Choix en situations de risque et d’incertitude. Choix inter-temporels de consommation

THEME 7

Choix en situations de risque et d’incertitude.

Choix inter-temporels de consommation

Concepts et définitions essentiels

Risque et incertitude Théorie de l’utilité espérée Aversion au risque Loterie Equivalent certain d’une loterie Incohérence temporelle

Exercice n°23 : La fonction d’utilitée espérée

Un individu décide de se lancer dans les paris sportifs. Chaque pari i peut réussir avec une probabilité π

et échouer avec une probabilité (1 − π

). L’individu décide de ne parier que si les probabilités minimales π

(définies de manières exogènes) sont atteintes.

Les gains, les coûts et les probabilités associés sont présentés dans le tableau suiv- ant.

i Gi Ci π

1 2 1 0.52

2 3 1 0.35

3 4 2 0,55

4 5 2 0,45

5 6 2 0,40

1. Déterminez quand cet individu rationnel décidera de parier ou non.

2. Tracez la fonction d’utilité espérée de l’individu dans un plan représentant le résultat net d’un pari et l’utilité associée.

3. Que peut-on dire de son comportement vis à vis du risque ?

Correction

1- Déterminez quand cet individu rationnel décidera de parier ou non. Si l’individu ne fait pas de paris, son revenu net R

est égal à 0 et l’utilité de ce choix est U (0) = 0. Si l’individu lance un pari i , son revenu net R

est G

− C

en cas de succés, et −I

en cas d’échec. On pose également que U (1) = 1

Il décidera alors de parier si :

EU ( R

) = π

U ( G

− I

) + (1 − π

) U ( −I

) > 0

Avec les probabilités des différents paris ( i = 1 . . . 5) nous obtenons :

0 , 52 U (2 − 1) + 0 , 48 U ( − 1) = 0 ⇒ U ( − 1) = − 1 , 08 0 , 35 U (2) + 0 , 48 U ( − 1) = 0 ⇒ U (2) = 2 , 011

0 , 52 U (2 − 1) + 0 , 48 U ( − 1) = 0 ⇒ U ( − 2) = − 2 , 458 0 , 40 U (4) + 0 , 60 U ( − 2) = 0 ⇒ U (4) = 3 , 687

0 , 45 U (3) + 0 , 55 U ( − 2) = 0 ⇒ U (3) = 3

2- Tracez la fonction d’utilité espérée de l’individu dans un plan représentant le résultat net d’un pari et l’utilité associée.

3 - Que peut-on dire de son comportement vis à vis du risque ?

La fonction d’utilité est concave sur l’intervalle [-2;4], l’individu est donc averse au

risque (risquophobe).

Exercice n°24 : Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)

1. Définir le MEDAF.

On fait les hypothèses suivantes :

(a) Entre deux actifs ayant le même rendement espéré, les agents préfèrent celui dont la variance est la plus faible.

(b) Il existe un actif sans risque.

(c) Tous les agents ont les mêmes probabilités subjectives de distribution des rendements des actifs.

2. Commentez les hypothèses a et c.

On suppose trois actifs notés i = 0 , 1 , 2. L’actif 0 est sans risque, de ren- dement r . Les actifs 1 et 2 sont quant à eux risqués. Leurs rendements aléatoires sont respectivement notés ˜ R

et ˜ R

, leur espérances E

et E

et leur écart-types σ

et σ

. Le coefficient de corrélation entre ces deux actifs est définis par ρ =

. On suppose E

< E

et σ

< σ

.

On considère d’abord un portefeuille composé uniquement d’actifs risqués.

3. Montrez que le rendement ˜ R de ce portefeuille vérifie : E ( ˜ R ) = E = p

E

+ (1 − p

) E

V ( ˜ R ) = σ

= p

.σ

+ 2 ρ.p

. (1 − p

) σ

σ

+ (1 − p

)

.σ

. où p

est la part d’actif 1 dans le portefeuille.

Dans le plan ( σ, E ), placez les actifs 1, 2 et l’ensemble des portefeuilles composés de ces deux actifs dans les cas ρ = 1 et ρ < 1. Placez également l’actif sans risque.

4. Dans le plan ( σ, E ), tracez l’ensemble :

• des portefeuilles composés de actifs sans risque et de l’actif 1.

• des portefeuilles composés de l’actif sans risque et de l’actif 2.

Choisissez au hasard un portefeuille P composé de 1 et 2 uniquement. Tracez l’ensemble des portefeuilles composé de de l’actif sans risque et de l’actif P . En déduire que tous les agents vont détenir un portefeuille composé de :

• l’actif sans risque.

• d’un actif risqué M, composé d’une part p

de l’actif 1 et d’une part 1 − p

de l’actif 2. ( p

étant le même pour tous les agents).

Pourquoi appelle-t-on M le "portefeuille d’actifs risqués du marché" ? 5. Dans le plan ( σ, E ), quelle est la courbe représentant l’ensemble des porte-

feuilles composés de l’actif M et de l’actif 1 ?

Montrez que la pente de la tangente à cette courbe au point M vaut

, et vaut également

E

− E

Cov( ˜ R

R ˜

) − σ

.σ

En déduire le résultat du MEDAF :

E

= r + Cov( ˜ R

R ˜

)

σ

. ( E

− r )

Exercice n°25 : Incohérence temporelle

On considère un agent qui vit trois périodes. A la date t , ses préférences inter- temporelles sont représentées par la fonction d’utilité suivante :

U = 1

2 .u ( c

) + 1

4 u ( c

) + 1

4 u ( c

)

avec u ( c

) = c

si l’individu est vivant à la date i et u ( c

) = 0 si l’individu est mort à la date i .

On suppose que le taux d’intérêt est nul dans l’économie, que 0 < ρ < 1 et que cet individu dispose d’un revenu Y au début de la première période.

Les applications numériques pourront s’effectuer en prenant ρ = 0 . 5 et Y = 100.

1. On considère l’individu au début de la première période. Quel est le plan de consommation ( ˆ c

, c ˆ

, c ˆ

) qui maximise son profit ?

2. On suppose que l’individu a consommé ˆ c

lors de la première période. Rée- crivez le nouveau programme et démontrez que l’agent ne consommera pas

ˆ

c

en deuxième période. Interprétez.

3. Revenons en période 1 et supposons que l’agent connaisse ses propres préférences.

Il sait également qu’il ne pourra pas tenir son plan de consommation opti- mal. Une banque lui propose deux instruments de placement (à taux d’intérêt nul) : le premier est liquide, l’argent peut donc être retiré à chaque période ; le second est illiquide et l’argent placé ne peut être retiré avant la troisième période.

Montrez que l’agent va répartir son épargne entre les deux placements.

4. Supposons qu’il n’existe pas en période 1 d’instrument financier illiquide.

L’agent connait toujours ses propres préférences. Calculez l’utilité de l’agent en fonction de ˆ c

(et donc de son épargne Y − c

) si l’agent anticipe l’usage qu’il fera de son épargne lors de la période 2.

Quelles vont être les consommations ( ˜ c

, c ˜

, c ˜

) qui vont maximiser l’utilité de l’agent ? A la fin de la période 1, épargne-t-il plus ou moins que dans la plan de consommation ( ˆ c

, c ˆ

, c ˆ

) ? Expliquez.

5. Quel éclairage ce modèle apporte-t-il sur le surendettement des ménages

? Sur le comportement de procrastianation ? Sur Ulysse et les Sirènes ?

Pourquoi certaines personnes demandent elles à être interdites d’entrée dans

les casinos ?

Correction

La question des choix inter-temporels ( C

, C

, . . . , C

) revient à étudier com- ment un consommateur souhaite répartir son revenu entre plusieurs dates (ie : un arbitrage entre présent et futur).

Les préférences du consommateur sont caractérisées par un fonction d’utilité inter- temporelle : U ( C

, C

, . . . , C

). Traditionnellement, la forme de la fonction d’utilité inter-temporelle utilisée est :

U ( C

, . . . , C

) = ^X

i=1

δ

u ( C

)

= ^X

i=1

δ

C

avec δ le coefficient de préférence pour le présent.

Cette forme ne suscite pas d’incohérence temporelle. Par exemple avec δ = 0 , 5, nous avons :

U = 1

2 .u ( c

) + 1

4 u ( c

) + 1

8 u ( c

) + 1

16 u ( c

) + . . .

1 - On considère l’individu au début de la première période. Quel est le plan de consommation ( ˆ c

, c ˆ

, c ˆ

) qui maximise son profit ?

Avec la fonction d’utilité : U = 1

2 .u ( c

) + 1

4 u ( c

) + 1

4 u ( c

) et la contrainte budgétaire :

Y ≥ C

+ C

+ C

Nous pouvons poser un Lagrangien :

L = 1

2 .u ( c

) + 1

4 u ( c

) + 1

4 u ( c

) + λ ( Y − C

− C

− C

)

= 1

2 C

+ 1

4 C

+ 1

4 C

+ λ ( Y − C

− C

− C

)

1

Plus δ → 0, plus le consommateur préfère le futur, plus δ → 1, plus il préfère le présent.

Les CPO :

U

= 1

2 ρC

− λ = 0 (1)

U

= 1

4 ρC

− λ = 0 (2)

U

= 1

4 ρC

− λ = 0 (3)

U

= Y − C

− C

− C

= 0 (4) Par suite de résolution du système d’équation des CPO nous obtenons :

ˆ

c

=66 , 7 ˆ

c

= 1 6 ( Y ) ˆ

c

= 1 6 ( Y ) Soit :

ˆ

c

=66 , 7 ˆ

c

=16 , 7 ˆ

c

=16 , 7

2 - On suppose que l’individu a consommé c ˆ

lors de la première période. Réécrivez le nouveau programme et démontrez que l’agent ne consommera pas c ˆ

en deuxième période. Interprétez.

Avec δ = 0 , 5, le nouveau programme est le suivant :







U

=

U

+

U

sc : C

+ C

≤ 33 , 3 Le lagrangien :

L = 1

2 U

+ 1

4 U

+ λ (33 , 3 − C

− C

) Nous obtenons alors :

ˇ c

= 4

5 ( Y − C

) ˇ

c

= 1

5 ( Y − C

)

ˇ

c

= 26 > c ˆ

= 16 , 7 ˇ

c

= 6 , 7

En t = 2 l’individu ne respecte pas le programme de consommation qu’il avait prévu en t = 1.

3- Revenons en période 1 et supposons que l’agent connaisse ses pro- pres préférences. Il sait également qu’il ne pourra pas tenir son plan de consommation optimal.

Une banque lui propose deux instruments de placement (à taux d’intérêt nul) : le premier est liquide, l’argent peut donc être retiré à chaque péri- ode ; le second est iliquide et l’argent placé ne peut être retiré avant la troisième période.

Montrez comment l’agent va répartir son épargne entre les deux place- ments.

L’instrument d’épargne illiquide va lui permettre de placer son argent et de ne pas y toucher. En t = 1 il va alors se baser sur son programme de consommation initial : il consommera C

66 et placera le reste en épargne de façon à pouvoir respecter ˆ C

= ˆ C

= 16 , 7 et ainsi consommer ce qu’il souhaite en t = 3. Comme il ne peut toucher à l’argent placé en épargne illiquide avant t = 3, il placera donc le montant dont il a besoin en t = 2 en épargne liquide (soit 16 . 7). Le montant dont il aura besoin en t = 3 (16 . 7) sera quant lui placé en épargne illiquide. S’il le place en épargne liquide, en t = 2 il ne respectera pas son plan de consommation initial. Il doit donc se restreindre en plaçant le montant pour t = 3 maximisant son utilité inter-temporelle ( ˆ C

= 16 , 7) en épargne illiquide.

4 - Supposons qu’il n’existe pas en période 1 d’instrument financier iliquide. L’agent connait toujours ses propres préférences. Calculez l’utilité de l’agent en fonction de c ˆ

(et donc de son épargne Y − c

) si l’agent anticipe l’usage qu’il fera de son épargne lors de la période 2.

Quelles vont être les consommations ( ˜ c

, c ˜

, c ˜

) qui vont maximiser l’utilité de l’agent ? A la fin de la période 1, épargne-t-il plus ou moins que dans la plan de consommation ( ˆ c

, c ˆ

, c ˆ

) ? Expliquez.

L’agent a conscience de son impatience pour le présent. S’il anticipe ses con- sommation futures (telles que calculées dans la question 2), il va les intégrer dans sa fonction d’utilité inter-temporelle.

Ses fonction d’utilités à chaque moment t ( t = 1 , 2 , 3) de sa vie sont alors :

U

= 1

2 C

+ 1

4 C

+ 1 4 C

U

= 1

2 C

+ 1 4 C

U

= 1

2 C

Son épargne de la période 1 est la consommation des périodes futures : R

= Y − C

Le programme est alors :







max U

sc C

+ C

≤ Y − C

Le consommateur anticipe l’usage de son épargne, nous reprenons alors de la question 2 :

ˇ c

= 4

5 ( Y − C

) ˇ

c

= 1

5 ( Y − C

) D’où sa fonction d’utilité :

U

= 1

2 .C

+ 1 4 ( 4

5 ( Y − C

))

+ 1 4 ( 1

5 ( Y − C

))

En maximisant ( U

= 0) et en développant, nous obtenons :

˜

c

=68 , 97 > 66 , 7

˜ c

= 4

5 ( Y − c ˜

) = 24 , 8

˜

c

=100 − 68 , 97 − 24 , 8 = 1

5 ( Y − c ˜

) = 6 , 2

En t = 1, la consommateur sait qu’il consommera plus qu’il ne le prévoir en t = 2 et il n’a pas les moyens de se restreindre par le biais d’une épargne illiquide.

Il décide alors d’épargner moins (moins de consommation pour le futur) et de

consommer plus aujourd’hui car il retirerait moins d’utilité de ces consommations

futures.

4 - Quel éclairage ce modèle apporte-t-il sur le surendettement des ménages ? Sur le comportement de procrastianation ? Sur Ulysse et les Sirènes ? Pourquoi certaines personnes demandent elles à être in- terdites d’entrée dans les casinos ?

Le comportement de procrastination est une tendance à toujours remettre les tâches contraignantes au lendemain afin de profiter du moment présent.

Ulysse en s’attachant à un poteau préfère restreindre ses choix futurs et ainsi ne pas succomber aux sirènes.

De même certaines personnes préfèrent se restreindre en demandant d’être interdite

de casion pour ne pas dilapider tout leur argent en une soirée...

Exercice n°26 : La demande d’assurance

Soit un agent avec un revenu noté Y. Avec une probabilité p il tombe malade, ce qui lui cause une perte de revenu noté ∆. La maladie n’a pas d’autre effet sur son utilité.

Cet agent a des préférences représentables par une fonction d’utilité à la Von Neumann-Morgenstern, avec aversion pour le risque.

L’agent a la possibilité de souscrire un contrat d’assurance contre le risque de maladie. Pour cela il doit payer une prime d’assurance π , en l’échange de quoi la compagnie lui verse une somme compensatoire K s’il tombe malade.

1. On suppose que l’entreprise d’assurance a un profit espéré nul et qu’elle est neutre au risque. Justifiez ces hypothèses.

2. Montrez que le meilleur contrat pour lequel les profits de l’entreprise sont nuls est un contrat d’assurance complète. Calculez alors les valeurs de π et de K .

3. On suppose que l’assurance doive payer un coût d’expertise λK . A partir des utilités marginales de consommation dans les différents états de la nature, trouvez une relation définissant le contrat optimal et interprétez.

4. Un test de dépistage de cette maladie permet de déterminer ex-ante si l’agent sera malade ou non. Le test est gratuit, mais n’apporte qu’une simple in- formation (i.e : il ne permet pas de se prémunir contre la maladie). Que se passe-t-il dans les cas suivants :

• La compagnie d’assurance n’a pas la possibilité d’imposer le test à ses clients. Les agents peuvent le faire, mais les résultats sont communiqués à l’assurance.

• La compagnie d’assurance n’a pas la possibilité d’imposer le test à ses clients. La compagnie d’assurance n’a aucune information si les clients font le test ou non, ni aucune information sur le résultat le cas échéant.

• La compagnie d’assurance peut imposer le test à ses clients et est in-

formée du résultat.

Correction

1- On suppose que l’entreprise d’assurance a un profit espéré nul et qu’elle est neutre au risque. Justifiez ces hypothèses.

L’hypothse de profit nul est liée au jeu de la concurrence en situation de CPP.

Cette compagnie d’assurance est neutre au risque car elle a plusieurs clients avec des probabilités p, individuelles et indépendantes, qu’ils tombent malades. S’il n’est pas possible à priori pour la compagnie de connaitre les probabilités indi- viduelles, elle mutualise le risque en jouant sur la loi de grands nombres. Elle va en effet fixer ses conditions de contrat (notamment le prix) en ayant une estimation de la proportion de personnes malades et faire supporter les coûts à la population non malade.

2 - Montrez que le meilleur contrat pour lequel les profits de l’entreprise sont nuls est un contrat d’assurance complète. Calculez alors les valeurs de π et de K .

L’individu compare les différentes situations auxquelles il peut faire face.

Sans assurance :

p →Y − ∆ 1 − p →Y Avec assurance :

p →Y − ∆ − π + K 1 − p →Y − π

En cas de souscription, la compagnie d’assurance a alors : p →π − K

1 − p →π

Le consommateur va chercher à maximiser son utilité espérée :







max

U = pU(Y-∆ − π + K ) + (1 − p ) U ( Y − π ) sc : (1 − p ) π + p ( π − k ) = 0 ⇔ π = pK

On peut alors remplacer π par pK dans la fonction objectif :

max

U = pU(Y-∆ − pK + K ) + (1 − p ) U ( Y − pK )

⇔ p (1 − p ) U

( Y − ∆ − pK + K ) + (1 − p )( −p ) U

( Y − pK ) = 0

⇔ U

( Y − ∆ − pK + K ) = U

( Y − pK )

⇔ U

( C

) = U

( C

)

L’individu étant averse au risque, sa fonction d’utilité est concave, donc U

est décroissante.

Si C

= C

, alors :

Y − ∆ − π + K = Y − π et π = pK

⇒ − ∆ − pK + K = −pK Donc le contrat d’assurance optimal est alors :

K = ∆ π = p ∆

Avec une assurance complète (le montant versé K indemnise totalement la perte ∆), le client a le même niveau d’utilité dans les 2 cas, qu’il soit ou non malade. C’est le contrat d’assurance optimal pour l’agent, du fait de son aversion au risque.

Cependant l’assurance complète pose problème et illustre deux effets pervers dûs à l’asymétrie d’information :

• l’aléa moral : problème ex-post, changement de comportement (trop d’assurance diminue la vigilance).

• la sélection adverse (anti-selection) : les mauvais chassent les bons, marché inefficient (cf : Market for lemons, Akerloff (1970)).

3 - On suppose que l’assurance doive payer un coût d’expertise λK . A partir des utilités marginales de consommation dans les différents états de la nature, trouvez une relation définissant le contrat optimal et interprétez.

La situation de la compagnie d’assurance est alors : (1 − p ) π + p [ π − (1 − λ ) K ] = 0

π = p (1 + λ ) K La maximisation de l’utilité :

max(1 − p ) U [ Y − p (1 + λ ) K ] + p [ Y − p (1 + λ ) K − ∆ + K ]

= (1 − p )( −p )(1 + λ ) U

( C

) + p [ −p (1 + λ ) + 1] U

( C

) = 0

U

( C

)

U

( C

) = (1 − p )(1 + λ 1 − p (1 + λ )

=1 + λ

1 − p (1 + λ ) > 1 U

( C

)

U

( C

) > 1 ⇔ U

( C

) > U

( C

) ⇔ C

> C

L’assurance est perçue, mais elle est couteuse et ne profite pas au client. La quantité d’assurance est alors réduite (assurance partielle). La perte de revenu n’est donc pas totalement compensée.

4.1 - La compagnie d’assurance n’a pas la possibilité d’imposer le test à ses clients. Les agents peuvent le faire, mais les résultats sont communiqués à l’assurance.

Si le test est réalisé :

Test négatif → U ( Y ) Test positif → U ( Y − ∆) D’où :

(1 − p ) U ( Y ) + pU ( Y − ∆)

Si le test n’est pas réalisé : assurance totale. Dans ce cas l’information empêche les individus de s’assurer.

4.2 - La compagnie d’assurance n’a pas la possibilité d’imposer le test à ses clients. La compagnie d’assurance n’a aucune information si les clients font le test ou non, ni aucune information sur le résultat le cas échéant.

Comme il n’y a pas de diffusion de l’information, tout le monde peut faire le test.

Si le résultat est négatif les individus ne s’assurent pas. Seuls les malades vont vouloir s’assurer.

Cependant la compagnie d’assurance sait qu’elle n’aura que des malades qui voudront s’assurer et refusera donc de les assurer !

4.3 La compagnie d’assurance peut imposer le test à ses clients et est informée du résultat.

La compagnie va tenter de trier ses clients... et n’assurera donc pas les malades.

Les individus négatifs ne le voudront naturellement pas. Il n’y a donc pas d’assurance.

Pour qu’il y ait assurance (et ainsi obtenir une situation sociale plus efficiente), il

est parfois bon qu’il n’y ait pas trop d’information !