Optimisation Combinatoire 2A Flots TD

Optimisation Combinatoire 2A Flots TD

Zolt´an Szigeti

Ensimag INP Grenoble

D´efinition des flots

D´efinition

1 Etant donn´es´

1 un graphe orient´eG= (V,A),

2 s,t∈V tels que δ⁻(s) =∅=δ⁺(t),

3 une capacit´e non-n´egativeg sur les arcs,

s t

(1,1) (2,3) (1,1) (1,1)

(2,3) (x(e),g(e))

2 une fonction x sur les arcs est

1 unflotde s`a t si laconservation du flotest v´erifi´ee : X

uv∈A

x(uv) = X

vu∈A

x(vu) ∀v ∈V\ {s,t}.

2 r´ealisablesi lacontrainte de capacit´eest v´erifi´ee : 0≤x(e)≤g(e) ∀e∈A.

Notation

Notation

Etant donn´es un graphe orient´e´ G, une capacit´eg, un flot x,Z⊆V(G),

1 Valeur sortante de Z : d_x⁺(Z)=P

e∈δ⁺(Z)x(e),

2 Conservation du flot : d_x⁻(v) =d_x⁺(v),

3 Valeur du flot : val(x)=d_x⁺(s),

4 (s,t)-coupe Z : sis ∈Z ⊆V \t,

5 Capacit´e de (s,t)-coupe Z : cap(Z) =d_g⁺(Z).

s t

(1,1) (2,3) (1,1) (1,1)

(2,3) (x(e),g(e))

Z

d_x⁺(Z) = 4 d_x⁺(s) = 3 d_g⁺(Z) = 6

Valeur du flot

Lemme

Pour tout (s,t)-flotx et toute (s,t)-coupe Z : val(x) =d_x⁺(Z)−d_x⁻(Z).

D´emonstration val(x) = d_x⁺(s)

= d_x⁺(s)− 0 + X

v∈Z−s

0

= d_x⁺(s)−d_x⁻(s) + X

v∈Z−s

(d_x⁺(v)−d_x⁻(v))

= X

v∈Z

(d_x⁺(v)−d_x⁻(v))

= d_x⁺(Z)−d_x⁻(Z).

s t

1 2 1 1

2 Z

Flot max ≤ Coupe min

Lemme

Pour tout(s,t)-flot r´ealisablex et toute(s,t)-coupeZ : val(x)≤cap(Z).

D´emonstration

val(x)=d_x⁺(Z)−d_x⁻(Z)

≤d_g⁺(Z)−d₀⁻(Z)

=d_g⁺(Z) =cap(Z).

s t

(1,1) (2,3) (1,1) (1,1)

(2,3) Z

Remarque

Si x est un (s,t)-flot r´ealisable etZ est une(s,t)-coupe tels queval(x) = cap(Z), alors ils sontoptimaux.

Probl`eme

Trouver un (s,t)-flot r´ealisable de valeur maximumet une(s,t)-coupe de capacit´e minimum.

Th´eor`eme min-max

Th´eor`eme (Ford-Fulkerson)

1 Un(s,t)-flot r´ealisablex est de valeur maximum si et seulement si il n’existe pas de (s,t)-chemin dansG_x.

2 max{val(x): (s,t)-flot r´ealisablex}=min{cap(Z): (s,t)-coupeZ}.

✒

✲

❘

❄

✻

✲

✲

✲

✻

❄

✒✲

s ❘ t

(1,1)

(1,1)

(1,1)

(1,1)

(1,1) (1,2)

(1,2)

(1,2) (0,2) (0,2)

(0,2) (0,2) (1,2)

Z

Algorithme

Algorithme d’Edmonds-Karp

Entr´ee: R´eseau (G,g) tel que g ≥0 et s,t ∈V : δ⁻(s) =∅=δ⁺(t).

Sortie : (s,t)-flot r´ealisablex et(s,t)-coupe Z tels queval(x) =cap(Z).

Algorithme

Etape 0: x₀(e) = 0∀e ∈A, i := 0.

Etape 1: Construire le graphe auxiliaire G_i:= (V,A¹_i ∪A²_i) o`u A¹_i:={uv :uv ∈A,xi(uv)<g(uv)} et

A²_i:={vu :uv ∈A,x_i(uv)>0}.

Etape 2: Appliquer l’algorithme Recherche en largeur d’abord sur G_i et s pour obtenir Zi⊆V ets-arborescence Fi deGi[Zi]: δ⁺_G

i(Zi) =∅.

Etape 3: Si t ∈/ Z_i alors arrˆeter avec x:=x_i etZ:=Z_i. Etape 4: Sinon P_i :=F_i[s,t], le (s,t)-chemin unique dansF_i. Etape 5: ε¹_i:= min{g(uv)−xi(uv) :uv ∈A(Pi)∩A¹_i},

ε²_i:= min{xi(uv) :vu∈A(P_i)∩A²_i}, εi := min{ε¹_i, ε²_i}.

Etape 6: x_i+1(uv) :=







x_i(uv) +εi siuv ∈A(Pi)∩A¹_i xi(uv)−εi sivu ∈A(Pi)∩A²_i x_i(uv) sinon.

Etape 7: i:=i+ 1 et aller `a l’Etape 1.

Exercice 3.4

Enonc´e´

D´eterminer un (s,t)-flot r´ealisable de valeur maximum et une(s,t)-coupe de capacit´e minimum dans les r´eseaux suivants:

✲ ✲

s t

2 3 3 1

3

✒

❘

✒

❘

✻

1

✯

❥

q✯ 4 1

4 2 5

s t

1 1

1 2

✒

❘

❃

⑦

⑦❃

✲

❄ ✲◆

❑

2 3

7 7

4

5 6

(a) (b)

Exercice 3.4 : Solution de (a)

✯

❥

✒ ✯

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘

❥

✒

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘ (0,4)

(0,4) (0,1)

(0,1)

(0,1) (0,2)

(0,2)

(0,3) (0,3)

(0,3)

(0,5) 4 1

s t s t

✯

❥

✒

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘ (1,4)

(0,4) (1,1)

(0,1)

(0,1) (0,2)

(0,2)

(0,3) (0,3)

(0,3) (0,5)

s t _✯

✒

❘

✯

❥

✲ ✲

✻

✒

❘ 1 4

s^✠ t

②

✯

❥

✒

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘ (1,4)

(1,4) (1,1)

(1,1)

(0,1) (0,2)

(0,2)

(0,3) (0,3)

(0,3) (0,5)

s t _✯

✒

✲

✯

❘

✲

✻

✒

s^✠ ❘ t

②

■

✾ 2

3 3

(x(e),g(e))✲

✲

✲

✲ A₁ A2

P

ε= 1

ε= 1

ε= 2 (a)

Exercice 3.4 : Solution de (a)

❨

✯

❥

✒

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘ (1,4)

(3,4) (1,1)

(1,1)

(0,1) (2,2)

(0,2)

(0,3) (2,3)

(0,3) (0,5)

s t _✯

✯✒

❘

✲

✻

✒

s^✠ ❘ t

②

■

✾

✮ ❨

3 2

1

✯

❥

✒

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘ (2,4)

(3,4) (1,1)

(1,1)

(1,1) (2,2)

(1,2)

(0,3) (2,3)

(0,3) (0,5)

s t _✯

✯✒

❘

❘

✻

s^✠ ✒ t

②

■

✾

✮ ❨ ✮

✯

❥

✒

❘

✯❥

✲ ✲

✻

✒

❘ (2,4)

(3,4) (1,1)

(1,1)

(1,1) (2,2)

(1,2)

(0,3) (2,3)

(0,3) (0,5)

s t

Z

ε= 1

Exercice 3.4 : Solution de (b)

❃

⑦ ❄

✒

✲

✲❘

❃⑦

❯

❪ ❃

⑦ ❄

✒✲

✲❘

❃⑦

❯

❪

s t s t

(x(e),c(e))✲

✲

✲

✲A1 A2 P (0,3)

(0,7) (0,7)

(0,2)

(0,2) (0,1)

(0,1) (0,1) (0,4)

(0,5)

(0,6) 3

4

6

ε= 3

❃

⑦ ❄

✒

✲

✲❘

❃⑦

❯

❪

s t

(3,3)

(0,7) (0,7)

(0,2)

(0,2) (0,1)

(0,1) (0,1) (3,4)

(0,5) (3,6)

❃⑦

❄

✒

✲

✲

7 ❘

⑦ ❯

❪

s t

7 2

✙ ②

☛

ε= 2

❃

⑦ ❄

✒

✲

✲❘

❃⑦

❯

❪

s t

(3,3)

(2,7) (2,7)

(0,2)

(2,2) (0,1)

(0,1) (0,1) (3,4)

(0,5) (3,6)

❃⑦

❄

✒

ε= 1

✲

⑦ ❘❯

❪

s t

✙ ②

☛

❨ ✾

❑ 5

1 3

(b)

Exercice 3.4 : Solution de (b)

❃

⑦ ❄

✒

✲

✲❘

❃⑦

❯

❪

s t

(3,3)

(3,7) (2,7)

(0,2)

(2,2) (0,1)

(1,1) (0,1) (3,4)

(0,5) (4,6)

❃⑦

❄

✲

❘

⑦ ❯

❪

s t

✙ ②

☛

❨ ✾

❑

❃

⑦ ❄

✒

✲

✲❘

❃⑦

❯

❪

s t

(3,3)

(3,7) (2,7)

(0,2)

(2,2) (0,1)

(1,1) (0,1) (3,4)

(0,5) (4,6)

Z

✌

Exercice 3.6

Enonc´e´

Soient G = (V,A) un graphe orient´e, s,t ∈V etk ∈Z+ tels que d⁺(s)−d⁻(s) = k,

d⁺(t)−d⁻(t) = −k,

d⁺(v)−d⁻(v) = 0 ∀v ∈V \ {s,t}.

(a) Montrer que G poss`ede k (s,t)-chemins arc-disjoints.

(b) Trouver trois (s,t)-chemins arc-disjoints dans le graphe orient´e suivant.

s t

Exercice 3.6

Solution

Soit G^′ := (V,A∪ {ei =ts : 1≤i ≤k}).

d_G⁺_′(s)−d_G⁻_′(s) =d_G⁺(s)−(d_G⁻(s) +k) =k−k= 0, d_G⁺_′(t)−d_G⁻_′(t) = (d_G⁺(s) +k)−d_G⁻(s) =k−k = 0,

d_G⁺′(v)−d_G⁻′(v) =d_G⁺(v)−d_G⁻(v) = 0 ∀v 6=s,t.

Par l’Exercice 1.11,A(G^′) se d´ecompose en circuits ´el´ementaires.

Soit C_i le circuit contenant l’arc e_i et P_i :=C_i−e_i ∀1≤i ≤k.

P₁, . . . ,P_k sontk (s,t)-chemins arc-disjoints.

s t s t s t s t s t