Optimisation Combinatoire 2A Algorithmes d’Edmonds TD

(1)

Optimisation Combinatoire 2A Algorithmes d’Edmonds TD

Zolt´an Szigeti

Ensimag Grenoble INP

Z. Szigeti (Ensimag) OC 2A 1 / 18

(2)

Couplages dans les graphes g´en´eraux

Th´eor`eme de Tutte

G admet un couplage parfait⇐⇒

co(G −X)≤ |X| ∀X ⊆V(G).

Probl`eme

Trouver un couplage parfait.

Th´eor`eme de Berge

Un couplageM de G est de cardinal maximum⇐⇒

il n’existe pas de chaˆıne M-augmentante.

Id´ee 1

1 Trouver une chaˆıne augmentante.

r a

b c

f d e

g h

i j

k

r a

b c

f d e

g h

i j

k

f e

i j

k

(3)

Arbres altern´es

Définition : Étant donnés un grapheG et un couplageM de G,

1 arbreM-altern´e:

1 un arbreF dansG,

2 un sommetr_F deF estM-insatur´e (rF est la racinede F),

3 dansF,chaque sommet de la distance impaire der_F est de degr´e2,

4 chaque(rF,v)-chaˆıne élémentaire unique dansF estM-alternée.

2 sommet impair/pair: v∈V(F) tel quedist_F(r_F,v) estimpairs/pairs.

3 A_F et D_F : L’ensemble des sommetsimpairs/pairs deF.

Remarque

|DF|=|AF|+ 1 :

1 F −r_F poss`ede un couplage parfait reliant chaque fois un sommet de A_F `a un sommet de D_F,

2 r_F est dansD_F. F _r_F

M

AF

DF

(4)

Fleurs

Exemple

l’id´ee de construire un arbre altern´e n’est pas suffisante.

r

u v

w

Définition : Étant donné un arbre M-alternéF fleur : le cycle impair unique C deF +uv où u et v sont deux sommets pairs deF.

Id´ee 2 d’Edmonds Contracter la fleur !

1 On aura lespseudo-sommets w_C !

rF

F M

AF

DF

u v

C

wC

(5)

D´econtraction d’une fleur

Lemme

Pour tout cycle impair C et pour toutz ∈V(C),

C −z poss`ede un couplage parfait. _z

C

D´efinition

D´econtraction d’une fleur : w_C est remplac´e par le cycle impairC.

Lemme

Quand on décontracte une fleur, on peut étendre le couplage tel que le nombre de sommets insaturés n’augmente pas.

z

C e

e w_C

quandwCest satur´e rF

C wC

quandwCest insatur´e

(6)

Algorithme de couplage parfait d’Edmonds

Entr´ee : G = (V,E) un graphe.

Sortie :Couplage parfait M ouX ⊂V qui viole la condition de Tutte.

Etape 0. Initialisation.

M :=∅,G :=G. Etape 1. Condition 1 d’arrˆet.

Si tous les sommets de G sontM-satur´es alors arrˆeter avec M.

Etape 2. Commencement de la construction d’un arbre altern´e.

r := un sommet M-insatur´e,F := (r,∅).

Etape 3. Condition 2 d’arrˆet.

Si chaque arˆete de G sortant d’un sommet deD_F entre dans un sommet de AF alors arrˆeter avecX :=AF.

(7)

Algorithme de couplage parfait d’Edmonds

Etape 4. Choix de l’arˆete uv.

uv :=une arˆete de G telle que u ∈ D_F etv ∈/ A_F. Etape 5. Augmentation de l’arbre altern´e.

Si v ∈/V(F)et il existe vw ∈M alors faire F :=F +uv+vw,

Aller `a l’Etape 3.

Etape 6. Contraction d’une fleur.

Si v est dansF alors faire

C := le cycle unique dansF +uv, M :=M/C,G :=G/C,F :=F/C, Aller `a l’Etape 3.

rF F M

AF DF

u v

C

−→ ^F/C^r^F/C

M/C

AF/C DF/C wC

(8)

Algorithme de couplage parfait d’Edmonds

Etape 7. Augmentation du couplage.

Si v n’est pas dansF et v est M-insatur´e alors faire Construction d’une chaˆıne M-augmentante.

P :=F[rF,u] +uv.

Augmentation du couplage dans le graphe contract´e.

M := (M\E(P))∪(E(P)\M).

D´econtraction des fleurs contract´ees en ordre inverse.

Si les fleurs contract´ees sontC0, . . . ,Cj−1 alors Tant quej 6= 0 faire

e := l’arˆete du couplage M incidente `a w_C_j

−1, G :=G÷Cj−1 (d´econtraction de Cj−1), z :=le sommet deC qui est incident `ae,

rF F

uk vk

f e

g h

i j

k C

k

e

₁

(33)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

w

_C₀

f e

g h

i = z

₁

j k e

₁

C

₁

(34)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

w

_C₀

f e

g h

i = z

₁

j k e

₁

C

₁

(35)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

w

_C₀

f e

g h

i j

k

(36)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

w

_C₀

f e

g h

i j

k

e

₀

(37)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

C

₀

r z

₀

b

c

f d e

g h

i j

k e

₀

(38)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

C

₀

r z

₀

b

c

f d e

g h

i j

k

e

₀

(39)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

r a

b

c

f d e

g h

i j

k

(40)

Ex´ecution de l’algorithme de couplage parfait

r a

b c

f de

g h

i j

k

r a

b c

f de

g h

i j

k

r a

b c

f de

g h

i j

k

r a

b c

f de

g h

i j

k

r a

b c

f de

g h

i j

k C0

wC0

f e

g h

i j

k

wC0

f e

g h

i j

k

wC0

f e

g h

i j

k

wC0

f e

g h

i j

k

wC0

f e

g h

i j

kC1

wC0

f wC1

k

wC0

f wC1

k e1

(41)

Algorithme de couplage de cardinal maximum d’Edmonds

Entr´ee : G = (V,E) un graphe.

Sortie :Un couplage deG de cardinal maximum.

Etape 1. Construction des arbres altern´es.

Tant qu’il existe un sommet insatur´e faire

Ex´ecuter l’algorithme de couplage parfait avec la modification suivante :

avant s’arrêter à l’Etape 3 effacer les sommets de l’arbre alterné.

Etape 2. D´econtraction des fleurs contract´ees en ordre inverse.

Comme dans l’algorithme de couplage parfait en ajoutant que siwCj−1=rF_k alors zj−1 :=rF_k

−1. Etape 3. Arrˆeter.

z

C e

e wC

quandwCest satur´e rF

C wC

quandwCest insatur´e

(42)

Justification de l’algorithme de couplage de cardinal max.

Structure

Quand l’algorithme s’arrˆete on at arbres altern´esF₁, . . . ,F_t qui sont sommets disjoints et un couplage parfaitM^′ du reste du graphe.

Chaque sommet deDi correspond `a un graphe connexe impairdansG. ChaqueF_i correspond `a un grapheG_i dansG.

At Dt A1

D1

A1 At

(43)

Justification de l’algorithme de couplage de cardinal max.

Th´eor`eme

1 G_i poss`ede un couplageM_i avec un seul sommetM_i-insatur´e dansG_i.

2 c_o(G−X)− |X|=t o`u X =St i=1A_F_i.

3 M =M^′∪St

i=1M_i est un couplage de cardinal maximum deG.

4 L’algorithme s’arrˆete en temps polynomial.

5 Cet algorithme implique la Formule de Berge-Tutte.

r1

G1

A₁ A_t

rt

Gt

M^′

M1 Mt

X

(44)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(45)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(46)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(47)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(48)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(49)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(50)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

(51)

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

Ex´ecution de l’algorithme d’Edmonds

C0

wC0 wC0 wC0

wC0

C1

wC0

wC1

wC0

wC1 wC1

wC0

(71)

Sujets d’exam d’OC

1 Exemple couplage

2 Ex´ecution d’Edmonds-Karp

3 Ex´ecution de Ford-Fulkerson-Dantzig

2012

4 Transformation flot coˆut min.

5 Th´eor`eme sur les couplages

1 Mod´elisation + Ex´ecution de Bellmann

3 Ex´ecution de l’algo circulation

2013

(72)

Sujets d’exam d’OC

1 Exemple couplage parfait

3 Mod´elisation avec flots

4 Ex´ecution de l’algo flot coˆut min.

2014

5 Th´eor`eme sur les flots

1 Exemple + th´eor`eme sur couplages

3 Ex´ecution de la m´ethode hongroise

2015

(73)

Sujets d’exam d’OC

2 Exemple couplage

3 Ex´ecution de l’algo flot coˆut min

2017

6 Th´eor`eme sur les flots

1 Ex´ecution de l’algo sur couplages

2018

(74)

Exercice 6.1

Th´eor`eme de Berge

Un couplage M deG est de cardinal maximum ⇐⇒il n’existe pas de chaˆıne M-augmentante.

D´emonstration de suffisance

1 Supposons que le couplage M n’est pas de cardinal maximum, qu’il existe donc un couplage M^′ tel que|M^′|>|M|.

2 Comme|M^′\M|>|M\M^′|il existe au moins une composante connexe K deG((M^′\M)∪(M \M^′))qui contient plus d’arˆetes de M^′ que de M.