Etude Et Analyse Non Lineaire Des Plaques Minces Non Homogene En Flexion Cylindrique

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT

SUPERIEUR ET DE LA

RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DJILLALI LIABES SIDI BEL ABBES

Laboratoire des Matériaux & Hydrologie

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

THESE DE DOCTORAT EN SCIENCES

Option : Science des matériaux

Présentée par

KACI Abdelhakim

Soutenu le 23 Octobre 2012 devant le Jury composé de :

Mr_{. E.A. ADDA BEDIA Professeur UDL-SBA Président}

Mr_{. A. TOUNSI Professeur UDL-SBA Rapporteur}

Mr_{. K. AMARA MC A C.U.AIN TEMOUCHENT Examinateur}

Mr_{. S. BENYOUCEF MC A UDL-SBA Examinateur}

Mr_{. T.H. DAOUADJI MC A U.TIARET Examinateur}

Mr_{. N.ELMEICHE MC A U. MASCARA Examinateur}

ETUDE ET ANALYSE NON LINEAIRE DES

PLAQUES MINCES NON HOMOGENE EN

Ce travail a été effectué au sein du Laboratoire des Matériaux et Hydrologie, de l’Université l'université de Djillali Liabès Sidi Bel Abbes.

Je tiens tout d’abord à adresser mes profonds remerciements à Monsieur Abdelouahed

Tounsi, professeur à l’université Djillali liabes de Sidi Bel Abbes, de m’avoir confié un sujet

de recherche prestigieux et passionnant. Je tiens à lui témoigner toute ma gratitude pour son aide, son amabilité et sa rigueur scientifique. Ses encouragements constants et son amical soutien m’ont grandement aidé à l’achèvement de ce travail.

J’exprime également toute ma reconnaissance à Monsieur ADDA BEDIA EL ABASS, professeur à l’université Djillali liabes de Sidi Bel Abbes, qui a apporté un soutien scientifique constant à mon travail de recherche. Sa disponibilité et ses conseils avisés ont permis d’aplanir bien des difficultés.

Mes plus vifs remerciements s’adressent aussi à Messieurs K. AMARA, S.BENYOUCEF et T.H. DAOUADJI de m’avoir fait l’honneur d’être les examinateurs de

cette thèse. Qu’il me soit permis de leurs exprimer ma profonde gratitude.

Je souhaite exprimer ma gratitude envers l’ensemble de mes collègues du Laboratoire des matériaux et Hydrologie de l’Université Djilali Liabès de Sidi Bel Abbés.

Je voudrais adresser mes remerciements à tous mes amis avec qui les échanges scientifiques, techniques ou amicaux ont été très formateurs pour ma personnalité et leur contribution a apportée un soutien scientifique important à ce travail.

DEDICACE

Á ma famille,

Á mon épouse,

À mes enfants,

Table des Matières

Abstract

Liste des figures Liste des tableaux Liste des symboles

Introduction Générale ...1

CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES MATERIAUX A GRADIENT DE PROPRIETES I.1. Introduction...5

I.2. Concept des matériaux à gradient de propriétés ...6

I.3. Historique de développement du FGM ...7

I.4. Les méthodes de fabrication du Matériau à Gradient de propriétés ...9

I.4.1. Coulage en Bande (Tape Casting ou Doctor-Blade) ...9

I.4.2. Coulage séquentiel en barbotine (Slip Casting) ...11

I.4.3 Dépôt par Electrophorèse...11

I.4.4. Compaction sèche des Poudres ...11

I.4.5. Projection plasma...12

I.4.6 C. V. D. et P. V. D. ...12

I.4.7. Frittage et Infiltration ...12

I.4.8 Frittage Laser Différentiel ...12

I.4.9 Implantation Ionique (Sputtering) ...13

I.4.10 Dépôt par Centrifugation...13

I.5. Lois régissantes la variation des propriétés matérielles des plaques FGM ...14

I.5.2. Propriétés matérielles de la plaque S-FGM ...16

I.5.3. Les propriétés matérielles de la poutre E-FGM : ...17

I.6. Conclusion ...18

CHAPITRE II : GENERALITES SUR LES MATERIAUX NANOCOMPOSITE II.1. Introduction ...19

II.2. Définition d’un nanocomposite ...21

II.3. Les formes traditionnelles du carbone ...23

II.3.1. Le graphite ...23

II.3.2 Le diamant ...23

II.4 Les nouvelles formes du carbone...24

II.4.1 Fullerènes et dérivés ...24

II.4.2 Nanotubes multifeuillets (ou multiparois) ...25

II.4.3 Nanotubes monofeuillets (ou monoparois)...26

II.5 Synthèse de nanotubes ...30

II.5.1 Méthode de l'arc électrique ...30

II.5.2 Méthode d'ablation laser ...32

II.5.3 Méthode de dépôt chimique en phase vapeur ...32

II.5.4 Décomposition catalytique : HiPCO ...33

II.6 Propriétés physiques des nanotubes de carbone ...33

II.6.1 Propriétés mécaniques ...33

II.6.2 Propriétés thermiques ...34

II.6.3 Propriétés électroniques...35

II.7 Exploitation des propriétés des nanotubes de carbone...35

II.8. Méthode de simulation de dynamique moléculaire ...37

II.8.1. Calcul de la fraction volumique CNT...38

II.8.2. Calcul de l’énergie d’interaction polymère/CNT ...38

II.9. Conclusion ...39

CHAPITRE III : THEORIE DES PLAQUES III.1. Introduction ...40

III.3. Les modèles analytiques des plaques FGM ...41

III.3.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT)...41

III.3.2 La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT)...42

III.3.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT)...45

III.4. Analyse non linéaire des plaques...46

III.4.1. Relations déformation-déplacement ...46

III.4.2. Relations contrainte-déformation...47

III.4.3. Equations des efforts et des moments ...48

III.4.4. Détermination des équations d’équilibre par le principe des travaux virtuels ...50

III.4.5. Energie potentielle totale minimale (Méthode de Ritz)...51

III.4.6. Flexion cylindrique d’une plaque longue ...52

III.4.7. Conclusion ...52

CHAPITRE IV : SOLUTION MATHEMATIQUE NON LINEAIRE DES PLAQUES FGM EN FLEXION CYLINDRIQUE IV.1. Introduction ...53

IV.2. Gradient des Propriétés matérielles des plaques FGM ...53

IV.2.1 Les propriétés matérielles de la plaque S-FGM ...54

IV.2.2 Les propriétés matérielles de la plaque E-FGM ...56

IV.3-Les équations constitutives de la flexion cylindrique non linéaire des plaques FGM ...57

IV-4. Solution générale...62

IV-4.1 Analyse non linéaire ...62

IV-4.2 Analyse linéaire ...63

IV-5. Résultats numériques et discussions ...64

IV-6. Conclusion ...74

CHAPITRE V : ANALYSE NON LINEAIRE DES PLAQUES COMPOSITES RENFORCEES PAR DES NANOTUBES DE CARBONE EN FLEXION CYLINDRIQUE V.1. Introduction ...76

V.3. Equations constitutives non linéaire des plaques FG-CNTRC en flexion ...80

V.4. Flexion cylindrique ...83

V.5. Solution générale d’une plaque soumise à un chargement transverse ...84

V.5.1. Analyse non linéaire ...84

V.5.2. Analyse linéaire...85

V.6. Résultats numériques et discussion ...86

V.7. Conclusion ...94

CHAPITRE VI: ANALYSE NON LINEAIRE DE LA FLEXION DES PLAQUES « SANDWICHES » EN FGM EN UTILISANT LA THEORIE D’ORDRE ELEVE A DEUX VARIABLES VI.1.Introduction ...95

VI.2.Formulation théorique ...98

VI.2.1. Configuration géométrique...98

VI.2.2. La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (TSDT) ...100

VI.2.3. La théorie d’ordre élevé à deux variables ...101

VI .2.3.1. Hypothèses de la présente théorie d’ordre élevé à deux variables ...101

VI. 2.3.2. Cinématique et équations constitutives ...102

VI.2.4. Les contraintes ...103

VI.2.5. Détermination des équations d’équilibre ...104

VI.2.6. Détermination des coefficients de rigidité ...105

VI.2.7. Formulation des équations différentielles ...106

VI.3. Energie potentielle totale minimale ...107

VI.4. Résultats numériques et discussions...109

VI.5. Conclusion ...114

Conclusion Générale ...115

Résumé

L'intérêt de cette thèse est l’étude et l’analyse non linéaire des plaques minces non homogène en flexion cylindrique. En effet, ce travail de thèse s’articule autour de trois parties distinctes, on commence par étudier le comportement non linéaire des plaques mince en matériau à gradient de propriétés (FGM) en flexion cylindrique. Les propriétés du matériau de la plaque FGM varie suivant la direction de l’épaisseur selon une fonction sigmoïde (S-FGM) ou une fonction exponentielle (E-FGM) soumise à un chargement transversal. Les déformations de Von Karman sont utilisées pour étudier l’effet de la non linéarité géométrique. Les équations régissantes sont réduites à l'équation différentielle linéaire qui aboutit à un procédé simple de solution. Les résultats prouvent que les plaques en matériau à gradient de propriétés montrent le comportement différent des plaques faites de matériaux purs en flexion cylindrique. Des résultats numériques sont présentés pour illustrer l'effet de la distribution de matériel sur les flèches et les contraintes.

Dans la deuxième partie, nous nous sommes intéressés comme dans la première partie de notre travail à l’étude en flexion cylindrique non linéaire des plaques nanocomposites à gradients de propriétés renforcés par des nanotubes de carbone à paroi simple (SWCNT). Les plaques sont soumises à une charge uniforme dans des environnements thermiques et leur non-linéarité géométrique est introduite dans les équations de déformations selon les hypothèses de Von-Karman. Les propriétés des matériaux de SWCNTs sont supposées être dépendantes de la température et sont obtenus à partir des méthodes de simulations de dynamique moléculaire. Les propriétés du composites renforcées par des nanotubes de carbone à gradient de propriétés (FG-CNTCRs) sont supposées variable dans la direction de l’épaisseur, et sont estimés par un modèle micromécanique. Les équations qui régissent sont réduites à l'équation différentielle linéaire simple. Les résultats numériques sont présentés pour illustrer l'effet de la distribution du matériau sur les flèches et les contraintes.

théorie présentée est conforme, ne nécessitant pas de facteur de correction de cisaillement, et donne lieu à des variations de contraintes de cisaillement transversale de telle sorte que les contraintes de cisaillement transversales varient parabolique à travers l'épaisseur, qui satisfait les conditions de contraintes à surface libre. Les plaques sandwiches sont soumises à une charge de pression et la non-linéarité géométrique est introduite dans les équations déformation-déplacement en se basant sur les hypothèses de Von Karman. Le concept d'énergie avec la théorie actuelle et les théories de premier et de troisième ordre de déformation de cisaillement (FSDT et TSDT) sont utilisés pour prédire la grande flèche et la contrainte à travers l'épaisseur des plaques sandwiche à gradients de propriétés. Les faces de la plaque sandwiche sont supposées être isotropes, et le module d'élasticité, le coefficient de Poisson, les coefficients de dilatation thermique sont supposés être variables selon une loi de distribution de puissance en termes de volume de fractions des constituants. La couche centrale reste homogène et réalisée en un matériau isotrope céramique. Les résultats obtenus pour la plaque avec différents épaisseurs en utilisant la présente théorie ne sont pas seulement beaucoup plus précis que celles obtenues en utilisant la théorie classiques des plaques, mais sont presque comparables à ceux obtenus en utilisant des théories d'ordre supérieur.

Mots clés: Matériaux à gradient de propriétés (S-FGM et E-FGM); Comportement non linéaire ; Nano-composites ; Modélisation analytique ; Méthode énergétique ; Théorie classique de plaque (CPT) ; Théorie d’ordre élevé à deux variable ; théorie de déformation de cisaillement; plaques sandwiches.

Abstract

The interest of this thesis is the study the nonlinear cylindrical bending of thin plates. Indeed, this thesis focuses on three distinct parts; one begins in first phase to consider the problems of nonlinear cylindrical bending of sigmoid functionally graded plates (S-FGM) or exponential functionally graded plate (E-FGM) in which material properties vary through the thickness. The nonlinear strain-displacement relations in the von Karman sense are used to study the effect of geometric nonlinearity. The governing equations are reduced to linear differential equation with nonlinear boundary conditions yielding a simple solution procedure. Numerical results are presented to show the effect of the material distribution on the deflections and stresses.

In the second part, we looked like in the first part of our work the nonlinear cylindrical bending of simply supported, functionally graded nanocomposite plates reinforced by single-walled carbon nanotubes (SWCNTs), is studied. The plates are subjected to uniform pressure loading in thermal environments and their geometric nonlinearity is introduced in the strain– displacement equations based on Von-Karman assumptions. The material properties of SWCNTs are assumed to be temperature-dependent and are obtained from molecular dynamics simulations. The material properties of functionally graded carbon nanotube-reinforced composites (FG-CNTCRs) are assumed to be graded in the thickness direction, and are estimated through a micromechanical model. The governing equations are reduced to linear differential equation with nonlinear boundary conditions yielding a simple solution procedure. Numerical results are presented to show the effect of the material distribution on the deflections and stresses.

Finally to conclude, in this part we introduced an efficient and simple refined theory is presented for nonlinear bending analysis of functionally graded sandwich plates. The theory presented is variationally consistent, does not require shear correction factor, and gives rise to transverse shear stress variation such that the transverse shear stresses vary parabolically across the thickness satisfying shear stress free surface conditions. The sandwich plates are

subjected to pressure loading and their geometric nonlinearity is introduced in the strain– displacement equations based on Von-Karman assumptions. The energy concept along with the present theory and the first- and third-order shear deformation theories (FSDT and TSDT) are used to predict the large deflection and through the thickness stress of functionally graded sandwich plates. The sandwich plate faces are assumed to have isotropic, two-constituent material distribution through the thickness, and the modulus of elasticity, Poisson’s ratio of the faces, and thermal expansion coefficients are assumed to vary according to a power law distribution in terms of the volume fractions of the constituents. The core layer is still homogeneous and made of an isotropic ceramic material. The results obtained for plate with various thickness ratios using the theory are not only substantially more accurate than those obtained using the classical plate theory, but are almost comparable to those obtained using higher order theories.

Keywords: Sigmoid functionally graded materials; Exponential functionally graded

materials; Nonlinear behavior, Nano-composites; Analytical modeling; functionally graded materials; Refined plate theory; Nonlinear analysis; Energy method; Sandwich plate; Functionally graded material.

. . . . nanocomposites ) SWCNT .( . nanocomposites (FG-CNTCRs) . . . . . . FSDT TSDT . . . . : ) S-FGM E-FGM ( ) CPT ( .

Liste des figures

Chapitre I

Figure I.1 Caractéristiques de FG...7

Figure I.2 Principe de la méthode coulage en bande ...10

Figure I.3 Disposition du procédé frittage laser différentiel ...13

Figure I.4 Schéma du procédé dépôt par centrifugation...14

Figure I.5 Géométrie d’une plaque en FGM...15

Figure I.6 Variation de la fraction volumique dans une plaque P-FGM. ...16

Figure I.7 Variation de la fraction volumique dans une plaque S-FGM. ...17

Figure I.8 Variation du module de Young dans une plaque E-FGM ...18

Chapitre II

Figure II.2 Schéma montrant la grande flexibilité des nanotubes de carbone ...21

Figure II.3 Structure du graphite hexagonal...23

Figure II.4 Structure du diamant...24

Figure II.5 Fullerène C60...24

Figure II.6 Structure schématique d'un MWNT, où l'on voit bien l'arrangement Concentrique des feuilles de graphène. ...25

Figure II.7 Structure d'un plan de graphène en deux dimensions. Le réseau hexagonal est décrit à partir des deux vecteurs de base ar₁etar₂. ...27

Figure II.9 Nanotubes de carbone monofeuillets ...29

Figure II.10 Schéma d'un cristal de 7 nanotubes...29

Figure II.11 Production de nanotubes de carbone par la méthode de l'arc électrique ...31

Figure II.12 (a) et (b) Manipulation d'un nanotube de carbone par AFM ...34

Chapitre III

Figure III.2 Illustration de la plaque de Love Kirchhoff ...42

Figure III.3 Illustration de la plaque de Reissner-Mindlin ...44

Figure III.4 Illustration de la plaque d’ordre élevé ...45

Figure III.5 Forces et moments agissant sur un élément de plaque ...49

Chapitre IV

Figure IV.2 Variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur de la plaque S-FGM.56 Figure IV.3 Variation le module de Young de la plaque E-FGM pour différents rapports E1/E2 ...57

Figure IV.4 Plan moyen d’une plaque FGM déformée ...57

Figure IV.5 Variation de la flèche maximale adimensionnelle wmax de la plaque S-FG avec 2 = p en fonction de q . ...65n Figure IV.6 Variation de la flèche maximale adimensionnelle wmax de la plaque E-FG en fonction deq ...65n Figure IV.7 Variation de la flèche adimensionnelle sous chargement transversal 2 KN/m 1 = q en fonction de la longueur de la plaque S-FGM avec p=2...66

Figure IV.8 Variation de la flèche adimensionnelle sous chargement transversal 2 KN/m 1 = q en fonction de la longueur pour différent E₁/ E₂ en analyse linéaire. ...67

Figure IV.9 Flèche adimensionnelle due au chargement transversal 2 KN/m

1

=

q en

fonction de la longueur adimensionnelle pour différents E₁/ E₂ en analyse non linéaire. ...67

Figure IV.10 Variation de la flèche maximale adimensionnelle w_maxde la plaque S-FG en fonction de q pour différents paramètres matériels. ...68n

Figure IV.11 Variation de la flèche maximale adimensionnelle w_max de la plaque E-FG en fonction de q pour différentn E₁ / E₂. ...69

Figure IV.12 Distribution de la contrainte axiale adimensionnelle σx de la plaque S-FG à travers l’épaisseur soumise à 2

KN/m

1

=

q pour différents paramètre matériels en analyse linéaire ...70

Figure IV.13 Distribution de la contrainte axiale adimensionnelle σx de la plaque S-FG

soumise à 2

KN/m

1

=

q à travers l’épaisseur pour différents paramètre matériels en analyse non linéaire ...70

Figure IV.14: Distribution de la contrainte axiale adimensionnelle σx de la plaque E-FG à travers l’épaisseur soumise à q=1KN/m2 pour différents E1 / E2en analyse linéaire ...71

Figure IV.15 Distribution de la contrainte axiale adimensionnelle σx de la plaque E-FG à travers l’épaisseur soumise à q=1KN/m2 pour différents E₁ / E₂en analyse non linéaire...72

Figure IV.16 Flèche adimensionnelle de la plaque S-FG en fonction de la flèche

adimensionnelle de la plaque en métal pour différents paramètre, matériel en analyse non linéaire (q=1KN/m2)...73

Figure IV.17 Flèche adimensionnelle de la plaque E-FG en fonction de la flèche

adimensionnelle de la plaque homogène pour différents paramètre matériel en analyse non linéaire ...74

Chapitre V

Figure V.1 Géométrie de composites renforcées par des nanotubes de carbone:

(a)UD-CNTRC and (b) FG-CNTRC ...79

Figure V.2 Variation des flèches adimensionnelles de la plaque CNTRC soumise à une charge uniforme transversale q=1KN/m2 en fonction de la longueur

adimensionnelle pourV_CN* =0.11,T =300K...89

Figure V. 3: Effets de la fraction de volume de nanotube en comportement non linéaire en

flexion des plaques CNTRC sous chargement uniforme q=1KN/m2 et

K

300

=

Figure V.4 Variation de la flèche adimensionnelle maximale au centre wmax _{de la plaque} CNTRC en fonction de qn pour différentes fraction de volumeVCN* . ...91

FigureV. 5 Distribution de la contrainte axiale adimensionnelle σx_{au milieu de la plaque} CNTRC à travers l’épaisseur soumise à q=1KN/m2 pourV_CN* =0.11

etT =300K...92

Figure V. 6 Effet de la fraction de volume des nanotubes sur la contrainte axiale

adimensionnelle σxau milieu de la plaque CNTRC soumise à q=1KN/m2 etT =300K...93

Figure V. 7 Effets du changement de la température dans un comportement non linéaire en

flexion d’une plaque CNTRC sous charge uniforme 2 KN/m 100 = q pour 17 . 0 * = CN V . ...94

Chapitre VI

Figure.VI.1 Géométrie d’une plaque sandwiche en FGM...99 Figure VI.2 Flèche au centre en fonction du paramètre de matériau k sous charge Q=−400 avec rapport a/h=20 et t_c/h=0.8...110

Figure VI.3: Flèche adimensionnelle au milieu en fonction du paramètre matériel k _sous

chargementQ=−25 avec élancement a/h=2 et t_c/h=0.8...111

Figure VI.4: Contrainte axiale adimensionnelle au milieu de la plaque sandwiche

sous la charge Q=−25, avec a/h=2, le paramètre matériel 2

=

k et t_C /h=0.8. ...112

Figure VI.5: Variation de la flèche adimensionnelle W au milieu de la plaque sandwiche aveca/h=10, le paramètre matériel k=0.2 et t_C /h=0.8 en fonction de Q . ...113

Figure VI.6: Flèche adimensionnelle au milieu de la plaque sandwiche en fonction du

chargement de pression uniforme pour différentes épaisseur de du c ur de la plaque ...114

Liste des tableaux

Chapitre I

Tableau I.1: comparaison entre les propriétés de la céramique et du métal. ...6

Chapitre II

Tableau II.1. Comparaison des résultats numériques pour un composite PmPV–CNT. ...38

Chapitre

Tableau V.1.... .Propriétés des matériaux dépendant de la température pour SWCNT (10, 10)

(L= 9.26 nm; R= 0:68 nm; h= 0:067 nm; 12 =0.175

CN

ν ). ...87

Tableau V.2..Comparaison des modules de Young des composites PmPV/CNT renforcés par

Liste des symboles

E (z) Module de Young en fonction de « z »

) (z

υ Coefficient de Poisson en fonction de « z »

) (z V Fraction volumique p Paramètre du matériau a Longueur de la plaque b Largeur de la plaque h Epaisseur de la plaque 0

u ,v ,₀ w Composantes du champ de déplacement sur le plan moyen de la plaque₀

u , v , w Les déplacements dans les directions x ,y, z x

ϕ ,ϕy Les rotations autour des axes x et y

) (z

Ψ Fonction de gauchissement (fonction de cisaillement transverse) x σ ,σy ,σz Contraintes normales xz τ ,τ_yz Contraintes de cisaillement z y x ε ε

ε , , Déformation dans la direction x, y et z yz

xz γ

γ , Déformations de distorsion

u

δ ,δv,δw Champ virtuel de déplacement int

W

δ Travail virtuel intérieur

ext

W

δ Travail virtuel extérieur

Π Energie potentielle totale x

δε ,δεy,δεz Champ de déformation longitudinal virtuel xz

xy y x N N N , , Efforts normaux xy y x M M M , , Moments de flexion b xy b y b x M M M , , Moments de flexion s xy s y s x M M

M , , Moment supplémentaire du au cisaillement transverse s yz s xz S S , Effort de cisaillement yz xz Q Q , Effort de cisaillement ∂ Dérivée partielle

i et j Sont des nombres naturels.

ij

A Termes de rigidité de la matrice de membrane ij

B Termes de rigidité de la matrice de couplage ij

D Termes de la matrice de flexion s

ij

B Termes de rigidité de la matrice s

ij

D Termes de rigidité de la matrice s

ij

H Termes de rigidité de la matrice s

ij

A Termes de rigidité de la matrice

T Chargement thermique

{ }

Introduction Générale

Les plaques apparaissent très fréquemment autour de nous sous diverses formes comme par exemple les films minces, les toiles, les membranes biologiques, les tôles, les plaques continentales, les nanotubes. . . Cela tient en partie à leur bonne résistance mécanique, leur souplesse dans le domaine élastique, couplées à leur légèreté. Pourtant, malgré plus d'un siècle d'études des comportements des structures minces élastiques, encore de nombreuses questions sont ouvertes, notamment du point de vue des non linéarités provenant des grandes déformations.

Le modèle linéaire de plaque qui nous sert de base est celui publié en 1892 par A. Love[1] fournissant les équations d'équilibre sous l'hypothèse des déplacements infinitésimaux (hypothèse des petites perturbations : HPP). Cette théorie fondée sur les hypothèses de G. Kirchhoff s'inspire de celle des poutres d'Euler-Bernoulli. Il s'agit d'une description simple de la déflection d'une plaque élastique mince. Bien entendu le modèle linéaire modélise des petits déplacements et se révèle insuffisant pour décrire la flexion forte d'une plaque élastique. C'est pour prendre en compte les non-linéarités géométriques induites par les déplacements modérés que l'ingénieur hongrois Von Karman proposa en 1910 un modèle que nous allons utilisé par la suite de notre travail.

Un matériau composite est constitué de l’assemblage de deux matériaux ou plus de nature différente qui permet d’augmenter les performances exigées. Cependant, la discontinuité des propriétés matérielles à travers l’interface des constituants du matériau composite, provoque des concentrations de contraintes sous des chargements mécaniques et thermiques, spécialement dans un environnement thermique ultra-chaud, la différence relative du coefficient d’expansion thermique provoque des contraintes résiduelles importantes. A cet effet, le concept du matériau à gradient des propriétés (Functionally Graded Materials « FGM ») est introduit pour satisfaire la demande dans un environnement

Le matériau à gradients de propriétés (Functionally Graded Materials « FGM ») découvert par une équipe de chercheurs japonais à la fin des années 80 dont les propriétés mécaniques varient lentement et de façon continue dans la direction de l’épaisseur de la structure [2] et ce, pour surmonter le problème concernant les structures multicouches classiques ou des couches homogènes sont collées les unes aux autres pour améliorer les performances (mécaniques, thermiques, acoustique,…) de la structure (plaques, structures renforcées par matériaux composites,…) qui provoque la création des concentrations des contraintes au niveau des interfaces entre les couches qui peuvent conduire aux délaminages, des fissures, et d’autre mécanisme d’endommagement en raison du changement brutal des propriétés mécaniques et thermiques d’une couche à l’autre.

Cette étude permet de mettre en évidence les principales différences entre le comportement linéaire et non-linéaire des plaques minces.

Les travaux réalisées au cours de cette thèse et présentés dans ce mémoire, s’inscrivent dans cette thématique “étude et analyse non linéaire des plaques minces non homogène en flexion cylindrique”. Les principaux objectifs sont d’une part, l’étude du comportement de plaque mince avec différentes propriétés matérielle (E-FGM) et (S-FGM) du matériau à gradient de propriétés, en non linéarité géométrique et d’autre part, l’étude du comportement non linéaire en flexion cylindrique des plaques nanocomposites à gradient de propriétés renforcées par des nanotubes de carbone simple-murés (SWCNTs) avec des fractions volumiques faibles de nanotube de carbone (CNTs). On suppose que les propriétés matérielles de SWCNTs sont dépendantes de la taille et de la température et est obtenu par des méthodes de dynamique moléculaires (MD).

Aussi dans le même principe concernant maintenant l’analyse non linéaire de la flexion des plaques « sandwiches » en FGM en utilisant la théorie d’ordre élevé à deux variables avec seulement quatre fonctions inconnues développées pour l'analyse non linéaire de flexion des plaques sandwiches à gradient de propriétés. Les équations constitutives pour les plaques rectangulaires sandwiche en FGM ont été obtenues en utilisant la théorie de Von Karman pour les grands déplacements et la solution a été obtenue par la méthode de minimisation de l'énergie potentielle totale. Pour illustrer la précision de la théorie actuelle, les résultats

obtenus sont comparés avec ceux de la théorie classique des plaques, de premier ordre et la théorie d’ordre élevé de troisième ordre avec cinq fonctions inconnues.

Pour atteindre nos objectifs, ce travail de thèse est organisé en six chapitres.

Le premier chapitre présente les matériaux à gradient de propriétés« FGM », leurs propriétés, l’histoire de leur développement, leurs méthodes de fabrication, ainsi que leurs domaines d’application.

Le deuxième chapitre présente un rappel de la situation bibliographique sur l’étude des nanocomposites (focalisé sur les modes de préparation, de caractérisation et le comportement rhéologique).

Le troisième chapitre passe en revue les différentes théories qui permettent la modélisation des plaques à savoir la théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT), La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) et la théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT)

Le quatrième chapitre à pour objectif de présenter une solution mathématique non linéaire des plaques FGM en flexion cylindrique par la théorie classique des plaques (classical plates théorie « CPT ») soumise à un chargement transversal et de comparer le comportement des plaques en matériau isotrope et celle des plaques en F.G.M. Les propriétés matérielles de la plaque F.G.M changent sans interruption à travers l’épaisseur, selon la fraction de volume des matériaux constitutifs suivant les fonctions sigmoïdes (S-F.G.M) et exponentielles (E-F.G.M).

Le cinquième chapitre concerne le comportement non linéaire des plaques composites renforcées par des nanotubes de carbone (CNTRCs) dans un environnement thermique en flexion cylindrique par la théorie classique des plaques (classical plates théorie « CPT »). Le concept des matériaux à gradient de propriétés est appliqué aux plaques nanocomposite renforcées par des nanotubes simple-murés de carbone SWCNTs avec des fractions volumiques faibles de nanotube. Les équations régissantes sont basées sur une théorie des plaques de déformation non linéaire du type Von Karman en

Le sixième chapitre et le dernier est consacré à l’étude du comportement non linéaire en flexion de plaques sandwiches en matériaux à gradient de propriétés « FGM » basé sur la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé à deux variables pour l’analyse du comportement mécanique en utilisant la méthode de Ritz.

Enfin une conclusion générale tire le bilan de ce travail en termes d’efficacité et de fiabilité du modèle mis en uvre et présente également quelques perspectives de développement liées à l’approche utilisée. C’est aussi l’occasion d’évoquer diverses perspectives dans le cadre de l’étude des effets des différents types de chargement sur le comportement mécanique des structures en matériaux à gradient de propriétés.

Généralités sur les matériaux à gradient de

propriétés

Chapitre I : Généralités Sur Les Matériaux à

Gradient De Propriétés

I.1. Introduction

Les matériaux à gradients de propriétés (FGM) ont été développés pour leurs excellentes propriétés mécaniques et thermiques. Ces matériaux ont de grandes performances et capables de résister aux températures ultra-hautes. Les FGM sont au microscope des matériaux composites non homogènes. Ces matériaux sont généralement faits à partir d'un mélange de métaux et de céramique. L'avantage d'utiliser ces matériaux est qu'ils peuvent résister à de hautes températures tout en maintenant leur propriété structurelle. Les FGM possèdent des propriétés qui changent graduellement et sans interruption afin de réaliser une fonction désirée. Un FGM typique, avec un effet élevé de couplage flexion-membrane, est un composite homogène fabriqué à partir de différentes phases de composants de matériaux (le plus souvent en céramique et métal).La composition change d'une surface en céramique à une surface en métal avec une variation voulue de la fraction volumique des deux matériaux entre les deux surfaces.

Le matériau à gradients de propriétés a été introduit pour la première fois au milieu des années 1980 par un groupe de chercheurs japonais [3,4]. Depuis, un effort a été suivi pour développer des matériaux à haute résistance basée sur les matériaux à gradient fonctionnel. Ces matériaux ont été initialement conçus comme des matériaux de barrière thermique pour les structures aérospatiales et les réacteurs de fusion [5,6,7]. Ils sont maintenant développés pour un usage général en tant que composants structuraux dans un environnement de haute température.

Au début, les FGM ont été conçus en tant que matériaux thermiques de barrière dans les applications aéronautiques et les réacteurs. C’est par la suite que les FGM ont été développés dans le domaine militaire, l’automobile, le biomédicale, l'industrie de semi-conducteur et toutes utilisations dans un environnement à hautes températures [8].

Ces types de matériaux, ont suscité beaucoup d'attention récemment en raison des avantages de diminuer la disparité dans les propriétés matérielles et de réduire les contraintes thermiques [9]. La variation continue des propriétés mécaniques confère au matériau un comportement optimisé. Les FGM sont particulièrement utilisés dans les applications de haute technologique: aéronautique, aérospatiale, nucléaire, semi-conducteurs, et en Génie Civil et trouvent également des applications biomédicales [2].

La plupart des « FGM » sont constitués des céramiques et des métaux dont les propriétés mécaniques sont comparées dans le tableau I.1.

La face à haute température

Céramique

- Bonne résistance thermique ; - Bonne résistance à l’oxydation ; - Faible conductivité thermique. Continuité du matériau d’un point à

l’autre

« couches intermédiaires »

Céramique-métal

-Élimination des problèmes de l'interface ;

-Relaxer les contraintes thermiques. La face à basse température

Métal

- Bonne résistance mécanique ; - Conductivité thermique élevée, - Très bonne ténacité.

Tableau I.1: comparaison entre les propriétés de la céramique et du métal. I.2. Concept des matériaux à gradient de propriétés

Le concept du matériau à gradient de propriété (FGM) est proposé comme étant un matériau capable de résister à une température de surface de 2000 K et à une variation de température de 1000 K à travers une section inférieure à 10 mm. Les changements continus de la composition, de la microstructure, de la porosité de ces matériaux résultent des changements des propriétés telles que les propriétés mécaniques et la conductivité thermique. Depuis 1984, les couches minces de FGM ont été largement recherchées, et sont presque une réalité commerciale.

Le matériau à gradient de propriétés (FGM) représente un des derniers développements du 21ème siècle. Le concept de FGM à non seulement beaucoup d’importance dans la conception pratique des matériaux réfractaires mais également dans le développement de divers matériaux graduels.

des contraintes d’interfaces développées dans les matériaux composites conventionnels. La composition et la microstructure changent dans l'espace suivant une loi de distribution prédéfinie. Les matériaux composites offrent de nombreuses propriétés supérieures, comme la haute résistance et la rigidité élevée. Actuellement, aucun matériau industriel ne peut résister à de tels chargements thermomécaniques.

Les matériaux à gradient de propriétés sont donc des matériaux composites avec un caractère au microscope non homogène. Les changements continus de leur microstructure distinguent le FGM des matériaux composites conventionnels. Le changement continu de la composition a comme conséquence les gradients dans les propriétés de FGM. Les différences dans la microstructure et les propriétés entre FGM et matériaux composites conventionnels sont illustrées schématiquement sur la figure I.1

Figure I.1. Caractéristiques de FGM [10] I.3. Historique de développement du FGM

Un groupe de scientifiques, à Sendai (Japon) a proposé pour la première fois le concept de FGM en 1984, comme étant un nouveau matériau avec une barrière thermique ou des propriétés calorifuge (isolation thermique). Les changements continues dans la composition, dans la microstructure, et même dans la porosité de ces matériaux a comme conséquences des gradients des propriétés matérielles telles que la résistance mécanique et la conductivité thermique [10]. Cette nouvelle classe de matériaux composites peut être peuvent être utilisés pour différentes applications, telles que les enduits des barrières thermiques pour les moteurs en céramique, turbines à gaz, couches minces optiques, [11].

En 1987, le gouvernement Japonais a lancé un vaste projet intitulé "la recherche sur la technologie de base pour développement de Matériaux à Gradient de propriétés et l'étude de la

relaxation des contraintes thermiques". L'intérêt du projet est de développer des matériaux présentant des structures utilisées comme barrière thermique dans les programmes aérospatiaux. 17 laboratoires nationaux de recherche, des universités et des entreprises ont été engagées dans ce projet [10].

Trois caractéristiques sont à considérer pour la conception de tels matériaux:

-Résistance thermique et résistance à l'oxydation à haute température de la couche superficielle du matériau;

-Ténacité du matériau côté basse température;

-Relaxation effective de la contrainte thermique le long du matériau.

Pour répondre à un tel cahier des charges, l'idée originale des F.G.M a été proposée pour élaborer un nouveau composite profitant à la fois des propriétés des céramiques (côté haute températures) et des métaux (côté basse température).

À la fin de la première étape (1987-1989), les chercheurs avaient réussi à fabriquer des petites pièces expérimentales (1-10 mm d'épaisseur et 30 mm de diamètre) pouvant résister à des températures maximales de 2000K (température de surface) et à un gradient de température de 1000K. Quatre techniques ont été utilisées pour fabriquer les matériaux présentant un gradient de composition et de structure. Les techniques utilisées dans la fabrication de tels matériaux sont les suivantes : le système SiC/C par C.V.D., le système PSZ/Mo par la technique de la compaction sèche des poudres, le système TiB2/Cu par synthèse par auto-propagation à haute température, et enfin le système (Ni-Cr-Al-Y)/(ZrO2

-Y2O3) par projection plasma à double torches [12].

Dans la seconde étape (1990-1991), le but était de réaliser des pièces de tailles plus grandes et de forme plus complexes par rapport à celles réalisées dans la première étape. Pendant les années 90, non seulement les champs d'applications des FGM s'est développé pour les matériaux de structure fonctionnant à haute température, mais s'est aussi élargi à d'autres applications: biomécaniques, technologie de capteur, optique, [13].

Le concept des matériaux à gradient de propriétés est de l’intérêt non seulement dans la conception des matériaux réfractaires performants pour des utilisations pour les futures navettes spatiales, mais également dans le développement de divers matériaux fonctionnels, tels que les matériaux optiques et électroniques. A cet effet, un deuxième projet a été lancé pour la recherche et développement des matériaux FGM en tant que matériaux fonctionnels « Recherche sur les matériaux de conservation d’énergie avec la structure à gradient de

d’améliorer l’efficacité de la conservation de l’énergie comme l’énergie solaire, nucléaire, photovoltaïque, thermoélectrique.

I.4. Les méthodes de fabrication du Matériau à Gradient de propriétés

Les procédés de fabrication d'un matériau à gradient de propriétés (FGM) peuvent habituellement être divisés en construisant la structure dans un espace hétérogène (mélange graduel) et transformation de cette structure en matériau en bloc (solidification). Les processus de mélange graduel peuvent être classés dans les constituants, l'homogénéisation et la ségrégation. Les procédés élémentaires sont basés sur la fabrication par étape de structure en matériaux graduels précurseurs ou poudres. Les avancés en technologie d'automatisation pendant les dernières décennies ont rendu des processus élémentaire de progression technologiquement et économiquement durable. Dans la procédure d’homogénéisation qui traite une interface pointue entre deux matériaux est convertie dans un gradient par transport matériel. Les procédés d'homogénéisation et de ségrégation produit un gradient continus, mais ont des limitations au sujet des types de gradients qui peuvent être produits.

Habituellement le séchage et la solidification suivent les étapes du mélange graduel. Le besoin de ces processus de consolidation doit être adapté à FGMs: les conditions de ces procédures doivent être choisies pour que le gradient ne soit détruit ou altéré en mode non contrôlée. L'attention doit être également prêtée au rétrécissement inégal de FGMs pendant la consolidation [14].

Ces dernières années, les travaux menés au laboratoire ont permis de développer une méthode originale pour élaborer des composites à gradient continu de composition. Cette méthode est basée sur une technique de Co-sédimentation de poudres en milieu aqueux. Chaque particule élémentaire de poudre sédimente avec une vitesse proportionnelle à la densité du matériau et au carré du diamètre de la particule (relation de Stokes). En contrôlant et en adaptant les répartitions granulométriques de chaque poudre, il est possible d'obtenir différents gradients de concentration dans le dépôt formé à l'issue de la sédimentation.

Il existe de nombreuses méthodes d'élaboration des matériaux à gradient de propriétés, les techniques les plus employées sont brièvement expliquées ci-après:

I.4.1. Coulage en Bande (Tape Casting ou Doctor-Blade)

Le coulage en bande consiste à couler une barbotine de poudres fines en suspension aqueuse ou aqueuse (la plupart des travaux commerciaux utilisent le procédé

non-aqueux) sur un support plan en couches minces et régulières. Selon les cas, c'est soit la lame (doctor blade) qui est animée d'un mouvement de translation, soit le support qui se déplace sous la lame (figure I.2). Les produits obtenus sont des feuillets avec des épaisseurs contrôlées (25-1000µm). Après un raffermissement de la pâte, les feuillets sont démoulés et ensuite découpés.

Le solvant doit avoir un point d'ébullition très bas et une viscosité faible. Il doit être soluble avec le liant, le plastifiant et les autres ajouts mais ne doit être ni soluble ni réactif avec la poudre céramique. Le liant donne une grande résistance mécanique au produit cru en permettant son maniement. Généralement un plastifiant est ajouté au liant pour baisser sa viscosité. Le liant, le plastifiant et le défloculant doivent être totalement dégagés pendant le délainage.

L'un des plus anciens travaux sur l'étude de cette technique a été publié par Howatt et al. En 1947 (voir réf. [15]), et depuis d'autres travaux ont été réalisés [16,17]. Ce procédé est devenu une technique économique pour la production des substrats céramiques de type Al2O3

et surtout pour les condensateurs à base de BaTiO3. On peut d'ailleurs remarquer qu'il s'agit

déjà de F.G.M puisqu'il faut empiler des couches conductrices (métaux rares) avec des couches diélectriques (BaTiO3 principalement).

Le procédé de coulage en bande est largement utilisé pour réaliser des matériaux composites laminaires suivant deux méthodes : soit par réalisation directe de bandes

Mistler [18], soit par empilage de couches élaborées séparément, dont la cohésion est ensuite assurée par une étape de thermo-compression [16,17].

I.4.2. Coulage séquentiel en barbotine (Slip Casting)

Le coulage en barbotine (slip casting) consiste à couler une suspension dans un moule poreux qui va drainer le liquide grâce aux forces capillaires, laissant un tesson (couche de poudre compacte) sur la surface du moule. Après séchage, on obtient le corps en cru.

Donc le coulage se décompose en deux étapes essentielles: -formation du tesson ou "prise";

-consolidation du tesson ou "raffermissement".

La filtration, c'est à dire la formation du tesson lors du coulage, peut être considéré comme un processus d'élimination d'une partie de l'eau de la barbotine; Cette eau migre à travers la couche de tesson déjà formée, sous l'effet:

-du pouvoir de succion du plâtre (coulage classique [19]);

-ou d'une pression appliquée sur la barbotine (coulage sous pression).

Dans le cas de la fabrication de multicouches, après la formation du premier tesson, le dépôt de la deuxième couche s'effectue de manière telle que la barbotine ne pénètre pas dans le tesson formé. Ce procédé est successivement reproduit pour les autres couches.

I.4.3 Dépôt par Electrophorèse

Le dépôt par électrophorèse est un procédé dans lequel une suspension colloïdale stable est placée dans une cellule contenant deux électrodes, le dépôt se fait par le mouvement des particules chargées au sein de la solution vers la cathode ou l'anode selon le signe de la charge des particules due à un champ électrique. L'élaboration des F.G.M peut se faire donc par le dépôt séquentiel des matériaux [20].

I.4.4. Compaction sèche des Poudres

Dans cette technique les poudres sont successivement versées dans un moule en acier. Chaque fois qu'une poudre est versée, une faible compression est exercée. Ensuite, la compaction de l'ensemble des couches sera effectuée. Ce procédé est suivi, généralement, par une pression isostatique et un déliantage. La densification sera enfin l'étape finale [21].

Ce procédé peut être envisagé pour la fabrication de pièces de formes complexes. En effet il s'applique aussi avec la technique du pressage isostatique, et de façon industrielle.

I.4.5. Projection plasma

Un gaz soumis à une forte température (par exemple celle d'un arc électrique), se transforme en un état ionisé (plasma). Cette transformation est accompagnée d'un dégagement de chaleur important. Si une particule de céramique se trouve dans cet environnement, elle se fond totalement ou superficiellement, ce qui permet de la situer sur un substrat.

La projection plasma des particules des divers matériaux est devenue une méthode très utilisée pour fabriquer des FGM. L'équipement relativement simple, le rendement élevé du dépôt des particules sur des substrats à géométrie compliquée, les performances des surfaces en fonctionnement et la compatibilité des céramiques avec les métaux sont les avantages essentiels de cette technique [22].

I.4.6 C. V. D. et P. V. D.

Les dépôts chimique ou physique en phase vapeur sont des techniques dans lesquelles les atomes du matériau source sont déposés sur la surface du substrat.

Les techniques de C.V.D. et P. V. D. peuvent être utilisées pour la préparation de F.G.M sur des substrats de formes compliquées, [23].

I.4.7. Frittage et Infiltration

Cette technique est constituée de deux étapes et convient à la fabrication d'un composite à gradient de fonction composé de deux matériaux dont les températures de fusion sont très différentes. La première étape est de fabriquer une matrice frittée du matériau à haute température de fusion avec un gradient de porosité. La seconde est de remplir ces porosités avec le deuxième matériau fondu par infiltration. Le résultat est excellent pour la diminution de la contrainte thermique [24].

Cette technique peut être généralement appliquée pour plusieurs combinaisons de matériaux qui sont chimiquement inertes et qui ont des points de fusion bien différents les uns par rapport aux autres.

I.4.8 Frittage Laser Différentiel

points du matériau, provoque un frittage différentiel le long de la pièce, ce qui résulte en des microstructures différentes, dépendant de la position du point irradié.

Yuki et al. [25] ont utilisé cette technique pour élaborer un F.G.M de PSZ/Mo. La figure I.3 montre schématiquement la disposition du procédé utilisé par ces auteurs.

I.4.9 Implantation Ionique (Sputtering)

C'est une technique avancée pour la fabrication des F.G.M permettant de réaliser seulement des épaisseurs fines (<1 m) sur différents substrats (plastiques, céramiques, et métaux). Le traitement s'effectue par les faisceaux énergétiques d'ions ou via des gaz réactifs. Les couches fabriquées présenteront un gradient de composition qui peut être très finement contrôlé [20].

I.4.10 Dépôt par Centrifugation

La technique consiste à verser une suspension colloïdale relativement diluée dans des flacons cylindriques, le tout est soumis à une centrifugation. La sédimentation s'opère et le liquide surnageant est retiré. Ce procédé est répété pour obtenir des multicouches (figure I.4) [20].

I.5. Lois régissantes la variation des propriétés matérielles des plaques FGM

Les matériaux à gradient de propriétés « FGM » peut être produit en changeant sans interruption les constituants des matériaux multiphasés dans un profil prédéterminé. Les dispositifs les plus distincts d'un FGM sont les microstructures avec des macros -propriétés graduées sans interruption. Un FGM peut être définie par la variation des fractions de volume. La plupart des chercheurs utilisent la fonction de loi de puissance, la fonction exponentielle, ou la fonction sigmoïde pour décrire les fractions de volume.

Les liaisons entre les particules doivent être assez dures à l’intérieur pour résister à la rupture, et également assez dures à l’extérieur pour empêcher l’usure.

Les coordonnées x et y définissent le plan de la plaque, tandis que l’axe z perpendiculaire à la surface moyenne de la plaque et dans la direction de l’épaisseur.

Les propriétés du matériau dont le module de Young et le coefficient de Poisson sur les surfaces supérieures et inférieures sont différentes mais sont déterminés selon les demandes d’exécution.

Toutefois le module de Young et le coefficient de Poisson varient de façon continue, dans le sens de l’épaisseur (l’axez ) soit : E =E(z),ν =ν(z). Le module de Young dans le sens de l’épaisseur de la plaque FGM varie en fonction de la loi de puissance (P-FGM) ou la fonction exponentielle (E-FGM) ou avec la fonction sigmoïde (S-FGM).

I.5.1. Propriétés matérielles de la plaque P-FGM :

La fraction volumique de la classe P-FGM obéit à une fonction en loi de puissance. k h h z z V       + = /2 ) (

Où k est un paramètre matériels et h est l’épaisseur de la plaque. Une fois la fraction volumique locale v(z) à été définie, les propriétés matérielles d’une plaque P-FGM peuvent être déterminées par la loi des mélanges [26] :

(I.1)

(I.2)

Figure I.5 : Géométrie d’une plaque en FGM.

h/2 h/2 FGM ) (z E E= ) (z υ υ = x z y

(

)

(z E E E V z

E = m + c − m

Où E1et E2 sont respectivement les modules de Young de la surface inférieure (z=−h/2)et

de la surface supérieure(z =h/2)de la plaque FGM, la variation du moule de Young dans la direction d’épaisseur de la plaque P-FGM est représentée sur la figure I.6, il apparait clairement que la fraction volumique change rapidement près de surface inférieure pourk<1, et augmenté rapidement près de la surface supérieure pourk>1.

I.5.2. Propriétés matérielles de la plaque S-FGM

Dans le cas d’ajouter une plaque P-FGM d’une simple fonction de loi de puissance à une plaque composite multicouche, les concentrations des contraintes apparaissent sur l’interfaces où le matériau est continu mais change rapidement [26]. Par conséquent, Chung et chi [27] ont défini la fraction de volume de la plaque FGM en utilisant deux fonctions de loi de puissance pour assurer une bonne distribution des contraintes parmi toutes les interfaces.

Les deux fonctions de loi de puissance sont définis par : k h z h z V       + = 2 2 2 1 1 / / ) ( Pour −h /2≤ z≤0 k h z h z V       − − = 2 2 2 1 1 2 / / ) ( Pour 0≤z≤h/2

Figure I.6 : Variation de la fraction volumique dans une plaque P-FGM. -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p =0.1 p =0.2 p =0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Fraction volumique (z/ h ) (I.3.a) (I.3.b)

En utilisant la loi des mélanges, le module de Young de la plaque S-FGM peut être calculé par : 2 1 1 1 z E 1 V z E V z E( )= ( ) +[ − ( )] Pour −h /2≤z≤0 (I.4.a) 2 2 1 2 z E 1 V z E V z E( )= ( ) +[ − ( )] Pour 0≤ z≤h/2 (I.4.b) La figure I.7 montre que la variation de la fraction volumique dans les équations (I.4.a) et (I.4.b) représente les distributions sigmoïdes, et cette plaque FGM est appelée (Plaque S-FGM)

I.5.3. Les propriétés matérielles de la poutre E-FGM :

Pour décrire les propriétés matérielles des matériaux FGM, la plupart des chercheurs utilisent la fonction exponentielle qui s’écrit sous la forme, [28] :

) / ( ) (z E₂eB z h 2 E = + Avec     = 2 1 1 E E h B ln

La variation du module de Young à travers l’épaisseur de la plaque E-FGM est représentée dans la figure I.8.

Figure I.7: Variation de la fraction volumique dans une plaque S-FGM. -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p=0.1 p=0.2 p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Fraction volumique (z/h) (I.5.a) (I.5.b)

I.6. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons définit les matériaux à gradient de propriétés « FGM », l’histoire de leur développement, leurs propriétés, leurs principales méthodes de fabrication, et leurs domaines d’application

La variation spatiale et progressive des propriétés des matériaux à gradient de propriétés permet de créer des structures innovantes qui peuvent être exploitées dans de nombreux domaines d’application dans les structures spéciales en génie civil.

Figure I.8 : Variation du module de Young dans une plaque E-FGM. -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 70 120 170 220 270 320 370

Module de Young E(z)

(z/h)

Chapitre II : Généralités Sur Les Matériaux

nanocomposites

II.1. Introduction

Un monde nouveau est en train de naître, un monde qui nous promet des produits plus petits, plus légers, moins onéreux, un monde qui nous propose des ordinateurs plus performants, des moyens de communication plus rapides, des traitements médicaux plus efficaces, un environnement plus propre, un cadre de vie plus agréable. Ce monde, c'est le nanomonde, c'est-à-dire le monde des nanosciences et des nanotechnologies. Ce monde fascinant vise à élaborer de nouveaux matériaux et des composants toujours plus petits, à construire « atome par atome » de nouvelles molécules puis à les assembler pour réaliser de nouvelles fonctions, et à exploiter des phénomènes nouveaux qui n'apparaissent qu'à l'échelle du nanomètre. Une part importante de ces activités concerne les nanomatériaux, structures dont au moins une des phases possède une dimension inférieure à 100 nanomètres (1nanomètre est 1 million de fois plus petit qu'un mètre). Ils constituent une étape élémentaire vers la réalisation de nouveaux produits industriels issus des nanotechnologies.

Les industries automobile, aéronautique, spatiale recherchent des matériaux de plus en plus performants, multifonctionnels, exploitant plusieurs caractéristiques (mécanique, résistance à la chaleur, électrique…). Cela aboutit souvent à l’utilisation de composites car ils possèdent de meilleurs jeux de propriétés que les composés pris séparément. L’utilisation de renforts de taille nanométrique aboutit à l’appellation nanocomposite.

Actuellement, les travaux sur les composites renforcés par des nanotubes de carbone sont devenus un point très important dans la recherche scientifique et ce, car les nanotubes de carbone (CNTs) possèdent des propriétés mécaniques, électriques et thermiques exceptionnelles dans les composites de matrice de polymère. La propriété la plus important des nanotubes de carbone est sa rigidité combinée avec son excellente résistance. Par conséquent, l'introduction des nanotubes de carbone dans des polymères peut améliorer leurs applications dans les domaines de renforcement des

Découverts en 1991, les nanotubes de carbone sont le fer de lance des nanotechnologies. Un nanotube est un feuillet de graphite formé d'atomes de carbone disposés en réseau hexagonal (figure II.1), comme un nid d'abeilles, et enroulé sur lui-même comme un cigare. Son diamètre est de l'ordre du nanomètre, sa longueur peut atteindre plusieurs micromètres. À chacune de ses deux extrémités se trouve une demi-molécule de fullerène. Cette molécule est constituée de 60 atomes de carbone, son diamètre est d'environ un nanomètre et elle est formée d'hexagones et de pentagones qui lui donnent une forme presque sphérique, semblable à un ballon de football.

100 000 fois plus fin qu'un cheveu, un nanotube de carbone est 100 fois plus résistant et 6 fois plus léger que l'acier. Ses avantages ne s'arrêtent pas là : il est aussi flexible (figure II.2) et conducteur, possède d'excellentes propriétés mécaniques, thermiques et électroniques. Ses propriétés mécaniques, telles que résistance et flexibilité, en font un matériau de choix dans le domaine sportif. On en trouve déjà dans les raquettes de tennis, les clubs de golf, les cadres de vélo ou les carrosseries de Formule 1. Il représente ainsi la « fibre de carbone ultime », qui lui

Figure II.2 - Schéma montrant la grande flexibilité des nanotubes de carbone

permet de conserver tous les avantages sans en avoir les inconvénients. En effet, alors que la fibre de carbone est fragile, le nanotube de carbone, constitué d'une seule molécule, jouit d'une cohésion atomique parfaite. Et alors que la fibre de carbone se casse dès qu'on la courbe, le nanotube peut s'enrouler et même se tisser !

Même lorsqu'il est en mélange, il est encore possible de profiter de tous ses avantages : ajouter 3 % de nanotubes à un caoutchouc synthétique multiplie par 10 sa rigidité. Les nanotubes sont également utilisés en poudre. Comme la surface de contact avec l'air est très grande (plusieurs centaines de mètres carrés par gramme), il est envisagé de l'utiliser pour le stockage de gaz (batteries de voitures à hydrogène), la catalyse chimique ou le filtrage de polluants. Les nanotubes ont également des applications en électronique. Selon l'angle d'enroulement du feuillet de graphite, ils peuvent se comporter soit en conducteurs d'électricité, soit en semi-conducteurs. Un câblage de nanotubes supporte ainsi des densités de courant 1000 fois supérieures à celles du cuivre.

Grâce à ses propriétés mécaniques, électriques et thermiques exceptionnelles, le nanotube de carbone constitue le renfort par excellence pour les nanocomposites à haute performance. De nombreuses expériences ont été conduites sur ce type de matériaux, mais plus rares sont les outils qui permettent de prédire leurs propriétés. L'objectif principal de la recherche est de prédire le comportement élastique d'un nanocomposite à base de nanotubes de carbone à parois simples.

II.2. Définition d’un nanocomposite

Un matériau composite est constitué de plusieurs composants élémentaires, dont l'association confère un ensemble de propriétés qu'aucun des composants, pris séparément, ne

matériau traditionnel, est pour une même rigidité de structure, un gain de masse appréciable. Un matériau composite est constitué de deux phases :

§ La matrice.

§ Le renfort ou la charge.

Les nanocomposites constituent une classe de matériaux à part entière: bien qu’ils aient la même composition que les composites classiques, notamment concernant la nature de la matrice, leur différence réside dans la taille des composants (matrice ou renfort) et dans le fait que certaines propriétés spécifiques n’apparaissent qu’à l’échelle du nanomètre.

Les composites avec des renforts micrométriques ont montré certaines de leurs limites. Leurs propriétés résultent de compromis : l’amélioration de la résistance, par exemple, se fait au détriment de la plasticité ou de la transparence optique. Les nanocomposites peuvent pallier à certaines de ces limites et présentent des avantages face aux composites classiques à renforts micrométriques :

- Une amélioration significative des propriétés mécaniques notamment de la résistance sans compromettre la ductilité du matériau car la faible taille des particules ne crée pas de larges concentrations de contraintes.

- Une augmentation de la conductivité thermique et de diverses propriétés notamment optiques qui ne s’expliquent pas par les approches classiques des composants. Les nanoparticules, ayant des dimensions en deçà des longueurs d’onde de la lumière visible (380-780 nm), permettent au matériau de conserver ses propriétés optiques de départ ainsi qu’un bon état de surface.

La diminution de la taille des renforts que l’on insère dans la matrice conduit à une très importante augmentation de la surface des interfaces dans le composite. Or, c’est précisément cette interface qui contrôle l’interaction entre la matrice et les renforts, expliquant une partie des propriétés singulières des nanocomposites. A noter que l’ajout de particules nanométriques améliore, de manière notable, certaines propriétés avec des fractions volumiques beaucoup plus faibles que pour les particules micrométriques.

On obtient ainsi à performances égales, un gain de poids important ainsi qu’une diminution des coûts puisque l’on utilise moins de matières premières (sans tenir compte du surcoût des nano-renforts), une meilleure résistance pour des dimensions structurales similaires et une augmentation des propriétés barrières pour une épaisseur donnée.

II.3. Les formes traditionnelles du carbone II.3.1. Le graphite

Le graphite présente une structure lamellaire constituée d'un empilement de feuillets. Chaque feuillet, ou plan de graphène, est constitué d'atomes de carbone en état d'hybridation sp², formant un réseau hexagonal de paramètre de maille 0,243 nm, la longueur de la liaison C-C étant de 0,142 nm. Il existe deux façons d'empiler les plans de graphène sur eux-mêmes, résultant en deux formes cristallines différentes de graphite.

La forme cristalline stable est le graphite hexagonal [30]. Les plans de graphène sont empilés, comme sur la figure II.3. La distance inter-feuillets est de 0,335 nm.

Figure II.3 - Structure du graphite hexagonal

L'autre forme cristalline possible est le graphite rhomboédrique, phase métastable du graphite hexagonal. Les plans de graphène sont ici aussi empilés, mais chaque plan est décalé d'une longueur de liaison par rapport au plan précédent. La distance inter-feuillets est également de 0,335 nm.

Le graphite se rencontre rarement sous la forme d'un monocristal, bien que la croissance de monocristaux macroscopiques soit possible. Le graphite courant, celui des mines de crayon, est un polycristal, constitué de cristallites de graphite hexagonal orienté aléatoirement.

II.3.2 Le diamant

Le diamant est une forme allotropique tridimensionnelle du carbone. Dans le diamant, les atomes de carbone sont en état d'hybridation sp³, et donc tétravalents. Il existe plusieurs structures cristallines du diamant [31], comme le diamant hexagonal ou la lonsdaléite, mais la structure la plus courante est de loin le diamant cubique (figure II.4). La maille de cette structure est de type cubique faces centrées, avec un paramètre de maille de 0,356 nm, et une distance interatomique de 0,154 nm.