Université Ibn Khaldoun de Tiaret.
Département d’Informatique.
Module:Algèbre 1 (S1 1ere Année LMD, MI)
Corrige de l0examen f inal (2016 2017)
Exercice 01:(07pts) 1)f 12;12;1 =nq
3 4;0o
et f 1 12;2 =n q
3 4;
q3 4
o
:
1pt+1pt
2) Etudions l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f:
2.1)Il su¢ t de prendre x= 12 et x0 = 12; on a:
f( 12) = q3
4 =f(12) et 12 6= 12: Alorsf n’est pas injective.
0.75pt
2.2) Il su¢ t de prendre y= 2; il n’existe aucunx2R tel que f(x) = 2, car l’équation p
1 x2 = 2 n’a pas de solution réelle.
Alorsf n’est pas surjective.
0.75pt
3) Soitg : [ 1;0]![0;1]telle que g(x) =p
1 x2. 3.1) Soit x; x0 2[ 1;0]; on a:
g(x) =g(x0) )p
1 x2 =p 1 x02 )x2 =x02
)x=x0 , car x; x0 sont de même signe.
Alorsf est injective.
1pt
3.2) Soit y2[0;1]; cherchons x2[ 1;0] tel que y=g(x): on a: y=g(x) )y=p
1 x2 )x2 = 1 y2 ) x= p
1 y2_x=p 1 y2 Il su¢ t de prendre: x= p
1 y2; car
0 y 1 ) 1 y2 0
)0 p
1 y2 1
) 1 p
1 y2 0 Alorsf est surjective.
1pt+0.5pt
Par suite f est bijective.
4)g 1 : [0;1]![ 1;0]avec g 1(y) =x= p
1 y2:
1pt
Exercice 02:(06pts)
1) Montrer queS est une relation d’ordre.
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1.1) Soientx2R:
On a jxj jxjet x2 0, doncxSx.
AlorsS est re‡exive.
1pt
1.2) Soientx; y 2R
On a (xSy^ySx) ) jxj jyj etxy 0 jyj jxj etyx 0 ) (jxj=jyj et xy 0) ) x=y
AlorsS est antisymetrique.
1pt
1.3) Soientx; y; z 2R
On a (xSy^ySz) ) jxj jyj etxy 0 jyj jzj etyz 0 ) (jxj jzj et xy2z 0) On étudie deux cas:
1er cas: Si y6= 0; on a
(jxj jzj et xy2z 0) )(jxj jzj etxz 0) ) xSz
1er cas: Si y= 0; on a jxj jyj etxy 0
jyj jzj et yx 0 ) jxj 0 etxy 0 0 jzj et yz 0 ) jxj 0et xy 0
z = 0 ) jxj jzj etxz 0 ) xSz
AlorsS est transitive.
1pt+1pt+1pt
Par suite S est une relation d’ordre.
2) Il su¢ t de prendrex= 3 et y= 2; on a:
j3j j 2j et 3 ( 2) 0, c.à.d: 3S/( 2) etj 2j j3j et( 2) 3 0, c.à.d: ( 2)S3/ AlorsS est un ordre partiel.
1pt
Exercice 03:(07pts)
1) Véri…ons que est une loi interne dans R R.
Soit (x; y);(x0; y0)2R R; c.à.d x; x0 2R ety; y0 2R; donc xx0 2R etyx0 +y0x2 2R;d’où (x; y) (x0; y0)2R R: Alors est une loi interne dans R R.
0.5pt
2)( 1;1) ( 1;2) = (1;1) et( 1;2) ( 1;1) = (1; 1):
1pt
2
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3) On a( 1;1) ( 1;2)6= ( 1;2) ( 1;1); Alors n’est pas commutative.
0.5pt
4) Montrons que(R R; )est un groupe commutatif.
4.1) Soient(x; y);(x0; y0);(x00; y00)2R R
((x; y) (x0; y0)) (x00; y00) = (xx0; yx0+y0x2) (x00; y00)
= xx0x00;(yx0+y0x2)x00+y00(xx0)2
= (xx0x00; yx0x00+y0x2x00+y00x2x02) (x; y) ((x0; y0) (x00; y00)) = (x; y) (x0x00; y0x00+y00x02)
= (xx0x00; yx0x00+ (y0x00+y00x02)x2)
= (xx0x00; yx0x00+y0x00x2+y00x02x2)
= ((x; y) (x0; y0)) (x00; y00) Alors la loi est associative dans R R:
1pt+1pt
4.2) Cherchons(e1; e2)2R R, véri…ant
8(x; y)2R R: (x; y) (e1; e2) = (x; y) et(e1; e2) (x; y) = (x; y) On a (x; y) (e1; e2) = (x; y) ,(xe1; ye1+e2x2) = (x; y)
, xe1 =x
ye1+e2x2 =y , e1 = 1
e2 = 0
Il su¢ t de prendre (e1; e2) = (1;0)2R R et soit (x; y)2R R: On a: (x; y) (1;0) = (x:1; y:1 + 0:x2) = (x; y)et
(1;0) (x; y) = (1:x;0:x+y:12) = (x; y)
Alors(1;0)est l’élément neutre de la loi dans R R:
1pt+0.5pt
4.3) Soit (x; y)2R R;cherchons (x0; y0)2R R, véri…ant:
(x; y) (x0; y0) = (1;0)et (x0; y0) (x; y) = (1;0) On a (x; y) (x0; y0) = (1;0) , xx0 = 1
yx0+y0x2 = 0 , x0 = x1
y0 = xy3
Il su¢ t de prendre (x0; y0) = x1; xy3 2R R:
On a: (x; y) x1; xy3 = x1x; y1x+ xy3 x2 = (1;0)et
1
x; xy3 (x; y) = 1xx; xy3 x+y x1 2 = (1;0)
Alors x1; xy3 est l’élément inverse de (x; y)par rapport à la loi dans R R:
1pt+0.5pt
Par suite (R R; ) est un groupe.
3
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