Colloque « Faut-il parler pour apprendre ? » Lille, octobre 2004
Atelier Dialogues, verbalisation et apprentissages en situation de travail à l’école : acquis et questions vives
Pratiques langagières, apprentissage, enseignement :
modèles didactiques de l’action enseignante et de son efficacité, en mathématiques
MERCIER Alain,
UMR « Apprentissage Didactique, Evaluation, Formation », Université de Provence,
Institut Universitaire de Formation des Maîtres de l’académie, Institut National de Recherche Pédagogique,
Marseille
Pour engager un travail de comparaison avec les apports d’autres points de vue, ce texte propose de travailler les questions posées par les organisateurs du point de vue de la didactique des mathématiques. Ce faisant, il s’attaquera directement à ces questions et par exemple, le « modèle de l’action didactique du professeur » (Sensevy, Mercier, Schubauer-Leoni, 2000) qui permet à la fois de définir un « grain d’analyse » adapté aux questions que l’on se pose dans l’observation de la pratique ordinaire d’ un professeur et de déterminer un système de contraintes fonctionnelles de cette pratique, ne sera pas présenté pour lui-même. De même, on renverra à Mercier, Schubauer-Leoni, Sensevy (2002) pour la présentation du travail comparatiste. On rappelle enfin qu’une origine des questions posées ici appartient à Schubauer-Leoni (1997), Mercier (1997) et Sensevy (1997) pour un travail en mathématiques puis, à Sensevy (2001) sur une séance de français et à Mercier et al. (2001) sur les usages du tableau noir, dans un ouvrage collectif intitulé « Le génie didactique » parce qu’il cherchait à rendre compte de l’ingéniosité des professeurs (Mercier, Lemoyne, Rouchier, 2001). Ce que nous avons appris depuis sur ces questions, nous tentons de le mettre à l’épreuve d’autres savoirs des sciences humaines et des didactiques d’autres disciplines : cet article vise à le faire à partir de trois groupes de questions communes.
Qu’implique, sur le plan du questionnement et des méthodes d’analyse, le fait de prendre l’activité de l’enseignant comme un travail professionnel, en relation avec le travail de l’élève ? Quels modèles pour l’appréhender ?
Dans notre questionnement, nous tentons d’arriver à une approche symétrique des positions dissymétriques des deux types d’acteurs des relations didactiques, professeur et élève. En les nommant ainsi nous les pensons comme acteurs dans une même institution qui les produit solidairement, sachant que le professeur a pour tâche principale d’organiser des conditions favorables à l’étude (ce qui peut induire le fait d’« enseigner » effectivement mais son travail ne se limite pas à cela), et que les élèves ont pour tâche d’étudier (et non pas d’« apprendre », ce qui est l’enjeu de l’étude) les savoirs désignés par le professeur. Ainsi, dans l’ensemble des conditions favorables à l’étude, l’identification par l’élève des savoirs qu’il doit étudier est une condition essentielle. Cependant, l’activité du professeur ne peut être considérée comme
un travail professionnel que si l’on considère que c’est une activité sous contraintes et que l’on décrit ces contraintes pour comprendre, d’abord, ce qui dans cette activité relève du nécessaire c’est-à-dire, des techniques disponibles pour remplir les obligations déclarées, satisfaire aux attentes implicites et maintenir les conditions d’existence de sa position professionnelle dans la relation didactique, ensuite ce qui relève du contingent c’est-à-dire, de l’aléa local, de la décision personnelle ou des habitus professionnels d’un professeur donné, quand aux manières de satisfaire aux nécessités de sa position professionnelle de professeur. Cela permet de qualifier des méthodes d’analyse et des grilles d’interprétation, elles découlent de la distinction précédente : l’analyse dite « a priori » du système des contraintes détermine la possibilité de comprendre la dimension personnelle du professeur et des élèves dans la conduite de leur activité commune (Mercier, 1999). Seront didactiques les contraintes qui sont, à première vue, dans l’exercice du métier de professeur, déterminantes du savoir transmis. Mais les contraintes pertinentes de l’analyse sont aussi bien selon le cas : linguistiques sociales psychologiques psychiques ou culturelles et c’est pourquoi ces questions didactiques qui supposent des analyses comparées sont développées en sciences de l’éducation, dans des approches codisciplinaires.
En voici un exemple. En début d’année scolaire un professeur engage, avec « ses élèves » (que pourtant il n’a pas choisis et qui ne l’ont pas choisi : le possessif indique qu’ils lui ont été attribués), une relation qui doit durer une année scolaire complète. Il préfèrera donc « sauver la possibilité d’une relation didactique ultérieure » que sauver immédiatement le contenu d’enseignement d’une relation didactique dont il maîtrise mal l’évolution, locale. C’est un phénomène bien connu en philosophie et Molière a décrit comment le professeur de Monsieur Jourdain maintient l’empathie avec son élève en faisant produire puis en recevant pour pertinente une réponse particulièrement naïve de ce bourgeois non gentilhomme et bien peu instruit. Cela, que chacun sait déjà d’expérience, doit être observé aujourd’hui, dans les diverses disciplines d’enseigement. Mais pour l’observer il faut pouvoir décider de la réponse à deux questions :
- Est-ce que le professeur « tient » l’enjeu de savoir ou « négocie » en proposant un enjeu plus faible ? (Comme le fait aussi, dans le cas d’une tout autre discipline d’enseignement que la philosophie, l’instituteur Topaze dans la dictée célèbre décrite par Pagnol.)
- Est-ce que le professeur « réussit » à maintenir ainsi la relation, dans une configuration plus faiblement didactique ? (Comme justement, Topaze échoue à le faire : « l’élève le regarde, ahuri » note Pagnol, dont le père était instituteur et qui a dû observer ce genre de scène.)
La première scène de la pièce de Pagnol montre la pénibilité particulière, pour Topaze, du métier d’instituteur, tandis que le professeur de philosophie de Jourdain réussit à montrer à son élève qu’il a appris et c’est pourquoi il partage le ridicule de Jourdain, ce que ne faisaient pas les professeurs d’escrime et de danse.
- Répondre à la première question demande que l’on sache décrire le savoir. Une telle description se fait a priori, l’observation permet de vérifier que l’on ne s’est pas trompé sur l’objet qui faisait l’enjeu de la relation (et que le professeur peut déclarer par avance). Or, décrire non plus l’enjeu officiel mais le savoir qu’un professeur enseigne et plus encore le savoir d’un élève qui étudie, pose problème : les didacticiens savent tous aujourd’hui que le savoir lui-même n’est pas le descripteur des pratiques de son étude : les mathématiques ne sont pas plus faites pour décrire les usages des mathématiques, dans les classes ou ailleurs, que le français n’est fait pour décrire notre langue et ses usages. Il y faut dans les deux cas
une forme d’épistémologie capable de rendre compte spécifiquement des savoirs scolaires. Ces savoirs sont parfois les formes scolaires de savoirs sociaux légitimes : la théorie de situations de Brousseau (1998), la théorie des ostensifs de Chevallard et Bosch (1999) sont, en didactique des mathématiques, les outils de l’analyse épistémologique. Il semble que les diverses théories du langage et des interactions langagières ont vocation à jouer, en didactique des langues, des fonctions semblables aux épistémologies scolaires des didacticiens des mathématiques bien qu’en général (comme l’épistémologie) elles puissent difficilement être spécifiées par les interactions didactiques. C’est ce qui fait notre problème principal mais encore trop souvent implicite. Cependant par exemple, Bouchard (1999) a commencé à travailler dans cette direction tandis que Gajo et Mondada (2000) semblent penser qu’il n’y aurait ni spécifications didactiques des formats d’interaction qu’ils observent dans les classes, ni formats spécifiques aux relations didactiques. Mais observe-t-on tout ce qu’il est pertinent d’observer, quand on observe les phénomènes langagiers comme des communications interpersonnelles : le travail sur et avec le savoir, qui n’est pas toujours une pratique silencieuse, peut-il être réduit aux formats de l’interaction langagière ? La notion de « communauté discursive » qui circule ici (Bernié, 2001), semble montrer que les psycholinguistes les ethnométhodologues et les pragmaticiens sont pas d’accord sur ce point.
- Répondre à la deuxième question suppose que l’on sache cette fois décrire les relations didactiques. C’est ce que tentent les didacticiens qui s’engagent dans une problématique comparatiste, car ils cherchent à identifier ce que l’on nomme « le didactique » dans sa dimension générique, c’est-à-dire de telle manière que les descriptions du didactique puissent être spécifiées par les contenus de savoir qui sont les enjeux de toute relation didactique pour rendre compte des diverses formes observables et aider à imaginer d’autres formes possibles.
Quelles sont les spécificités des relations entre langage et travail dans ce contexte professionnel, par rapport à d’autres contextes de travail ?
Comment appréhender l’activité de l’enseignant dans la gestion quotidienne de la classe ? Quels problèmes théoriques et méthodologiques cela pose-t-il ?
Répondre ici suppose que l’on commence à répondre aux deux questions précédentes, nous avons, en didactique des mathématiques, réalisé des progrès importants sur ces deux questions. Sans doute, nous trouverons toujours deux caractères spécifiques du langage dans une relation didactique : le langage porte les savoirs publics qui font les enjeux d’enseignement, et la forme de relation didactique la plus faible consiste sans doute à transmettre un texte exposant le savoir public comme s’il s’agissait d’une information : c’est un geste d’ostension du savoir dont la forme la plus radicale peut être représentée par cet « exposé » du théorème de Pythagore attribuée au mathématicien indien Bhascara, 1114 a.c., où la figure n’est accompagnée d’aucun commentaire sinon une injonction : « REGARDE ! ». Dans la relation qui s’instaure autour de cette figure et de l’injonction associée, le rapport n’est pas de maître à élève mais de maître à disciple : un rapport aristocratique qui suppose un libre choix réciproque. Le maître élit pour disciple celui qui est capable de voir par lui-même ce qu’il y a à regarder.
Tandis que dans une école actuelle, le maître a obligation d’enseigner, tout comme le professeur de philosophie de Monsieur Jourdain il doit aider l’élève à réussir. Ainsi par exemple il indiquera qu’il y a trois carrés à regarder, là. Trois et non quatre, car le petit carré central n’est qu’un artifice de construction de la figure, tout comme les traits qui n’appartiennent pas à l’un des trois carrés à « regarder ». Déjà, voilà que le professeur indique une relation entre trois carrés et les disciples sont pris comme élèves dans la relation
didactique : si finalement le lecteur pense au théorème dit « de Pythagore », c’est qu’il se souvient de ce « carré de l’hypoténuse, somme de deux autres… »
Une figure portée par cette seule injonction : « REGARDE ! »
Et en effet, la figure propose une démonstration du théorème mais le travail de découverte de ce qu’il y avait à voir a finalement été pris en charge presque en totalité par le professeur qui, cette fois, est sûr d’avoir montré mais n’est plus sûr que l’élève ait regardé en personne. En ce point donc, le travail d’enseignement commence à peine. Nous ne poursuivrons pas la comparaison avec la situation du professeur de Jourdain : en centrant l’attention de son élève sur la prononciation des voyelles il n’a sans doute pas réussi, comme ici, à désigner au moins à cet élève l’enjeu de ce qu’il lui reste à apprendre et, pour cela, à regarder.
Des formes de relation didactique plus fortes et institutionnelles, telles qu’on les rencontre dans les écoles modernes, supposent des manières et peut-être des techniques ou même, des organisations technico-sociales permettant à des personnes en position de professeurs de réussir au moins partiellement ce que j’ai appelé organiser et diriger l’étude que les personnes en position d’élèves doivent, dans leur position, conduire. Elles supposent non plus l’exposition directe au savoir qui détermine la position de disciple d’un maître, mais l’organisation d’un rapport de l’élève à des objets qui seront les médiateurs de leur entrée en rapport avec le savoir et ensuite, l’organisation de l’évolution de leur rapport à ces objets, afin qu’ils passent de l’action sur ces objets à l’étude des manières de traiter une catégorie de problèmes issus de l’action ; puis, au partage de ces manières par un groupe social, avant de comparer leur production au savoir public qui fait l’enjeu de la relation didactique.
C’est-à-dire que les formes de relation didactique modernes résolvent des problèmes dont la complexité est sans commune mesure avec les techniques de l’ostension, dont des théories de la communication pourraient sans doute rendre compte. La communication didactique résout des problèmes spécifiques par des moyens qui sont souvent langagiers mais dont l’analyse n’appartient pas seulement aux théories du langage, seraient-elles psychologiques : l’exemple que je propose le montre, l’injonction signe une forme de relation didactique, sa description linguistique ne pourrait permettre de l’atteindre seule parce qu’il y manquerait la compréhension de l’objet ainsi mis en avant et de son opacité. Pourrait-elle dire comment
pourtant on reconnaît là certaines des propriétés d’une démonstration : l’affirmation conjointe de la vérité de la propriété à « voir » et de l’exactitude de la démonstration produite à son appui par exemple, et le fait que pour qui sait voir il y a là tous les éléments de l’analyse graphique du problème et d’une construction en forme de synthèse.
Pour autant, l’analyse que ces théories permettent, et l’étude de la diversité de leurs formes dans les divers temps de développement d’une relation didactique nous intéresse au plus haut point, parce qu’elle peut nous ouvrir la porte de la description d’un nécessaire anthropologique qui ne soit plus général mais relatif à ces relations si particulières, les relations didactiques1 : ce qui fait le spécifique du contexte professionnel du professeur et qui permet de rendre compte par exemple, de l’action de Topaze qui ne peut plus enseigner le pluriel des noms au moment de la dictée sans accepte que l’élève les ignore encore et n’a pas d’autre solution que de ruser avec les contraintes de la situation en indiquant à l’élève la réponse exacte, par un procédé que, hélas, l’élève n’interprète pas correctement.
En quoi les études des interactions langagières entre professeur et élèves questionnent-elles les didactiques ; inversement quels sont les apports des didactiques pour appréhender l’activité langagière en classe ?
Les didactiques apportent principalement des questions. Certes, les didacticiens ont commencé à répondre par eux-mêmes : leurs analyses fondées sur l’observation des pratiques relatives aux savoirs donnent, comme nous avons tenté de le montrer dans l’exemple ci-dessus, des interprétations convaincantes de ce qu’ils peuvent observer. Cependant, il semble peu probable que les actions langagières et plus généralement les interactions en situation didactique ne puissent pas être analysées comme des configurations d’usages anthropologiques plus généraux, spécifiés par une situation dont il s’agirait de rendre compte. Ainsi, l’originalité du didactique ne devrait pas échapper à une analyse en termes de pratiques langagières et interactives génériques : la particularité de telles analyses viendrait de ce que la situation didactique est spécifiée par l’enjeu, « produire à nouveau des savoirs », et par la manipulation conjointe de ces savoirs particuliers, entre l’un qui est supposé les maîtriser et les autres qui en découvrent l’existence ou parfois, la nécessité. Bref, nous attendons des analyses qui s’attaqueraient aux questions – naïves, pour les disciplines dont elles procèderaient - ouvertes par les observations didactiques.
Inversement, mais c’est seulement question de point de vue, les didactiques pointent des problèmes nouveaux en définissant un champ de travail dont l’originalité, entre sociologies et psychologies, individuel et social, avait échappé aux sciences « de l’homme et de la société » parce que les phénomènes didactiques trouvent place dans un type d’institution qui jusqu’il y a peu apparaissait difficilement parmi les œuvres humaines. Ainsi, dans le Traité de Sociologie, au chapitre « œuvres de civilisation », Gurvitch (1963) place les religions, la connaissance, la vie morale, le droit, la criminologie, la psycho-sociologie de l’enfance (article de Piaget) - dans laquelle le problème de « la transmission des notions » occupe deux pages - le langage, l’art, la littérature et il termine par le problème de l’entrecroisement des civilisations avant d’aborder en sociologue la question des faits psychiques. Verret (1976) ne donne pas suite à l’approche majeure de l’enseignement de la philosophie qu’il développe dans sa thèse d’état, Bourdieu s’arrête après avoir démontré le phénomène et le mécanisme
1 On a vu, par les deux exemples des effets que nous nommerons « Topaze » et « Jourdain »,
comment le ridicule est vite rencontré, dans les relations didactiques : ce qui montre leur caractère encore peu « naturel » pour nous, aujourd’hui. Un caractère toujours surfait ou contraint qui tient à la mécanique si particulière, paradoxale, de ces relations où un qui sait perd son temps en montrant à un ignare, qui au mieux devient alors ignorant de ce qu’il va commencer à apprendre.
sociologiques de la reproduction, Passeron (1995, p. ) seul ou presque imagine la dimension spécifique du didactique, entre le psychologique et le social.
Dans l’étude de ce type d’œuvre que sont les systèmes didactiques et de l’activité du professeur en classe, les didacticiens des mathématiques ont emprunté aux théories anthropologiques de la langue (Lafont, 1978) un certain nombre de notions, comme celles de chronogenèse et de topogenèse (Chevallard, 1991). Ils ont adapté ces notions à la description du discours d’enseignement, ils ont ensuite montré qu’elles demeuraient pertinentes dans le cas où ce discours n’appartenait pas en propre au professeur seul et où il en partageait la production avec les élèves organisés en collectif. Une pragmatique didactique se développe ainsi, progressivement (Sensevy et Quilio, 2002) : on montre ici comment certaines interactions langagières permettent aux acteurs des systèmes didactiques de produire le fonds commun des faits des objets et des règles donnés comme milieu de l’étude, qui est bien plus que le référent des conversations non didactiques puisqu’il permet au professeur de poser des problèmes aux élèves. Ces problèmes, les élèves chercheront à les résoudre à partir des actions que le milieu leur permet. La production d’un milieu pour l’action des élèves est donc, selon nous, un phénomène caractéristique du didactique : les gestes d’ostension, et d’indication, réalisent cette production que nous avons nommée la mésogenèse.
C’est ainsi que la présentation d’une figure et la référence explicite au théorème de Pythagore qu’elle a permis peuvent exciter la curiosité d’un lecteur qui se trouve pourtant en ignorer l’usage. Cependant, les explications fournies ont montré qu’il y avait là quelque chose à étudier, relativement au fameux théorème : la figure et les commentaires associés sont donc un moyen de motiver à nouveau l’étude du théorème, en lui donnant un nouvel enjeu. Nous nommons dévolution et institutionnalisation ces gestes d’institution caractéristiques de l’action du professeur. En classe, on observe comment ces deux derniers gestes professionnels dépendent des propriétés du milieu que professeur et élèves ont produit (Sensevy, Mercier, Schubauer-Leoni, 2000). Mais les interprétations didactiques devraient pouvoir être fondées dans un cadre plus vaste, les relations didactiques être décrites aussi comme un type particulier d’interactions, spécifié par son enjeu - la transmission de savoir - et par les propriété de ce savoir. En ce sens, la description du didactique appartient aux sciences humaines et relève de l’anthropologie. Les didacticiens ne pourront conduire seuls ce chantier. Dans le développement des travaux codisciplinaires qu’ils cherchent aujourd’hui à ouvrir, la définition des études anthropologiques à conduire est un des problèmes principaux, ce problème n’appartient ni aux didactiques, ni même à une didactique comparée : les didacticiens comparatistes peuvent seulement poser aux sciences de l’homme la question du didactique et de sa spécificité.
A quels problèmes spécifiques l’enseignant est-il confronté dans son activité professionnelle par la prise en compte de l’activité de l’élève et des interactions entre élèves dans les situations d’apprentissage ? Comment définir et analyser l’expertise enseignante dans ce type de pédagogie ? Quels sont les lieux de difficulté ?
Nous répondrons partiellement à cette troisième question en la traitant sous la forme condensée suivante :
Comment enseigner à partir de l’activité des élèves ?
Les théories didactiques de l’apprentissage ont montré que certains savoirs de haute technicité devaient être appris dans les écoles (Johsua, 1998), soit parce que leur rencontre sur le tas, par frayage avec des professionnels de leur production - des savants - se montrait trop peu
efficace et ne permettait pas l’apprentissage de la grande majorité des personnes d’une classe d’âge, soit parce que leur apprentissage sur le tas, par frayage avec des professionnels de leur emploi - des usagers - ne produisait qu’un rapport routinier à des techniques qu’il s’agissait de penser, pour les faire évoluer.
Pour leur part, certaines théories psychologiques de l’apprentissage ont montré que les fondements de ces mêmes savoirs ne pouvaient se bâtir que par « l’activité personnelle et collective » d’apprenants ayant rencontré personnellement les problèmes qui en fondent le sens. Aussi, scandé depuis plus de trente ans, le mot d’ordre de « la mise activité des élèves » comme préalable à tout enseignement a conduit à transformer profondément l’organisation traditionnelle de l’étude des mathématiques en deux temps (cours/problèmes) puis ses formes modernes (cours/exercices/problèmes et cours/travaux pratiques/exercices selon Assude (2002). Le partage des responsabilités de professeur (exposant la matière à étudier) et d’élève (étudiant celle-ci en la mettant en pratique dans des problèmes) y était explicite et évoluait lentement par l’adjonction d’activités annexes (exercices, travaux dirigés et pratiques, problèmes, etc.) Ce rapport provenait du rejet de la forme aristocratique primitive de maître à disciple, dont nous avons vu un exemple particulièrement net, mais depuis une vingtaine d’années il a été déstabilisé car il a perdu sa légitimité sociale.
Cependant, les discours accompagnant l’évolution actuelle n’ont pas suffi, sur le terrain, à imposer l’activité comme moyen nécessaire et suffisant de l’apprentissage. Nous avons montré (Mercier, 1995a ; 1995b) comment, dans le cas de l’algèbre, une dimension technologique et théorique manquait tandis que d’autres faisaient un constat semblable dans d’autres domaines du savoir mathématique et d’autres disciplines. Il faut en conclure que l’articulation activité/synthèse, qui de nos jours est supposée donner une description suffisante de l’organisation d’un enseignement rénové en proposant deux temps de la construction des savoirs que les élèves ont à réaliser sous la direction d’un professeur, ne produit pas les effets prévus. Le travail de professeur est en effet l’impensé de la description normative officielle de l’enseignement, aujourd’hui exclusivement centrée sur l’élève. Les théories socio-constructivistes de l’apprentissage ne sont pas en cause, mais elles ne sont pas pertinentes dans les situations didactiques, lorsqu’il s’agit de l’étude d’un savoir désigné (Schubauer-Leoni, 2000). La vulgate qu’elles sont devenues est un discours bien pensant, sans pouvoir d’intervention sur le réel.
On proposera donc ici la double hypothèse suivante : « Les techniques d’enseignement nécessaires à la réussite du mot d’ordre manquent. » et « L’ingéniosité des professeurs ne suffit pas à les produire ». On peut s’en convaincre rapidement en observant l’organisation matérielle des ouvrages pour l’enseignement, dont les rubriques varient en se multipliant sans trouver la stabilité qui signe une technique sociale reconnue efficace, devenue traditionnelle. Nous revisiterons donc certains résultats de la Théorie des Situations Didactiques (TSD) développée par Brousseau (1998), afin de mieux cerner le phénomène dont nous sommes témoins. L’épistémologie Bachelardienne propose de décrire la formation des savoirs scientifiques par ce que Bachelard (1967) appelle « la dépsychologisation » du rapport premier aux choses, qui permet l’entrée dans le monde de « la pensée rationnelle ». C’est dans le droit fil de cette idée que s’est développée la TSD. Selon son auteur, la TSD montre expérimentalement comment ce travail peut être conduit par les élèves d’une classe de mathématiques, sous la direction de leur professeur. La TSD permet donc de montrer en pratique comment la production de notations et de concepts peut être le fait des élèves d’une classe de mathématiques, sous la direction de leur professeur, à partir de leur activité préalable. Elle permet aussi de dire les conditions de réalisation de cette pratique et de comprendre pourquoi ces conditions ne sont pas remplies dans le système d’enseignement. Brousseau n’a pas développé cette question, parce qu’il poursuivait d’autres buts. De même, il n’a que fort peu rendu compte des savoirs-faire des enseignants qu’il a observés, ce n’était pas
son objet puisqu’il cherchait à réaliser, avec son équipe, les analyses épistémologiques conduisant à identifier la succession des milieux favorables à la production des savoirs mathématiques que vise l’enseignement élémentaire. Cependant, les enseignements correspondants produits par le COREM2 à « l’Ecole pour l’Observation » Jules Michelet, à Bordeaux, ont été enregistrés et certains de ces enregistrements sont aujourd’hui mis à disposition des chercheurs en éducation, avec le soutien de l’INRP. Nous les reprendrons ici pour centrer l’attention sur la dialectique de la formulation, un moment clé de la dépsychologisation des rapports premiers aux objets de l’activité et de l’entrée dans la pensée rationnelle, passant rapidement sur les conditions mathématiques de réalisation pour insister sur les conditions didactiques.
Les observations qui appuieront notre observation, réalisées dans les années 80, sont le produit d’une ingénierie didactique mais en reprenant l’analyse de ces enregistrements selon les techniques que nous avons développées pour l’abord des classes ordinaires, nous observons, vingt ans après, comment le professeur de ces classes enseigne. C’est déterminant pour comprendre la faible reproductibilité des situations produites par ingénierie expérimentale et, dans un second temps, pour améliorer la robustesse des moyens d’enseignement ordinaires : les conditions épistémologiques et didactiques de la dialectique de la formulation sont rares, mais il faut, nous le verrons, que se cette dialectique puisse se développer pour que les élèves apprennent à partir d’une activité.
Matériau analysé
Nous rendrons compte du début de l’enseignement des nombres rationnels et plus précisément de l’invention, par les élèves, d’un moyen de désigner des grandeurs très inférieures à l’unité comme l’épaisseur d’une feuille de papier (très inférieure au millimètre, dont la mesure nécessite déjà une règle à coulisse), la masse d’un clou (très inférieure au gramme, limite de sensibilité de la balance Roberval), la contenance d’un dé à coudre, etc. On considère en effet ici que faire des mathématiques c’est non seulement « construire un concept » dans un mouvement psychologique mais d’abord et surtout produire une notation et ses usages, pour rendre compte d’une pratique et lui substituer celle de la notation. Cela suppose bien sûr de construire et définir le concept associé, dans un mouvement qui permet de réguler l’emploi de la notation. Mais c’est là le mouvement d’une troisième dialectique de l’étude, après l’action et la validation.
Lorsqu’il s’agit de voir s’il est possible que les élèves s’engagent dans un tel processus, le travail conduit pour imaginer et réaliser une situation artificielle conduisant en principe les élèves à inventer les mathématiques attendues relève de l’ingénierie didactique. Mais pour nous qui visitons à nouveau le travail, il s’agit de comprendre ce que doit faire le professeur, pendant la séance. Cela ne relève plus seulement d’une analyse épistémologique de la situation (Mercier et Salin, 1988) : il nous faut en comprendre les principes didactiques de fonctionnement parce que cela a des effets différentiels sur les élèves (Mercier, Sensevy, Schubauer-Leoni, 2000). J’appuierai cette analyse sur le modèle didactique de l’action du
2 Le Centre pour l’Observation la Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques, le COREM, est
associé à l’Ecole pour l’observation Jules Michelet, à Talence. Ses fonds, qui sont en voie d’être sauvegardés et numérisés, sont mis à disposition de la recherche en didactique des mathématiques et en éducation, sous le contrôle du GICACOM, association 1901 des personnes ayant participé à leur production, par le DAEST (laboratoire de Didactique et Anthropologie de l’Enseignement des Sciences et des Techniques) de l’Université Bordeaux II, avec le soutien de l’INRP. L’Ecole Michelet étant institution pour l’observation, même dans le cas où un enregistrement concerne un enseignement « non préparé dans le cadre d’une recherche » nous disposons de la collection des travaux de chaque élève, des fiches de préparation du professeur, des évaluations et même, souvent, de l’évaluation de la séance par le professeur d’essai, les collègues avec qui il partage la classe et des chercheurs du COREM.
professeur (Sensevy, Mercier, Schubauer-Leoni, 2000) dont les conditions d’usage commencent à être stabilisées (Mercier et al., 2002), ( Sensevy et al., 2005).
Les deux premières séances enregistrées font partie d’un enseignement expérimental qui a été reproduit pendant plus de dix ans, par deux professeurs successifs. Le scénario minuté de l’ensemble de cinquante à soixante séances est publié (Brousseau G et N, 1987) : je n’y reviens donc que pour une description brève. On demande, à des élèves qui ont l’expérience des questions de mesure des grandeurs depuis plus d’un an (Brousseau N et G, 1995) et qui ont utilisé une « règle pour mesurer des épaisseurs » (un pied à coulisse), de chercher à mesurer l’épaisseur de feuilles de papier ou plutôt, de « trouver un moyen pour désigner cette épaisseur de manière à distinguer entre elles des feuilles d’épaisseur différente ». L’opération première sur les grandeurs est en effet le classement d’objets selon une de leurs grandeurs, et le classement est une des propriétés qui permet de valider toute opération de mesure : mesurer une grandeur portée par des objets consiste à attribuer aux objets un nombre compatible d’abord avec l’ordre3, puis l’additivité4 des grandeurs, etc. (Lebesgue, 1935). Les désignations inventées par les élèves seront donc mises à l’épreuve de situations de classement, d’addition, etc. Les notations que les élèves doivent ici construire5 sont les fractions. Il y faudra plusieurs semaines et la réponse sera donc l’ensemble des nombres rationnels puis, l’ensemble des décimaux lorsque les élèves chercheront un ensemble de nombres de maniement est plus aisé (Freudenthal, 1968).
La dialectique de la formulation
Elle correspond à la nécessité, pour les élèves, de confronter leurs tentatives de solution et, pour le professeur, de gérer des solutions qui peuvent sembler contradictoires. Elle est supposée nommer le problème d’enseignement suivant : comment assurer le passage de l’activité à la synthèse ? C’est un problème de l’enseignement ordinaire (Mercier et al., 2001 ; Matheron, Salin, 2002 ; Chevallard, 1991) qui fait toujours problème pour des maîtres formateurs expérimentés (Sensevy et al., 2005). La dialectique de formulation se conduit ici en deux temps : dans leur activité initiale en effet, les élèves ont été conduits à proposer des désignations diverses de l’épaisseur, la plupart ont choisi de mesurer l’épaisseur de plusieurs feuilles ensemble (de six à trente), de manière à obtenir un paquet d’épaisseur mesurable (un à quatre millimètres) ; tous n’ont pas choisi les mêmes paramètres Dans ce moment, le professeur peut intervenir en accompagnant de l’activité, comme personne d’expérience engageant les élèves à aller plus loin, à faire preuve d’audace dans l’attaque du problème. Les élèves ont travaillé par équipes de quatre ou cinq et dans un premier temps ils vont tester l’efficacité de leurs choix dans un jeu de communication, que le professeur organise : une partie de chaque équipe rédige, en notant l’épaisseur, un message devant désigner une catégorie de papier aux autres membres, et réciproquement. Par exemple, deux élèves de l’équipe 1 choisissent de désigner le papier de type A en écrivant « huit feuilles font un millimètre et demi. », l’équipe échoue parce que les élèves de l’équipe en position de récepteurs trouvent que neuf feuilles du papier A font trois millimètres et que c’est incompatible avec le message : ils choisiront le papier B. Comme on le voit, les élèves ne communiquent pas des informations mais des résultats, avec des notations qu’ils pensent efficaces.
3 Les mesures doivent avoir le même ordre que les objets classés selon leur grandeur.
4 On doit savoir réaliser la réunion de deux objets A et B en un objet unique C, dans une construction
où les grandeurs respectives de A et B s’ajoutent. La mesure de la grandeur de C doit être la somme des mesures des grandeurs de A et de B.
5 Je dis construire c’est-à-dire produire par soi-même plutôt que inventer, qui suppose la découverte
de quelque chose de caché mais préexistant. Un moment viendra où les élèves devront savoir explicitement que leur construction correspond aux fractions, un objet mathématique connu depuis longtemps : le professeur est d’ailleurs là pour garantir la conformité sociale de leur travail.
C’est seulement lors de la deuxième séance de travail que les élèves vont valider ou invalider leurs choix en confrontant les diverses notations d’un même papier pour en étudier la cohérence, dans une dialectique de validation. Par exemple, une élève fera remarquer que si cinq feuilles du papier D font un demi millimètre, il est normal de trouver aussi que vingt-sept feuilles de ce papier mesurent trois millimètres « Parce que vingt-sept c’est presque trente qui est six fois cinq et que trois, c’est six fois un demi. »
Ce travail institue comme des objets mathématiques nouveaux les notations inventées par les élèves. On montrera donc que ces objets ont presque toutes les propriétés des nombres entiers : plus tard on les appellera en effet « les nombres rationnels. » Mais il y faut une activité d’enseignement fortement structurée par un professeur capable d’analyser au fur et à mesure le point où sont les élèves, pour leur renvoyer au moment opportun des questions relatives aux notations qu’ils utilisent sans les avoir encore validées (Fluckiger et Mercier, 2002). Ainsi, la synthèse n’est pas « ce que le professeur dit qu’il fallait regarder, dans l’activité » mais ce que le travail commun a produit. C’est du savoir mathématique et même s’il n’est pas encore stabilisé, ce savoir permet de résoudre un problème, rencontré dans le cadre d’une activité fondatrice.
Les élèves et le professeur en son ici aux prémisses d’un processus qui se développera tout au long d’une année scolaire et conduira les élèves à explorer ces objets nouveaux, pour produire les nombres rationnels puis les remplacer par un système plus simple qui permet d’approcher tous les rationnels : les nombres décimaux.
Conclusion
Nous avons donc montré qu’une certaine manière d’organiser les interactions en classe et de faire parler les élèves permet d’enseigner des savoirs ayant des propriétés épistémologiques garanties et que leur apprentissage nécessite ces manières d’étudier si particulières que décrivent « une dialectique de la formulation » et « une dialectique de validation » au cours desquelles les élèves parlent des représentations par lesquelles ils ont tenté de répondre à un problème, pour produire le savoir qu’ils avaient à étudier et apprendre. Mais comment assurer que ces dialectiques auront matière à se développer ? Il faudrait à cet effet que le professeur puisse rendre compte de l’épistémologie du savoir que son enseignement permet d’apprendre et pour cela, qu’il puisse rendre compte de la manière dont il organise l’étude en nommant les grandes techniques d’enseignement qu’il met en œuvre comme les moyens de rendre l’apprentissage possible. Cela mettrait à sa disposition un moyen de réguler ses stratégies.
Observer et décrire une activité humaine particulière (technique ou non) suppose toujours que cette activité soit située dans la société et dans les institutions où elle existe : isolée, l’activité que l’on exhibe dans le but d’en faire un objet d’observation perd ce qui faisait l’intérêt de son étude. Il est nécessaire que toute analyse en reconstruise le projet (le problème que l’activité résout) et les conditions de réalisation (la situation qui lui donne lieu). Ces deux dimensions en font le sens (un sens « objectif », effectif du point de vue d’un observateur). Pour nous, le sens objectif d’une activité est produit par l’analyse de ce que nous appelons la situation où il vit, une situation qui le caractérise donc. Dans le cas des activités didactiques c’est-à-dire de l’enseignement et de l’apprentissage, l‘analyse des situations est d’abord épistémologique, puisque le savoir (enseigné et appris) en est toujours l’enjeu.
Car la transposition didactique transforme profondément les œuvres qu’une société trouve dignes d’être étudiées par les générations nouvelles. Pour la société, le plus souvent, dans sa part intéressée aux questions d’enseignement, les œuvres à étudier sont encore des oeuvres vivantes. Mais à peine sont elles introduites à l’école, les oeuvres étudiées deviennent des monuments de savoirs morts, organisés en disciplines. Le savoir est séparé d’avec les œuvres parce que la manière dont il est étudié conduit non seulement à omettre les problèmes qui ont
nécessité l’œuvre qu’il représente, mais encore à omettre les questions que les élèves rencontrent en l’étudiant (Mercier, 2002). C’est un phénomène qui rend presque impossible la réalisation d’une des fonctions essentielles de l’école fondamentale : acculturer les petits d’homme au système des objets communs aux pratiques du groupe social qui les a mis au monde (leur société) puis, naturaliser les rapports au monde de leur groupe nouveau (d’abord, leur classe) par l’automatisation des rapports à ces objets. En mathématiques ces objets sont par exemple le calendrier, la montre, le système monétaire, le système numérique décimal, l’argumentation contre toute défense, les fractions, les triangles, les pourcentages, etc., pour ne prendre que des œuvres correspondant à des savoirs relevant de l’école élémentaire ou du collège. Notre enjeu est donc, au cas par cas, la compréhension des systèmes de décisions d’enseignement des professeurs, dont l’extrême variété observable produit presque invariablement les phénomènes transpositifs qui devaient être évités. Cette compréhension est fondée sur l’observation de ce que les élèves font et de ce qu’ils disent en rapport à ce qu’il font. Mais développer ce point nous engagerait bien au delà de notre question initiale.
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