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TD Physique des composants—partie 1
A) Diode électroluminescente (DEL)
Choix du matériau actif
Les émetteurs de lumière ne sont pas réalisés à base de silicium, mais à partir d’autres types de semiconducteurs tels que GaAs, InP, etc. (semiconducteurs III-V). On cherche ici à fabriquer un composant d’émission à la longueur d’onde λ0 = 1,55 µm (longueur d’onde utilisée dans les télécommunications).
Pour cette famille de semiconducteurs, on donne la courbe ci-dessous.
a) Expliquer le phénomène de recombinaison bande à bande radiatif à l’origine de l’émission de lumière des diodes électroluminescentes.
b) Rappeler la loi liant l’énergie de bande interdite en eV et la longueur d’onde d’émission en microns. Quel type de matériau peut-on envisager et pourquoi ?
On donne les renseignements suivants concernant l’alliage GaxIn1-xAsyP1-y : des concentrations en Ga et As telles que y/x = 2,20 et 0
≤
x≤
0,47 permettent d’obtenir l’accord de maille du quaternaire (à gap direct) sur InP, le gap du quaternaire suit la loi EG [eV] = 1,35-0,72y +0,12y2.c) Déterminer les compositions x et y afin d’obtenir une émission de lumière à la longueur d’onde visé.
B) Semiconducteurs à l’équilibre
1-Densités volumiques
a. A quelle classe de matériaux appartient le silicium ?
b. Donner la structure cristallographique du silicium utilisé en microélectronique.
c. Quelle est la nature des liaisons entre les atomes de Si ?
d. Calculer le nombre d’atomes dans une maille élémentaire de Si. En déduire la densité volumique d'atomes dans un semiconducteur. A.N.
2-Concentrations en électrons et en trous
a. Décrire la structure des bandes d’énergie dans les cristaux semiconducteurs. Par quelle méthode peut-on l’obtenir à partir des états électroniques d’atomes isolés ?
b. Indiquer comment la densité de trous dans un semiconducteur homogène peut être évaluée à partir du nombre d’états disponibles dans la bande de valence et de la probabilité qu’ils soient inoccupés.
c. Préciser la loi donnant la probabilité pour qu’un état énergétique E soit occupé par les électrons du semiconducteur.
d. Rappeler ce qu’on appelle un semiconducteur non-dégénéré.
e. La densité d'états pour un électron d'énergie E dans la bande de valence est donnée par : 𝑛𝑣(𝐸) =(𝑚𝑡*)3 2⁄
ℎ3π2 √2(𝐸𝑣− 𝐸)𝐸 ≤ 𝐸𝑣
En déduire la densité de trous dans la bande de valence d'un semiconducteur non dégénéré.
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f. Donner par analogie la concentration en électrons dans la bande de conduction.
g. Définir les densités "effectives" dans les bandes de conduction et de valence, NC et NV. Application numérique pour le silicium à 300 K avec mt* = 0,56 m0, me* = 1,08 m0 où m0 = 9,1 × 10-31 kg.
h. Exprimer les concentrations « limites » en trous et en électrons pour un semiconducteur non- dégénéré en fonction de ces densités effectives. A.N. pour le Si.
i. Exprimer le produit des densités en électrons et en trous. En déduire la concentration ni de porteurs dans un semiconducteur intrinsèque puis la position du niveau de Fermi Eidans ce cas.
j. Applications numériques : calculer ni et positionner Ei sur le diagramme en énergie pour le silicium et l’arséniure de gallium à T = 300 K. Dans Si, on prendra pour la largeur de bande interdite Eg = 1,12 eV. Pour GaAs, on considérera Eg = 1,43 eV, me* = 0,07 m0 et mt* = 0,43 m0.
3-Dopage maximal pour un semiconducteur non-dégénéré et le rapport dopants/atomes de Si
Comparer a) la densité volumique de Si (1.d), b) la concentration maximale d’électrons dans la bande de conduction ou de trous dans la bande de valence pour un semiconducteur non-dégénéré (2.h) et c) la densité intrinsèque de porteurs à T=300 K (2.j). En supposant que tous les dopants soient ionisés, quel est le rapport entre la concentration de dopants et la concentration d’atomes de Si pour un dopage n maximal ? Et pour un dopage p maximal ? Quel est le rapport entre la concentration d’électrons dans la bande de conduction pour un semiconducteur dopé au maximum (en restant toujours non-dégénéré) et la densité intrinsèque à T=300 K ? Discuter.
4- Relation de neutralité
a) Dans les conditions suivantes a) équilibre thermique, b) dopage uniforme, c) semiconducteur non-dégénéré, d) ionisation complète des atomes dopants, trouver une expression pour n et p en fonction de ND, NA et ni.
b) Un semiconducteur est dit « compensé » quand ND ~ NA. Que vaut n et p dans ce cas ?
5- Questions rapides de concentration
ni ~1010 cm-3 à T=300 K pour Si.
a) Un wafer de silicium de type p est dopé uniformément avec NA=1015/cm3. A T=0K, quelles sont des concentrations à équilibre des trous et des électrons ?
b) Un semiconducteur est dopé avec une concentration d’impuretés de N telle que N>>ni et toutes les impuretés sont ionisées. Aussi, n=N et p=ni2/N. L’impureté est-elle un donneur ou un accepteur ? Expliquer.
c) La concentration en électrons dans un échantillon de Si à T=300 K sous des conditions d’équilibre thermique est 105/cm3. S’agit-il d’un matériau dopé n ou p ? Quelle est la concentration en trous ?
d) Pour un échantillon de Si à T=300 K, le niveau de Fermi est localisé 259 meV au dessus du niveau intrinsèque de Fermi. S’agit-il d’un matériau dopé n ou p ? Quelles sont les concentrations en trous et en électrons ?
e) Dans un échantillon de germanium à l’équilibre à T=300 K, ni=1013/cm3, n=2p et NA=0.
Déterminer n et ND.
6-Diagrammes de Shockley
6.1-Silicium de type POn considère un cristal de silicium de type p avec une densité NA d'atomes d'impuretés introduisant un niveau accepteur en EA.
a. Déterminer graphiquement les évolutions de la position du niveau de Fermi EF et de la densité de trous p en fonction de la température.
b. En déduire la plage de température sur laquelle on peut considérer que la relation p = NA est vérifiée.
A.N. Pour B dans Si, EA-EV = 45 meV et NA=1017 cm-3.
3 6.2-Arséniure de gallium de type N
Soit un cristal de GaAs de type n avec une densité ND d'atomes d'impuretés introduisant un niveau donneur en ED.
a. Déterminer graphiquement les évolutions de la position du niveau de Fermi EF et de la densité d'électrons n en fonction de la température.
b. En déduire la plage de température sur laquelle on peut considérer que la relation n = ND est vérifiée.
A.N. Pour Si en substitution à Ga dans GaAs, EC-ED = 6 meV et ND = 1016 cm-3.
C) Phénomènes de transport, dérive et diffusion
1-Courant total
a. Déterminer une expression générale de la densité de courant en fonction de la vitesse moyenne des trous dans un semiconducteur.
b. Exprimer la vitesse moyenne des trous en fonction des forces appliquées.
c. Calculer la force s’exerçant sur les trous d’une tranche de semiconducteur comprise entre x et x+dx et de surface S. On prendra en compte le champ électrique
E
ainsi que la pression induite par les autres trous. On assimilera les porteurs aux molécules d'un gaz parfait.d. En déduire l’expression de la densité totale de courant de trous en fonction notamment de
E
et dela densité volumique de trous p.
2-Tranche homogène
Soit une plaquette de silicium de type n, de résistivité 5 .cm et d'épaisseur 250 µm.
a. Déterminer la mobilité des porteurs majoritaires à l'aide des courbes ci-dessous (téléchargées de http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/).
b. Calculer la tension à appliquer entre les deux faces pour faire circuler un courant de 10 A/cm2.
c. Tracer les variations du potentiel électrostatique , ainsi que de EC, EV, et EF.
3-Tranche inhomogène non polarisée
On considère une tranche de silicium de type n et d'épaisseur 250µm avec un gradient de dopage : ND(x)= ND0 exp(-x) non polarisée. ND0 = 1017 cm-3, = 400 cm-1.
a. Calculer le champ électrostatique et la différence de potentiel électrostatique.
b. Tracer les variations du potentiel électrostatique , ainsi que de EC, EV, et EF.
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4- Interprétation des diagrammes de bandes (énergie d’un électron en fonction de la position) extrait du partiel de 2013
Un dispositif en silicium à 300 K est caractérisé par le diagramme de bande ci-dessous. EC est l’énergie du bas de la bande de conduction, EV est l’énergie du haut de la bande de valence. EG est l’énergie du gap ou de la bande interdite et EFest l’énergie de Fermi. L est la longueur du dispositif selon la direction x. Utilisez le diagramme de bande ci-dessous afin de répondre aux questions suivantes :
a) Faites un schéma montrant la variation du potentiel électrostatique (ф) en fonction de x dans le dispositif.
b) Faites un schéma montrant la variation du champ électrique (E) en fonction de x dans le dispositif.
c) Le dispositif est-il à l’équilibre ? Expliquez.
d) Y a-t-il une région où le semiconducteur est dégénéré ? Si oui, donnez les valeurs approximatives de x dans cette région.
e) Le dispositif est-il dopé uniformément ? Expliquez.
f) Quel est le type de dopant (dominant) à x= x2? Justifiez votre réponse.
g) Quelle est la densité des trous dans la bande de valence p à x=x2?
h) Faisons l’hypothèse qu’il n’existe qu’un seul type de dopant présent en x=x2. Quelle est la densité des impuretés en x=x2?
i) Quelle est la valeur de Jn(x1), c’est-à-dire combien vaut la densité de courant électronique total en x=x1 ? Evaluez-la pour L=1 µm.
j) Quelle est la valeur de Jp,dérive(x1) c’est-à-dire la densité de courant de dérive des trous en x=x1? Evaluez-la pour L=1 µm.
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D) Equations de continuité
1-Temps de relaxation diélectrique
On considère un semiconducteur de type n dans lequel on crée une perturbation temporelle homogène dans tout le matériau ∆n(t=0) homogène telle que ∆n(t)<<n0 (et ∆p(t)~0). En négligeant toute recombinaison, déterminer la loi du retour à l'équilibre. Le temps caractéristique correspondant et la longueur de Debye définie dans l'exercice suivant sont tracés ci-dessous en fonction de la densité d'électrons imposée par le dopage (en prenant comme permittivité diélectrique relative celle de Si soit 11,7).
2-Longueur de Debye
On considère un semiconducteur de type n dans lequel on crée une perturbation spatiale constante en x = 0
∆n(x=0) telle que ∆n(x)<<n0 (et ∆p(x)~0). En négligeant toute recombinaison, déterminer la loi du retour à l'équilibre.
10-4 10-3 10-2 0,1 1 10
1015 1016 1017 1018 1019 1020
Tem p s d e rel ax at ion d iél ect riq u e (p s)
µ
Densité électronique (cm
-3)
= 300 cm2.V-1.s-1 600
1200 2400 4800 9600
0,1 1 10 100
1015 1016 1017 1018 1019 1020
Longueur de Debye (nm)
Densité électronique (cm-3)
3-Photoconduction
On éclaire une tranche de silicium n de résistivité 0 = 2 .cm et d'épaisseur ep = 250 µm avec une lumière monochromatique = 1 µm sous un flux de 10 W.cm-2.
a. Calculer le flux de photons incidents (cm-2s-1) et le nombre de photons absorbés par unité de surface par unité de temps dans l'épaisseur de la tranche (=0e-x avec = 1 cm-1 et en cm-
2s-1).
b. Sachant que chaque photon absorbé crée une paire électron-trou, calculer la vitesse de création G supposée uniforme dans toute l'épaisseur de la tranche. Justifier l’hypothèse d’uniformité.
c. La durée de vie étant de = 10 µs et les mobilités des électrons et des trous étant respectivement µn = 1500 cm2.V-1.s-1 et µp = 400 cm2.V-1.s-1, quelle est la résistivité de la tranche éclairée ?
4-Tranche éclairée : effet Dember
On éclaire la surface d'une tranche de silicium de type n (épaisseur ep et dopage ND = 1017 cm-3) avec un rayonnement très absorbant. Aucun porteur n’est généré dans le volume du semiconducteur mais l'intensité lumineuse de l'excitation est telle que l'on génère n(0) = p(0) =1016 cm-3 paires électron-trou en surface.
a. Avant éclairage, quelles sont les densités en électrons n0 et en trous p0 en fonction de la densité intrinsèque ni et de la concentration en dopants ND ?
b. Que doit vérifier la longueur d’onde du flux excitateur pour que le rayonnement soit effectivement absorbé ? Faire l’application numérique sur la valeur limite.
c. Décrire la diffusion des porteurs dans l’épaisseur de Si, sachant que les trous sont moins mobiles que les électrons. En déduire l’apparition d’un champ électrique.
L’excès de porteurs générés par les photons disparaît ensuite en partie par recombinaison indirecte de type Shockley-Read-Hall (SRH).
d. Rappeler l’expression de la vitesse nette de génération-recombinaison GRSRH puis démontrer que GRSRH ≈ -p/ si p >> ni et compte tenu des densités de porteurs photogénérés.
e. A partir de l’équation de continuité pour les trous, établir en régime stationnaire l'expression donnant la densité de trous dans la zone où p >> ni. On négligera la composante de dérive du courant et on supposera que Dpp << ep2.
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E) Caractérisations par effet Hall
L’effet Hall est fréquemment utilisé dans l’industrie comme dans la recherche pour caractériser un matériau semiconducteur. Il est utilisé aussi dans un certain nombre de capteurs de de position, de déplacement, …en particulier dans le secteur automobile (compte-tours), ainsi que dans les propulseurs à plasma pour véhicules spatiaux.
Pour faire apparaître cet effet, on applique une tension VP entre les deux extrémités d’un barreau de semiconducteur dopé afin qu’un courant I parcoure la structure suivant l’axe x. Un champ magnétique B constant est appliqué perpendiculairement à la direction du transport (suivant l’axe z, voir figure ci-dessous).
VP = 5 V et B = 0,5 T.
1. Quelle est la force à laquelle sont soumis les porteurs du matériau dans la direction perpendiculaire au courant ?
2. Expliquer les conséquences de cette force. Tracer un schéma montrant le résultat pour les 2 types de dopage.
3. Déterminer une expression de la tension de Hall VH (voir schéma ci-dessous) et définir le coefficient de Hall, RH.
4. En faisant varier la température, on relève les valeurs reportées dans le tableau ci-dessous.
T °C -196 -173 -123 -73 -23 27 77 127 177 227 277 327
I mA 4×10-7 2×10-5 0,25 0,7 1 0,9 0,74 0,56 0,4 0,3 0,23 0,16
VH mV 93 261 105 53,4 31 20 13 9,3 6,7 4,9 3,6 2,6
RH cm3/C 9,3E9 1,68E4 3,05E3 1,2E3 8,9E2 7,0E2 6,6E2 6,7E2 6,3E2 6,5E2 Conc cm-3 6,7E8 3,7E14 2,1E15 5,0E15 7,0E15 8,9E15 9,4E15 9,3E15 1,0E16 9,6E15
10 100 1000 10000
-200 -100 0 100 200 300 400
M obil ité µ
p(cm
2.V
-1.s
-1)
Température (°C)
a. Déterminer le type du semiconducteur (type n ou type p).
b. Remplir les valeurs manquantes dans le tableau ci-dessus (Conc.=concentation des porteurs).
c. Estimer le niveau d'énergie introduit par le dopant.
d. Quelle autre mesure faut-il faire simultanément afin de déterminer la mobilité en fonction de la température ? Commenter la courbe ci-dessus.
e. Décrire brièvement comment fonctionne un compte-tours.
