ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 h

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 4 h

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composi- tion en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L’usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Laprésentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour unepart importantedansl’appréciation des copies. En particu- lier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES :

— Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.

— L’usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.

— Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d’identification : nom, prénom, date de naissance, discipline de l’épreuve, date.

— Une feuille, dont l’entête n’a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.

— Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Exercice 1 : Pseudo-inverse d’une application linéaire

Dans tout l’exercice, on dit qu’une application linéaire f : R³→ R³ est pseudo-inversible s’il existe une application linéaireg:R³→R³vérifiant les conditions suivantes :

· g◦f ◦g=g

· f ◦g◦f =f

· f ◦g =g◦f

L’applicationg est alors appelée pseudo-inverse de f.

On considère l’application linéaire f : (x,y,z)7−→(−y+4z, 3x+2y−5z,x+z).

1. Donner la matrice A de f dans la base canonique deR³.

2. Déterminer le noyau et l’image de f, et donner une base de chaque.

3. On noteBla famille constituée des trois vecteurse1=(1,−2, 0),e2=(0, 3, 1) ete3=(−1, 4, 1).

Montrer queBest une base deR³.

4. Déterminer la matrice de passage P de la base canonique vers la baseB, et calculer son inverse P⁻¹.

5. Vérifier que Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dansR³. 6. Déterminer la matrice A⁰de f dans la baseB.

7. Vous avez dû trouver à la question précédente un résultat sous la forme A⁰=





α β 0 γ δ 0 0 0 0



.

On note pour cette question M= µα β

γ δ

¶

. Vérifier que M est inversible et donner son in- verse N=

µ² ζ η θ

¶ .

8. Vérifier que la matrice B⁰=





² ζ 0 η θ 0 0 0 0



est le pseudo-inverse de la matrice A⁰.

9. En déduire le pseudo-inverse B de la matrice A en fonction de B⁰et de P, puis explicite- ment.

Exercice 2 : un problème de tirages

Dans tout cet exercice, on désigne parnun entier naturel non nul.

On dispose d’une urne Uncontenantnboules numérotées de 1 àn. On tire une boule au hasard dans U_n. On notekle numéro de cette boule.

— Sikest égal à 1, on arrête les tirages.

— Sik est supérieur ou égal à 2, on enlève de l’urne U_n les boules numérotées dek àn (il reste donc les boules numérotées de 1 àk−1), et on effectue à nouveau un tirage dans l’urne.

— On répète ces tirages jusqu’à l’obtention de la boule numéro 1.

On noteΩl’univers de cette expérience aléatoire que l’on ne cherchera pas à expliciter. On note X_nla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l’obtention de la boule nu- méro 1. On note E(Xn) et V(Xn) l’espérance et la variance de Xn.

Cas particuliers

1. Que sont les ensembles des valeurs prises par X1 et X2 respectivement notés X1(Ω) et X₂(Ω) ? Justifier.

2. Quelle est la loi de X₁?

3. (a) Quel est l’événement (X₂=1) ? Déterminer P(X₂=1).

(b) Déterminer la loi de X₂.

(c) Calculer l’espérance et la variance de X₂.

Cas général

On désigne parn un entier supérieur ou égal à 2quelconque. On note In la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l’urne U_n.

1. Expliciter l’ensemble des valeurs prises par I_n, noté I_n(Ω), et donner la loi de I_n. 2. Justifier que X_n(Ω)= ‚1,nƒ.

3. Déterminer P(X_n=1) et P(X_n=n).

4. Justifier que, pour tout j∈N^∗et toutk∈ ‚2,nƒ, on a

6. Démontrer que, pour tout j≥2, on a P(Xn=j)=n−1

n P(Xn−1=j)+ 1

nP(Xn−1=j−1)

On pourra exprimer nP(X_n=j)−(n−1)P(X_n−1=j)en utilisant le résultat de la question précédente.

7. (a) Démontrer que E(Xn)=E(Xn−1)+1 n.

(b) En déduire que, pour toutn≥1, on a : E(Xn)= Xn k=1

1 k.

Problème

Partie A : Étude des nombres harmoniques

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1, on définit len-ième nombre harmonique par H_n=

n

X

k=1

1 k

1. Démontrer que pour tout entier naturelksupérieur ou égal à 2, Z _k+1

k

1

xdx≤1 k ≤

Z _k

k−1

1 xdx 2. En déduire que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,

ln(n+1)≤Hn≤1+ln(n) 3. À l’aide de la relation précédente :

(a) Démontrer que la suite (Hn)n≥1diverge vers+∞.

(b) Démontrer que Hn ∼

+∞ln(n).

4. On considère désormais les suites (un)n≥1et (vn)n≥1définies par u_n=H_n−ln(n), v_n=H_n−ln(n+1) (a) Démontrer que ces deux suites sont adjacentes.

Indication : on pourra utiliser le résultat de la question1.

(b) En déduire que ces deux suites convergent vers une même limite positive. Cette li- mite est notéeγ.

5. (a) Démontrer que pour tout entiernsupérieur ou égal à 1,

Partie B : Le problème de Bâle

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1, on définit la suite (Bn)n≥1par B_n=

n

X

k=1

1 k²

Le problème de Bâle consiste en la détermination de la limite de la suite (B_n)_n≥1. Ce problème a été résolu en 1741, par Léonhard Euler, qui a démontré que

+∞X

k=1

1 k²=π²

6 . 6. Justifier la convergence de la suite (Bn)n≥1.

7. Démontrer que pour tout entier naturelksupérieur ou égal à 2, 1

k²≤ 1 k−1−1

k

8. Utiliser l’inégalité précédente pour démontrer que la suite (Bn)n≥1est majorée par 2.

9. Pour tout entier naturelnnon nul et tout réelt∈[0,π], on pose Dn(t)=1+2

n

X

k=1

cos(kt)

(a) Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul et tout réelt∈[0,π],

n

X

k=−n

e^{i kt}=Dn(t)

(b) En déduire que, sit∈]0,π], D_n(t)=sin¡_2n+1

2 t¢ sin¡_t

2

¢ . (c) Calculer la valeur de Dn(0).

10. On considère la fonctionf définie surh 0,π

2 i

par

f :t7−→





 t

sint sit>0 1 sit=0 (a) Démontrer quef est continue surh

0,π 2 i

.

(b) Donner le développement limité de (t−sint) en 0 à l’ordre 3.

(c) Démontrer que f est dérivable en 0.

(d) Donner le développement limité de (sint−tcost) en 0 à l’ordre 3.

(e) Démontrer quef est de classeC¹sur h

0,π 2 i

.

11. (a) Démontrer, à l’aide d’une double intégration par parties, que pour tout entier naturel knon nul,

Z _π

0

µt² 2π−t

¶

cos(kt)dt= 1 k² (b) En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul,

B_n= Z _π

0

µt² 2π−t

¶D_n(t)−1

2 dt

(c) Déterminer la valeur de

Z _π

0

µ t− t²

2π

¶ dt (d) En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul,

π²

6 −Bn=1 2

Z _π

0

µ t− t²

2π

¶

Dn(t)dt

(e) En déduire à l’aide du changement de variableu= 1

2tque, pour tout entier naturel nnon nul,

π²

6 −Bn= Z ^π

2

0

t sint

µ 2−2t

π

¶ sin¡

(2n+1)t¢ dt 12. Déterminer une fonctiong de classeC¹sur

h 0,π

2 i

telle que π²

6 −B_n= Z ^π₂

0

g(t) sin¡

(2n+1)t¢ dt 13. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que

n→+∞lim Z ^π₂

0

g(t) sin¡

(2n+1)t¢ dt=0 14. En déduire la limite de la suite (B_n)_n≥1.