Université frères Mentouri. Constantine1 Faculté des sciences de la nature et de la vie
Département de biologie appliquée
Licence
Bio-informatique
Matière
Dr. Habiba BOUHALLOUF
Année universitaire 2020/2021
Biostatistique
Appliquée
III
6 Théorie statistique de l’estimation
6.1 47Définition
6.2 Estimation ponctuelle 6.3 Estimation par intervalle
7 Tests statistiques
. . . 52 7.1 Définition7.2 Condition d’utilisation d’un test 7.3 Conditions d’application
7.4 Principe des tests de comparaisons
7.5 Hypothèses nulle et hypothèse alternative 7.6 Etapes d’un test statistique
8 Tests de comparaison
. . . 58 8.1 Introduction8.2 Test Z de l’écart réduit
Estimations et Tests
Statistiques
6. Théorie statistique de l’estimation
Du point de vue pratique, il est souvent très important de pouvoir obtenir de l’informa- tion sur la population à partir des échantillons. De tel problème se trouve dans la décision statistique, qui utilise le principe de la théorie d’échantillonnage comme le problème d’estimation des paramètres d’une population (moyenne, variance, pourcentage, ...) à partir des statistiques d’échantillonnage correspondantes.
Faire une estimamtion, c’est tenter de définir les paramètres d’une population à partir des paramètres observés sur un échantillon.
Lorsqu’on observe un paramètre sur un échantillon, on pressent :
1. que la valeur observée a fort peu de chances d’être exactement la valeur inconnue de la population.
2. que cette valeur est néanmoins assez proche de la valeur inconnue si notre échantillon est représentatif.
3. qu’en répétant l’échantillonnage, on trouverait d’autres valeurs, toutes assez proches les unes des autres.
Ces trois hypothèses sont une sorte de pari. Nous parions que la valeur observée est proche de la valeur exacte. Mais il faut préciser ce que l’on entend par "proche".
Le but de l’estimation en statistique est de calculer les bornes qui permettent de situer avec une confiance suffisamment grande où se trouve la valeur inconnue du paramètre dans la population. Une estimation aboutit donc à calculer ce qu’on nomme "intervalle de confiance". Ce terme est parfois appelé trivialement "fourchette d’estimation".
Le statisticien se sait donc incapable de connaître la vraie valeur, mais il en fournit modestement une estimation à l’aide de deux bornes.
48 Chapitre 6. Théorie statistique de l’estimation
6.1 Définition
Soit une variablexà étudier : il s’agit d’otenir une approximation d’un certain para- mètreq de sa distribution (médiane, moyenne, variance, ...) à partir denvaleurs :x1,x2, ...,xndex.
En considérant x1 : la réalisation d’une variable aléatoire X1, x2 : la réalisation d’une variable aléatoireX2, ...,xn: la réalisation d’une variable aléatoireXn.
On dit queX1,X2, ...,Xnforment un échantillon de la variableX ayant la taille (effectif)n.
6.2 Estimation ponctuelle
Le terme estimation désigne aussi le résultat de procédé : on dira donc que t (la valeur calculée sur l’échantillon) est l’estimationponctuelle de q (la valeur théorique de la distribution), mais on dira aussi quet est un paramètre d’échantillon (estimant un paramètre de distribution).
6.2.1 Médiane d’échantillon
Une première estimation simple concerne la médiane. La médiane théorique d’une variable étudiée dans une population deNindividus est située au milieu de la liste des valeurs individuelles classées par ordre croissant.
Donc, sur un échantillon denvaleurs classées par ordre croissant (x1x2...,xk ...,xn), la grandeurtest, par définition, la valeur centrale si le nombre des observations est impair, ou la demi-somme des deux valeurs centrale si le nombre des observation est pair :
t=xk+1 t=xk+xk+1
2 (6.1)
6.2.2 Moyenne d’échantillon
La moyenne théorique d’une variable étudiée dans une population de N individus s’obtenant par la formuleµ= x1+x2+...+xN
N . Sachant que la moyenne d’échantillon est : ¯x=x1+x2+...+xn
n . Icit=x, est une estimation de¯ µ.
6.2.3 Variance d’échantillon
La variance théorique d’une variable étudiée dans une population deNindividus : sp2=(x1 µ)2+ (x2 µ)2+ ... + (xN µ)2
N
mène à utilisert=se2, comme estimation de la variancesp2. 6.2.4 Estimateurs non biaisés
Si la moyenne d’une statistique d’échantillonnage est égale au paramètre correspondant de la population, on dit que la statistique est un estimateur non biaiséde ce paramètre.
6.3 Estimation par intervalle 49 Dans le cas contraire, on dit que l’on a unestmateur biaisé.
la moyenne :moy(x) =¯ µ=)x¯est une estimation non biaisée.
la variance :moy(se2) = NN1sp2=)se2est une estimation biaisée.
oùsp2est la variance de la population.
Remarque
En terme de propbabilité, on dira qu’une statistique est non biaisée si son espérance mathématique est égale à la valeur du paramètre de la population correspondant :
E(x) =¯ µ (6.2)
E(se2) =sp2 (6.3)
6.2.5 Estimateurs efficaces
Quand on désire estimer la moyenne, la distribution d’échantillonnage de deux sta- tistiques ont la même espérance, la statistique qui a la variance la plus faible est appelée
"estimateur efficace"de la moyenne, et l’autre statistique sera donc"l’estimateur ineffi- cace". Parfois, l’estimateur efficace est nomé"meilleur estimateur".
6.3 Estimation par intervalle
Quand, dans une population, l’estimation d’un paramètre est donnée par un seul nombre, on dit que c’est une"estimation ponctuelle"du paramètre.
Quand on estime un paramètre d’une population donnée par deux nombres entre lesquels celui-ci peut varier, on dit que l’on a une"estimation par intervalle"de ce paramètre. Et on appelle l’erreur de précision d’un estimateur :"confiance"ou"fiabilité".
6.3.1 Estimation d’une moyenne inconnue a. Estimation d’une moyenne d’un échantillon
On considère que la population est nombreuse (n 30) de moyenneµ et de l’écart-type sprelatif à un caractère quatitatif.
On désigne par ¯x, la moyenne d’un échantillon prélevé au hasard de la population.
D’après le théorème central limite, on démontre que ¯xsuit une loi normale d’esperance mathématiqueµ et de variances2=snp2 lorsque la taille de l’échantillon estn 30.
Definition 6.3.1 On peut exprimer ¯xdans un intervalle comme suit : µ ta sp
pn x¯ µ + ta sp
pn (6.4)
La probabilité pour que la moyenne ¯xsoit dans l’intervalle I=h
µ tapspn, µ+tapspni est :
P(I) =1 a (6.5)
50 Chapitre 6. Théorie statistique de l’estimation Risque d’erreura
Ici on appelle l’intervalleI,intervalle de confiance,(1 a)s’appelleSeuil de confiance eta,risque d’erreur.
ta est une valeur donnée parla table de la loi normale centrée réduite.
D’après les propriètés de la loi normale, on choisit on général, le risque d’erreur(a=5%), et dans certain cas, on donne(a=1%):
1. poura=5%, on choisitta =1.96, et dans ce casP(I) =0.95.
2. poura=1%, on choisitta =2.6, et on donneP(I) =0.99.
b. Estimation d’une moyenne d’une population
Le problème qui se pose généralement est d’estimer la moyenneµ de la population à partir des paramètres observés dans l’échantillon choisit au hasard, c-à-d : en fonction de (x,¯ n,se), oùseest l’écart-type de l’échantillon.
Definition 6.3.2 L’intervalle de confiance dans lequel on estime trouver la moyenne associée à la population est donnée par :
¯
x ta se
pn 1 µ x¯ + ta se
pn 1 (6.6)
On donne : sp2⇡ n
n 1 se2 (6.7)
La quantité : h=tapsne1, s’appelle"la précision de l’estimation".
6.3.2 Estimation d’un pourcentage inconnu
Lorsquòn a un pourcentage sur un échantillon, le problème est d’estimer le véritable pourcentagePinconnu de la population d’où est extrait l’échantillon.
a. Intervalle de confiance d’un pourcentage
Estimer la valeur du pourcentage inconnu de la population à partir d’une observation sur un seul échantillon, c’est estimer un intervalle dans lequel le pourcentage inconnuPà la plus grande probabilité de se trouver.
Definition 6.3.3 D’après le théorème central limite, il y a 95% de chances que le pourcentagePde la population se trouve compris dans l’intervalle :
p 1.96
rp(1 p)
n P p+1.96
rp(1 p)
n (6.8)
p 1.96q
p(1 p)
n , p+1.96q
p(1 p)
n est l’intervalle de confiance à 95% du pourcentage Pde la population, où : pest le pourcentage calculé sur l’échantillon.
7. Tests statistiques
7.1 Définition
Le test statistique est l’outil de la comparaison, de même que le calcul de l’intervalle de confiance était l’outil statistique de l’estimation.
Une comparaison statistique porte des séries de données qui sont en moyenne, pourcentage, distribution par classes, indicateurs de liaison entre deux variables, ... ect.
7.2 Condition d’utilisation d’un test
Un test statistique doit être réalisé dans le cadre d’une réflexion scientifique qui consiste à bâtir des hypothèses à partir des faits antérieurs observés. Ensuite, ces hypothèses sont testées et selon les résultats des tests, elles sont soit rejetées, soit acceptées. Puis de nou- velles hypothèses peuvent ensuite être bâties et à nouveau testées.
Donc un test statistique n’a de sens que s’il teste une hypothèsepréalablementposée afin de répendre à une question :
Observation ! Hypothèse ! Test
7.3 Conditions d’application
Tous les tests sont basés sur les lois du distributions théoriques issues de la théorie des probabilités.
Une série d’observations portant sur une variable peut être décrite soit par des paramètres résumant la distribution (moyenne, pourcentage, variance, ...), soit par la distribution des effectifs sous forme de tebleau ou diagramme.
Donc il existe parallèlement deux familles de tests :
7.4 Principe des tests de comparaisons 53
— Les tests paramétriques qui composent des paramètres.
— Les tests semi-paramétriques (test de c2) et les tests de rang qui comparent des distributions.
7.4 Principe des tests de comparaisons
Il existe schématiquement deux situations de comparaison : 1. Comparer un échantillon observé à une population de référence.
2. Comparer deux ou plusieurs échantillon entre eux.
7.5 Hypothèses nulle et hypothèse alternative
7.5.1 Hypothèse nulleH0
Cela consiste à poser à priori l’hypothèse que les paramètres ou les distributions des populations d’où sont issus les échantillons étudiés, sont identiques :
Hypothèse nulleH0
Paramètrede laPopulation 1 ,= Paramètrede laPopulation 2
Proposer l’hypothèse nulle c’est supposer que la différence observée provient seulement des fluctuations d’échantillonnage.
7.5.2 Hypothèse alternativeH1
L’hypothèse alternativeH1est l’hypothèse qui sera retenue au cas où les résultats du test aboutiraient à rejeter l’hypothèse nulleH0.
Selon le la nature du problème, on distingue deux types d’hypothèses alternatives : a. Hypothèse alternative bilatérale
On choisit l’hypothèse alternative bilatérale lorsqu’on ne cherche pas à connaître le sens de la différence :
Hypothèse alternativeH1bilatérale
Paramètrede laPopulation 1 6=m Paramètrede laPopulation 2
54 Chapitre 7. Tests statistiques b. Hypothèse alternative unilatérale
On choisit l’hypothèse alternative unilatérale lorsqu’on s’intéresse à un sens particulier de l’intégralité des deux paramètres tel que :
Hypothèse alternativeH1unilatérale
Paramètrede laPopulation 1 >m Paramètrede laPopulation 2 Paramètrede laPopulation 1 ou< Paramètrede laPopulation 2
TABLE7.1 – Hypothèses Hypothèse Comparaison de paramètres ou
de distributions Liaison entre deux va- riables
H0 Les paramètres ou les distributions
sont identiques Absence de liaison
H1bilatérale - Les paramètres ou les distributions
sont différents - Présence d’une liaison
H1unilatérale - Un des paramètres est supérieur à
l’autre - Présence d’une liaison
7.6 Etapes d’un test statistique
Quelque soit le test utilisé, la méthode du test d’hypothèse comporte les étapes sui- vantes :
1. Formulation de l’hypothèse nulleH0. 2. Choix de test statistique qui convient.
3. Choix du seuil de signification, il est implicitement égale à 5% si rien n’est spécifié.
4. Conditions d’application du test statistique.
5. Exécution du test statistique.
6. Décision au seuil choisi et le sens de la liaison.
La décision consiste donc à rejeter ou à retenir H0 et dépend seulement du seuil de signification choisi.
7.6.1 Espèces d’erreur
Lorsque l’on fait un test d’hypothèse, deux sortes d’erreur sont possibles :
7.6 Etapes d’un test statistique 55
— On peut rejeter l’hypothèse nulle alors qu’elle est vraie ; cela se produit si la valeur de la statistique de test tombe dansla région de rejetalors que l’hypothèseH0est vraie, la probabilité de cet événement est le niveau de signification (probabilité de rejeterH0à tort) est appelérisque d’erreurouerreur de première espèceet on le notea.
— Si on ne rejette pasH0alors qu’elle est fausse, on commette uneerreur de second espèceou (manque d’erreur) et se note conventionnementb. C’est le cas si la valeur de la statistique de test tombe dansla région de non rejet(ou d’acceptation) alors queH0est fausse (c’est-à-dire siH1est vraie).
Zone de rejet
SoitU le paramètre test tel que : 1. Pourles moyennes :
U=x¯ µ
sp
pn
(7.1) 2. Pourles pourcentages :
U= f p
qp(1 p) n
(7.2) où :
- ¯xet f sont la moyenne et la fréquence dexdans l’échantillon de taillen, respective- ment.
- µ et psont la moyenne et la fréquence dexdans la population ayant l’écart-typesp. Au risquea choisi, correspond un intervalle[ ta , +ta].(1 a)(voir la figure 9.1) est la chance de se trouver.
Donc la zone de rejet de l’hypothèseH0comprend deux parties comme il est montré dans la (figure 9.2) : Alors :
1. Si : |U| ta,
Utombe dans la zone de rejet deH0avec erreur de première espèce.
2. Si : |U| ta,
U ne tombe pas dans la zone de rejet deH0, on ne rejette pasH0. Si on l’accepte, cette décision est associée à un risque d’erreur du deuxième espèceb.
7.6.2 Puissance du test
Lorsque la valeur inconne est dans H1, la probabilité d’obtenir un résultat dans la région de rejet est appelée"Puissance du test"deH0face àH1. Elle dépend de plusieurs
56 Chapitre 7. Tests statistiques
FIGURE7.1 – Risque d’erreur et zone de rejet deH0
FIGURE7.2 – Zone d’acceptation et zone de rejet deH0 facteurs :
— Le niveau de signification du test (risque d’erreur).
— La vraie valeur du paramètre testé.
— La taille de l’échantillonn(la puissance augmente avecn).
— Le type du test utilisé.
De manière générale, plus on tient compte d’informations pertinentes dans un test plus sa puissance est élevée.
7.6.3 Synthèse
— Les risques d’erreursa etb sont antagonistent, si on choisit un risquea très petit, on ne peut le plus souvent rejeterH0.
— On choisit le plus souvent, un risque d’erreura de 5% (seuil de signification), dans ce cas la puissance de test est(1 b).
Réalité Décision de ne pas rejeterH0 Décision de rejeterH0
H0vraie 1 a a
H0fausse b 1 b
TABLE7.2 – Puissance du test statistique
8. Tests de comparaison
8.1 Introduction
Dans ce chapitre, on s’intéresse aux lois de distribution théoriques principales utilisées pour les tests statistiques de comparaison :
— La loi normale centrée réduite Z.
— La loi de Student T.
— La loi de Fisher F.
— La loi dec2.
8.1.1 Comment choisir un test statistique ?
Le choix d’un test statistique dépend de plusieurs facteurs qu’on doit péalablement identifier :
La nature des variables à comparer : vérifier si
— la variable est quatitative (continue ou discrète).
— la variable est qualitative (binaire, nominale à plusieurs classes ou ordinale).
Les grandeurs étudiées : vérifier si :
— la grandeur est une moyenne.
— la grandeur est une variance.
— la grandeur est un pourcentage.
— la grandeur est un effectif.
— ...
8.1 Introduction 59
La nature du problème : vérifier si on doit
— comparer un échantillon à une population de référence.
— comparer deux échantillons.
— comparer plusieurs échantillons.
Le type de séries comparées : vérifier si :
— les séries sont appariées.
— les séries sont indépendantes.
La taille des échantillons : vérifier si :
— l’échantillon a un grand nombre d’individus.
— l’échantillon a un petit nombre d’individus.
Les conditions d’application des tests : vérifier s’il s’agit d’une
— normalité des distributions associées à la population d’où est issu l’échantillon.
— égalité des variances.
— taille minimale des échantillons.
8.1.2 Principaux tests de comparaison et domaine d’application
Les tests de comparaison servent à comparer les moyennes, les variances, les pourcen- tages, ... des différentes distributions.
Leur principe consiste á poser une hypothèse nulleH0et de décider de l’accepter si l’égalité entre les paramètres est vérifiée ou de la rejeter si elle n’est pas vérifiée au profit d’une hypothése alternativeH1.
Pour effectuer le calcul du test, on choisit selon la nature de la comparaison la loi de distribution à suivre :
1. La loi normale centrée réduite (Z)sert à comparer :
— deux moyennes.
— deux moyenne observées de deux séries appariées.
— une moyenne observée à une moyenne théorique.
2. La loi de Student (T)sert à comparer :
— deux moyennes.
— deux moyenne observées de deux séries appariées.
— une moyenne observée à une moyenne théorique.
3. La loi de Fisher (F)sert à comparer :
60 Chapitre 8. Tests de comparaison
— deux variances.
— plusieurs moyennes.
— deux pourcentage.
4. La loi (c2)sert à comparer :
— une distribution observée à une distribution théorique.
— plusieurs distributions.
— plusieurs pourcentages.
8.2 Test Z de l’écart réduit
8.2.1 Comparer une moyenne observée à une moyenne théorique Conditions
Soit la variable quantitative x d’un échantillon de grande taille (n 30) ayant la moyenne ¯xet l’écart types.
On cherche à décider si la moyenne de l’échantillon ¯xet la moyenne d’une population de référenceµ sont significativement différentes. On teste alors, au risque dea :
* l’hypothèse nulleH0: ¯x=µ.
* l’hypothèse alternativeH1bilatérale : ¯x6=µ.
* l’hypothèse alternativeH1unilatérale : ¯x<µ ou ¯x>µ. Calcul
Pour identifier la région de rejet ou d’acceptation de l’hypothèse nulle, on calcule et on compare la quantité :
z= x¯ µ
psn
(8.1) avecza2 pour l’hypothèse bilatérale ou avecza si l’hypothèse est unilatérale.
Si on prenda=5% :za2 =1,96 etza =1,65.
Décision
H1 Z H0 Décision
bilatérale |z|<za
2 accepée x¯n’est pas significativement différente deµ bilatérale |z| za2 rejetée x¯est significativement différente deµ unilatérale z<za accepée x¯n’est pas significativement supérieure
(ou inférieure) àµ
unilatérale z za rejetée x¯est significativement supérieure (ou inférieure) ൠOn trouve les valeurs deza etza2 dans la table de la loiZde la loi normale centrée réduite.
8.2 Test Z de l’écart réduit 61 8.2.2 Comparer deux moyennes
Conditions
Maintenant on veut comparer deux moyennes ¯x1, ¯x2de deux échantillons indépendants de tailles supérieurs à 30(n1 30,n2 30). Sachant les écart types(s1,s2), On pose au risque dea, les hypothèses nulle et alternative :
* H0:µ1=µ2.
* H1bilatérale :µ16=µ2.
* H1unilatérale :µ1<µ2ouµ1>µ2.
oùµ1,µ2sont les moyennes inconnues des deux populations d’où sont issus nos échan- tillons.
Calcul
On calcul la quantitézà partir de la formule suivante : z= x¯1 x¯2
qs12
n1 +sn22
2
(8.2)
Décision
H1 Z H0 Décision
bilatérale |z|<za2 accepée ¯x1n’est pas significativement différente de ¯x2 bilatérale |z| za
2 rejetée x¯1est significativement différente de ¯x2 unilatérale z<za accepée x¯1n’est pas significativement supérieure
(ou inférieure) à ¯x2
unilatérale z za rejetée x¯1est significativement supérieure (ou inférieure) à ¯x2
On trouve les valeurs deza etza2 dans la table de la loiZde la loi normale centrée réduite.
8.2.3 Comparer deux moyennes pour deux séries appariées Conditions
Dans ce cas, nous avons un seul échantillon de taille(n 30). On désire comparer deux valeurs qui appartiennent à deux séries de valeurs dites appariées d’une même grandeur (ici la moyenne) observée chez un individu. Chaque couple de mesures constitue une paire ((xi,yi),i=1,¯n).
Le principe est de construire des paires de mesure puis calculer la différence observée pour chacunedi=|xi yi|.
Pour cela on pose les hypothèses nulle et alternative en fonction des moyennes calculées à partir des différences trouvées ( ¯xd etsd) :
62 Chapitre 8. Tests de comparaison
* H0: ¯xd=0.
* H1bilatérale : ¯xd6=0.
* H1unilatérale : ¯xd<0 ou ¯xd>0.
où
¯
xd=
Â
di (8.3)Calcul
On calcul la quantitézà partir de la formule suivante : z= x¯d 0
qsd2
n
(8.4) où
sd2= 1
n 1
✓
Â
di2 1n(Â
di)2◆ (8.5)Décision
H1 Z H0 Décision
bilatérale |z|<za
2 accepée les moyennes des séries ne sont pas signifi- cativement différentes
bilatérale |z| za2 rejetée les moyennes des séries sont significativement différentes
unilatérale z<za accepée les moyennes des 2 séries sont significativement différentes
unilatérale z za rejetée la moyenne d’une série est significativement supérieure (ou inférieure) à l’autre
On trouve les valeurs deza etza2 dans la table de la loiZde la loi normale centrée réduite.
8.3 Test T de Student
8.3.1 Comparer une moyenne observée à une moyenne théorique Conditions
On a vu qu’on peut utiliser le testZ pour comparer une moyenne observée à une moyenne connue dans une population de référence lorsqu’il s’agit d’un échatillon ayant une taille supérieures ou égale à 30.
Pour les petits échantillons(n<30), on utilise plutôt le test de Student.
En effet, soient ¯xetsla moyenne observée et l’écart type de l’échantillon respectivement, etµ la moyenne de la population de référence.
On au risque de (a =10%), pose les hypothèses nulle et alternatives au risque de (a =10%) :
8.3 Test T de Student 63
* H0: ¯x=µ.
* H1bilatérale : ¯x6=µ.
* H1unilatérale : ¯x<µ ou ¯x>µ. Calcul
de la même façon, on calcule la valeur det du test de Student : t=x¯ µ
psn
(8.6) Si l’hypothèse nulle ( ¯x=µ) est vraie (au risque dea=10%), la quantitét suit une loiT de Student à(n 1)degrés de liberté(ddl).
Décision
H1 T H0 Décision
bilatérale |t|<ta2 accepée x¯n’est pas significativement différente deµ bilatérale .|t| za
2 rejetée x¯est significativement différente deµ unilatérale t<za accepée x¯n’est pas significativement supérieure
(ou inférieure) à µ
unilatérale t za rejetée x¯est significativement supérieure (ou inférieure) ൠOn trouve les valeurs det5% ett10%dans la table de la loi de Student.
8.3.2 Comparer deux moyennes Conditions
On choisit le test de Student aussi lorsqu’on désire comparer deux moyennes observées dans deux échantillons de petites tailles (n1<30,n2<30 ).
En effet, on pose les hypothèses :
* H0:µ1=µ2.
* H1bilatérale :µ16=µ2.
* H1unilatérale :µ1<µ2ouµ1>µ2.
oùµ1,µ2sont les moyennes inconnues des deux populations d’où sont issus nos échan- tillons.
Calcul
On calcul la quantitézà partir de la formule suivante : t= x¯1 x¯2
qs12
n1 +sn22
2
(8.7) avec un nombre de degrés de liberté(ddl=n1+n2 2).
64 Chapitre 8. Tests de comparaison Décision
H1 T H0 Décision
bilatérale |t|<ta2 accepée ¯x1n’est pas significativement différente de ¯x2
bilatérale |t| ta2 rejetée x¯1est significativement différente de ¯x2 unilatérale t<ta accepée x¯1n’est pas significativement supérieure
(ou inférieure) à ¯x2
unilatérale t ta rejetée x¯1est significativement supérieure (ou inférieure) à ¯x2
On trouve les valeurs det5% ett10%dans la table de la loi de Student.
8.3.3 Comparer deux moyennes pour deux séries appariées Conditions
Ce cas est similaire à celui où on utilise le testZpour comparer deux moyennes de deux séries apparées observées dans un seul échantillon. Ce dernier doit avoir une taille inférieure à 30. En effet :
* H0: ¯xd=0.
* H1bilatérale : ¯xd6=0.
* H1unilatérale : ¯xd<0 ou ¯xd>0.
oùµ1,µ2sont les moyennes inconnues des deux populations d’où sont issus nos échan- tillons.
Calcul
On calcul la quantitét à partir de la formule suivante : t=x¯d 0
qsd2
n
(8.8)
où ¯xdetsd sont la moyenne des diffénces des moyennes (respectivement des écart types) des paires :
¯
x=
Â
di,sd2= 1
n 1
✓
Â
di2 1n(Â
di)2◆Le nombre de degrés de liberté est :dll=n 1.
8.4 Test F de Fisher 65 Décision
H1 T H0 Décision
bilatérale |t|<ta
2 accepée les moyennes des séries ne sont pas signifi- cativement différentes
bilatérale |t| ta2 rejetée les moyennes des séries sont significativement différentes
unilatérale t<ta accepée les moyennes des 2 séries sont significativement différentes
unilatérale t ta rejetée la moyenne d’une série est significativement supérieure (ou inférieure) à l’autre On trouve les valeurs det5% ett10%dans la table de la loi de Student.
8.4 Test F de Fisher
8.4.1 Comparer deux variances Conditions
On utilise le test de Fisher lorsqu’il s’agit de comparer deux variancess12ets22de deux séries indépendantes de variables quantitatives quelque soit la taille des échantillons (n1etn2).
Pour cela soient au risque dea=5%, les hypothèses :
* H0:s12=s22.
* H1bilatérale :s126=s22.
* H1unilatérale :s12<s22ous12>s22.
oùs1 ets2sont respectivement les variances inconnues des deux populations d’où sont issus les échantillons.
Calcul
Soits12la variance la plus élevée, on définit la quantitéF par : F=s12
s22 (8.9)
avec : (dll1=k1=n1 1), (dll2=k2=n2 1) et (a =5%).
Décision
H1 F H0 Décision
bilatérale |F|<Fa2 accepée s12n’est pas significativement différente des22
bilatérale |F| Fa2 rejetée s12est significativement différente des22 unilatérale F<Fa accepée s12n’est pas significativement différente des22
unilatérale F Fa rejetée s12est significativement supérieure às22
66 Chapitre 8. Tests de comparaison On trouve les valeurs deF5%etF2,5% dans la table de la loi de Fisher.
8.4.2 Comparer plusieurs moyennes Conditions
On choisit le test de Fisher également lorsqu’on désir comparer les moyennes observées lors d’une experience d’une variable quantitative pour plusieurs échantillons. Pour cela les distributions des populations d’où proviennent les échantillons doivent suivre la loi normale et avoir la même variance.
En effet, au risque de (a=5%), les hypothèses nulle et alternatives sont :
* H0: Les moyennes ne sont pas significativement différentes.
* H1: Les moyennes sont significativement différentes.
Alors, si les séries étudiées sont indépendantes, on test le rapport entre deux variances : 1. La variance entre individus de chaque série (variance résiduelle) (sr2).
2. La variance entre les séries étudées (variance générale) (sg2).
où
sg2=Âxni2i xNg2
c 1 , sr2=Âx2 Âxni2i
N c (8.10)
avec :
* xi: est la somme des valeurs observées sur chaque série.
* xg: est la somme des valeurs observées sur toutes les séries.
* Âx2: est la somme des carrées des valeurs observées sur toutes les séries.
* n: est le nombre des effectifs de chaque série.
* N: est le nombre des effectifs de toutes les séries.
* c: est le nombre de séries à comparer.
Calcul
on teste le rapport suivant : F=sg2
sr2 (8.11)
avec : (dll1=k1=c 1), (dll2=k2=N c) et (a=5%).
8.5 Test dec2 67 Décision
H1 F H0 Décision
bilatérale F<Fa accepée Les moyennes ne sont pas significativement différentes
bilatérale F Fa rejetée Les moyennes sont significativement différentes
8.5 Test de c
2Il est fréquent d’avoir à comparer deux grandeurs caractérisées par des variables qualitatives comme en épidémiologie par exemple (malade / non malade).
On compare, Le plus souvent des distributions ou des pourcentages observés dans deux échantillons ou plus, mais parfois on est tombé dans des situations où on doit comparer un pourcentage observé dans un échantillon à un pourcentage théorique (de référence) pour savoir si la différence entre eux est due aux fluctuations d’échantillonnage ou elle correspond à une différence réelle.
Pour tous ça, si tous les effectifs théoriques (de référence) sont supérieurs ou égaux à 5, on utilise le test de comparaison dec2(chi-2).
8.5.1 Comparer une distribution observée à une distribution théorique (Test de c2d’ajustement)
Conditions
Les effectifs observés sont généralement différents des effectifs théoriques, donc on teste la conformité entre la distribution expérimentale et la distribution théorique. Ce genre de test se fait en utilisant "Test dec2" d’ajustement (ou de conformité) à condition d’avoir un nombre d’effectifs supérieur ou égal à 5.
On considère un échantillon de taille nextrait au hasard d’une population partagée en classes, chaque classe est une modalité de réalisation du caractère. Et on attribut les effectifs : fo1,fo2,fo3, ...,fok, tels que :
n=
Â
i=1
kfoi (8.12)
où foi sont appelés " effectifs observés ".
D’autre part, on attribut à ces classes les probabilités :P1,P2,P3, ...,Pk. Pireprésente la probabilité de présence de la modalité du caractère étudié dans la classei(i=1,¯k) avec :
i=1
Â
kPi=1 (8.13)
Donc, on peut définir les effectifs théoriques en fonction des probabilités ainsi :
fti=nPi (8.14)
où
n=
Â
i=1
kfti (8.15)
On peut finalement construire le tableau suivant :
68 Chapitre 8. Tests de comparaison
Classe 1 2 ... i ... k Total
Effectifs Observés(foi) fo1 fo2 ... foi ... fok n Effectifs Théoriques(fti) ft1 ft2 ... fti ... ftk n On pose alors les hypothèses suivantes au risque de (a =5% oua=1%) :
* H0: "Il y a une conformité entre la distribution étudiée (expérimentale) et la distribu- tion théorique".
* H1: "Il y a une différence significative entre la distribution étudiée (expérimentale) et la distribution théorique".
Calcul
Pour décider si on accepte ou on rejette l’hypothèseH0, on calcule la statistique dec2:
c2c=
Â
i=1
k(foi fti)2
fti (8.16)
c2cdoit être comparée avecc2a qui peut être obtenue par la table dec2en fonction de n =k 1 (kest le nombre de classes étudiées).
Décision
H1 c2 H0 Décision
biilatérale c2c<c2a accepée Les distributions ne sont pas significativement différentes
biilatérale c2c c2a rejetée Les distributions sont significativement différentes
8.5.2 Comparer plusieurs pourcentages ( Test de c2d’homogénéité) Conditions
On applique le test dec2 d’homogénéité pour comparer plusieurs distributions ou plusieurs pourcentages (pour une variable qualitative à plusieurs classes).
Comme nous avons vu dans la section précédente, on va s’intéresser aux effectifs plutôt que les pourcentages. Par conséquent, on obtient le tableau suivant :
échantillon! éch(1) éch(2) ... éch(j) Classe#
1 fo11 (ft11 ) fo12 ( ft12) ... fo1j (ft1j) 2 fo21 (ft21) fo22 (ft22) ... fo2j (ft2j) 3 fo31 (ft31) fo32 (ft32) ... fo3j (ft3j)
... ... ... ... ...
i foi1 (fti1) foi2 ( fti2) ... foi j (fti j)
8.5 Test dec2 69 foi j (fti j) sont respectivement les effectifs observés (les effectifs théoriques) de la classe (modalité du caractère) (i) de l’échantillon (j).
Tous les effectifs théoriques doivent être supérieurs ou égaux à 5 pour pouvoir appliquer la loi dec2.
Au risque de (a=5%), les hypothèses nulle et alternative sont données par :
* H0: "Il n’ y a pas une différence significative entre les pourcentages (distributions).
* H1: "Il y a pas une différence significative entre les pourcentages (distributions).
Calcul
Pour décider si on accepte ou on rejette l’hypothèseH0 au risque de (a =5%), on calculec2c:
c2c=
Â
i=1 k
Â
j=1
c(foi j fti j)2
fti j (8.17)
c2cdoit être comparée avecc2a qui peut être obtenue par la table dec2à l’aide du nombre de degrés de liberté :dll = (c 1)(k 1)(kest le nombre de classes étudiées, cest le nombre d’échantillon).
Décision
H1 c2 H0 Décision
biilatérale c2c<c2a accepée Les pourcentage (les distributions) ne sont pas significativement différentes
biilatérale c2c c2a rejetée Les pourcentage (les distributions) sont significativement différentes
VI Références bibliographiques
Références bibliographiques
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3me édition Maloine 2011, (308 pages), Faculté de médecine, Université, Paris- Déscartes. ISBN : 978 2 334 03042 1.
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1meédition De Boeck Supérieur s.a., 2015, (416 pages), ISBN-13-9782807300262.
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édition 3.01.4107, (262 pages), POU 12 1996, Ben Aknoun, Alger.
ISBN 9961.0.0214.8.
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2013, (179 pages), Faculté de médecine, Université Pierre et Marie Curie, ParisVI.
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9. J. P. Vaughan, R. H. Morrow, "MANUEL D’ÉPIDÉMIOLOGIE POUR LA SANTé AU NIVEAU DU DISTRICT". 2meédition, 1991, (186 pages), Organisation mon- diale de la Santé "OMS". ISBN 92 4 254404 3.
10. A. Vergnenegre, "ÉPIDÉMIOLOGIE-ESSAIS CLINIQUES-ÉVALUATION".
2010 2011, (139pages), Faculté de Médecine de Limoges.
