Marches automatiques

F. M. D

EKKING

Marches automatiques

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{1 (1993),}

p. 93-100

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_1_93_0>

© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.

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Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Marches

_automatiques

par F. M. DEKKING

1. Introduction

Soit A un

ensemble,

G un _groupe abélien localement

_compact,

à base

dénombrable,

avec unité _e, et soit

une

application

de A dans G.

Alors

_chaque

suite infinie x = avec _zn e A _{pour n} =

l, 2, ...

détermine une marches sur G _par

So(x)

= e et

Dans

_[DM]

est étudié

_l’exemple

donné _par A

_{= R,}

G = C et

_{f (x) -}

Ici nous nous intéressons aux marches

automatiques

associées à des suites x

engendrées

_{par automates.} Nous nous

_plaçons

dans le cadre des suites

engendrées

par

"tag

machine"

([Co]),

donc x est dit

_automatique

si x est une

projection

d’un

point

fixe d’une substitution

(pas

nécessairement de

longueur

constante)

sur l’ensemble A* des mots

composés

de lettres de

A

_(qu’on

_suppose de cardinalité

_finie).

En

_élargissant

_l’alphabet

A et en

changeant

la fonction

_f

si

_nécessaire,

on voit

qu’on

ne

perd

_pas de

généralité

en _{supposant que} x soit

_point

fixe d’une substitution.

Les conditions sur G entraînent _que G est métrisable.

_Soit

une norme associée à une

_métrique

invariante sur G. Nous considérons les

propriétés

suivantes d’une marche sur G.

(,~n ( x ) )

est récurrente si _pour

_chaque

c &#x3E; 0 il existe n tel que

Il

Il

E.

(~’n(x))

est ultimement récurrente s’il existe J~ tel _que

Manuscrit _reçu le 24 mars 1992.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",}

est récurrente.

est transiente si n’est _pas ultimement récurrente. est bornée si

_{II

_0}

est borné.

Pour un _groupe G discret on a

(Sn(x»

est récurrente si et seulement si Card

_0,

_Sn(x)

=

e}

= oo.

(Sn(x))

est transiente si et seulement si Card

_{~n &#x3E;}

0,

Sn(x)

= est fini _pour

_chaque

k &#x3E; _0.

(Sn(x))

est bornée si et seulement si Card

_{{,5~(~), ~ &#x3E;}

_0}

oo.

Le

_{problème qui}

se _{pose est} de classifier les marches

_automatiques

selon

récurrence,

transience ou la

propriété

d’être borné.

Il est facile de trouver des

_exemples

où la marche est bornée. Prenons G

_{= 1I8,}

A

_{f a, b}, x}

la suite de Thue-Morse

_(point

fixe de la substitution

a -

ab,

b

~ ba,

avec xl =

a),

et

f :

~4. 2013~ G définie _par

f (a) _

_+1,

f (b) _

-1.

_{Puisque x}

se

décompose

en mots ab et

ba,

nous avons

Pour des

_exemples

de marches

_automatiques

bornées dans

_1E83,

associées au

pliage

de fil de

_fer,

voir

_[MS].

’

Dans le cas G = R les marches

automatiques

ont été étudiées

par Dumont et Thomas

([DT], [Du]).

Leur résultat

principal

est que si A

est la valeur _propre de Frobenius de la matrice M de la substitution

_(M

est

supposée

primitive),

et À la deuxième

_{(en module)}

valeur _propre

_(supposée

unique,

et satisfaisant à À &#x3E;

_1),

alors si n - oo :

où v est défini _par Mv = Av _et

¿aEA Va

=

_l,

où _{a + 1 est} l’ordre de À dans

le

_polynôme

minimal de

_M,

et où F :

_{[1, oo~}

- R est une fonction continue et bornée.

Ce résultat

_permet

de conclure à la transience de la marche dès _que

(v, f ~ ~

0,

mais ne

_permet

_pas de résoudre le cas

général

_{par manque}

d’information sur les zéros de la fonction F.

Qu’il

n’est _pas

_simple

d’obtenir cette information c’est ce _{que montre}

l’analyse

du cas Card

(A)

=

2,

G = Z

faite _par Wen et Wen

_[WW],

_qui

donnent une classification

_complète

des marches

_automatiques

dans ce cas.

Prenons un

exemple.

Soit A = la substitution définie par

et

_f

défini _par

_{f (a) _}

_+1,

_{f (b) _ -1.}

Il découle de

_[WW]

_que la marche est

_transiente,

mais _que

_(Sn(aOO(b)))

est récurrente.

Donc la classification ne

dépend

_pas seulement de la substitution _a, mais

aussi de la

_première

lettre du

_point

fixe. Dans la section suivante nous allons

montrer _que l’un de ces deux

point

fixes a un

_comportement

"typique".

2. Le

_point

de vue stationnaire

Un autre _aspect pas très satisfaisant de la classification dans la section

1 _{est que,} tandis que la transience est une

propriété asymptotique

de la

marche,

ceci n’est _pas vrai _pour la récurrence : un shift d’une marche

_qui

n’est _pas récurrente

_peut

être récurrent. Ceci conduit à considérer avec a; toute l’orbite

_{0(x) = ttnx, n}

&#x3E;

_01,

avec T :

A~ -~ AN

défini _par

(Tx)k

= Soit x

point

fixe d’une substitution a dont la matrice est

primitive.

Soit

X,

la fermeture de l’orbite

_(9(~).

Il est bien connu

(voir

par

exemple

[Qu])

que les boréliens B de

Xa

admettent une

_unique

mesure T-invariante Ainsi on associe à

chaque

substitution

_primitive

un

système dynamique ergodique

Pour les

_systèmes

_ergodiques

on a un résultat

général

dû à K. Schmidt

(~Sc~).

Pour une autre

_{démonstration,}

voir

_[Be].

THÉORÈME

1. Soit pour x E

AN

=

X,

(Sn(x» =

(En 1

marche

déterminée _par une fonction

f :

A -~ G. Si

(X,

_T,

B,

~)

est

_ergodique,

_alors,

- soit

gtx

E

_X,

_{(Sn(x)) récurrente}}

_{= 1,}

- soit

Pfx

E

_X,

_(Sn(x»

_transientel

= 1. Dans le cas G = R il

y a une

façon simple

de faire la classification

_(on

peut

consulter

_[Dl]

_pour une

démonstration).

THÉORÈME

2. Si est

_ergodique

et si

_(Sn(x))

est la marche déterminée _par une fonction

f :

A -~ alors

r

Pour le cas d’un

_système

_Xa

_engendré

_par une substitution

primitive

on a pour chaque lettre a

où

_[a]

=

lx

_E

Xa,

_x, =

al,

et où

(va)aEA

est encore le _{vecteur propre}

normalisé de Frobenius de la matrice de a

_([Qu,

_V.14]),

donc

Le Théorème 1

_implique

_{que ii,-presque} tous les

_points

sont récurrents si et seulement si

_{(v, f )}

= 0. Donc dans

l’exemple

à la fin de la section 1 la

~°° (b)

a un

_comportement

typique.

Dans le cas G =

R 2

_ou même G =

Z2@

le

problème

de la classification

y,-presque sûrement des marches

automatiques

est ouvert

(cf.

[Dl]).

3. Marches

_automatiques

sur des

graphes

On _peut étendre la notion de marche sur un _groupe discret à des marches sur des

graphes.

Soit 9 =

(V, E)

un

graphe

orienté : V est l’ensemble des

sommets, E

C V x V l’ensemble des _arcs, nous écrivons v -~ w si

(v, w)

E E.

On considère un

graphe

orienté

étiqueté,

avec A l’ensemble des

étiquettes,

avec la

propriété

~3.1)

Vv e V Va e A il existe w e V

_unique

tel w.

Une suite infinie x e

AN

et un sommet vo déterminent une marche

sur 9

par

PROPOSITION. Une marche sur un _groupe discret G est une marche sur un

graphe étiqueté.

Démonstration. Soit

_{f :}

A - G la fonction

_qui

détermine la marche.

Prenons

_f(a).

_Puisque

_{l’équation}

g -f- x = ~ dans un _groupe a une solution

unique, 9

satisfait à

(3.1~. 0

Un cas intéressant est le cas où on a

avec

{9l,

... , un ensemble de

générateurs

pour G. Dans ce cas le

graphe

Ç

est un

graphe

de

Cayley

du _groupe G.

Exemple

1. G =

~1,~2~3 ! ~ == gi == 9~

= e &#x3E;.

Ici Ç =

,~2 ,

l’arbre

arc

_étiqueté

_(et

de même _pour

_{g2 , g3 ),}

une marche

automatique

sur

,A~

déterminée _par une suite

_{automatique x e}

_b,

cIN

est

_récurrente,

c’est-à-dire

_{( C ard n &#x3E;}

_0,

=

vol -

00),

si,

et seulement

si, x

contient une

infinité de

_palindromes

de

_longueur

_paire

au début de x. 4. Marches orientées

Dans une marche orientée sur un _{groupe la}

position

ne

dépend

pas seulement de la

position

et de la lettre xn+l, mais aussi du dernier

pas

Appelons

= l’orientatzon. La

suite x gouverne maintenant

l’orientation,

donc _{pour tout a} E A nous avons une

_application

~I ~ sous-ensemble de

_G,

et

_{pour n &#x3E;}

0

La marche est déterminée _par et

_{pour n &#x3E;}

0

Dans

_[WW]

est considéré le cas G =

Z,

H =

t-1, +11,

A =

{a, b},

_avec

Pour les marches sur les

_graphes

orientés

_étiquetés,

_0,(x)

sera l’

éti-quette

de l’arc

_(x),

Donc une marche orientée sur un

_{graphe S,}

satisfaisant à la

_propriété

_(3.1),

associée à une suite x E

AN

et un ensemble

d’étiquettes

H,

est donnée _par des

_applications

_{pa :} H - H _pour

_chaque

aEAet

Wen et Wen

_([WW])

considèrent la marche orientée sur

,A2

donnée _par

A = H =

~9m 92, 93Î

_et

Soit a~ : B* -~ ~* la substitution donnée _par

Peyrière

a

posé

le

problème

de la classification de la marche

(Sn(Q°°(r))

sur

A2.

PROPOSITION. Soit X = et

soit Il - Il

la norme usuelle sur

A2

(spi

_v, w

(v # w)

E y a une suite

unique

VI -~ ... w,

et Il v -

m

n).

Alors

On en déduit _que la marche

automatique

(S~,(x))

est

transiente,

et de

capacité

nulle :

Démonstration. Soit V =

V(,A2),

et soit défini

pour

chaque

a E A _par

et soit

_{1/Jal...an ==}

o ... _o

1/Jal.

On a évidemment

On vérifie facilement _que

On en déduit _que

On vérifie en

plus

_que dans toutes les combinaisons

(avec

a,

b,

c E

_A),

après

enlèvement de tous les

_9r

_par les relations

_(4.3),

il reste au

moins deux

_9g

ou

9d

dans

e,4b-

Puisque

~4 ( x )

= _x, ceci

implique

_que dans

chaque

1/Jxl

... _x8n

après

enlèvement de tous les

1/;r

(sauf

au début et à la

fin)

il reste au moins 2n

applications

9d

ou

~9.

Mais sous ces deux

applications

on

_s’éloigne

_toujours

de

So(x)

en l’absence des

9r,

donc S8,,(x) II~

_2n,

d’ où ~~ Sn(X) ~&#x3E; n~4 -

7 _pour

_{chaque n &#x3E;}

0. Il

Cette

_proposition

donne lieu à

_plusieurs

_questions.

Est ce _que la méthode

employée

marche dans le cas

_{général ?}

Probablement la

réponse

est affir-mative.

_(Le

lecteur

_peut

se convaincre _que même avec des substitutions

avec

beaucoup

de r on

_peut

conclure à la

transience,

_par

exemple

_pour la

substitution donnée par r -~ _{rg, g -&#x3E;}

_rd,

r --+

r).

Est-ce

qu’il

existe des

marches

_automatiques

orientées récurrentes sur

A2 ?

Dans

[WW]

est donné

l’exemple

Cette marche _{passe par tous} les sommets de

_l’arbre,

donc est de

_capacité

1. Nous allons donner un

exemple

récurrent d’une tout autre

nature,

de

capacité

0.

PROPOSITION. La marche orientée sur

,A2

selon la somme des chiffires en

base 3 modulo 3 est

_récurrente,

non

_bornée,

et de

_capacité

nulle.

Démonstration.

_(Esquisse).

La substitution o~ associée à la somme des

chiffres en base 3 modulo 3 est donnée _par

La récurrence de la

marche

se déduit immédiatement de la

_propriété

sui-vante

_qui

se démontre _par récurrence

(sic),

en utilisant

(4.3) :

soit i. e. _vn =

gdgd ... gd

de

longueur

2n,

alors _pour tout

Une

_analyse

un _peu

plus

profonde

_{montre que} la marche est

_"presque

linéaire",

donc de

_capacité

nulle. D Nous allons finir avec le résultat suivant.

THÉORÈME.

Une rnarche

_automatique

orientée est une

marchà%ntoma-tique

(non-orientée).

Dans

_[D2]

il est démontré _que la suite o ~ ~ ~ o est

_automatique

si x est

_automatique.

Donc

_(Sn(x))

est de la forme

_(1.1).

0

De ce théorème on déduit _que le

problème

de la classification des marches

automatiques

orientées sur l’arbre

_homogène

d’ordre 2 est

_équivalent

au

problème

des

_palindromes

_pairs

_posé

à la fin de la section 3.

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F. M. _{D ekking.}

Faculty of Mathematics and Informatics

Dept. of Statistics Probabilistics Probability

and _Operations Research

Mekélweg 4, 2628 CD Delft PAYS-BAS