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caractéristique positive : deux filtrations et conséquences
Linyuan Liu
To cite this version:
Linyuan Liu. Cohomologie des fibrés en droites sur SL3/B en caractéristique positive : deux filtrations et conséquences. Géométrie algébrique [math.AG]. Sorbonne Université, 2019. Français. �NNT : 2019SORUS229�. �tel-03148712�
École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiques
présentée par
Linyuan Liu
Cohomologie des fibrés en droites sur SL
3/B en
caractéristique positive :
deux filtrations et conséquences
dirigée par Patrick Polo
Soutenue le 26 juin 2019 devant le jury composé de :
Mme. Anna Cadoret Sorbonne Université Examinatrice Mme. Caroline Gruson Université de Lorraine Examinatrice M. François Loeser Sorbonne Université Examinateur M. Patrick Polo Sorbonne Université Directeur M. Simon Riche Université Clermont Auvergne Rapporteur M. Wolfgang Soergel Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Examinateur
Rapporteur absent lors de la soutenance :
Sorbonne Université UFR de Mathématiques 4, place Jussieu
Boite Courrier 247 75252 Paris Cedex 05
Mathématiques de Paris Centre Boite Courrier 247
4, place Jussieu 75252 Paris Cedex 05
— Leonard Nimoy a.k.a. Spock
Je tiens avant tout à exprimer chaleureusement ma grande gratitude à mon directeur de thèse Patrick Polo. Je le remercie de m’avoir proposé un projet de thèse aussi riche et passionnant et de m’avoir guidée dans la théorie des représentations. Sans sa connaissance du sujet, sa patience et sa générosité à partager ses idées, cette thèse n’existerait pas. C’est un grand honneur de pouvoir faire mes études et travaux de recherche en mathématiques avec lui.
Je remercie ensuite Simon Riche et Geordie Williamson d’avoir accepté d’être rappor-teurs de cette thèse et de m’avoir fait des remarques précieuses. Je remercie sincèrement Anna Cadoret, Caroline Gruson, François Loeser et Wolfgang Soergel de m’avoir fait l’hon-neur de faire partie du jury. Je tiens particulièrement à remercier François Loeser pour son aide dans l’obtention de l’allocation de la thèse. Je remercie également Stephen Donkin d’avoir scanné la thèse de Yehia, qui s’est avérée utile pour ma thèse. Je voudrais aussi exprimer ma gratitude à mon directeur de mémoire de M2 Bassam Fayad, qui m’a beau-coup appris sur la théorie des systèmes dynamiques, même si je n’ai pas poursuivi mes études dans ce domaine.
Je profite de l’occasion pour remercier mes professeurs à Tsinghua : Ning Jiang (江 宁), Xuguang Lu (卢旭光), Pin Yu (于品), Zhiying Wen (文志英) et Jie Xiao (肖杰). Sans eux, je n’aurais pas eu la chance de venir à l’ENS et de poursuivre mes études en mathématiques.
Je remercie les doctorants de l’IMJ, en particulier Peiyi (崔沛仪), Mahya et Grace, de leur amitié qui me rendent heureuse tous les jours. Je voudrais aussi exprimer ma gratitude à mes amies chinoises, Yuanyuan Feng (冯媛媛), Jing Li (李晶), Jie Lin (林洁), Yang Liu (劉晹), Sai Ma (马赛), Xuelai Peng (彭雪莱) et Shuang Wu (吴双) de m’avoir apporté un soutien émotionnel chaque fois que j’en avais besoin.
Je tiens à remercier tout particulièrement mon mari Hua de son soutien de tous les jours.
The Problem and Previous Results
Let G be a semisimple simply connected group scheme over a base ring k. Assume first that k is an algebraically closed field of characteristic p > 0. Let T ⊂ G be a maximal torus and let X(T ) be its group of characters. Let R and W denote the root system and Weyl group of (G, T ) and B the Borel subgroup containing T corresponding to the negative roots −R+. Let ρ be the half-sum of positive roots and set C = −ρ + X(T )+. For all µ ∈ X(T ),
one has a G-equivariant line bundle L(µ) on G/B, and we set Hi(µ) = Hi(G/B, L(µ)). Let N = |R+| = dim(G/B) and let w0 be the unique element of W such that `(w) = N .
The study of Hi(µ) began in 1976 with Kempf. He proved that for all λ ∈ C one has
Hi(λ) = 0 whenever i ≥ 1, just as in the case of characteristic 0. By Serre Duality, this
also gives Hi(µ) = 0 for i < |R+| = N if µ ∈ w0· C.
In the following, by “Hi-chamber”, we mean any chamber of the form w · C, where
w ∈ W is such that l(w) = i. In characteristic 0, by the Borel-Weil-Bott theorem, Hi(µ) 6= 0 if and only if µ belongs to the interior of an Hi-chamber. But this no longer holds for positive characteristics.
In 1978, Griffith ([Gri80]) studied the case of G = SL3 and determined the region in
X(T ), which we will refer to as “the Griffith region”, where both H1 and H2 are non-zero. Almost simultaneously in 1979, Andersen ([And79]) discovered, for all semisimple
G, the necessary and sufficient condition for H1(µ) 6= 0. In particular, for G = SL3, he
rediscovered the result of Griffith. Andersen has proved that if non-zero H1(µ) has a simple socle. But apart from this, his results concern only whether or not Hi(µ) is zero and gives no information of its G-module structure.
Later on, there are several results about the G-module structure of Hi(µ) under some assumptions of genericity ([KH85], [And86a], [And86b], [DS88], [Lin90], [Lin91]).
In 2006, a new approach was discovered by Donkin, who gave in [Don06], recursive formulas for the characters of all Hi(µ)’s. As a corollary of our results, we will show that his recurrence formulas correspond to certains filtrations of the H1(µ)’s, see Theorem 5.
A two-step filtration of H
1(µ) and H
2(µ) for µ in the Griffith
region
Let G = SL3 and let V (λ) denote the Weyl module of highest weight λ, and L(λ)
the simple module of highest weight λ. In the following, I always use the convention that
V (λ) = L(λ) = 0 if λ is not dominant. For any G-module V , let V(d) denote the d-th Frobenius twist of V .
We will prove in Chapter 1 the existence of a two step filtration of H1(µ) and H2(µ)
roots and Serre duality, it suffices to state the result when µ belongs to the chamber sβ· C or sβsα· C, whence µ = (m, −n − 2) for m, n ∈ N. Namely, we have :
Theorem 1. Let µ = (m, −n − 2), where m = apd+ r and n = apd+ s with d ≥ 1, 0 ≤ a ≤ p − 1 and −1 ≤ r, s ≤ pd− 1. Set µ0 = (r, −s − 2), µ00 = (−pd+ r, pd− s − 2), λ = (s, pd− r − 2) and tλ = (r, pd− s − 2). Then :
1. H2(µ) has a two step filtration as following :
H2(µ) = L(0, a − 1)
(d)⊗ V (λ)
L(0, a)(d)⊗ H2(µ0)L
L(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00) .
That is, there is a short exact sequence of G-modules :
0 M H2(µ) L(0, a − 1)(d)⊗ V (λ) 0
such that
M ∼= L(0, a)(d)⊗ H2(µ0)ML(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00).
2. H1(µ) has a two step filtration as following :
H1(µ) = L(0, a)
(d)⊗ H1(µ0)L
L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00)
L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ) . That is, there is a shore exact sequence of G-modules :
0 L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ) H1(µ) Q 0
such that
Q ∼= L(0, a)(d)⊗ H1(µ0)M
L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00).
Moreover, if we concentrate on those weights µ located on the wall between an H1 -chamber and an H2-chamber (i.e. µ = (n, −n − 2) or (−n − 2, n)), then µ0 and µ00 in the theorem are both located on such a wall too. Hence by induction, this theorem gives a concrete description of the structure of H1(µ) and H2(µ). More precisely, we will prove in section 1.4 the following theorem :
Theorem. (i) Let n ∈ N of ≤ d. If n 6≡ p − 1 (mod p), then there is a filtration of H2(n, −n − 2)
0 = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nd−1 ⊂ Nd= H2(n, −n − 2)
such that, for each i and 1 ≤ j ≤ 2i, there exists νij and λij (which are explicitly given in Th. 4) such that Ni/Ni−1∼= 2i M j=1 L(νij) ⊗ V (λij) (0.1) for all i ∈ {1, 2, · · · , d}.
(ii) If n ≡ p − 1 (mod p), then there is k ∈ {1, · · · , d} such that n = mpk+ pk− 1 with
m 6≡ p − 1 (mod p). In this case, we have
H2(µ) ∼= L((pk− 1)ρ) ⊗ H2(m, −m − 2)(k) (0.2)
The p-H
i-D-filtration of H
i(µ)
Jantzen has proved in [Jan80] that for G = SL3, every Weyl module V (λ) possesses a
p-Weyl-filtration, i.e. a filtration whose quotients are of the form V (ν1)(1)⊗ L(ν0), where
ν0 is p-restricted. Dually, H0(λ) possesses a p-H0-filtration. So it is interesting to ask whether or not H2 and H1 also have this sort of p-filtration.
We will use a filtration ofZ(µ) = Indb BGB 1(µ) that is slightly cruder than a composition
series, which will be defined in section 2.1. This filtration, which will be called the D-filtration in honor of Donkin ([Don06]), behaves well under the induction from BG1 to
G.
As in [Don06], let Eα(µ) denote the unique non-split extension of µ − α by µ as
B-modules. Namely, we have a non-split exact sequence of B-modules : 0 //µ − α //Eα(µ) //µ //0 .
Similarly, let Eβ(µ) denote the unique non-split extension of µ − β by µ as B-modules.
Let E0(µ) = µ. We will prove the following theorem :
Theorem 6. Let µ ∈ X(T ) and take
0 = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ N` =Z(µ)b
a D-filtration of Z(µ) with Nb i/Ni−1 ∼= L(νb i0) ⊗ Eδi(νi1)(1) where δi ∈ {0, α, β}. Then for
all j ∈ N, there exists a filtration of Hj(µ) :
0 =Nf0⊂Nf1⊂Nf2⊂ · · · ⊂Nf`= Hj(µ)
where Nfi ∼= Hj(G/BG1, Ni) and Nfi/ ]Ni−1∼= L(νi0) ⊗ Hj(Eδi(νi1))(1).
We call this filtration of Hj(µ) the p-Hj-D-filtration.
Hence it is important to investigate the structure of Hi(E), where E = Eδ(ν) and
δ ∈ {α, β}. If i = 0 or 3, their structures are not too complicated, and with the help of
the p-Hi-D-filtration, we can reprove (section 2.3) the existence of the p-H0-filtration and the p-Weyl-filtration.
For i = 1 or 2, the situation is more complicated. Since there is an exact sequence of cohomologies
0 H1(ν − δ) H1(E) H1(ν)
H2(ν − δ) H2(E) H2(ν) 0,
φ
if ν /∈ X+ and ν − δ /∈ w
0· X+, where φ is the boundary morphism, it suffices to study
the structure of Iδ(ν) which is defined to be the image of φ. In Chapter 3 we will prove the following theorem, which covers all the interesting cases we need :
Theorem 7. Let µ = (m, −n − 2) be a weight with m > n ≥ 0. If m = apd+ r and
n = apd+ s and if we set µ0 = (r, −s − 2) and µ00= (−pd+ r, pd− s − 2), then
(i) If 0 ≤ s < r ≤ pd− 1 , we have
Iα(µ) = L(0, a)(d)⊗ Iα(µ0)
M
(ii) If −1 ≤ s < r ≤ pd− 2, we have
Iβ(µ) = L(0, a)(d)⊗ Iβ(µ0)
M
L(0, a − 2)(d)⊗ Iβ(µ00).
Together, Theorems 6 and 7 allows one to give a complete, recursive description of all Hi(µ) for i = 1, 2, see section 3.3 for details. In particular, they contain as a (very) special case the results of Kühne-Hausmann [KH85] and of Doty and Sullivan [DS88] about generic weights in the lowest p2-alcove.
Combinatorial results over Z
Independently of the previous results, we will prove in Chapter 4 some results over Z. More precisely, if µ = (m, −n − 2) = sβ · λ is a weight in the Griffith region with m ≥ n ≥ 0, then we will prove that all weights of H2(µ) are of the form νt,k = λ − kα − tβ with k, t ∈ N, and, for t ≥ k and νt,k dominant, the νt,k-weight space is the cokernel of the
following matrix, with k + 1 rows and k − m + n + 1 columns :
Dm,n,t,k= m−k t−k m−k t−k−1 · · · m−k t−2k+m−n m−k t−k+1 m−k t−k · · · t−2k+m−n+1m−k .. . ... . .. ... m−k t m−k t−1 · · · m−k t−k+m−n .
If t < k and νt,k is dominant, then νt,k-weight space is zero.
If µ = (m, −n−2) = sαsβ·λ is a weight with m < n, then we will prove that all weights
of H2(µ) are of the form νt,k = λ − kα − tβ with k, t ∈ N, and, for k ≥ n − m and νt,k dominant, the νt,k-weight space is the cokernel of the following matrix, with k − n + m + 1
rows and k + 1 columns :
Dm,n,t,k= n−k t−k+n−m n−k t−k+n−m−1 · · · t−2k+n−mn−k n−k t−k+n−m+1 n−k t−k+n−m · · · n−k t−2k+n−m+1 .. . ... . .. ... n−k t n−k t−1 · · · n−kt−k .
If k ≤ n − m − 1 and νt,k is dominant, then the νt,k-weight space is isomorphic to Zmin(t,k)−max(0,t−m)+1.
0 Notations et Préliminaires 3
1 Une filtration à deux étages 7
1.1 Énoncé du théorème pricipal . . . 7
1.2 Démonstration du Théorème 1 : réduction au Théorème 2 . . . 11
1.3 Preuve du Théorème 2 . . . 12
1.3.1 Trois suites exactes de B-modules . . . 12
1.3.2 Suites exactes longues induites par le foncteur d’induction . . . 13
1.3.3 Détermination de H2(M ) et Hf 3(M ) . . . .f 14 1.3.4 Injectivité de f . . . . 15
1.4 Description de H2(µ) et H1(µ) pour µ sur le mur . . . . 15
2 Une p-Hi-D-filtration 25 2.1 « D-filtration » de Z(µ) = Indb BGB 1(µ) . . . 25
2.1.1 Cas singulier pour une seule racine . . . 26
2.1.2 Cas de l’alcôve supérieure ∆ . . . 28
2.1.3 Cas de l’alcôve inférieure ∇ . . . 29
2.2 Sur la cohomologie des B-modules Eα(µ) et Eβ(µ) . . . . 30
2.3 La p-filtration de Jantzen . . . . 35
2.4 Existence d’une p-Hi-D-filtration . . . 42
2.5 Preuve de la Proposition 5 . . . 45
2.6 Conclusion . . . 49
3 La cohomologie des B-modules Eδ(µ) 51 3.1 Motivation et premières propriétés . . . 51
3.2 Morphismes de bord ∂α et ∂β . . . 52
3.2.1 Décomposition de l’image du morphisme de bord . . . 54
3.2.2 Iδ(µ) est sans multiplicité . . . . 60
3.3 Retour à la p-Hi-D-filtration . . . 62
3.3.1 Type ∆ . . . 63
3.3.2 Type ∇ . . . 66
3.3.3 Cas α-singulier . . . . 68
3.3.4 Cas β-singulier . . . . 70
3.3.5 Cas γ-singulier ou α-β-singulier . . . . 71
3.4 Cas p2-restreint et régulier . . . 72
3.4.1 Type ∆ . . . 72
3.4.2 Type ∇ . . . 75
4 Des résultats sur Z et conséquences 81
4.1 Cohomologie des faisceaux sur G/Pα, G/Pβ et G/B . . . 81
4.2 Au dessus du mur . . . 82 4.2.1 Cas s < n . . . . 82 4.2.2 Cas s ≥ n . . . . 83 4.3 En dessous du mur . . . 88 4.4 Une application . . . 92 4.4.1 r = 0 . . . . 93 4.4.2 1 ≤ r ≤ p − 1 . . . . 95
4.5 Une extension au cas de SLd+1 . . . 96
4.5.1 Cas n ≤ m . . . 97
4.5.2 Cas n > m . . . 100
Notations et Préliminaires
Dans cette thèse, sauf mention expresse du contraire, k désigne un corps algébrique-ment clos de caractéristique p > 0, G désigne le schéma en groupes SL3sur k, B ⊂ G est le
sous-groupe de Borel des matrices triangulaires inférieures, et T ⊂ B est le tore maximal des matrices diagonales.
On note X(T ) = Homk-groupes(T, k∗) le groupe des caractères de T et Y (T ) = Homk-groupes(k∗, T ) ∼= X(T )∗ = HomZ(X(T ), Z).
Notons
h·, ·i : X(T ) × Y (T ) → Z
le couplage naturel (cf. [Jan03] II.1.3). Pour i ∈ {1, 2, 3}, notons i l’élément dans X(T ) tel que i(diag(a1, a2, a3)) = ai.
Posons α = 1− 2, β = 2− 3 et γ = α + β, alors R = {±α, ±β, ±γ} est le système de
racines de G par rapport à T (cf. [Jan03] II.1.1) et le sous-groupe de Borel B correspond à {−α, −β, −γ} (cf. [Jan03] II.1.8). Notons R+ = {α, β, γ} l’ensemble des racines positives
et R− = {−α, −β, −γ} l’ensemble des racines négatives. Alors S = {α, β} est l’ensemble des racines simples. Définissons l’ordre partiel ≤ sur X(T ) par µ ≤ λ si et seulement si
λ − µ ∈ Nα + Nβ.
Pour tout δ ∈ R, notons δ∨ ∈ Y (T ) la coracine correspondante. On désigne par
ω1, ω2 ∈ X(T ) les poids fondamentaux correspondants à α∨ et β∨, c’est-à-dire, on a
hω1, α∨i = 1, hω1, β∨i = 0; hω2, α∨i = 0, hω2, β∨i = 1.
Alors on a X(T ) = Zω1+ Zω2. Pour tout a, b ∈ Z, notons (a, b) le poids aω1+ bω2. Posons
ρ = 12(α + β + γ) = γ = (1, 1). Notons
X(T )+= {µ ∈ X(T )|hµ, δ∨i ≥ 0, ∀δ ∈ R+} = {(a, b) ∈ X(T )|a ≥ 0, b ≥ 0} l’ensemble des poids dominants. Pour tout d ∈ N∗, notons
Xd(T ) = {µ ∈ X(T )|0 ≤ hµ, δ∨i < pd, ∀δ ∈ S} = {(a, b) ∈ X(T )|0 ≤ a, b < pd}
l’ensemble des poids dominants et pd-restreints.
Pour δ ∈ R, notons sδ la réflexion par rapport à δ, c’est-à-dire, pour tout µ ∈ X(T ) : sδ(µ) =µ − hµ, δ∨iδ.
Soit
W = hsδ|δ ∈ Ri
le groupe de Weyl de R. Alors W est engendré par les réflexions simples sα, sβ. La longueur `(w) d’un w ∈ W est définie comme le plus petit m tel qu’il existe α1, α2, · · · , αm avec w = sα1sα2· · · sαm. Alors (cf. [Jan03] II.1.5)
`(w) = |{δ ∈ R+|w(δ) < 0}| ≤ 3
et w0 = sαsβsα= sβsαsβ est l’unique élément de W de plus grande longueur.
Pour δ ∈ R et r ∈ Z, notons sδ,r la réflexion affine de X(T ) définie par sδ,r(µ) = µ − (hµ, δ∨i − r)δ
pour tout µ ∈ X(T ). Désignons par Wp le groupe engendré par tous les sδ,np avec δ ∈ R et n ∈ Z. Pour w ∈ Wp, définissons l’action décalée par w · µ = w(µ + ρ) − ρ pour tout µ ∈ X(T ). On note C = −ρ + X(T )+.
Tout G-module V est aussi un T -module de façon naturelle. Pour tout µ ∈ X(T ), notons
Vµ= {v ∈ V |t · v = µ(t)v ∀t ∈ T }
l’espace de poids µ de V . Donc on a
V = M
µ∈X(T ) Vµ.
On dit que µ est un poids de V si Vµ6= 0. On dit que µ est un plus haut poids de V si µ
est un poids de V qui est maximal par rapport à l’ordre ≤ sur X(T ). On définit aussi le caractère de V par
ch V = X
µ∈X(T )
dim Vµe(µ) ∈ Z(X(T )).
Soit H ⊂ G un sous-groupe fermé. Si V est un G-module, alors il admet naturellement une structure de H-module. Notons resGH(V ) le H-module ainsi obtenu.
Pour tout H-module N , on note IndGH(N ) le G-module induit par N (cf. [Jan03] I.3.3). Pour i ∈ N, on note
Hi(G/H, N ) = Hi(G/H, LG/H(N ))
où LG/H(N ) est le fibré vectoriel G-équivariant sur G/H associé à N (cf. [Jan03] I.5.8). Alors on a ([Jan03] I.5.12)
Hi(G/H, N ) ∼= RiIndGH(N ).
Pour un B-module N , on note Hi(N ) = Hi(G/B, N ). Si µ ∈ X(T ), alors µ est aussi un caractère de B, et on désigne encore par µ le B-module de dimension 1 tel que g ∈ B agit comme le scalaire µ(g). Donc Hi(µ) est défini comme ci-dessus.
On sait que H0(µ) 6= 0 si et seulement si µ ∈ X(T )+. Si H0(µ) 6= 0, alors il contient
un unique sous-G-module simple, noté L(µ), qui est de plus haut poids µ. Tout G-module simple est isomorphe à un unique L(µ) (cf. [Jan03] II.2).
Pour un G-module V de dimension finie, on note FC(V ) l’ensemble des facteurs de composition de V .
Pour i ∈ {0, 1, 2, 3}, on appelle « une Hi-chambre » un sous-ensemble de X(T ) de la forme w · C avec `(w) = i, voir la Figure 1 plus bas. Pour d ∈ N∗, « une pd-alcôve » est un ensemble de la forme
{µ ∈ X(T )|apd< hµ + ρ, αi < (a + 1)pd, bpd< hµ + ρ, βi < (b + 1)pd,
cpd< hµ + ρ, γi < (c + 1)pd} pour certains a, b, c ∈ Z. α β −ρ H0 H3 H1 H1 H2 H2 Figure 1 – chambres
Figure 2 – alcôves pour p = 3
Pour tout G-module V , l’espace dual Homk(V, k) est naturellement muni de la structure de G-module définie par (g · φ)(v) = φ(g−1v). On le note V∗ et on l’appelle le dual de
II.4.3)
Hi(µ) ∼= H3−i(−2ρ − µ)∗.
D’autre part, l’application g 7→t g est un anti-automorphisme de G = SL3 qui est
l’identité sur T . Donc on peut munir l’espace dual Homk(V, k) d’une autre structure de G-module définie par (g·φ)(v) = φ(tgv). On le note Vtet on l’appelle « le dual contravariant » de V . Alors, « la dualité de Serre contravariante » s’écrit (cf. [DS88] 2.1)
Hi(µ) ∼= H3−i(w0· µ)t.
Soit F : G → G le morphisme de Frobenius de G (cf. [Jan03] II.3.1). Pour tout
r ∈ N∗, notons Gr = ker(Fr) le r-ième noyau de Frobenius. Pour tout µ ∈ X(T ), notons
b
L(µ) l’unique BG1-module simple de plus haut poids µ (cf. [Jan03] II.9.6). Si on écrit
µ = µ0+ pµ1 avec µ0 ∈ X1(T ) et µ1 ∈ X(T ), alors on a un isomorphisme de BG1-modules
b
L(µ) ∼=L(µb 0) ⊗ pµ1.
De plus, si µ ∈ X1(T ), alors on a un isomorphisme de BG1-modulesL(µ) ∼b = resG
Une filtration à deux étages
1.1
Énoncé du théorème pricipal
Définition 1 (degré). Soit n ∈ N. Si n ≥ 1, on appelle degré de n l’unique d ∈ N tel que apd≤ n < (a + 1)pdpour un a ∈ {1, 2, · · · , p − 1}. Si n = 0, on dit que n est de degré −∞.
Soit µ ∈ X(T ) tel que µ 6= (−1, −1). Il existe un unique λ = (a, b) ∈ C ∩ W · µ. Le degré de µ est défini comme le degré de a + b + 1 ∈ N.
Remarque 1. Si µ = (m, −n − 2) avec m, n ∈ N, alors µ = sβ · (m − n − 1, n) = sβsα· (n − m − 1, m). Donc dans ce cas, le degré de µ est celui de max(m, n).
Définition 2 (Condition de Griffith). 1. On dit qu’un poids µ vérifie la condition de Griffith s’il existe m, n, d ∈ N∗ et a ∈ {1, 2, · · · , p − 1} tels que
• apd≤ m, n ≤ (a + 1)pd− 2 ;
• µ = (m, −n − 2) ou µ = (−n − 2, m).
On appelle « région de Griffith », et l’on note Gr, l’ensemble des poids vérifiant la condition de Griffith.
2. On note Gr l’ensemble des poids µ vérifiant qu’il existe m, n, d ∈ N∗et a ∈ {1, 2, · · · , p − 1} tels que
• apd− 1 ≤ m, n ≤ (a + 1)pd− 1 ;
• µ = (m, −n − 2) ou µ = (−n − 2, m).
3. On noteGr l’ensemble des poids µ vérifiant qu’il existe m, n, d ∈ Nc ∗et a ∈ {1, 2, · · · , p − 1}
tels que
• apd≤ m, n ≤ (a + 1)pd− 1 ;
Figure 1.1 – Région de Griffith pour p = 3
Remarque 2. Dans la Définition 2, le degré de µ est d.
Remarque 3. D’après [Gri80] Theorem 1.3 ou [And79] Theorem 3.6, on sait que H1(µ) et
H2(µ) sont tous les deux non nuls si et seulement si µ ∈ Gr. Si µ est dans une H1-chambre
(resp. H2-chambre) et µ /∈ Gr, alors H2(µ) = 0 (resp. H1(µ) = 0).
Le théorème principal de ce chapitre est le suivant.
Théorème 1. Soit µ = (m, −n − 2) ∈ Gr, où m = apd+ r et n = apd+ s avec d ≥ 1, 0 ≤ a ≤ p − 1 et −1 ≤ r, s ≤ pd− 1. Posons µ0 = (r, −s − 2), µ00 = (−pd+ r, pd− s − 2),
λ = (s, pd− r − 2) et tλ = (r, pd− s − 2). Alors : 1. H2(µ) admet la filtration à deux étages suivante :
H2(µ) = L(0, a − 1)
(d)⊗ V (λ)
L(0, a)(d)⊗ H2(µ0)L
L(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00)
C’est-à-dire, il existe une suite exacte courte de G-modules :
0 M H2(µ) L(0, a − 1)(d)⊗ V (λ) 0
telle que
M ∼= L(0, a)(d)⊗ H2(µ0)ML(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00).
2. H1(µ) admet la filtration à deux étages suivante :
H1(µ) = L(0, a)
(d)⊗ H1(µ0)L
L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00)
L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ) C’est-à-dire, il existe une suite exacte courte de G-modules :
0 L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ) H1(µ) Q 0
telle que
Q ∼= L(0, a)(d)⊗ H1(µ0)ML(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00).
Convention 1. Si η n’est pas dominant, on pose L(η) = V (η) = 0.
2. Si a = 1, alors, d’après la Convention 1, on a L(0, a − 2) = 0. Donc dans ce cas les filtrations du Théorème 1 se réduisent aux suites exactes :
0 H0(tλ) H1(µ) L(0, 1)(d)⊗ H1(µ0) 0,
0 L(0, 1)(d)⊗ H2(µ0) H2(µ) V (λ) 0.
Afin de démontrer le Théorème 1 on a besoin de quelques lemmes.
Lemme 1. Soit L(η) un facteur de composition de Hi(µ0) ou Hi(µ00), où µ0 = (r, −s − 2)
et µ00= (−pd+ r, pd− s − 2) avec −1 ≤ r, s ≤ pd− 1. Alors η est pd-restreint.
Si −1 ≤ s ≤ r ≤ pd−1 et L(η) est un facteur de composition de V (λ) = V (s, pd−r−2), alors η est pd-restreint.
Démonstration. Soit ζ ∈ −ρ+X+. On sait, d’après le « Strong Linkage Principle » ([Jan03] II.6.13), que pour tout facteur de composition L(η) d’un Hi(w · ζ) on a η ≤ ζ. Comme
γ∨ = γ = ρ est dominant, on a donc :
hη, α∨i ≤ hη, γ∨i = hη, ρi ≤ hζ, ρi et de même pour hη, β∨i.
Pour µ0 = (r, −s − 2), le ζ correspondant est (r − s − 1, s) si r ≥ s et (s − r − 1, r) si
s ≥ r. Dans les deux cas on a hζ, ρi = max(r, s) − 1 < pd.
De même, pour µ00= (r−pd, pd−s−2), le poids ζ correspondant est (pd−r−2, r−s−1)
si r ≥ s et (pd−s−2, s−r−1) si s ≥ r. Dans les deux cas on a hζ, ρi = pd−min(r, s)−3 < pd.
Si s ≤ r+1 et L(η) est un facteur de composition de V (λ) = V (s, pd−r−2) ∼= H3(w0·λ),
alors dans ce cas hζ, ρi = pd+ s − r − 2 ≤ pd− 1.
Lemme 2. Soit d ∈ N∗ et soient λ, µ ∈ Xd(T ). Alors on a
Ext1G(L(0, a)(d)⊗ L(λ), L(0, a − 2)(d)⊗ L(µ)) = 0.
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur d.
Si d = 1, alors λ, µ ∈ X1(T ). Si λ = µ, alors d’après [Jan03] II.10.17(2),
Ext1GL(0, a)(1)⊗ L(λ), L(0, a − 2)(1)⊗ L(λ)) ∼= Ext1G(L(0, a), L(0, a − 2)= 0 car (0, a − 2) /∈ Wp · (0, a). Si λ 6= µ, d’après [Yeh82] Proposition 4.1.1, on sait que si Ext1G(L(0, a)(1)⊗ L(λ), L(0, a − 2)(1)⊗ L(µ)) est non nul, alors si p 6= 3 il est parmi les
trois possibilités suivantes (et est leur somme directe si p = 3) : HomG(L(0, a), L(0, a − 2)),
HomG(L(0, a), L(0, 1) ⊗ L(0, a − 2)), HomG(L(0, a), L(1, 0) ⊗ L(0, a − 2)).
Or ceux-ci sont tous nuls car (0, a) 6≤ ν0+ (0, a − 2) pour ν0 ∈ {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}.
Supposons que l’énoncé est vrai pour d ≥ 1. Soient λ, µ ∈ Xd+1(T ). Écrivons λ =
pλ1+ λ0 et µ = pµ1+ µ0 avec λ0, µ0∈ X
1(T ). Si λ0= µ0, alors
Ext1GL(0, a)(d+1)⊗ L(λ), L(0, a − 2)(d+1)⊗ L(µ) ∼
d’après [Jan03] II.10.17 (2) et l’hypothèse de récurrence.
Si λ06= µ0, alors d’après [Yeh82] Proposition 4.1.1, on sait que si Ext1G(L(0, a)(d+1)⊗ L(λ), L(0, a − 2)(d+1)⊗ L(µ)) est non nul, alors si p 6= 3 il est parmi les trois possibilités suivantes (et est leur somme directe si p = 3) :
HomG L((0, a)pd+ λ1), L((0, a − 2)pd+ µ1), HomGL((0, a)pd+ λ1), L((0, a − 2)pd+ µ1) ⊗ L(0, 1), HomG L((0, a)pd+ λ1), L((0, a − 2)pd+ µ1) ⊗ L(1, 0). (1.1)
Soit L(η) un facteur de composition de L((0, a−2)pd+µ1)⊗L(ν0), où ν0 ∈ {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}.
Alors on a
η ≤ (0, a − 2)pd+ µ1+ ν0.
Donc, comme µ1 est pd-restreint,
hη, ρi ≤ h(0, a − 2)pd+ µ1+ ν0, ρi ≤ (a − 2)pd+ 2(pd− 1) + 1 = apd− 1.
Donc comme λ1 est dominant, on ne peut pas avoir η = (0, a)pd+ λ1. Par conséquent, tous les Hom de (1.1) sont nuls, d’où le résultat.
Lemme 3. Soient M, N deux G-modules de longueur finie. Si pour tout L1 ∈ FC(M ) et
pour tout L2 ∈ FC(N ), on a Ext1G(L1, L2) = 0, alors Ext1G(M, N ) = 0. Démonstration. Soient
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ M`= M
une suite de composition de M et L ∈ FC(N ). Pour tout i ∈ {1, 2, · · · , `}, appliquons le foncteur HomG(•, L) à la suite exacte suivante
0 Mi−1 Mi Mi/Mi−1 0.
On obtient ainsi une suite exacte longue :
· · · Ext1G(Mi−1, L) Ext1G(Mi, L) Ext1G(Mi/Mi−1, L) · · · .
Mais comme Mi/Mi−1 ∈ FC(M ), on a Ext1G(Mi/Mi−1, L) = 0 pour tout i. Donc on
a Ext1G(Mi, L) = 0 pour tout i par récurrence sur i. En particulier, on a Ext1G(M, L) =
Ext1G(M`, L) = 0 pour tout L ∈ FC(N ).
Prenons maintenant une suite de composition pour N : 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ N`0 = N.
Pour tout i ∈ {1, 2, · · · , `0}, appliquons le foncteur HomG(M, •) à la suite exacte suivante
0 Ni−1 Ni Ni/Ni−1 0.
On obtient une suite exacte longue :
· · · Ext1G(M, Ni−1) Ext1G(M, Ni) Ext1G(M, Ni/Ni−1) · · · .
Mais comme Ni/Ni−1 ∈ FC(N ), on a Ext1G(M, Ni/Ni−1) pour tout i. Donc on a
1.2
Démonstration du Théorème 1 : réduction au
Théo-rème 2
Dans cette section, on va montrer que le Théorème 1 découle du théorème un peu plus faible suivant :
Théorème 2. Soit µ = (m, −n − 2), où m = apd+ r et n = apd + s avec d ≥ 1, 1 ≤ a ≤ p−1 et −1 ≤ r, s ≤ pd−1 (c’est-à-dire, µ ∈ Gr de degré d). Posons µ0= (r, −s−2),
µ00 = (−pd+ r, pd− s − 2), λ = (s, pd− r − 2) et tλ = (r, pd− s − 2). Alors : 1. H1(µ) admet la filtration à trois étages suivante :
H1(µ) =
L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00)
L(0, a)(d)⊗ H1(µ0)
L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ) .
Plus précisément, il existe des suites exactes courtes de G-modules :
0 M H1(µ) L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00),
0 L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ) M L(0, a)(d)⊗ H1(µ0) 0.
2. H2(µ) admet la filtration à trois étages suivante :
H2(µ) =
L(0, a − 1)(d)⊗ V (λ)
L(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00)
L(0, a)(d)⊗ H2(µ0)
.
Plus précisément, il existe des suites exactes courtes de G-modules :
0 L(0, a)(d)⊗ H2(µ0) H2(µ) W 0,
0 L(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00) W L(0, a − 1)(d)⊗ V (λ) 0.
De plus, W est un quotient du module de Weyl V (s, apd− r − 2). Montrons que le Théorème 1 découle du Théorème 2.
On pose w = sγsβ = sβsα. Notons Grα = Gr ∩ sα· C, Grβ = Gr ∩ sβ· C et Grw =
Gr ∩ w · C. Posons
e
µ = w0· µ = (apd+ s, −apd− r − 2).
Alorsµ appartient à Gre w (resp. à Grβ) si et seulement si µ appartient à Grβ (resp. à Grw).
D’autre part, commeµ se déduit de µ en échangeant r et s, alors le poids (e µ)e
0 associé à
e
µ
est (s, −r − 2) = sγ· µ0; on le noteraµe0. De même, le poidsµe00 associé à µ este
(−pd+ s, pd− r − 2) = sγ· µ00.
Par dualité de Serre contravariante, on a :
et de même Hi(µ0) ' H3−i(µe0)t et Hi(µ00) ' H3−i(µe00)tpour i = 1, 2. Comme les modules simples L(0, i) sont auto-duaux pour la dualité contravariante, on obtient que H1(µ) a aussi la filtration à trois étages suivante :
H1(µ) ' H2(µ)e t=
L(0, a)(d)⊗ H1(µ0)
L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00)
L(0, a − 1)(d)⊗ H0(tλ)
où les deux étages inférieurs sont un sous-module de H0(tλ) = H0(r, apd− s − 2), et H2(µ)
a aussi la filtration à trois étages suivante :
H2(µ) = H1(µ)e t=
L(0, a − 1)(d)⊗ V (λ)
L(0, a)(d)⊗ H2(µ0)
L(0, a − 2)(d)⊗ H2(µ00)
.
Donc pour montrer le Théorème 1, il suffit de montrer que pour i ∈ {1, 2}, on a : Ext1G(L(0, a)(d)⊗ Hi(µ0), L(0, a − 2)(d)⊗ Hi(µ00)) = 0.
Or ceci est vrai d’après le lemme 1, le lemme 2 et le lemme 3. Ceci montre que le Théorème 1 découle du Théorème 2. On va montrer le Théorème 2 dans la section 1.3.
1.3
Preuve du Théorème 2
Commençons par le lemme suivant.
Lemme 4. Soit λ = (a, b) ∈ X+ tel que b ≥ 1. Soit K le sous-module de V (λ) engendré par le vecteur X−β(b)vλ. Alors V (λ)/K est isomorphe comme B-module à V (a, b − 1) ⊗ (0, 1). Démonstration. D’après [Jan77] Satz 2, on sait que l’annulateur de vλ dans l’algèbre des
distributions Dist(U−) est l’idéal engendré par les X−β(s) pour s ≥ b + 1 et les X−α(r) pour
r ≥ a + 1. Le résultat en découle.
1.3.1 Trois suites exactes de B-modules
Appliquons le lemme 4 à λ = (0, a), pour a ≥ 1. On a V (0, a) = L(0, a) et l’on obtient le sous-module K engendré par le vecteur de poids (a, −a) ; il est isomorphe comme B-module au Pα-module simple Lα(a, −a) de plus haut poids (a, −a) et L(0, a)/K est isomorphe à L(0, a − 1) ⊗ (0, 1). On a donc une suite exacte
0 //K //L(0, a) //L(0, a − 1) ⊗ (0, 1) //0. Notons M le sous-module de K tel qu’on ait une suite exacte
0 //M //K //(a, −a) //0 et Q le quotient de M tel qu’on ait une suite exacte
0 //(−a, 0) //M //Q //0.
1.3.2 Suites exactes longues induites par le foncteur d’induction
Appliquons la d-ième puissance du Frobenius aux suites exactes courtes de la section précédente et tensorisons par le poids µ0= (r, −s − 2). Posons aussi
λ = (s, apd− r − 2)
et remarquons que w0 · λ = w0λ − 2ρ = (r − apd, −s − 2). On obtient alors des suites
exactes :
0 //Kf //L(0, a)(d)⊗ (r, −s − 2) //L(0, a − 1)(d)⊗ (r, pd− s − 2) //0
(1.2)
0 //Mf //Kf //(m, −n − 2) //0 (1.3)
0 //w0· λ //Mf //Qe //0. (1.4)
Appliquons le foncteur H0 à ces suites exactes. Commetλ = (r, pd− s − 2) appartient à C et comme (r, −s − 2) n’a de la cohomologie qu’en degré 1 et 2, alors (1.2) donne, en utilisant l’identité tensorielle ([Jan03] I.4.8) : l’égalité H0(K) = 0, la suite exactef
0 L(0, a − 1)d)⊗ H0(r, pd− s − 2) H1( f K) L(0, a)d)⊗ H1(r, −s − 2) 0, (1.5) l’isomorphisme H2(K) ' L(0, a)f d)⊗ H2(r, −s − 2) (1.6) et l’égalité H3(K) = 0.f
Considérons maintenant la suite exacte (1.4). Les poids deQ sont les poidse
χi = (a − 2i)pd+ r, −(a − i)pd− s − 2
pour i = 1, . . . , a − 1. Pour 2i ≤ a, on a
sβ· χi= χi+ ((a − i)pd+ s + 1)β = (−ipd− (s − r) − 1, (a − i)pd+ s)
et
sαsβ· χi = sβ· χi+ (ipd+ s − r)α = (ipd+ s − r − 1, (a − 2i)pd+ r)
donc χi est dans la chambre où H26= 0 et comme
(a − 2i)pd+ r < (a − 2i + 1)pd≤ (a − i)pd≤ (a − i)pd+ s + 1
la condition de Griffith n’est pas vérifiée donc le H1 est nul. Et pour 2i > a, χi appartient à w0· C donc H1 et H2 sont nuls. Plus précisément, on a χi appartient à w0· λ + (a − i)pdα
donc
Par conséquent, on a H0(Q) = 0 = He 1(Q) = He 0(M ) = Hf 1(M ) et l’on a une suite exactef
0 //H2(M )f //H2(Q)e //V (λ) //H3(M )f //H3(Q)e //0. (1.7)
Notons de plus que les χi qui sont anti-dominants, i.e. qui contribuent au H3(Q),e
donnent des modules de Weyl V (λ − (a − i)pdβ) dont le plus haut poids est ≤ λ. Par
conséquent, tous les poids de H3(Q) sont ≤ λ et donc ceux de He 3(M ) aussi.f
Considérons maintenant la suite exacte (1.3). Comme on a vu que H1(M ) = 0, onf
obtient la suite exacte :
0 H1(K)f H1(m, −n − 2) H2(M )f
H2(K)f f H2(m, −n − 2) H3(M )f 0.
(1.8)
Alors H3(M ) est un quotient de Hf 2(m, −n − 2) dont tous les poids sont ≤ λ. D’après
[Jan03] II.5.15 b) et la dualité entre H1 et H2, on sait que H2(m, −n − 2) est engendré par son espace de poids λ ; ceci entraîne que le morphisme surjectif H2(m, −n − 2) → H3(M )f
se factorise par un morphisme surjectif V (λ) → H3(M ), unique à un scalaire près, et alorsf
(1.7) donne que H3(Q) = 0 et peut donc se récrire sous la forme :e
0 //H2(M )f //H2(Q)e //V (λ) //H3(M )f //0. (1.9)
1.3.3 Détermination de H2(M ) et Hf 3(M )f
Notons Ka et Ma les modules introduits dans la sous-section 1.3.1. Comme a < p on voit que Ma' Ka−1⊗ (−1, 0) et donc on a une suite exacte
0 //Ma //L(0, a − 1) ⊗ (−1, 0) //L(0, a − 2) ⊗ (−1, 1) //0. (1.10)
Appliquant la d-ième puissance du Frobenius, tensorisant par le poids (r, −s − 2) et posant
ν = (−pd+ r, −s − 2), on obtient la suite exacte :
0 //Mfa //L(0, a − 1)(d)⊗ ν //L(0, a − 2)(d)⊗ (−pd+ r, pd− s − 2) //0 .
(1.11) Alors ν = w0 · (s, pd − r − 2) est anti-dominant donc Hj(ν) = 0 pour j < 3 et
H3(ν) = V (s, pd− r − 2). Par conséquent, en appliquant le foncteur H0 à la suite exacte
(1.11) on obtient l’isomorphisme L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00) ' H2(Mfa) (1.12) et la suite exacte : 0 L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00) H3(Mf a) L(0, a − 1)(d)⊗ V (s, pd− r − 2) 0 (1.13)
où l’on a posé, comme dans le Théorème 2, µ00= (−pd+ r, pd− s − 2).
D’autre part, la suite exacte (1.9) de la sous-section 1.3.2 s’écrit ici, en utilisant l’iso-morphisme (1.12) 0 L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00) H2( e Qa) V (s, apd− r − 2) H3(Mfa) 0. (1.14) 1.3.4 Injectivité de f
Lemme 5. Le morphisme f dans la suite exacte (1.8) est injectif.
Démonstration. Par (1.6), on sait que H2(K) ∼f = L(0, a)(d)⊗ H2(µ). Donc par le lemme 1,
si L(η) est un facteur de composition de H2(K), alors η = (0, apf d) + η0 où η0 est un poids
dominant pd-restreint. De même, comme H2(M ) ∼f = L(0, a − 2)(d) ⊗ H1(µ00) par (1.12),
si L(η) est un facteur de composition de H2(M ), alors η = (0, (a − 2)pf d) + η0 où η0 est
dominant et pd-restreint.
Par conséquent, H2(K) et Hf 2(M ) n’ont pas de facteur de composition commun. Doncf
le morphisme de H2(M ) vers Hf 2(K) dans (1.8) est nul, d’où l’injectivité de f .f
Par conséquent, la suite exacte (1.8) se coupe en deux suites exactes courtes :
0 //L(0, a)(d)⊗ H2(µ) //H2(m, −n − 2) //H3(
f
Ma) //0 (1.15)
0 //H1(Kfa) //H1(m, −n − 2) //L(0, a − 2)(d)⊗ H1(µ00) //0. (1.16)
Celles-ci, avec la suite exacte (1.13) et la suite exacte (1.5), terminent la preuve du Théorème 2.
1.4
Description de H
2(µ) et H
1(µ) pour µ sur le mur
Lorsque µ se situe sur le mur entre une H1-chambre et une H2-chambre, c’est-à-dire,
µ = (n, −n − 2) ou (−n − 2, n) pour un n ∈ N, on peut donner une version plus précise du
Théorème 1. Par la symétrie entre α et β, il suffit de considérer le cas où µ = (n, −n − 2). Remarquons d’abord que si 0 ≤ n ≤ p − 1, on peut appliquer le Théorème de Borel-Weil-Bott (cf. [Jan03] II.5.5) à µ = (n, −n − 2) = sβ · (−1, n). Donc on a Hi(µ) ∼= Hi−1(−1, n) = 0 pour tout i dans ce cas.
Si n ≥ p, on a le théorème suivant :
Théorème 3. Soit µ = (n, −n − 2) de degré d ≥ 1 (c’est-à-dire, n ≥ p). Alors il existe une filtration de H2(µ)
0 = V0 ⊂ V1⊂ · · · ⊂ V`−1 ⊂ V`= H2(µ)
avec ` ≤ d telle que pour tout i ∈ {1, 2, · · · , `}, on ait
Vi/Vi−1∼= qi
M
j=1
avec qi≤ 2`−i. De plus, pdijν
ij est pd+1-restreint et λij est pdij-restreint pour tout i, j. Comme H1(µ) ∼= H2(µ)t, on obtient aussi une filtration duale de H1(µ).
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur d. Si d = 1, alors n = ap + r avec 1 ≤ a, r ≤ p − 1. D’après le Théorème 1, il existe une filtration à deux étages :
H2(µ) = L(0, a − 1)
(1)⊗ V (λ)
L(0, a)(1)⊗ H2(µ0)L
L(0, a − 2)(1)⊗ H2(µ00) ,
où λ = (r, p − r − 2), µ0 = (r, −r − 2) et µ00 = (−p + r, p − r − 2). Comme r et p − r − 2 sont ≤ p − 1, on a H2(µ0) = H2(µ00) = 0, d’où H2(µ) ∼= L(0, a − 1)(1)⊗ V (λ). Donc l’énoncé
est vrai dans ce cas.
Supposons l’énoncé vrai pour tout n de degré ≤ d, et soit n = apd+1+ r avec 1 ≤ a ≤
p − 1 et 0 ≤ r ≤ pd− 1. D’après le Théorème 1, on a une filtration à deux étages :
H2(µ) = L(0, a − 1)
(d+1)⊗ V (λ)
L(0, a)(d+1)⊗ H2(µ0)L
L(0, a − 2)(d+1)⊗ H2(µ00)
où λ = (r, pd+1− r − 2), µ0= (r, −r − 2) et µ00= (−pd+1+ r, pd+1− r − 2) = (−m − 2, m), où m = pd+1− r − 2. Donc µ0 et µ00 sont tous les deux encore sur le mur et de degré ≤ d.
D’après l’hypothèse de récurrence, il existe une filtration de H2(µ0) : 0 = M0⊂ M1⊂ · · · ⊂ M`0 = H2(µ0) avec `0 ≤ d telle que pour tout i ∈ {1, 2, · · · , `0}, on ait
Mi/Mi−1∼= q0i M j=1 L(νij0 )(d0ij)⊗ V (λ0 ij),
avec q0i ≤ 2`0−i. De plus, pd0ijν0
ij est pd+1-restreint et λ0ij est p d0ij
-restreint pour tout i, j. Pour i > `0, posons Mi = M`0 = H2(µ0) et qi0 = 0.
De même, on a une filtration de H2(µ00) :
0 = N0⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ N`00 = H2(µ00) avec `00≤ d telle que pour tout i ∈ {1, 2, · · · , `00}, on ait
Ni/Ni−1∼= q00i M j=1 L(νij00)(d00ij)⊗ V (λ00 ij),
avec qi00 ≤ 2`00−i. De plus, pd00ijν00
ij est pd+1-restreint et λ00ij est p d00ij
-restreint pour tout i, j. Pour i > `00, posons Ni= N`00 = H2(µ00) et qi00= 0.
Posons maintenant ` = max(`0, `00) + 1 ≤ d + 1. Pour 0 ≤ i ≤ ` − 1, posons
Vi= L(0, a)(d+1)⊗ Mi M L(0, a − 2)(d+1)⊗ Ni ⊂ L(0, a)(d+1)⊗ H2(µ0)ML(0, a − 2)(d+1)⊗ H2(µ00) ⊂ H2(µ). Posons aussi V`= H2(µ).
Alors pour 1 ≤ i ≤ ` − 1, on a : Vi/Vi−1∼=L(0, a)(d+1)⊗ qi0 M j=1 L(νij0 )(d0ij)⊗ V (λ0 ij) ⊕ L(0, a − 2)(a+1)⊗ q00 i M j=1 L(νij00)(d00ij)⊗ V (λ00 ij) ∼ = q0i M j=1 L(νij0 + (0, a)pd+1−d0ij)(d0ij)⊗ V (λ0 ij) ⊕ q00i M j=1 L(νij00 + (0, a − 2)pd+1−d00ij)(d 00 ij)⊗ V (λ00 ij).
Pour 1 ≤ i ≤ `−1, posons qi = qi0+qi00. Pour 1 ≤ j ≤ qi0, posons νij = νij0 +(0, a)p d+1−d0ij
,
dij = d0ij et λij = λ0ij. Pour q0i < j ≤ qi, posons νij = νi,j−q00 0
i + (0, a − 2)pd+1−d 00 i,j−q0 i, dij = d00i,j−qi et λij = λ 00
i,j−qi. Alors l’isomorphisme précédent se récrit
Vi/Vi−1∼= qi M j=1 L(νij)(dij)⊗ V (λij). De plus, on a qi= qi0+ qi00≤ 2`0−i
+ 2`00−i ≤ 2 · 2max(`0,`00)−i
= 2`−iet λij est pdij-restreint
par définition. D’après le lemme 1, pdijν
ij est pd+2-restreint puisque L(pdijνij + λij) est
un facteur de composition de H2(n, −n − 2), avec n = apd+1+ r. Enfin, si i = `, on a Vi/Vi−1∼= L(0, a − 1)(d+1)⊗ V (r, pd+1− r − 2).
Donc l’énoncé est vrai pour µ. Ceci termine la preuve du Théorème 3.
De plus, on peut décrire explicitement les νij et λij du Théorème 3. Supposons pour commencer que n 6≡ p − 1 (mod p).
Pour a ∈ {0, 1, · · · , p − 1}, notonsba = p − a − 1, alors on abba = a. Pour d ∈ N, notons
Nd= {n ∈ N|n est de degré ≤ d}.
Notons Nd= {0} pour tout d ∈ −N∗. Pour tout d ∈ N, définissons
sd: Nd→ Nd−1 et td: Nd→ Nd comme suit. Si n = adpd+ ad−1pd−1+ · · · + a0∈ Nd où ai ∈ {0, 1, · · · , p − 1}, alors sdn = ad−1pd−1+ ad−2pd−2+ · · · + a0 = n − adpd (en particulier, s0n = 0 si d = 0), et tdn =badp d+ b ad−1pd−1+ · · · +ba0− 1 = p d+1− n − 2.
Alors on a
td2n = n
pour tout n ∈ Nd. Si 0 ≤ a0 ≤ p − 2, alors on a
sdtdn = td−1sdn = adpd+ pd− n − 2.
Pour i = 1, · · · , d, notons
sd(i) = sd−i+1sd−i+2· · · sdn.
C’est-à-dire, si n = adpd+ ad−1pd−1+ · · · + a0∈ Nd, alors
sd(i) = ad−ipd−i+ ad−i−1pd−i−1+ · · · + a0.
Soit n = adpd+ad−1pd−1+· · ·+a0 ∈ Nd(attention : adpeut être 0). Pour i ∈ {1, · · · , d}. posons e Γid(n) =nν = d X j=d−i+1 pjηj ∈ X(T )|ηj ∈ {(0, aj), (0, aj− 2), (abj, 0), (baj− 2, 0)} o . Pour ν =Pd
j=d−i+1pjηj ∈Γeid(n), définissons ε(ν) ∈ {0, 1} par
ε(ν) ≡ ]{j|ηj ∈ {(0, aj− 2), (abj− 2, 0)}} (mod 2).
Soit ν = Pd
j=d−i+1pjηj ∈ Γeid(n). On dit que ν est admissible s’il vérifie les trois
conditions suivantes :
1. ηd∈ {(0, ad), (0, ad− 2)};
2. pour d−i+1 ≤ j ≤ d−1, si ηj+1∈ {(0, aj+1), (abj+1−2, 0)}, alors ηj ∈ {(0, aj), (0, aj−
2)} ; 3. pour d − i + 1 ≤ j ≤ d − 1, si ηj+1 ∈ {(0, aj+1− 2), (baj+1, 0)}, alors ηj ∈ {(baj, 0), (baj− 2, 0)}. Pour i = 1, · · · , d, définissons Γid(n) = Γid,0(n) ∪ Γid,1(n) où Γid,0(n) = {ν|ν ∈Γeid(n) est admissible et ε(ν) = 0} (1.17) et Γid,1(n) = {ν|ν ∈Γeid(n) est admissible et ε(ν) = 1}. (1.18)
Alors |Γid,0(n)| = |Γid,1(n)| = 2i−1. En effet, pour un élément ν ∈ Γid, il y a exactement deux choix pour ηj pour tout j ∈ {d, d − 1, · · · , d − i + 1}, d’où |Γid| = 2i. Si ν ∈ Γi
d,0,
alors il y a deux choix pour ηj tout j ∈ {d, d − 1, · · · , d − i + 2}, et ηd−i+1est uniquement
déterminé par ηd, ηd−1, · · · , ηd−i+2 car ε(ν) = 0. Donc |Γid,0| = 2i−1.
Posons aussi Γ0d,0(n) = {(0, 0)} ⊂ X(T ) et Γ0d,1(n) = ∅. Définissons
τ : X(T ) → X(T )
Alors on a τ2 = IdX(T ). D’après les définitions, pour tout i ≥ 1 et pour n = adpd + ad−1pd−1+ · · · + a0 avec 1 ≤ a0 ≤ p − 2, on a Γid,0(n) =(0, ad)pd+ Γi−1d−1,0(sdn)∪(0, ad− 2)pd+ τ Γi−1 d−1,1(td−1sdn) (1.19) et Γid,1(n) =(0, ad)pd+ Γi−1d−1,1(sdn)∪(0, ad− 2)pd+ τ Γi−1d−1,0(td−1sdn). (1.20) Enfin, pour n = apd+ r ∈ Ndavec 0 ≤ r ≤ pd− 1, posons
Λd(n) = (r, pd− r − 2) ∈ X(T ).
Théorème 4. Soit n ∈ N de degré ≤ d.
(i) Si n 6≡ p − 1 (mod p), alors il existe une filtration de H2(n, −n − 2) 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nd−1 ⊂ Nd= H2(n, −n − 2) telle que Ni/Ni−1∼= M ν∈Γd−id,0(n) L(ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd(d−i)n)) ⊕ M ν∈Γd−id,1(n) L(ν) ⊗ L(bai− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(tisd(d−i)n)). (1.21) pour tout i ∈ {1, 2, · · · , d}.
(ii) Si n ≡ p − 1 (mod p), alors il existe k ≥ 1 tel que n = mpk+ pk− 1 avec m 6≡ p − 1 (mod p). Dans ce cas, on a
H2(µ) ∼= L((pk− 1)ρ) ⊗ H2(m, −m − 2)(k) (1.22)
et (i) s’applique à H2(m, −m − 2).
Remarque 5. On utilise toujours la Convention 1, donc il peut y avoir des facteurs nuls
dans l’expression ci-dessus.
Démonstration. Pour (ii), il suffit de remarque que
µ = (n, −n − 2) = (m, −m − 2)pk+ (pk− 1)ρ et (1.22) résulte de [Jan03] II.3.18.
Pour démontrer (i), raisonnons par récurrence sur d. Si d = 1 et n ∈ Nd est tel que n 6≡ p − 1 (mod p), alors n = a1p + a0 avec 0 ≤ a1 ≤ p − 1 et 0 ≤ a0 ≤ p − 2. D’après le
Théorème 1 (qui est encore vrai même si a = 0 d’après la Remarque 4) on a
H2(µ) ∼= L(0, a1− 1)(1)⊗ V (Λ1(n)).
Donc l’énoncé est vrai dans ce cas.
Supposons l’énoncé vrai pour tout n ∈ Nd avec n 6≡ p − 1 (mod p) pour un d ≥ 1, et
soit n ∈ Nd+1 tel que n 6≡ p − 1 (mod p). Alors n s’écrit comme n = ad+1pd+1+ adpd+ · · · + a0
avec 0 ≤ ai ≤ p − 1 pour tout i et a0 ≤ p − 2. D’après le Théorème 1 (qui est vrai même si a = 0), H2 a une filtration à deux étages :
L(0, ad+1− 1)(d+1)⊗ V (Λd+1(n))
L(0, ad+1)(d+1)⊗ H2(sd+1n, −sd+1n − 2)LL(0, ad+1− 2)(d+1)⊗ H2(−tdsd+1n − 2, tdsd+1n)
.
Comme 0 ≤ p − a0− 2 =ba0− 1 ≤ p − 2, on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à
sd+1n = adpd+ · · · + a0∈ Nd et tdsd+1n =badp d+ · · · + c a0− 1 ∈ Nd.
Donc il existe une filtration de H2(sd+1n, −sd+1n − 2) :
0 = N00 ⊂ N10 ⊂ · · · ⊂ Nd−10 ⊂ Nd0 = H2(sd+1n, −sd+1n − 2) telle que Ni0/Ni−10 ∼= M ν∈Γd−id,0(sd+1n) L(ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd(d−i)sd+1n)) ⊕ M ν∈Γd−id,1(sd+1n) L(ν) ⊗ L(abi− 1, 0)(i)⊗ V (τ Λi(tisd(d−i)sd+1n)) = M ν∈Γd−id,0(sd+1n) L(ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd+1(d−i+1)n)) ⊕ M ν∈Γd−id,1(sd+1n) L(ν) ⊗ L(abi− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(tisd+1(d−i)n)). (1.23)
pour tout i ∈ {1, 2, · · · , d} car
sd(d−i)sd+1n = si+1si+2· · · sdsd+1n = sd+1(d−i+1)n.
De même, il existe une filtration de H2(−t
dsd+1n − 2, tdsd+1n) : 0 = N000⊂ N100 ⊂ · · · ⊂ Nd−100 ⊂ Nd00= H2(−tdsd+1n − 2, tdsd+1n) telle que Ni00/Ni−100 ∼= M ν∈τ Γd−id,0(tdsd+1n) L(ν) ⊗ L(abi− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(sd(d−i)tdsd+1n)) ⊕ M ν∈τ Γd−id,1(tdsd+1n) L(ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(tisd(d−i)tdsd+1n)) = M ν∈τ Γd−id,0(tdsd+1n) L(ν) ⊗ L(abi− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(tisd+1(d−i+1)n)) ⊕ M ν∈τ Γd−id,1(tdsd+1n) L(ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd+1(d−i+1)n)) (1.24) car
Posons Ni =L(0, ad+1)(d+1)⊗ Ni0 M L(0, ad+1− 2)(d+1)⊗ Ni00 ⊂L(0, ad+1)(d+1)⊗ H2(sd+1n, −sd+1n − 2) M L(0, ad+1− 2)(d+1)⊗ H2(−tdsd+1n − 2, tdsd+1n) ⊂H2(µ). Posons aussi Nd+1= H2(n, −n − 2). Alors pour 1 ≤ i ≤ d, on a Ni/Ni−1∼=L(0, ad+1)(d+1)⊗ (Ni0/N 0 i−1) M L(0, ad+1− 2)(d+1)⊗ Ni00/N 00 i−1 ∼ = M ν∈Γd−id,0(sd+1n) L((0, ad+1)pd+1+ ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd+1(d−i+1)n)) ⊕ M ν∈Γd−id,1(sd+1n) L((0, ad+1)pd+1+ ν) ⊗ L(bai− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(tisd+1(d−i)n)) ⊕ M ν∈τ Γd−id,0(tdsd+1n) L((0, ad+1− 2)pd+1+ ν) ⊗ L(bai− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(tisd+1(d−i+1)n)) ⊕ M ν∈τ Γd−id,1(tdsd+1n) L((0, ad+1− 2)pd+1+ ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd+1(d−i+1)n)) ∼ = M ν∈Γd−id+1,0(n) L(ν) ⊗ L(0, ai− 1)(i)⊗ V (Λi(sd+1(d−i+1)n)) ⊕ M ν∈Γd−id+1,1(n) L(ν) ⊗ L(bai− 1, 0) (i)⊗ V (τ Λ i(tisd+1(d−i+1)n))
où le dernier isomorphisme résulte de (1.19) et (1.20). Ceci termine la preuve du Théo-rème 4.
D’autre part, si µ = (n, −n − 2) avec n = apd+ r, où 0 ≤ a ≤ p − 1 et 0 ≤ r ≤ pd− 1, alors d’après le Théorème 2, il existe une suite exacte courte de G-modules :
0 L(0, a)(d)⊗ H2(r, −r − 2) H2(µ) W (r, n − 2r − 2) 0,
où W (r, n − 2r − 2) est un quotient du module de Weyl V (r, n − 2r − 2). On a le corollaire suivant :
Corollaire 1. Soit n = adpd + ad−1pd−1 + · · · + a0 avec 0 ≤ ai ≤ p − 1. Pour k ∈
{0, 1, · · · , d}, notons rk = Pk
i=0aipi (donc n = rd). Alors H2(n, −n − 2) admet une filtration :
0 = M0⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Md−1⊂ Md= H2(n, −n − 2) telle que
Mi/Mi−1∼= L(0, n − ri) ⊗ W (ri−1, ri− 2ri−1− 2)
où W (ri−1, ri− 2ri−1− 2) est un quotient du module de Weyl V (ri−1, ri− 2ri−1− 2). Remarque 6. On utilise toujours la convention que V (a, b) = 0 si (a, b) n’est pas
domi-nant. Donc si ai= 0 pour un i ∈ {1, 2, · · · , d}, alors ri−1= riet W (ri−1, ri−2ri−1−2) = 0.
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur d. Si d = 1, alors n = ap + r avec 0 ≤ a, r ≤ p − 1. Avec les notations ci-dessus, on a r0 = r et r1= n. Comme H2(r, −r − 2) ∼=
H0(−1, r) = 0, d’après le Théorème 2, H2(n, −n − 2) ∼= W (r, n − 2r − 2) ∼= L(0, n − r1) ⊗
W (r0, r1− 2r0− 2) où W (r, n − 2r − 2) = W (r0, r1− 2r0− 2) est un quotient du module
de Weyl V (r0, r1− 2r0− 2). Donc l’énoncé est vrai dans ce cas.
Supposons l’énoncé vrai pour tout n de degré ≤ d pour un d ≥ 1. Soit n = ad+1pd+1+ adpd+ · · · + a0. Alors d’après le Théorème 2, on a une suite exacte courte de G-modules :
0 L(0, ad+1)(d+1)⊗ H2(rd, −rd− 2) H2(n, −n − 2)
W (rd, n − 2rd− 2) 0,
où W (rd, n − 2rd− 2) est un quotient de V (rd, n − 2rd− 2). En appliquant l’hypothèse de
récurrence à rd= adpd+ · · · + a0, on obtient une filtration :
0 = M00 ⊂ M10 ⊂ · · · ⊂ Md−10 ⊂ Md0 = H2(rd, −rd− 2)
telle que pour i = 1, 2, · · · , d,
Mi0/Mi−10 ∼= L(0, rd− ri) ⊗ W (ri−1, ri− 2ri−1− 2)
où W (ri−1, ri − 2ri−1 − 2) est un quotient de V (ri−1, ri − 2ri−1 − 2). Posons Mi = L(0, ad+1)(d+1)⊗ Mi0 pour i = 0, 1, · · · , d et Md = H2(n, −n − 2), alors on obtient une
filtration de H2(n, −n − 2) 0 = M0⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Md⊂ Md+1= H2(n, −n − 2) telle que Md+1/Md∼= W (rd, n − 2rd− 2) ∼= L(0, n − rd+1) ⊗ W (rd, rd+1− 2rd− 2), Mi/Mi−1∼= L(0, ad+1)(d+1)⊗ (Mi0/Mi−10 ) ∼ = L(0, ad+1pd+1) ⊗ L(0, rd− ri) ⊗ W (ri−1, ri− 2ri−1− 2) ∼ = L(0, n − ri) ⊗ W (ri−1, ri− 2ri−1− 2) si i ≤ d.
Ceci termine la preuve.
La figure suivante donne la relation entre la filtration du Théorème 4 (indiquée par les lignes noires) et celle du Corollaire 1 (indiquée par les courbes pointillées) lorsque d = 4.
N1 N2 N3 N4 M1 M2 M3 M4 Figure 1.2 – d = 4
