de Ω, B étant de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que B est réalisé le réel
pA(B) = p(A/B) = p(A ∩ B)
p(A) Le réel pA(B) et se lit aussi probabilité de B sachant A.
3° Propriétés
C'est une nouvelle probabilité, dite « conditionnelle », définie au moyen de la probabilité P définie sur Ω: Elle a toutes les propriétés d'une probabilité. en particulier :
• Pour tout événement A, 0 ≤ PB(A) ≤ 1 . • PB(A) + PB(A) = 1 . −
• P(A ∩ B) peut se calculer de deux façons (si P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0) . P(A ∩ B) = P(B) × PB(A) = P(A) × PA(B)
• Dans une situation d'équiprobabilité,
PB(A) = nombre d'issues favorables à A ∩ B nombre d'issues favorables à B Remarque : Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et
p(B/A) sont toutes les deux définies et on a : p(A ∩ B) = pB(A) × p(B) = pA(B) × p(A).
4° Formule des probabilités totales a) Partition de l’univers
Soient Ω un univers associé à une expérience aléatoire et n un entier supérieur ou égal à 2.
Les événements A1, A2, …, An forment une partition de Ω si les trois conditions suivantes sont réalisées : - pour tout i ∈ {1 ; 2 ;… ; n}, Ai ≠ ∅. - pour tous i et j (avec i ≠ j) de {1 ;2 ;…n}, Ai ∩ Aj ≠ ∅.
- A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = Ω.
b) Formule des probabilités totales
Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω. Alors : p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + … + p(B ∩ An)
p(B) = pA1(B) × p(A1) + pA2(B) × p(A2)+…+ pAn(B) × p(An) Démonstration : B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B ∩ An),
Les événements (B ∩ A1), (B ∩ A2), …, (B ∩ An) sont 2 à 2 incompatibles donc la probabilité de leur réunion est la somme de chacun d’entre eux , on en déduit : p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + … + p(B ∩ An).
On sait que, pour tout i de {1 ; 2 ; … ; n}, p(B ∩ Ai)=pAi(B) × p(Ai), on a donc : p(B)= pA1(B) × p(A1) + pA2(B) × p(A2)+…+ pAn(B) × p(An)
Exemple : pour n = 3. B est la réunion de trois événements incompatibles deux à deux.
Donc : p(B) = p(A1∩ B) + p(A2∩ B) + p(A3∩ B) Illustration par un arbre pondéré :
Evénement B A1
A2 A3
Univers Ω
A1
A2
A3
B
B B
B B
B p(A1)
p(A1)
p(A3)
pA1(B)
pA1(B)
pA1(B)
Hommes B Femmes B
Fumeur A 140 40
Non fumeurs A 60 60
c) Règles des arbres Vocabulaire utilisé:
racine ( départ) nœud
branche ( segment reliant 2 nœuds consécutifs) chemin ( suite de branches)
Le cheminement sur un arbre se fait de gauche à droite.
Les lettres placées aux nœuds de l'arbre représentent des événements La racine de l'arbre correspond à l'univers Ω.
Règles de construction et d'utilisation des arbres pondérés:
• Chaque branche reliant 2 nœuds successifs A → B est affectée de la probabilité de passer de A à B c’est à dire PA(B) la probabilité conditionnelle de B sachant A.
• " Loi des nœuds": La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.
• A chaque nœud N correspond l'intersection des événements associés aux nœuds du chemin reliant le nœud N à la racine.
• La probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins de l'arbre à partir de la racine est la somme des probabilités correspondant à chacun de ces chemins
5° Evénements indépendants a) Définition :
A et B sont 2 événements de probabilité non nulle.
A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.
A et B sont indépendants si et seulement si pB(A) = p(A) ou pA(B) = p(A).
A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B) Démonstration :
Par définition, les deux premières sont équivalentes
si pB(A) = p(A) comme p(A ∩ B) = pB(A) × p(B) alors p(A ∩ B) = p(A) × p(B) si p(A ∩B) = p(A) × p(B), comme p(B) ≠ 0, p(A ∩ B)
p(B) = pB(A) c’est-à-dire pB(A) = p(A) b) Remarque
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.
2 événements A et B sont indépendants si p(A ∩ B)= p(A) × p(B)
2 événements A et B sont incompatibles si A ∩ B= ∅. et alors p(A ∩ B) = 0.
La notion d’indépendance dépend de la probabilité sur l’univers, celle d’incompatibilité est purement ensembliste.
c) Exemples
On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant six jetons : trois rouges numérotés 1, 2 et 3, deux jaunes numérotés 1 et 2 , et un bleu numéroté 1.
On désigne respectivement par R, U et D les événements :
« le jeton est rouge », « le numéro est 1 » et « le numéro est 2 ».
Les événements R et U sont-ils indépendants ? Et les événements R et D ?
