Chapitre 4 : Théorème et réciproque de Pythagore 0) Rappels

(1)

Chapitre 4 : Théorème et réciproque de Pythagore 0) Rappels

• Un triangle rectangle possède un angle droit ;

• Si on dit que le triangle TSG est rectangle en S, cela signifie qu’il a un angle droit au sommet S.

• L’hypoténuse d’un triangle rectangle est le côté en face de l’angle droit. C’est le plus grand côté d’un triangle rectangle.

(2)

I) Théorème de Pythagore

1) Activité

(3)

b) On remarque qu’il semble que :

Aire du carré jaune + Aire du carré vert = Aire du carré rose

c) Aire du carré jaune = AB² Aire du carré vert = AC²

Aire du carré rose = BC²

d) L’égalité que l’on peut écrire est : AB²+AC²=BC²

(4)

Théorème : si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme

des carrés des longueurs des deux autres côtés.

2) Théorème de Pythagore

Exemples :

• si le triangle ABC est rectangle en A, alors : 𝐵𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶²

• Si le triangle TPM est rectangle en P, alors : 𝑇𝑀² = 𝑇𝑃² + 𝑃𝑀²

Théorème :

(5)

Démonstration :

Il existe plusieurs preuves du théorème de Pythagore. Par exemple :

• On construit un carré avec des côtés de longueur a+b que l’on découpe comme indiqué.

• Les 4 triangles 𝑇₁, 𝑇₂, 𝑇₃, 𝑇₄ sont identiques et

ont pour longueur a, b et c (c étant la longueur de l’hypoténuse).

(6)

• L’aire du petit carré restant en haut à droite est 𝑏² et l’aire du grand carré restant en bas à gauche est 𝑎².

• On peut ensuite découper et assembler notre figure ainsi :

• Cette fois, l’aire du grand carré restant au milieu est 𝑐².

• Comme on est parti de la même figure au départ (carré de côté 𝑎 + 𝑏), les aires en jaune sont égales.

• Donc 𝑐² = 𝑎² + 𝑏².

(7)

Exemple 1 : soit RAS un triangle rectangle en A tel que RS = 9,7cm et RA = 7,2cm. Faire une figure à main levée et calculer AS.

(8)

Exemple 2 : NUL est un triangle tel que NU=42cm ; LU=46cm et LN=62cm.

Démontrer que NUL n’est pas un triangle rectangle.

[LN] est le côté le plus long, donc on calcule séparément 𝐿𝑁² et 𝐿𝑈² + 𝑁𝑈² :

D’une part : 𝐿𝑁² = 62² 𝐿𝑁² = 3844

D’autre part :

𝐿𝑈² + 𝑁𝑈² = 46² + 42²

𝐿𝑈² + 𝑁𝑈² = 2116 + 1764 𝐿𝑈² + 𝑁𝑈² = 3880

Donc 𝐿𝑁² ≠ 𝐿𝑈² + 𝑁𝑈².

Si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore, il y aurait égalité. Donc le triangle NUL n’est pas rectangle.

(9)

Exemple : NEZ est un triangle tel que NE=75cm ; EZ=45cm et NZ=60cm.

Démontrer que ce triangle est rectangle.

II) Réciproque du théorème de Pythagore

Enoncé : si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la

somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

(10)

[NE] est le côté le plus long, donc on calcule séparément 𝑁𝐸² et 𝐸𝑍² + 𝑁𝑍² :

D’une part : 𝑁𝐸² = 75² 𝑁𝐸² = 5625

D’autre part :

𝐸𝑍² + 𝑁𝑍²

= 45

²

+ 60

²

= 2025 + 3600

= 5625

Donc 𝑁𝐸² = 𝐸𝑍² + 𝑁𝑍².

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NEZ est rectangle en Z.