HAL Id: jpa-00207414
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Submitted on 1 Jan 1973
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Un croisement de niveaux singulier : l’anticroisement
empêché ou croisement de deuxième espèce
G. Grynberg, J. Dupont-Roc, S. Haroche, C. Cohen-Tannoudji
To cite this version:
G. Grynberg, J. Dupont-Roc, S. Haroche, C. Cohen-Tannoudji. Un croisement de niveaux singulier :
l’anticroisement empêché ou croisement de deuxième espèce. Journal de Physique, 1973, 34 (7),
pp.523-535. �10.1051/jphys:01973003407052300�. �jpa-00207414�
UN CROISEMENT
DE
NIVEAUX SINGULIER :
L’ANTICROI SEMENT
EMPÊCHÉ
OU CROISEMENT DE
DEUXIÈME ESPÈCE
G.
GRYNBERG,
J.DUPONT-ROC,
S. HAROCHE et C. COHEN-TANNOUDJILaboratoire de
Spectroscopie
Hertzienne del’ENS, 24,
rueLhomond,
75005Paris,
France(Reçu
le 28 décembre1972)
Résumé. 2014 On montre
que deux types de croisements de niveaux peuvent apparaître dans un
diagramme d’énergie :
les croisements depremière
espèce entre niveaux desymétries différentes,
les croisements de deuxième espèce(ou
anticroisementsempêchés)
entre niveaux de mêmesymé-trie ou
n’ayant
pas unesymétrie
bien définie.Des
propriétés physiques simples
permettent de différencier ces deux types de croisements :caractéristiques
des résonances observables auvoisinage
ducroisement,
transitions nonadiaba-tiques
d’un niveau à l’autre lors d’unbalayage
suffisammentrapide.
On montre enfin que l’existence de croisements de deuxième
espèce
n’est pas en contradictionavec le théorème de
Wigner-Von
Neumann.Abstract. 2014 It is shown that 2
types of level
crossings
may be found in an energydiagram :
crossings
of the first kind between 2 levels of differentsymmetries, crossings
of the second kind between 2 levels of the same symmetry orhaving
no definite symmetry.These 2 types of
crossings
may bedistinguished by simple physical properties :
characteristicsof the
corresponding
levelcrossing
resonances, non-adiabatic transitions from one level to the otherresulting
from asufficiently
fast passage.It is
finally
shown that the existence ofcrossings
of the second kind is not in contradiction with theWigner-Von
Neumann theorem.Classification Physics Abstracts
13.20
1. Introduction. -
L’importance
des croisements et anticroisements de niveaux enphysique atomique
est bien connue[1] :
si,
lorsqu’on
fait varier unpara-mètre
coo, 2
niveauxd’énergie
d’unsystème
physique
se croisent ou s’anticroisent(c’est-à-dire
serepoussent
enpassant
par une distanceminimale),
il estpossible
d’obtenir
expérimentalement
auvoisinage
de cespoints
de croisements ou d’anticroisements dessignaux
réson-nants dont l’étude
apporte
desrenseignements
inté-ressants sur le
système
étudié.La
possibilité
d’observer ces résonancesdépend
crucialement du mode de
préparation
et de détection utilisé. Laplupart
dutemps,
lesystème
estpréparé
dans un étatqui
n’est pas stationnaire(c’est-à-dire qui
n’est pas état propre du hamiltonien totalJC).
Parexemple,
l’excitationoptique (en
raielarge)
d’unatome
possédant
unspin
nucléaire 1 leporte
dans unétat ) 1 mb
mJ>,
où mj et m, sont lescomposantes
sur Oz des momentscinétiques électronique
J et nucléaire1 ;
par suite ducouplage
hyperfin V
entre1 et
J,
ml,
m J > n’est pas un état stationnaire dusystème.
De manièregénérale,
nousappellerons 3CO
le hamiltonienapproché
dont les états propres per-mettent de décriresimplement
l’excitation et ladétec-tion du
système. Soient
a
>et
b
> 2 états propres deJeo
dont lesénergies Ea
etEb
se croisent pour une valeur coo, duparamètre
coo(Fig. 1).
Nous supposons que l’excitation
prépare
lesystème,
soit dans
l’état a
>,
soit dansl’état ! b
>,
soit dansune
superposition
linéairede j a
>et , b
>. Les deuxpremiers
cascorrespondent
à une excitationdiagonale
FIG. 1. -
Croisement de niveaux (les niveaux non perturbés
sont représentés en traits tiretés, les niveaux perturbés en traits
pleins).
dans la base des états propres de
Jeo (une
telleexci-tation est souvent
appelée longitudinale),
le troisièmeà une excitation non
diagonale (ou
encoretransver-sale).
Demême,
nous supposerons que la détectionest sensible soit aux
populations
desniveaux
a
> et1
b >(détection diagonale
ou encorelongitudinale),
soit aux éléments nondiagonaux
Uab de la matrice densité dusystème
(détection
nondiagonale
ou encoretransversale).
Que
sepasse-t-il lorsqu’on
tientcompte
de la différence V = 3£ -Jeo
entre le hamiltonien exact seet le hamiltonien
approché Jeo ( Y est appelé
lapertur-bation) ?
1.1 1 er CAS : CROISEMENT ENTRE NIVEAUX DE
SYMÉ-TRIES DIFFÉRENTES. -
Supposons
parexemple
que lesniveaux
a
>et
b
> ne soientcouplés
par V
à aucunordre de
perturbation.
Dans ce cas, les niveauxper-turbés
a
>et
b
> continuent engénéral
à secroiser
(Fig. 1).
Une telle situation est réalisée notam-mentlorsque,
aussi bien lesniveaux
( a
>et
b
> que lesniveaux
â
>et
b
> sont desymétries
différentes : il existe parexemple
une observableL,
associée à uneopération
desymétrie
dusystème,
indépendante
duparamètre
OJo et commutantquel
que soit coo aussi bien avecJ6o
qu’avec 3£,
lesniveaux
a
> et1
a >corres-pondant
à une même valeur propre deL,
distincte de cellequi
est associéeà
b
>et
b
>.Ainsi,
dansl’exemple
citéplus
haut,
l’invariance dusystème
parrotation autour de la direction Oz du
champ
statique
Ho
entraîneque F.
= Jz
+I.
commutequel
que soitHo
avec3£0
et3£ ;
mF = mj + m, est alors un bon nombrequantique quel
que soitHo,
et 2 états1
mj, mJ >et
1 m;,
m’
>correspondant
à des valeursMF et
mF
distinctes nepeuvent
jamais
êtrecouplés
par V.Il est bien connu que l’on
peut
observer dessignaux
résonnants auvoisinage
dupoint
de croisement de lafigure
1.L’équation
d’évolution de l’élément nondiagonal
Qa b =
a
1 a
b
> de la matrice densité dusystème
s’écrit en effet :Le
premier
terme décrivant lapréparation (avec
uneconstante de
temps
Tp)
dusystème
dans une superpo-sition linéaire des étatspropres
1
a
>et
b
>, lesecond,
l’évolution propre due au hamiltonienJe,
letroisième,
l’amortissement dusystème
(avec
uneconstante de
temps
1/T)
dû aux processus de relaxation(émission
spontanée,
collisions...).
La solution enrégime
stationnaire de(1. 1)
est évidente :Ainsi,
si lapréparation
est telle queab
est differentde
zéro,
et si la détection est sensible à l’élément nondiagonal
a ab,
on voitqu’on
observera une résonancecentrée autour du
point
de croisement coo,, de lafigure
1,
et dont lalargeur
est déterminée par r etpar la
pente
relative des deux niveauxperturbés
(r
dans le cas d’un niveau excité est lalargeur
naturelledu niveau
étudié).
Comme nous l’avons vu
plus
haut,
lapréparation
etla détection du
système
sont décritessimplement
dansla base des états propres de
Jeo
et il nous faut examinerles conditions
auxquelles
elles doivent satisfaire pourque la résonance
précédente
soit observable.Lorsque
lesniveaux
a >et
1 a
> ont unesymétrie
différente de cellede
1 b
>et
b
>, il est facile de voir que lesdéveloppements
deperturbation de
â
>et
b
> ne contiennent aucun état nonperturbé
commun(puisque
1
a >et
b
> sedéveloppent
sur des états correspon-dant à des valeurs propres différentes deL).
En
préparant
(détectant)
lesystème
dans un état propre deJeo,
c’est-à-dire en utilisant une excitation(détection) longitudinale,
on ne pourra doncjamais
lepréparer (détecter)
dans unesuperposition
linéaire desdeux niveaux
perturbés
â
>et
b
>,
cequi
estindispensable
pour l’observation de la résonance de croisement. Les résonances de croisements entre niveauxde
symétries
différentes ne sont donc observables quesi l’on utilise une
préparation
et une détectiontrans-versales. Insistons bien sur le fait que le caractère
longitudinal
ou transversal de lapréparation
et de la détection est défini parrapport
à la base deJeo.
C’estuniquement quand
les niveaux ont dessymétries
bien définies que ce caractère demeureégalement
le mêmedans la base des états propres de Je.
1. 2 2e CAS : 1 ANTICROISEMENT ENTRE NIVEAUX DE MÊME SYMÉTRIE. -
Supposons
maintenant que les2
niveaux
a
>et
b > de lafigure
1 soientcouplés
par v ; Vab
=a
1 Vu
b
> =F 0. Dansl’exemple
citéplus
haut,
c’est cequi
se passe pour 2niveaux
1 mb
mJ >correspondant
à la même valeur de mF, c’est-à-dire demême
symétrie.
On trouve
alors que les 2 niveauxperturbés
ab
> +et
ab
> -auxquels
ils donnent naissance ne seFIG. 2. - Anticroisement de niveaux : sous l’effet du
cou-plage Vab, les niveaux non perturbés (représentés en traits tiretés)
donnent naissance à deux niveaux perturbés (représentés en
traits pleins) qui passent à une distance minimale l’un de l’autre
croisent
plus
mais serepoussent
mutuellementlors-qu’on
balaie 0152o autour de 0152oc(Fig. 2) ;
ilspassent
àune distance minimale l’un de l’autre
égale
à2
yab
1
puis
tendentasymptotiquement
vers les niveaux nonperturbés,
formant cequ’on
appelle
un anticroisement. Parailleurs,
les étatspropres
ab
> t
de X sont des combinaisons linéairesde ) a
>et
b
>qui
varientrapidement
autour de 0152o =0152oc. Connaissant ces états propres et les
énergies correspondantes,
onpeut
calculer aisément la
probabilité
pour que, étantpréparé
dans l’état non
stationnaire a
> à l’instant t =0,
lesystème
soit trouvé à l’instant t dans l’état nonsta-tionnaire
b
>. Un calcul trèssimple
donne la formule de Rabi :Lorsqu’on
tientcompte
de ladispersion
destemps t
dueaux processus de relaxation caractérisés par
r,
on peut
introduire une
probabilité
de transition moyenneÊ.-b
définie par
Les variations résonnantes de
Pa-+b
lorsqu’on
balaie coo autour de û)oc reflètent donc un transfert résonnant depopulation
entre les états propres nonperturbés.
Ellespeuvent
être détectéesexpérimentalement
si l’onprépare
lesystème
dansl’état a
> etqu’on
le détecte dansl’état b
>,
c’est-à-dire si l’on utilise uneprépa-ration et une détection
longitudinales.
On note là unepremière
différence avec les résonances décrites auparagraphe précédent
qui
nécessitaient uneprépa-ration et une détection transversales. De
plus,
on voit sur lesexpressions (1.2)
et(1.4)
que,lorsque
r -0,
lalargeur
des résonances de croisements tend verszéro,
alors que celle des résonances d’anticroisements tend vers une
quantité proportionnelle à
1 Yab 1.
Ils’agit
làd’une deuxième différence
importante
entre les deuxtypes
de résonances.Notons enfin
qu’il
n’est pas nécessaireque
1 hab
1
soit différent de zéro pour que les deux niveauxs’anticroisent.
V peut coupier
a
>et ) b
>,
non pasdirectement
( vab
=0),
maisindirectement,
parl’in-termédiaire d’autres états non
perturbés
i
>, ( j
> ...Par
exemple,
un telcouplage
indirect au second ordreexiste
lorsque
laquantité
(où
Eo
estl’énergie
commune des 2niveaux
a
>est
b
> aupoint
decroisement)
est non nulle. Laformule
(1.4)
demeure valable à condition derem-placer Yab
parRab(Eo)
(’).
Les dénominateursd’énergie
1/(Eo - E;)
qui figurent
dans(1.5)
expriment
que lecouplage.indirect
entre j a
>est b
> est d’autantplus
petit
que les étatsintermédiaire
i
> sontplus
éloi-gnés
desétats
a
>et )
b
>.Lorsque Vab
est nul maisque
Rab(Eo)
ne l’est pas, on dit que l’anticroisement est d’un ordresupérieur.
1.3 3e CAS : 1 CROISEMENTS DE DEUXIÈME ESPECE.
-Supposons
enfin que les 2niveaux
a
>et
( b
> nesoient pas
couplés directement,
maisqu’il
existe entreeux un
couplage
indirect s’annulantprécisément
aupoint
de croisement nonperturbé :
On
peut
parexemple
imaginer
qu’il
existeplusieurs
états intermédiaires
permettant
derelier ) a
>et
b
>au second
ordre,
chacun des termescorrespondants
deRb.(E)
étant visualisé par undiagramme
sur lafigure
3 : .FIG. 3. -
Représentation diagrammatique d’un couplage
indi-rect entre les
états a
>et
b
>, via les états intermédiaires1
i>) !J
> ... Pour un croisement de deuxième espèce, lesdiverses amplitudes correspondantes interfèrent destructivement
au point de croisement
(on
a de plusb
1 V
a
>= 0).
La situation que nous
envisageons
ici est celle oùtous les
diagrammes
de lafigure
3 interfèrent destruc-tivement aupoint
de croisement nonperturbé.
Nousverrons alors que les 2 niveaux
perturbés
[ â
>et
b
>issus
de
[ a
>et
[ b
> continuent à se croiser. Il estcependant
évidentqu’un
telcroisement,
que nousappellerons
croisement de deuxièmeespèce,
doit avoir(1) Nous avons supposé implicitement que Vaa et Vbb sont
nuls (s’ils ne le sont pas, on peut toujours les réintégrer dans .?0). Lorsque Raa(Eo) et Rbb(Eo) sont non nuls, ils représentent un déplacement des
états
a
>et
b
> dû au couplage non résonnant desétats a
>et
b
> avec les autresétats
1
i >. On peut montrer qu’il en résulte un déplacement des résonances étudiées dans ce paragraphe.des
propriétés
très différentes de celles des croisements étudiésplus
haut et que nousappellerons
depremière
espèce,
où les 2 niveaux nonperturbés
a
>et
b
>ne sont reliés entre eux à aucun
ordre,
non seulement aupoint
de croisement nonperturbé,
mais pour toutcoo. On
peut
enquelque
sorte considérerqu’un
croise-ment de deuxième
espèce
est un anticroisementempêché,
et il est par suite
normal,
comme nous le montreronseffectivement,
que les diverses résonances observables auvoisinage
de cespoints
aient descaractéristiques
intermédiaires entre celles des résonances de
croise-ments de
première espèce
et celles des résonancesd’anticroisements.
1. 4 BUT DE CET ARTICLE. - Le but de cet article est
de
présenter
une étude détaillée des croisements dedeuxième
espèce
et d’en donner un certain nombred’exemples
physiques.
Pour biencomprendre
lespbPnomènes qui apparaissent,
nous commençons dans leparagraphe
2 parprésenter
un modèle à 4 niveauxcouplés
par uneperturbation
V telle que lesconditions
(1.6)
soientremplies.
Les calculspeuvent
être menésjusqu’au
bout et mettent en évidence lescaractéristiques
essentielles des croisements dedeuxième
espèce.
Il nous a paru ensuite
important
de caractériser cescroisements en
partant
directement du hamiltonien total3£,
sansqu’il
soit nécessaire d’utiliser la théorie desperturbations
en mettant X sous la forme X =3£0
+ V. Si en effet un croisement de deuxièmeespèce
pour undécoupage 3£ = 3£0
+ V devenait depremière espèce
pour un autredécoupage 3C =
JC’ 0
+V’,
la distinction entre les 2types
de croisements n’auraitplus
aucun intérêt. Nous montrons dans lepara-graphe
3 de cet articlequ’un
croisement de deuxièmeespèce
entre 2 étatspropres
a
>et
b
> despeut
également
être défini de la manière suivante : lesystème
étant dansl’état
â
> pour la valeur co,i duparamètre
coo,balayons
ceparamètre jusqu’à
coo f de manière àtraverser le
point
de croisement coo,,,(Fig. 4).
FIG. 4. - Le
système étant initialement dans
l’état â
> pour la valeur cvoi du paramètre coo, on balaie coo de cooi à WOf.Si le croisement est de première espèce, le système reste
tou-jours dans
l’état â
>, alors qu’il peut passer dansl’état
b
> si le croisement est de deuxième espèce.Alors que pour un croisement de
première
espèce,
le
système
nepeut
jamais
passer dansl’état 1 b >,
quelle
que soit la vitesse debalayage,
pour uncroise-ment de deuxième
espèce,
un tel passage estpossible
sil’on balaie coo suffisamment vite.
Cette nouvelle
approche
nonperturbative
nousper-mettra
également
auparagraphe
4 depréciser
laportée
du théorème de Von Neumann etWigner [2] :
l’énoncéqui
estgénéralement
donné de ce théorème laisse penser que,seuls,
les croisements entre niveaux desymétrie
différente etindépendante
de coo(donc
depremière
espèce)
peuvent
exister. Enreprenant
la démonstration de cethéorème,
nous montronsqu’elle
n’exclut pas l’existence de croisements de deuxième
espèce
entre niveaux de mêmesymétrie
oun’ayant
pas unesymétrie
bien définie.Nous montrerons enfin dans un second article que les idées
précédentes
permettent
de classer trèssimple-ment les divers croisements de niveaux
apparaissant
dans lediagramme d’énergie
d’atomes habillés par desphotons
deradiofréquence [3].
Nous verrons ainsi quetous les croisements de
première
espèce
sont liés à dessymétries
bien définies du hamiltonien dusystème
global
atome +radiofréquence, symétries
se conservantpour tout coo alors que les croisements de deuxième
espèce
sont de naturesplus
diverses ;
certains étant liés au théorème deMajorana,
d’autres àl’apparition
d’unesymétrie
accidentelle du hamiltonien pour certainesvaleurs du
champ statique.
Nousprésenterons
égale-ment
quelques expériences
réalisées sur l’état fonda-mental del’isotope
2 01 Hg
et destinées à mettre en évidence certains caractères des croisements de deuxièmeespèce.
2. Etude d’un modèle
simple.
- 2.1 HYPOTHÈSESET NOTATIONS. - Nous considérons un hamiltonien
ko
ayant
4 étatspropres
1 a >, 1 b >, 1 i >, 1 j >
d’éner-gies respectivement égales
à coo, - coo, co et - w(co
étant une constanteindépendante
duparamètre
debalayage wo).
Les niveauxcorrespondants
sontrepré-sentés en traits tiretés sur la
figure
5.Quant
à laper-turbation
V,
nous supposonsqu’elle
est nondiago-nale et
qu’elle
ne relie que lesétats
a
>et
1
1 > , a >
et 1 j >, b
>et
i >, ) b
>et 1 j
>, les éléments de matricecorrespondants
étant touségaux
à unecons-tante réelle v.
Le
couplage entre
a
>et
b
> nepeut
donc se faire que par l’intermédiairede
1
>
et 1 j
> et laquantité Rba(E)
qui
décrit un telcouplage
est donnéepar :
où
Q
est leprojecteur
sur le sous-espace sous-tenduFIG. 5. - Variations
avec coo des énergies des niveaux non
perturbés (traits tiretés) et des niveaux perturbés (traits pleins),
pour le modèle simple étudié au paragraphe 2. Le croisement
apparaissant en cvo = 0 est un croisement de deuxième espèce.
seul le terme d’ordre 2 de ce
développement
est nonnul et l’on a : 1
On constate que
Rba(E)
est nul aupoint
decroise-ment
(E
=0),
tout en devenant différent de zéro dèsqu’on
s’écarte de cepoint ;
une telle situation estcaractéristique
d’un croisement de deuxièmeespèce.
2.2 ETATS PROPRES ET VALEURS PROPRES DU HA-MILTONIEN TOTAL. - Il est
possible
dediagonaliser
exactement la matrice
représentant
le hamiltonientotal JC =
Jeo
+ V. Soient + C{/ et ±co’ 0
les valeurs propres de Jequi
tendent vers ± w et ± coolorsque
v --> 0. Comme dans la
suite,
on seplacera
auvoisinage
dupoint
de croisement(c’est-à-dire
de coo =0),
nousnous contenterons de donner ici
l’expression
de o/et
co’ 0
lorsque cvo/cv «
1. On trouveainsi,
à l’ordrele
plus
bas enwoi w :
Les niveaux
perturbées
â
>et ) b
>,
issusde ) a
>et ) b
>(et
représentés
sur lafigure 5
en traitspleins
de même que lesniveaux
i
>et 1 i »
continuent donc de se croiser. On constate que leurpente
diminuequand
lecouplage v
augmente.
Un tel résultat
peut
paraître
surprenant :
comme les 2niveaux
a
>et
b
> sontcouplés
en dehors dupoint
decroisement,
onpourrait
s’attendre à cequ’ils
serepoussent
etacquièrent
ainsi unepente
plus
grande.
Enfait,
pour coo nonnul,
les 2niveaux
a
>et ) b
> ne sontcouplés
entre euxqu’au
second ordreet l’effet
prépondérant
est dû aucouplage (au premier
ordre)
avec lesniveaux
1
>
et 1 j
>. Pour wo >0,
le
niveau ) a
> estplus proche
duniveaux 1
>
que duniveau 1 j
> et larépulsion (vers
lebas)
due au niveau1
i >l’emporte
sur celle due auniveau 1 j
>(et
qui
s’exerce vers lehaut) ;
ledéplacement global
du niveau1
a > est doncnégatif
et sapente
est diminuée.Quand
cvo tend verszéro,
lesrépulsions
duesà
1
>
et 1 j
>s’équilibrent
de mieux enmieux ;
d’autrepart,
lecouplage
indirectavec
b
> tend vers zéro et l’oncomprend
que les niveauxperturbés
continuent à secroiser.
Il est intéressant
également
d’examiner le compor-tement des états propres. Si l’onappelle !
a
>, ! b
>,
) 1
>, >
les états propres de 3£ issusde )
a
>,
1 b >, n>, !j>,
onobtient,
endéveloppant
lesexpressions
exactes à l’ordre leplus
bas encvo/cv
etau second ordre en
vlco :
On constate que coo a
complètement disparu
de cesexpressions :
à la différence de cequi
se passe pour unanticroisement,
les fonctions d’ondesperturbées
varient donc très peulorsqu’on
balaie coo. D’autrepart,
on note que, même aupoint
decroisement,
l’état
a
> est contaminé pari’état )
b
>(et
l’état1
b > parl’état ! a
»,
cequi
est exclu pour uncroisement de
première espèce.
Ces 2
points
peuvent
secomprendre
commeplus
haut,
en examinant cequi
se passe en dehors dupoint
decroisement,
et en faisant tendre ensuite Wo verszéro. Pour
Wo =F 0,
ledéveloppement
deperturbation
de )
â
> s’obtient enappliquant
la théorie despertur-bations dans le cas non
dégénéré :
la contamination dei’état )
â
> parl’état !
b
> estproportionnelle
aucouplage
indirectRab (E
=wo) entre
a
>et
b
>perturbée de
a
>,
c’est-à-dire àmo),
et inversementproportionnelle
à l’écart 2 coo entre les 2états
a
> etjb>.
CommeRab(roO)
est,d’après
(11.2),
propor-tionnel à wo
(pour
coofaible),
oncomprend
que le coefficient decontamination,
Rab(coo)/2
coodépende
peu de Do etgarde
la même valeur pour coo = 0.2.3 RÉSONANCES OBSERVABLES AU VOISINAGE D’UN
CROISEMENT DE DEUXIÈME ESPÈCE. - Le fait
que l’état
1 a
> soit contaminé parl’état
b
> etl’état
b
> parl’état a
> va nouspermettre
maintenant decompren-dre comment il est
possible,
en utilisant une excitationdiagonale,
d’observer une résonance de croisement auvoisinage
de (Do = 0.Supposons
en effet que, par unprocédé quelconque,
on crée lesystème
dans l’état nonperturbé
a
>. Cet état n’est pas un état stationnaire. En inversant lesystème (2.4),
on obtient :En
préparant
lesystème
dansl’état a
>,
on leporte
donc
dans
unesuperposition
linéaire des 2 étatsperturbés
â
>et
b
>qui
se croisent. L’état d’unsystème
préparé
à l’instant t = 0 dansl’état ) a
>devient à l’instant t :
L’amplitude
deprobabilité
de trouver lesystème
dansl’état
b
> estalors,
d’après
(2.5) :
ce
qui
permet
de calculer laprobabilité
de transfertP.-b(t) :
Si l’on suppose que le
système
a une durée de viefinie
1/r
etqu’on
leprépare
continuellement dans l’état nonperturbés a
>,
lapopulation
duniveau
b
> sera, enrégime
stationnaire,
proportionnelle
à :soit :
Les termes suivants de
Pa-+b
sont,
soit d’un ordresupérieur,
soit non résonnants. Enremplaçant
ro
parwô/(1
+ 4v2/w2)
et en ne conservant que les termes résonnants à l’ordre leplus
bas,
on obtientfinalement :
Nous constatons que
Pa-b
subit des variationsréson-nantes
lorsqu’on
balaie coo autour dezéro,
sur unintervalle dont la
largeur
estproportionnelle
à r. Les résonances observables auvoisinage
d’uncroi-sement de deuxième
espèce
ont donc descaracté-ristiques
qui
lesapparentent
à la fois aux résonancesd’anticroisements et aux résonances de croisements de
première espèce
décrites dans leparagraphe
1.(i)
Comme des résonancesd’anticroisements,
ellesapparaissent
avec une excitation et une détectiondiagonales
etcorrespondent
donc à un transfert résonnant depopulations
entre les niveaux nonper-turbés
a
>et ) b
>.(ii)
Par contre, comme les résonances decroisements,
lalargeur
de la résonance tend vers zéro si lalargeur
naturelle r des niveaux tend vers zéro. On
peut
dire encore que la résonance n’est pas due à une variationrapide
des fonctions d’ondeperturbées
auvoisinage
de coo = 0
(comme
c’est le cas pour les résonancesd’anticroisements),
mais au fait que les 2 niveauxperturbés
secroisent :
la cohérence hertzienne entre lesniveaux
â
>et
b
> est en effet introduite par l’excitation avec une efficacitéindépendante
de (00 ; elle évolue à lafréquence
(Ez -
Eb)/h et
nepeut
s’accumuler de manière
importante
quelorsque
Eî = E6
-La différence
importante
entre croisements de pre-mièreespèce
et croisements de deuxièmeespèce
estqu’une
excitationdiagonale
dans labase ( )
a
>, b
> }
reste
diagonale
dans labase {
â
>, !
b
> }
pour uncroisement de
première
espèce,
alorsqu’elle
peut
devenir non
diagonale
dans la baseperturbée
pour uncroisement de deuxième
espèce.
3. Définition
plus générale
des croisements depre-mière et de deuxième
espèce.
- 3.1 INTRODUCTION.-Le traitement de la
partie précédente pourrait suggérer
que la différence entre croisements depremière
et dedeuxième
espèce
estuniquement
liée à laséparation
du hamiltonien 3C en un hamiltonien non
perturbé Ro
et une
perturbation
V. Nous allons montrer dans cettepartie qu’on
peut
s’affranchir de cette restriction etcaractériser
l’espèce
d’un croisement directement àpartir
du hamiltonien total 3£ dusystème.
L’idée
physique
qui
va nousguider
est la suivante :supposons que le
système
se trouve à l’instant initial dansl’état j 1 a(coOi)
> pour la valeur cooi duparamètre
coo(cf. Fig. 4)
etbalayons
mo de 0153oià coof
pendant
letemps
T : lesystème
peut-il
passerdue
â
>vers
b
>au cours de cette
opération ?
Nous allons voir que laréponse
à cettequestion
n’est pas la même suivant letype
de croisementenvisagé,
cequi
nouspermettra
de donner une nouvelle définition des croisements de
deuxième
espèce.
3.2 CROISEMENTS DE PREMIÈRE ESPÈCE. - Les
croi-sements de
première espèce
ont été définis dans lapremière partie
comme des croisements entre des niveaux desymétries
différentes. Il existe alors unopérateur hermitique
Lindépendant
duparamètre
coo etqui
commute avec Je.L’équation
deSchrôdinger,
qui régit
l’évolution du vecteur d’étatlorsqu’on
balaie Oo de (Doi à coof, se résoutindépendamment
dans les divers sous-espaces propres de L : lesystème
nepeut
transiter que vers des états
ayant
les mêmespropriétés
de
symétrie quel
â
>. Si le croisement est depremière
espèce,
laprobabilité
de transitiondue
â
>vers
b
> est doncidentiquement
nulle,
et ceciquelle
que soit lavitesse de
balayage.
3. 3 CROISEMENTS DE DEUXIÈME ESPÈCE. -
Par
oppo-sition au cas
précédent,
nous dirons que deux niveaux1
a( coo)
>et
1 b(coo)
>qui
se croisent en coo =ooOc
forment un croisement de deuxième
espèce
si laproba-bilité de transition
due
â
>vers
b
> est différente de 0lorsqu’on
balaie suffisammentrapidement
lepoint
de croisement.
Une telle situation est notamment réalisée
lorsque
a(coOi)
1
b(COOf)
> est différent de zéro.Supposons
en effet que l’on fasse varier
brusquement
leparamètre
0)0 de la valeur COOi à la valeur coof(traversée
trèsrapide
du croisement deniveaux) ;
le vecteur d’état dusystème
n’a pas le
temps
d’évoluer etreste a(Do;)
>. Laproba-bilité de transition de
l’état 1 a(coOi)
> vers l’état1
b(o)of)
> est dans le cadre de cetteapproximation
soudaineégale
àL’approximation
soudainereprésente
toutefois uncas extrême et nous allons nous intéresser à la
proba-bilité de
transition
â
> -->
b
>lorsque
la vitesse debalayage
duparamètre
coo n’est pas infinie. Cette étude nouspermettra,
en outre, d’établir uneclassi-fication des croisements de deuxième
espèce.
Soient
a >, !
b >, j j
>,
... les états propres de Jeassociés aux valeurs propres
Ea, Eb,
Ej,
... Engénéral,
les états propres et les valeurs propres de Je sont fonc-tions de coo. La variation de coo au cours du
temps
est décrite par la fonctioncoo(t) : coo(t)
estégal
à cooipour t
= 0 et à wofpour t
= T. Dans cesconditions,
le hamiltonien X
dépend
explicitement
dutemps.
Cherchons une solution de
l’équation
deSchrôdinger
de la forme :
En
portant
cetteexpression
du vecteur d’état dansl’équation
deSchrôdinger,
on obtient lesystème
d’équations
différentielles suivant pour lesCk
(Ck
représente,
au facteur dephase
exp -i f 0Ek
diprès,
l’amplitude
deprobabilité
de trouver lesystème
dansl’état
1 «k » :
Dans l’évolution de
Cb,
onpeut
distinguer
deux termes :Le
premier
terme de(3.3) correspond
à unetran-sition
directe a
> --+
1 b
>.Les termes suivants
correspondent
à d’éventuelles transitionsindirectes
1 a > --+ I-j > --+ 1 b >.
Si latransition a
>--+ ] b
> estpossible
(c’est-à-dire
sia
db
0)
nous dirons que l’ordrerelatif
desdo)o
niveaux
a
>et
1 b
> estégal
à0 ;
si deux niveaux d’ordre relatif 0 secroisent,
nous dironsqu’ils
forment un croisement de deuxièmeespèce
d’ordre 0.Si la
transition
a > - 1 b
> n’est paspossible
(c’est-à-dire
si
a
dcoo db
estidentiquement
nul
mais s’il existe une transition indirectevia un seul état
intermédiaire,
nous dirons que l’ordrerelatif des
nivaux
â
>et
b
> estégal
à1 ;
si deux niveaux d’ordre relatifégal
à 1 secroisent,
nousdirons
qu’ils
forment un croisement de deuxièmeespèce
d’ordre 1. L’existence d’une transition via l’état
inter-médiaire 1 J
>s’exprime
mathématiquement
par lacondition :
Nous verrons au
paragraphe
3.5 que le croisement de deuxièmeespèce
étudié dans lapartie
2 est de ceDe
façon
plus générale,
s’iln’y
a pas de transition directe entre lesétats
â
>et
b
> et si lapremière
transition indirecte fait intervenir une chaînede p
étatsintermédiaires
ki
>,...,
kp
>,
nous dironsque l’ordre relatif des
niveaux
â
>et
b
> estégal
à p
(2) ;
si deux niveaux d’ordre relatifégal à p
secroisent,
ils forment un croisement de deuxièmeespèce
d’ordre p. On
exprime mathématiquement
que deux niveaux sont d’ordre relatif p(p >, 1)
à l’aide desconditions suivantes :
(ii)
pour toute chaînede q
états intermédiaires(q p) :
(iii)
il existe une chaîne de p états intermédiairestelle que :
S’il
n’y
a aucune transitionpossible (directe
ouindirecte)
entre lesétats
â
>et
b
>, nous dironsque l’ordre relatif de ces niveaux est infini. On montre
dans
l’appendice
A que si deux niveaux sont d’ordre relatifinfini,
onpeut
trouver unopérateur
desymétrie
(c’est-à-dire
unopérateur indépendant
de co, etcom-mutant avec
3£)
telque
â
>et
b
> soient états propres de cetopérateur
associés à des valeurs propresdistinctes. Ceci prouve
qu’un
croisement entre deux niveaux d’ordre relatif infini est un croisement depremière
espèce.
L’existence d’une
probabilité
de transition entredeux niveaux
qui
se croisent pose immédiatement leproblème
de la validité du théorèmeadiabatique
pour les croisements de niveaux de deuxièmeespèce.
Enfait,
la démonstration du théorème
adiabatique
donnée par Kato[4]
inclut tous les croisements deniveaux ;
nous ne
reprendrons
pas ici cettedémonstration,
nousdésirons seulement montrer
physiquement
commentles croisements de divers ordres se
comportent
vis-à-visde ce théorème.
3.4 TRAVERSÉE ADIABATIQUE D’UN CROISEMENT.
-La démonstration habituelle du théorème
adiaba-tique [5]
se fait dans le cadre deshypothèses
suivantes :(i)
Tous les niveaux sont discrets.(ii)
Iln’y
a pas de croisement de niveaux dans lediagramme
d’énergie.
On démontre alors que si le
système
se trouve à l’instant 0 pour la valeur úJOi duparamètre
dans l’état1
k
>(cf. Fig. 6)
et si l’on balaie leparamètre
de lavaleur WOi à la valeur Oof durant un
temps T,
lesystème
se trouve à la fin dubalayage
dans
unesuperposition
linéaire des
états
1 k >, 1 î >, 1 -m >, ...
Cependant,
à lalimite où T tend vers
l’infini,
les coefficients des états différentsde
k
> dans ledéveloppement
du vecteurd’état tendent vers 0 comme
IIT.
En d’autrestermes,
si l’on balaie suffisamment lentement le
paramètre
coo, lesystème
reste dans l’état se déduisant de l’état initial par continuité.FIG. 6. -
Lorsqu’on balaie oeo de cooi à coof, la vitesse de rota-tion des axes
/ (
1
k
dl
doit être petite devant la fréquence(
dt de Bohr (El -Ek)/h pour que le théorème adiabatique soit applicable.
On
peut
montrer que le théorèmeadiabatique
estapplicable
si la vitesse de rotation des axesest
petite
devant unefréquence qui
est de l’ordre degrandeur
de lafréquence
de BohrQui
= El - Ek.
L’existence de cette conditionpourrait
laisserplaner
undoute sur l’extension du théorème à un croisement de
niveaux ;
enfait,
il nes’agit
que d’une conditionsuffisante et on
peut
étendre le théorèmeadiabatique
au cas où le niveau considéré traverse un certainnombre de niveaux discrets
[4].
Dans le cas où lecroisement est d’un ordre
supérieur
ouégal
à1,
ce résultat secomprend
très aisément. Raisonnons d’abord sur le cas d’un croisement depremière
espèce :
lorsque
l’on balaie coo de cvo; à coof iln’y
a pas
de transitionspossibles
entre lesétats
â
>et
b
>qui
se
croisent ;
donc dupoint
de vue du théorèmeadia-batique
tout se passe comme si leniveau
1 b>
n’exis-tait pas. Enparticulier,
le théorèmeadiabatique
seracertainement
applicable
si lesa
dk
1
sontpp
B
dt/
petits
devant lesfréquences
de BohrQk.
(1
k > étant un état différent deb
>,
cf.Fig.
7).
Etudions maintenant le cas d’un croisement d’ordre 1
(si
l’ordre du croisement estsupérieur
à1,
les consi-dérations suivantes s’étendentfacilement).
Supposons
que les transitions
entre
â
>et
b
> se font via uncertain nombre de niveaux dont le
niveau
k
>. Pour(2) On peut définir l’ordre relatif de deux niveaux,
FIG. 7. - Pour un croisement de première
espèce, la fréquence de Bohr (Ea - Eb)/h n’intervient
pas dans la démonstration du théorème adiabatique et le fait que cette fréquence s’annule
au point de croisement ne limite pas la portée de ce théorème. Il en est de même pour un croisement de deuxième espèce
d’ordre supérieur ou égal à 1.
qu’à
l’instant t =T,
la fonction d’onde dusystème
soit fortement contaminée par le
niveau
b
>,
il fautqu’elle
soit encoreplus
fortement contaminée parl’état
k_>
puisqu’on
nepeut
passer directement de1
a
>à )
b
>. On voit donc que les conditions d’appli-cation du théorèmeadiabatique
seront limitées nonpas par l’existence du
croisement,
mais par laproxi-mité du
niveau )
k
>.L’extension du théorème
adiabatique
auxcroise-ments d’ordre 0 est
plus
délicate ;
elle nécessitel’emploi
de la démonstrationgénérale
de Kato[4].
Lescondi-tions de validité du théorème
adiabatique
en cespoints
de croisements doivent fairel’objet
d’une étudespé-ciale. Ce
problème
est abordé dans la référence[6].
3. 5 EXEMPLE DE CROISEMENT DE DEUXIÈME ESPÈCE D’ORDRE 1. -
Reprenons
l’exemple simple
étudié dans lapartie
2 et montronsqu’il s’agit
d’un croisement de deuxièmeespèce.
Calculons pour cela leproduit
scalairea( Wo 1) 1 b«012)
>. Ledéveloppement
deRayleigh-Schrôdinger
à l’ordre 2 envlco
des étatsla
>etlb
> s’écrit :
Un calcul
algébrique
élémentaire donne alors :Le
produit
scalairea(mOl)
1 b(m02)
> n’est donc nulque pour moi =
m02 ce
qui
prouvebien,
d’après
lesrésultats du
paragraphe
3.3,
que le croisement est de deuxièmeespèce.
On déduit
également
del’expression (3.6)
que :ce
qui
montre que le croisement n’est pas d’ordre zéro.Par contre, en utilisant le
développement
de
1
1 >,
onobtient aisément :
Le croisement est donc d’ordre 1
(3).
3. 6 EXEMPLE DE CROISEMENT DE DEUXIÈME ESPÈCE D’ORDRE 0. - Considérons
un
spin 2 placé
dans unchamp magnétique
dont on fait varier simultanément la direction etl’amplitude. Supposons
parexemple
quele
champ Ho
est dans leplan xOy
etappelons
0l’angle
qu’il
fait avec Ox(Fig.
8).
FIG. 8. -
Champ magnétique Ho dont on fait varier
simultané-ment la direction et l’amplitude dans le plan xOy. Les niveaux
d’énergie d’un spin § plongé dans un tel champ forment en
Ho = 0 un croisement de deuxième espèce d’ordre 0.
On suppose
que 0
est une certaine fonctionde
Ho
] .
Soit y.,
lerapport
gyromagnétique
du niveauconsidéré,
le hamiltonien s’écritoù Mo est
égal à - ya
Ho.
Les états propres de Je sont les
états
1
+ >et
1
- >dans la direction 0 que nous
appellerons 1
+(0)
> et(3) Ce résultat démontre à l’ordre 2 en vlco est en fait vrai à tous les ordres comme le montre un calcul direct fait en appen-dice B.
1
-(0)
> ;
ils sont reliés auxétats
1
+ >et
1
- >par
rapport
à Oz par les relationssuivantes :
Les valeurs propres de X associées
à
1
+(0)
> et1
2013 (0)
> sontrespectivement
o)o/2
et -(Do/2.
Les niveaux
d’énergie 1
+(0)
>et 1
-(0)
> secroisent
quand
lechamp
magnétique
Ho
passe par lavaleur zéro. Pour
préciser
l’ordre de cecroisement,
nousallons calculer
d’où l’on déduit :
On en déduit que, si le
champ magnétique Ho
variesimultanément en
amplitude
et direction(dO/dco, :0 0),
alors le croisement de niveaux est un croisement
d’ordre 0.
Nous avons ainsi donné aux
paragraphes (3.5)
et(3.6)
desexemples
de croisements d’ordre 1 et 0.Nous verrons, dans l’article
suivant,
que l’onpeut
trouver dans le
diagramme
d’énergie
d’un atome habillé par desphotons
deradiofréquence
ungrand
nombre
d’exemples
de croisements de niveaux d’or-dre0, 1, 2,
..., n, ...4. Lien avec le théorème de Von Neumann et
Wigner.
- Dans la
partie précédente,
nous avons montré queles croisements de niveaux de deuxième
espèce
pou-vaient être définis directement à
partir
du hamiltonien total 3£ : ce sont des croisements entre des niveauxqui
ne sont pas de
symétries
différentes. L’existence de tels croisements semblecependant
incompatible
avecle théorème de Von Neumann et
Wigner ;
l’énoncéqu’on
en donnegénéralement [2] stipule
que seulspeuvent se croiser des niveaux de
symétries différentes.
Pour éclaircir cepoint,
nous allonsreprendre
la démonstration du théorème de Von Neumann etWigner
et montrerqu’en
fait elle n’exclut pas lescroisements de
deuxième
espèce.
4.1 LA DÉMONSTRATION USUELLE DU THÉORÈME DE
VON NEUMANN ET WIGNER. - Dans la référence
[2],
ce théorème est démontré de la
façon
suivante : onconsidère deux
niveaux
1 if
>et
b
> dont lesénergies
Ea
etEb
sont très voisines pour une certaine valeurdu
paramètre
coo et on étudie s’il estpossible
d’égaliser
Ea
etEb
en faisant varier Mo debroo
(cf.
Fig.
9).
Fio. 9. - Deux niveaux a et b d’un hamiltonien 3£(coo) ont en wo des énergies très voisines. On étudie s’il est possible
d’égaliser ces énergies en faisant varier wo de ômo.
Le hamiltonien en Wo est
3£( wo) ;
en(coo
+ômo) il
vautPosons
Pour trouver les valeurs propres de R
+ W,
ontraiteî W
comme uneperturbation
devant ;
cependant,tW
pouvant
être du même ordre degrandeur
queE.’-
Eb,
il faut
diagonaliser Je
+ W dans le sous-espaceengendré
par 1 a(wo)
>et 1 b(wo)
>. Il faut doncrésoudre
l’équation :
dont les solutions sont
E+
et E- :Les niveaux ne
