Amostragem por distâncias: efeito da distribuição espacial e adaptação para terrenos montanhosos

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Universidade de ´ Evora

Doutoramento em Matem ´atica

Amostragem por dist ˆancias:

efeito da distribuiç ão espacial e adaptaç ão para terrenos

montanhosos

Anabela Cristina Cavaco Ferreira Afonso

Orientador: Prof. Doutor Russell Gerardo Alpizar-Jara (Professor Associado)

Evora, 2009´

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Ao meu filhote Gonc¸alo, ao Miguel e aos meus pais.

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Resumo

Este trabalho tem como principal objectivo contribuir para a resoluç ão de alguns problemas pr áticos que os bi ólogos encontram quando aplicam a t écnica de amostragem por dist âncias a populaç ões raras, de dif´ıcil detecç ão, ou em terrenos montanhosos.

Deste modo, numa primeira fase efectua-se, por m étodos de simulaç ão, uma avaliaç ão da metodologia convencional com populaç ões que apresentam distribuiç ões espaciais n ão homog éneas, ou com tend ência para formar aglomerados. Simultaneamente é avaliado o desempenho dos estimadores habituais da vari ância da dimens ão da amostra, na expectativa de obter alguma indicaç ão sobre em que situaç ões se deve optar por cada um dos estimadores.

Numa segunda fase verificou-se que os estimadores convencionais da amostragem por transectos lineares, para a probabilidade de detecç ão, abund ância de animais na área observada e densidade, n ão s ão robustos ao relevo do terreno, podendo apresentar enviesamentos severos e uma grande variabilidade. Face a esta evid ência, desenvolveram-se novos estimadores para os par âmetros em causa.

Finalmente, s ão propostos delineamentos de amostragem adaptativos que combinam os transectos lineares com os pontuais, que se pensam ser de grande utilidade em terrenos dif´ıceis, como s ão os montanhosos, onde o observador tem de cobrir uma vasta regi ão por via terrestre, mas cuja acessibilidade é dif´ıcil. Nestes delineamentos sugere-se a realizaç ão de transectos pontuais nas zonas com maior densidade populacional. É habitual na amostragem em terrenos de montanha, os bi ólogos pararem para registarem as detecç ões efectuadas e tentarem aumen- tar a dimens ão das suas amostras, embora tal n ão seja considerado na fase de estimaç ão. As ideias aqui desenvolvidas pretendem tamb ém dar resposta a este tipo de situaç ões.

Palavras chave: estimaç ão de populaç ões animais, amostragem por dist âncias, transectos lineares, transectos pontuais, amostragem adaptativa.

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Abstract

The main objective of this research is to tackle some of the practical problems that biologists face when applying the distance sampling methodology to populations that are rare, difficult to detect, or in mountainous terrain.

First, a comprehensive simulation study is carried out to assess the conventional distance sampling methodology under populations that are non-homogeneous distributed, or have a ten- dency to form clusters. The performance of conventional sample size variance estimators is also evaluated in order to have an indication of which estimators to choose under different scenarios.

Secondly, the findings of this research show that conventional line-transect sampling estimators for the detection probability, abundance in the sampled area and density, are not robust to the topography of the land and may be severely biased and high variable. Given this evidence, new estimators are developed for these parameters.

Finally, new adaptive sampling designs are proposed. They involve a combination of line transects and point transects where points are allocated to the areas of high density. These designs are especially useful for difficult terrains, such as mountainous, where the observer has to cover a vast area of land of difficult accessibility. In mountain terrains, biologists usually stop along a transect to register more detections and to increase sample sizes. However, this protocol is generally not considered for estimation purposes. Some of the ideas proposed in this thesis are also intended to respond to such situations.

Keywords: estimation of biological populations, distance sampling, line transect, point transect, adaptive sampling.

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Agradecimentos

Ao Professor Doutor Russell Alpizar-Jara, pela disponibilidade, est´ımulo e dedicaç ão demon- strados durante a realizaç ão deste trabalho, pois a sua orientaç ão e amizade foram deveras importantes.

Ao Departamento de Matem ática e ao CIMA que me proporcionaram condiç ões para a reali- zaç ão desta tese.

Ao Professor Doutor Jes ús P érez, da Universidade de Ja én, por fomentar o desenvolvimento das minhas ideias, ter proporcionado uma visita de estudo à Serra Nevada, para conhecer melhor as dificuldades sentidas no terreno, e a toda a sua fam´ılia pela hospitalidade.

Ao Professor Doutor Andrew Grieve, King’s College London, pela importante partilha de con- hecimentos.

A todos os meus amigos e colegas pelo companheirismo, apoio, amizade e incentivo, à Carla Nunes tamb ém pela leitura e sugest ões que permitiram melhorar este documento e à Ana Filipa pelos esclarecimentos na área da topografia.

Aos meus pais por toda a dedicac¸ ˜ao, carinho e o apoio prestado nesta fase da vida.

Ao Miguel e ao Gonçalo pelo amor, carinho e muita paci ência nas minhas faltas de atenç ão e aus ências.

Aos membros do j úri pelos seus coment ários e sugest ões que permitiram melhorar a leitura deste documento.

A todos o meu sincero muito obrigado.

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Conte ´udo

Resumo i

Abstract ii

Agradecimentos iii

Lista de abreviaturas e de s´ımbolos xvii

1 Introduc¸ ˜ao 1

1.1 Objectivos . . . 4

1.2 Estrutura do trabalho . . . 6

2 Alguns conceitos fundamentais 7 2.1 Introduc¸ ˜ao . . . 7

2.2 Amostragem com probabilidades desiguais . . . 8

2.2.1 Estimadores Hansen-Hurwitz . . . 8

2.2.2 Estimadores Horvitz-Thompson . . . 9

2.3 Amostragem por dist ˆancias . . . 10

2.3.1 Pressupostos . . . 14

2.3.2 Transectos lineares . . . 15

2.3.3 Transectos pontuais . . . 16

2.3.4 Estimaç ão da probabilidade de detecç ão . . . 17

2.3.5 Propriedades do estimador da abund ˆancia ou densidade . . . 18

2.4 Modelos espaciais de amostragem por dist ˆancias . . . 21

2.5 Modelos adaptativos de amostragem por dist ˆancias . . . 22

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3 Influ ência da distribuiç ão espacial na amostragem por dist âncias convencional 25

3.1 Introduc¸ ˜ao . . . 25

3.2 Abordagens . . . 27

3.3 Simulac¸ ˜oes . . . 28

3.3.1 Populac¸ ˜oes geradas . . . 28

3.3.2 Funç ão de detecç ão . . . 30

3.3.3 Disposic¸ ˜ao dos transectos . . . 31

3.3.4 Estimaç ão da vari ância do tamanho da amostra . . . 34

3.3.5 Resultados . . . 35

3.4 Conclus ˜ao . . . 50

4 Amostragem por transectos lineares em montanha 51 4.1 Introduc¸ ˜ao . . . 51

4.2 Condicionantes `a amostragem por dist ˆancias . . . 52

4.3 Areas em montanha . . . .´ 54

4.4 Estimac¸ ˜ao da densidade . . . 55

4.4.1 Estimador convencional . . . 55

4.4.2 Combinaç ão de distribuiç ões uniformes . . . 57

4.4.3 Correcç ão da probabilidade de detecç ão . . . 59

4.5 Simulac¸ ˜ao . . . 62

4.5.1 Cen ´arios considerados . . . 62

4.5.2 Funç ão densidade de probabilidade das dist âncias . . . 63

4.5.3 Funç ão de detecç ão . . . 65

4.5.4 Resultados . . . 67

4.6 Conclus ˜ao . . . 71

5 Combinaç ão de transectos lineares com pontuais de forma adaptativa 73 5.1 Introduç ão . . . 73

5.2 Delineamentos adaptativos . . . 74

5.3 Transectos lineares e pontuais n ˜ao sobrepostos . . . 77

5.4 Transectos lineares e pontuais sobrepostos . . . 79

5.5 Conclus ˜ao . . . 80

6 Conclus ˜ao 81

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Bibliografia 83

Anexos 91

A Resultados das simulac¸ ˜oes do cap´ıtulo 3 91

B Resultados das simulac¸ ˜oes do cap´ıtulo 4 97

C C ´odigo R 105

C.1 Simulaç ão das localizaç ões . . . 105

C.1.1 Processo pontual de Poisson homog ´eneo . . . 105

C.1.2 Processo pontual de Poisson n ˜ao homog ´eneo . . . 105

C.1.3 Processo pontual de Poisson agrupado . . . 107

C.1.4 Processo pontual inibidor . . . 108

C.2 Estimadores propostos no cap´ıtulo 4 . . . 109

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Lista de Tabelas

3.1 Enviesamento,Env( ˆN), e coeficiente de variaç ão,CV( ˆN), percentuais da abun- d ância estimada obtidos com a abordagem 1 (populaç ão fixa) para uma populaç ão comN = 510, com 10000 simulaç ões,θ= 0,01,w= 0,0195e com os transectos lineares (TL) posicionados horizontalmente de forma: A) aleat ória, A ns) aleat ória sem sobreposiç ão e S) sistem ática. . . 39 3.2 Enviesamento,Env( ˆN), e coeficiente de variaç ão,CV( ˆN), percentuais da abun-

d ância estimada obtidos para populaç ões aleat órias com as abordagens 2 (N = 510) e 3 (E[N] = 510), com 10000 simulaç ões,θ = 0,01, w = 0,0195e os transectos lineares (TL) fixos posicionados horizontalmente com espaçamento: A) desigual e sem sobreposiç ão e S) igual. . . 40 3.3 Enviesamento,Env( ˆN), e coeficiente de variaç ão,CV( ˆN), percentuais da abun-

d ância estimada obtidos com a abordagem 1 (populaç ão fixa) para uma populaç ão comN = 510, com 10000 simulaç ões,θ= 0,01,w= 0,0215e com os transectos pontuais (TP) posicionados de forma: A) aleat ória e S) sistem ática. . . 41 3.4 Enviesamento,Env( ˆN), e coeficiente de variaç ão,CV( ˆN), percentuais da abun-

d ância estimada obtidos para populaç ões aleat órias com as abordagens 2 (N = 510) e 3 (E[N] = 510), com 10000 simulaç ões,θ= 0,01,w= 0,0215e os transectos pontuais (TP) fixos posicionados com espaçamento: A) desigual e S) igual. . 42 4.1 Proporç ão devalorespsuperiores a 0,05 obtidos com teste de Kolmogorov-Smirnov

no ajustamento das dist âncias à distribuiç ão Uniforme por cen ário, tipo de dist ância, n úmero de transectos lineares aleat órios nas 10000 simulaç ões. . . 65 4.2 Dist âncias inclinadas de truncatura, w_r, e valor do par âmetro θconsiderados na

funç ão detecç ãog(r) =exp(−r²/(2θ²),0≤r≤wr, e a probabilidade de detecç ão, Pa_r. . . 67

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A.1 Resultados obtidos para a amostragem por transectos lineares (TL) horizontais (H) ou verticais (V), com as abordagens 1, 2 e 3, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão comN = 510,θ = 0,01,w= 0,0195e com o posicionamento A) aleat ório, A ns) aleat ório sem sobreposiç ão e S) sistem ático. . . 92

A.2 Resultados obtidos para a amostragem por transectos pontuais (TP), com as abordagens 1, 2 e 3, 10000 simulaç ões, para uma populaç ão comN = 510,θ= 0,01, w= 0,0215e com o posicionamento A) aleat ório, S) sistem ático, S AL) sistem ático em coluna e aleat ório em linha e S AC) sistem ático em linha e aleat ório em coluna. 95

B.1 Resultados obtidos para a amostragem por transectos lineares (TL), posicionados de forma aleat ória, por cen ário montanhoso, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão com N = 510e considerando a probabilidade de detecç ão conhecida Pa = 0,61. (¯a: m édia da área coberta projectada no plano. Índicet5%: resultados obtidos ap ós a exclus ão de 5% das dist âncias mais elevadas.) . . . 98

B.2 Estat´ısticas sum árias dosvalores pobtidos, com 10000 simulaç ões, com teste de Kolmogorov-Smirnov ao ajustamento das dist âncias à distribuiç ão Uniforme por cen ário, tipo de dist ância e n úmero de transectos lineares aleat órios. (Pi: percentil de ordemi,i= 10,25,50,75e90) . . . 99

B.3 (a) Probabilidade de detecç ão estimada, e respectivos (b) coeficiente de variaç ão (CV) e (c) erro quadr ático m édio (EQM), com a amostragem por transectos lineares (TL), posicionados de forma aleat ória, por cen ário montanhoso, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão com N = 510e considerando a probabilidade de detecç ão conhecida,Pa = 0,61. (Pâ: estimador convencional,Pˆã_c,i= 1, ...,5:

estimadores propostos. Índicet5%: exclus ão de 5% das dist âncias mais elevadas;

´ındicec: inclus ão da covari ável diferença de n´ıvel entre o transecto linear e o animal detectado.) . . . 100

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B.4 (a)Abund ância estimada na área de amostrada, e respectivos (b) coeficiente de variaç ão (CV) e (c) erro quadr ático m édio (EQM), com a amostragem por transectos lineares (TL), posicionados de forma aleat ória, por cen ário montanhoso, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão com N = 510e considerando a probabilidade de detecç ão conhecida, Pa = 0,61. (Nˆc: estimador convencional eN˜c_i, i = 1, ...,5: estimadores propostos. Índice t5%: exclus ão de 5% das dist âncias mais elevadas; ´ındicec: inclus ão da covari ável diferença de n´ıvel entre o transecto linear e o animal detectado.) . . . 101 B.5 Densidade estimada, com a amostragem por transectos lineares (TL), posiciona-

dos de forma aleat ória, por cen ário montanhoso, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão comN = 510e considerando a probabilidade de detecç ão conhecida, Pa = 0,61. (D: estimador convencional eˆ D˜i, i = 1, ...,5,1b, ...,5b: estimadores propostos. Índicet5%: exclus ão de 5% das dist âncias mais elevadas; ´ındicec: inclus ão da covari ável diferença de n´ıvel entre o transecto linear e o animal detectado.)102 B.6 Coeficiente de variaç ão associado à densidade estimada, com a amostragem por

transectos lineares (TL), posicionados de forma aleat ória, por cen ário montanhoso, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão comN = 510e considerando a probabilidade de detecç ão conhecida, Pa = 0,61. (D: estimador convencional eˆ D˜i, i = 1, ...,5,1b, ...,5b: estimadores propostos. Índice t5%: exclus ão de 5% das dist âncias mais elevadas; ´ındicec: inclus ão da covari ável diferença de n´ıvel entre o transecto linear e o animal detectado.) . . . 103 B.7 Erro quadr ático m édio (√

EQM) associado à densidade estimada, com a amostragem por transectos lineares (TL), posicionados de forma aleat ória, por cen ário montanhoso, com 10000 simulaç ões, para uma populaç ão comN = 510e considerando a probabilidade de detecç ão conhecida,Pa = 0,61. (D: estimador convencional eˆ D˜i,i= 1, ...,5,1b, ...,5b: estimadores propostos. Índicet5%: exclus ão de 5% das dist âncias mais elevadas; ´ındicec: inclus ão da covari ável diferença de n´ıvel entre o transecto linear e o animal detectado.) . . . 104

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Lista de Figuras

2.1 Exemplificaç ão da amostragem com 1 transecto linear numa regi ão de estudo. Os pontos representam os animais existentes nessa regi ão. O observador percorre uma linha (a tracejado) observando a área rectangular a sombreado com largura 2w. Os animais detectados est ão identificados com a dist ância perpendiculary medida. . . 10 2.2 Exemplificaç ão da amostragem com 1 transecto pontual numa regi ão de estudo.

Os pontos representam os animais existentes nessa regi ão. O observador permanece durante um certo per´ıodo de tempo num local (centro do c´ırculo) observando a área circular a sombreado com raio w. Os animais detectados est ão identificados com a dist ância radialrmedida. . . 11 2.3 Dist âncias e ângulos medidos numa amostragem por dist âncias, onde o asterisco

representa a localizaç ão inicial do animal detectado: dist ância radial,r, entre o ob- servador e o animal detectado; ângulo,β, de avistamento formado entre o animal detectado e o transecto linear; e a dist ância perpendicular,y. . . . 11 2.4 Transectos lineares adaptativos com esforço fixo. Os pontos representam os an-

imais existentes nessa regi ˜ao. O observador percorre uma linha em ziguezague.

Os animais detectados est ˜ao identificados com a dist ˆancia perpendicularymedida. 24

3.1 Os pontos representam as localizaç ões dos indiv´ıduos das populaç ões geradas para a abordagem 1. . . 30 3.2 Exemplificaç ão do posicionamento horizontal (H) aleat ório e vertical (V) sistem á-

tico, e horizontal (H) sistem ´atico e vertical (V) aleat ´orio dos transectos pontuais, representados pelos c´ırculos encarnados. . . 31

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3.3 Transectos pontuais (TP), representados pelos c´ırculos encarnados, considerados nas abordagens 2 e 3 com o espaçamento desigual (“aleat ório”) ou igual (“sistem ático”) entre transectos. . . 32 3.4 Transectos lineares (TL), representados pelas linhas encarnadas, considerados

nas abordagens 2 e 3 com o espaçamento desigual (“aleat ório”) ou igual (“sistem ático”) entre transectos e orientaç ão horizontal ou vertical. . . 33 3.5 Diagramas de caixas e bigodes da abund ância estimada,Nˆ, obtida com as aborda-

gens 1 (transectos aleat órios), 2 (transectos fixos, populaç ão aleat ória eN = 510) e 3 (transectos fixos, populaç ão aleat ória eE[N] = 510), 10000 simulaç ões,θ= 0,01, w= 0,0195e os transectos lineares (TL) posicionados horizontalmente (H) ou ver- ticalmente (V) de forma: A) aleat ória, A ns) aleat ória sem sobreposiç ão e S) sistem ática. A linha horizontal a tracejado indica a dimens ão, ou dimens ão m édia, da populaç ão e os pontos encarnados a dimens ão m édia estimada. . . 37 3.6 Diagramas de caixas e bigodes da abund ância estimada,Nˆ, com as abordagens

1 (transectos aleat órios), 2 (transectos fixos, populaç ão aleat ória e N= 510) e 3 (transectos fixos, populaç ão aleat ória e E[N] = 510), 10000 simulaç ões, θ = 0,01,w= 0,0215e os transectos pontuais (TP) posicionados de forma A) aleat ória, S) sistem ática, SAL) sistematicamente em coluna e aleatoriamente em linha e SAC) sistematicamente em linha e aleatoriamente em coluna. A linha horizontal a tracejado indica a dimens ão, ou dimens ão m édia, da populaç ão e os pontos encarnados a dimens ão m édia estimada. . . 43 3.7 Gr áfico de barras do

√EQM[ ˆd N]por ´area coberta para a amostragem por transec-

tos lineares horizontais (TL) e pontuais (TP), com as abordagens 1 (populaç ões fixas), 2 (transectos fixos, populaç ão aleat ória e N = 510) e 3 (transectos fixos, populaç ão aleat ória eE[N] = 510), os transectos posicionados de forma a) aleat ória, S) sistem ática e com 10000 simulaç ões. . . 46 3.8 Gr áfico de barras dos quocientes, entreV ar[n]eE[n]ˆ e entreV ar[n]eV ar[n], obti-d

dos para a amostragem por transectos lineares, com as abordagens 1 (transectos aleat órios), 2 (transectos fixos e populaç ão aleat ória e N = 510) e 3 (transectos fixos, populaç ão aleat ória eE[N] = 510), com 10000 simulaç ões e os transectos posicionados de forma A) aleat ória ou S) sistem ática. . . 48

(19)

3.9 Gr áfico de barras dos quocientes, entreV ar[n]eE[n]ˆ e entreV ar[n]eV ar[n], obti-d dos para a amostragem por transectos pontuais, com as abordagens 1 (transectos aleat órios), 2 (transectos fixos, populaç ão aleat ória e N = 510) e 3 (transectos fixos, populaç ão aleat ória eE[N] = 510), com 10000 simulaç ões e os transectos posicionados de forma A) aleat ória ou S) sistem ática. . . 49

4.1 Dist ância horizontal ou perpendicular projectada,y, dist ância inclinada ou real,r, dist ância topogr áfica, t, a diferença de n´ıvel, x, entre o observador e o animal detectado e o ângulo,α, formado entre o n´ıvel do observador e o do animal detec- tado. . . 53 4.2 Superf´ıcies montanhosas descritas por funç ões n ão lineares em u. Os pontos

representam os animais existentes nessa regi ão. O observador percorre uma linha (a tracejado) observando a área compreendida entre as duas linhas vermelhas. . 57 4.3 Tr ês transectos lineares com dist âncias de truncatura,w, diferentes. . . . 58 4.4 Representaç ão gr áfica da funç ão resultante da sobreposiç ão de v árias distribuiç ões

uniformes. . . 59 4.5 Angulo de inclinaç ão, dist ância inclinada de truncatura,ˆ wr, e sua projecç ão no

plano horizontal. Devido à assimetria do terreno, à dist ância inclinada w_r est ão associadas duas dist âncias perpendiculares de truncatura,w1ew2. . . 61 4.6 Cen ários montanhosos simulados, com a exemplificaç ão do posicionamento de 5

transectos lineares aleat ´orios sobre as curvas de n´ıvel. . . 63 4.7 Histograma das dist ˆancias perpendiculares projectadas,y, e inclinadas,r, aos ani-

mais na área coberta, por cen ário e n úmero de transectos lineares (TL) posicionados aleatoriamente. . . 64 4.8 Histograma das dist âncias detectadas perpendiculares projectas,y, e inclinadas,

r, por cen ário e n úmero de transectos lineares (TL) posicionados aleatoriamente (A). 66 4.9 Comparaç ão da probabilidade de detecç ão estimada, abund ância estimada na

área de estudo e densidade estimada, dos estimadores convencionais com os estimadores propostos, para o cen ário com 2 declives diferentes. As linhas encarnadas horizontais indicam os valores populacionais e os pontos encarnados as m édias amostrais. . . 68

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4.10 Comparaç ão da probabilidade de detecç ão estimada, abund ância estimada na

área de estudo e densidade estimada, dos estimadores convencionais com os estimadores propostos, para o cen ário com v ários declives. As linhas encarnadas horizontais indicam os valores populacionais e os pontos encarnados as m édias amostrais. . . 69 5.1 Combinaç ão adaptativa de transectos lineares com pontuais deslocados. . . 74 5.2 Combinaç ão adaptativa de transectos lineares com pontuais dispostos sobre o

transecto linear. . . 75 5.3 Combinac¸ ˜ao adaptativa de transectos lineares com pontuais dispostos sobre o

transecto linear sem sobreposiç ão. . . 75 5.4 Combinaç ão adaptativa de transectos lineares com semi-pontuais dispostos sobre

o transecto linear sem sobreposic¸ ˜ao. . . 76

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Lista de abreviaturas e de s´ımbolos

Ao longo deste trabalho utilizar-se- ˜ao as seguintes abreviaturas:

AIC Crit ério de informaç ão de Akaike.

CV Coeficiente de variac¸ ˜ao.

CVd Estimador ou estimativa do coeficiente de variac¸ ˜ao.

EMV Estimador de m ´axima verosimilhanc¸a.

Env Enviesamento.

EQM Erro quadr ´atico m ´edio.

EQMd Estimador ou estimativa do erro quadr ´atico m ´edio.

f.d.p. Func¸ ˜ao densidade de probabilidade.

L Funç ão de verosimilhança.

TL Transectos lineares.

TP Transectos pontuais.

v.a. Vari ´avel aleat ´oria.

Ser ˜ao ainda utilizados os seguintes s´ımbolos:

A Area de estudo.´

a Area amostrada que ser á designada por área coberta.´ D Densidade de animais na área de estudo.

Dˆ Estimador ou estimativa da densidade de animais na ´area de estudo.

D(u, v) Densidade de animais na localizac¸ ˜ao(u, v).

d Dist ância percorrida ao longo do transecto linear entre detecç ões.

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f(x) f.d.p. das dist ˆancias detectadas.

g(x) Funç ão de detecç ão, i.e., a probabilidade de detectar um animal dado que est á à dist ânciaxda linha ou ponto.

K N ´umero total de pontos observados.

L Comprimento total dos transectos observados.

l Comprimento de um transecto linear.

N Abund ˆancia de animais na ´area de estudo, ondeN =D×A.

Nˆ Estimador ou estimativa da abund ˆancia de animais na ´area de estudo.

n Dimens ão da amostra ou seja o n úmero de animais detectados na área cobertaa.

N_c Abund ˆancia de animais na ´area cobertaa.

Nˆ_c Estimador ou estimativa da abund ˆancia de animais na ´area cobertaa.

Pa Probabilidade de detecç ão, ou seja a probabilidade de detectar um animal dado que est á na área coberta.

Pˆ_a Estimador convencional ou estimativa da probabilidade de detecc¸ ˜ao.

Pc Probabilidade de cobertura, i.e., a probabilidade de um animal estar na área coberta dado que est á na área de estudo.

r Dist ˆancia radial ou inclinada (Cap´ıtulo 4).

s Desvio-padr ˜ao emp´ırico.

t Dist ˆancia topogr ´afica.

w Dist ância de truncatura, i.e., a dist ância m áxima considerada at é à qual se observaram animais.

x Dist ância gen érica ou diferença de n´ıvel entre a localizaç ão do observador e o animal detectado (Cap´ıtulo 4).

xi i- ´esima dist ˆancia.

x_i:n i- ésima dist ância na amostra ordenada de dimens ãon.

y Dist ˆancia perpendicular.

Z Vector de covari ´aveis.

α Angulo de inclinaç ão.ˆ β Angulo de avistamento.ˆ φ(x) f.d.p. das dist âncias.

σ Desvio-padr ˜ao.

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸ ˜ao

O conhecimento da abund ância ou densidade de animais ou plantas é fundamental para uma melhor gest ão dos recursos naturais, permitindo tomar medidas para evitar a sobre abund ância ou a escassez das esp écies. Esta informaç ão pode ser obtida pela observaç ão de todos os indiv´ıduos da esp écie em estudo, o recenseamento, ou de uma parte dessa populaç ão, a amostra.

A realizaç ão de censos populacionais é, habitualmente, uma tarefa demasiado dif´ıcil, ou at é imposs´ıvel, morosa e dispendiosa. Durante o per´ıodo de recenseamento as populaç ões sofrem alteraç ões, como sejam os nascimentos, mortes e migraç ões. No caso das populaç ões animais, existe ainda o problema dos indiv´ıduos nem sempre estarem vis´ıveis ou detect áveis. Assim, na realidade o recenseamento n ão ter á sido de todos os indiv´ıduos do universo em estudo, mas dos indiv´ıduos que estavam dispon´ıveis durante o per´ıodo de recenseamento. N ão se pode deixar de considerar ainda os m étodos em que a observaç ão obriga à destruiç ão e, por conseguinte, a realizaç ão de censos provocaria o exterm´ınio da populaç ão. Em suma, s ó é poss´ıvel a realizaç ão de censos em condiç ões idealizadas, como sejam populaç ões pequenas em áreas pequenas ou vedadas (Williamset al., 2002, p ág. 245).

A amostragem apresenta v árias vantagens sobre o recenseamento tanto ao n´ıvel do tempo e custo, como tamb ém uma menor probabilidade de ocorrerem erros de observaç ão ou de notaç ão, uma vez que se recolhem menos observaç ões. Na amostragem de populaç ões biol ógicas, como sejam animais e plantas, que daqui por diante ser ão designados apenas por animais, muitos dos m étodos de observaç ão dos animais consistem no avistamento, auscultaç ão, captura ou detecç ão. A probabilidade de um animal da populaç ão ser observado na área coberta é designada por detectabilidade (Thompson, 1992).

(24)

Os estimadores da abund ância de animais na área coberta t êm como express ão gen érica a correcç ão do n úmero de observaç ões efectuadas pela proporç ão m édia estimada de detecç ões e pela proporç ão de área coberta. Quando existe evid ência de heterogeneidade na detectabilidade dos animais, i. e., os animais n ão t êm todos a mesma probabilidade de detecç ão, é usual utilizar-se um estimador do tipo de Horvitz-Thompson da teoria da amostragem de probabilidades desiguais (Borcherset al., 2002, p ág. 144).

Existem v ários m étodos de amostragem para estimar a probabilidade de detecç ão, e tamb ém a densidade ou abund ância de animais, podendo encontrar-se em Seber (1986; 1992; 2001) e Schwarz e Seber (1999) n ão s ó uma revis ão destes m étodos como algumas sugest ões de trabalho futuro. Destes salientamos a amostragem por dist âncias e a amostragem por captura- recaptura. Na amostragem por dist âncias a detectabilidade é estimada com base nas dist âncias registadas entre o transecto e o animal detectado, ao passo que na amostragem por captura- recaptura a probabilidade de detecç ão é estimada a partir do n úmero de capturas e recapturas efectuadas em dois ou mais instantes de amostragem distintos, ou duas ou mais equipas de observadores diferentes.

A amostragem por dist âncias, cujas variantes principais s ão os transectos lineares e transectos pontuais, é uma extens ão da amostragem de quadrados, onde se relaxa o pressuposto de que se realiza um censo na área coberta (Thomaset al., 2002). R. T. King, em 1930, foi um dos primeiros a reconhecer a observaç ão incompleta dos animais na área observada e apresen- tou uma tentativa de estimaç ão da largura efectiva das faixas transectos, um dos m étodos da amostragem de quadrados (Bucklandet al., 2001).

O m ´etodo de amostragem por transectos lineares despertou desde cedo um maior interesse por parte dos investigadores do que o m ´etodo de amostragem por transectos pontuais. Estes

últimos surgem em 1975 com o artigo de Weins e Nussbaum, j á existindo um desenvolvimento da teoria dos transectos lineares desde 1968 com os trabalhos de Gateset al.e Eberhardt. A primeira grande refer ência sobre a teoria dos transectos lineares surge em 1980 com a monografia de Burnhamet al. Em 1993, Buckland et al. publicam um livro introdut ório à amostragem por dist âncias, que é reeditado em 2001 com algumas alteraç ões. Mais recentemente, Bucklandet al.(2004) publicaram os últimos avanços nesta área de investigaç ão n ão s ó ao n´ıvel da relaxaç ão de alguns pressupostos como tamb ém na combinaç ão com outras t écnicas de amostragem.

A simplicidade de utilizaç ão desta t écnica é um dos factores que mais contribuiu para a sua popularidade, sendo igualmente importante o facto de permitir uma estimaç ão mais robusta e

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mais econ ómica da abund ância do que os m étodos baseados na captura de animais, pelo menos para populaç ões que verificam, ou quase verificam, os pressupostos fundamentais em que esta t écnica se baseia. Al ém disso, quando os pressupostos s ão violados, os efeitos nas estimativas da abund ância tendem a ser mais facilmente compreendidos do que para a maioria dos m étodos alternativos (Bucklandet al., 2004).

Inicialmente, esta t écnica foi desenvolvida para regi ões com caracter´ısticas homog éneas e com visibilidade id êntica durante o per´ıodo de amostragem, onde a detectabilidade variava apenas com a dist ância entre o animal e o observador. Todavia, a detectabilidade depende de muitos factores, como sejam as pr óprias caracter´ısticas dos animais, do observador, da topografia do terreno ou do meio ambiente, pelo que mais tarde esta t écnica foi estendida de modo a permitir n ão s ó a divis ão da área de estudo em estratos como a inclus ão de informaç ão extra atrav és do uso de covari áveis (Marques e Buckland, 2003).

Nos últimos anos verificou-se um aumento na procura de modelos espaciais que permitam relacionar os dados de dist âncias com vari áveis espaciais que reflictam a topografia do terreno, o habitat e outros factores que possam afectar o meio ambiente. A primeira formulaç ão para transectos lineares baseada na teoria processos pontuais foi desenvolvida por Schweder (1977).

Mais tarde, Stoyan (1982) reformulou o estimador convencional da densidade de grupos em funç ão da intensidade de um processo pontual marcado estacion ário. Para o caso particular das populaç ões agrupadas, Cowling (1998) prop ôs um m étodo para estimar os par âmetros de agru- pamento de processo enfraquecido de Neyman-Scott, usando observaç ões recolhidas a partir de uma pesquisa de transecto linear com funç ão de detecç ão gaussiana. Hedleyet al. (1999), Hedley (2000) e Hedley e Buckland (2004) propuseram modelos espaciais para a amostragem por dist âncias, nos quais é poss´ıvel atrav és da simples integraç ão num érica estimar a densidade de animais em qualquer sub-regi ão da regi ão em estudo. Mais recentemente, Waagepetersen e Schweder (2006) notaram que muitas populaç ões animais exibem uma maior variaç ão espacial e est ão mais agrupadas do que o considerado num processo de Poisson. Por isso, apresentaram uma formulaç ão baseada no processo pontual espacial de Cox e desenvolveram uma infer ência baseada na verosimilhança, tanto numa perspectiva frequencista como numa baysiana.

Algumas populaç ões s ão dif´ıceis de observar, s ão raras ou tendem a distribuir-se apenas em certas zonas. A amostragem adaptativa, cuja hist ória é bastante recente, garante que uma maior parte do esforço seja gasto nas zonas com maior densidade de animais, aumentando assim a dimens ão da amostra. Este tipo de amostragem surgiu no in´ıcio da d écada de 80, do s éculo

(26)

passado, com o trabalho de Thompson (1982), o qual se baseou nos trabalhos desenvolvidos entre 1969 e 1970 sobre amostragem sequencial. Neste trabalho, Thompson desenvolve a base te órica da amostragem adaptativa baseada na teoria dos processos pontuais. Em 1996, Thomp- son e Seber publicam o primeiro livro dedicado à amostragem adaptativa. Com base na teoria da amostragem adaptativa por grupos desenvolvida por Thompson, Seber e Ramsey (Thomp- son, 1990; Thompson, Ramsey e Seber, 1992; Thompson e Seber, 1996), Pollard e Buckland (1997), Pollard (2002) e Pollardet al. (2002) apresentam a primeira proposta de amostragem por dist âncias adaptativa.

1.1 Objectivos

Nesta tese pretendeu-se dar resposta a quest ões pragm áticas com que os bi ólogos se deparam na aplicaç ão da amostragem por dist âncias em populaç ões n ão homog éneas e/ou em terrenos montanhosos.

Os estimadores convencionais foram constru´ıdos com base no pressuposto da aleatoriedade dos transectos lineares ou pontuais na regi ão de estudo. Da teoria da amostragem de populaç ões finitas, sabe-se que quando as populaç ões n ão exibem um padr ão regular, a amostragem sistem ática tende a reduzir a vari ância dos estimadores e a subestimar a verdadeira vari ância (Cochran, 1977, cap. 8).

Para avaliar o desempenho dos estimadores convencionais, da abund ância ou densidade, da amostragem por dist âncias com a disposiç ão aleat ória e sistem ática dos transectos em po- pulaç ões que se distribuem de forma n ão homog énea no terreno, geraram-se alguns cen ários populacionais diferentes considerando tr ês abordagens diferentes: i) os animais mant êm as suas posiç ões na área de estudo; ii) os transectos s ão os mesmos e a localizaç ão dos animais varia;

e iii) os transectos est ão fixos, mas a localizaç ão dos animais varia bem como a dimens ão da populaç ão.

Os estimadores da vari ância do estimador da abund ância ou densidade habitualmente utilizados s ão: i) a vari ância baseada no modelo Poisson, e portanto no pressuposto da distribuiç ão espacial completamente aleat ória dos animais na área de estudo, ii) multiplicaç ão da vari ância anterior por um coeficiente, no caso de populaç ões sobredispersas, ou iii) vari ância emp´ırica, sendo este o estimador mais utilizado. Este último estimador tamb ém foi constru´ıdo com base no pressuposto da aleatoriedade no posicionamento dos transectos. Deste modo, realiza-se uma

(27)

an ´alise das propriedades dos estimadores i) e ii) nos cen ´arios populacionais anteriores.

Nos últimos 20 anos tem-se verificado o interesse na aplicaç ão da amostragem por dist âncias para estimar ungulados de montanha (Esc ós e Alados, 1988; Palomarez e Ruiz-Martinez, 1993;

P érezet al., 1994; P érezet al., 2002a). Na utilizaç ão deste m étodo em terrenos montanhosos de altimetria variada, coloca-se um problema ao n´ıvel das mediç ões efectuadas: as dist âncias aos animais s ão medidas com instrumentos que incorporam a diferença entre o n´ıvel do observador e o n´ıvel do animal detectado, dist ância inclinada, mas a área é determinada a partir da projecç ão da regi ão de estudo num plano horizontal e o comprimento do caminho percorrido umas vezes corresponde à dist ância realmente percorrida, outras à dist ância projectada no plano horizontal. A projecç ão de todas as dist âncias e áreas das superf´ıcies num plano, é para al ém de uma soluç ão simples a única que muitas vezes se pode realizar devido ao desconhecimento da funç ão que descreve a superf´ıcie topogr áfica da área coberta. No entanto, e tendo em consideraç ão que os animais s ão detectados com base na dist ância inclinada ao observador ou transecto linear, mostra-se aqui que as dist âncias perpendiculares (obtidas pela projecç ão das dist âncias inclinadas no plano horizontal) j á n ão s ão uniformemente distribu´ıdas, ao contr ário do que sucede na teoria convencional da amostragem por dist âncias, devido à assimetria da dist ância m áxima de observaç ão para ambos os lados do transecto. Deriva-se uma distribuiç ão para estas dist âncias e prop õe-se uma correcç ão no estimador convencional.

Finalmente, apresenta-se um plano de amostragem, que combina a amostragem por dist ân- cias com a amostragem adaptativa, alternativo ao delineamento em ziguezague proposto por Pollard (2002) para situaç ões em que n ão é poss´ıvel a sua utilizaç ão, como sejam os terrenos montanhosos. Neste tipo de terrenos existem zonas com boa visibilidade e outras onde a visibilidade é muito reduzida quer devido à irregularidade do terreno quer à forte densidade de vegetaç ão, o que dificulta a detecç ão dos animais (P érezet al., 2002). Neste tipo de situaç ões n ão é f ácil proceder à estratificaç ão do terreno, justificando-se a implementaç ão de um plano de amostragem por dist âncias adaptativo. O delineamento que propomos consiste em percorrer um transecto linear e quando os intervalos entre detecç ões consecutivas s ão inferiores ao que se- ria esperado caso os animais estivesses distribu´ıdos de forma completamente aleat ória na área coberta, o observador efectua uma amostragem em transecto pontual. Este plano consiste assim na combinaç ão da amostragem por transectos lineares com os transectos pontuais de forma adaptativa, onde se aplica um maior esforço de amostragem nas áreas de maior densidade populacional.

(28)

1.2 Estrutura do trabalho

Este trabalho encontra-se organizado em 6 cap´ıtulos, para al ém de uma apresentaç ão da nota- ç ão e abreviaturas utilizadas e dos ap êndices.

Depois deste cap´ıtulo introdut ório, onde se descreveram os objectivos e se realizou uma breve revis ão hist órica da amostragem por dist âncias e da amostragem adaptativa, no segundo cap´ıtulo efectua-se uma revis ão dos conceitos base destas t écnicas de amostragem, bem como da teoria e pressupostos subjacentes.

No terceiro cap´ıtulo procede-se à avaliaç ão do desempenho dos estimadores convencionais da amostragem por dist âncias e da vari ância da taxa de encontro (neste caso apenas para os transectos lineares) quando a populaç ão se distribui de forma n ão homog énea no terreno.

O cap´ıtulo 4 é dedicado à utilizaç ão da amostragem por dist âncias em terrenos montanhosos.

Foca-se a problem ática das diferentes medidas lidas pelos v ários instrumentos de mediç ão, da estimaç ão das diversas superf´ıcies e a n ão uniformidade das dist âncias perpendiculares. Face a este resultado, é apresentada uma proposta de correcç ão no estimador convencional da probabilidade de detecç ão e estudamos o seu desempenho.

No quinto cap´ıtulo apresentam-se planos de amostragem que combinam a amostragem por transectos lineares com transectos pontuais de forma adaptativa. Discutem-se as suas principais vantagens e desvantagens, com especial incid ência sobre a facilidade de realizaç ão por parte dos observadores. Apresenta-se a forma geral da verosimilhança para os planos de amostragem que se julgam ser mais f áceis de implementar.

Apesar de em todos os cap´ıtulos se apresentar uma introduç ão ao assunto em an álise, as respectivas conclus ões e desenvolvimentos futuros (no contexto espec´ıfico de cada cap´ıtulo), no cap´ıtulo 6 efectua-se um resumo das conclus ões de todo o trabalho desenvolvido.

(29)

Cap´ıtulo 2

Alguns conceitos fundamentais

2.1 Introduc¸ ˜ao

A elaboraç ão de censos populacionais é quase sempre invi ável quer por quest ões de log´ıstica,

às quais est ão muitas vezes associadas elevados custos, ou disponibilidade de tempo, quer pela exist ência de factores que condicionam a detectabilidade e consequentemente a exist ência de erros na contagem. As t écnicas de amostragem revelam-se assim de grande import ância uma vez que permitem aferir sobre a abund ância ou densidade de animais ou plantas, tendo por base a informaç ão recolhida apenas sobre uma parte dessa populaç ão, designando-se este processo por estimaç ão. Denomina-se por estimador uma vari ável aleat ória que depende da informaç ão amostral e cujas realizaç ões permitem obter estimativas para os par âmetros desconhecidos da populaç ão.

O estudo das propriedades dos estimadores, tais como o valor esperado, a vari ância, o enviesamento entre outras, pode ser realizado com base nas probabilidades de selecç ão intro- duzidas pelo delineamento amostral adoptado, designando-se por abordagem baseada no delineamento ou sustentado em pressupostos elaborados sobre a populaç ão, que se denomina por abordagem baseada no modelo (Thompson, 1992, cap. 10). A principal diferença entre estas duas abordagens resulta ent ão do facto de:

• Na abordagem baseada no delineamento assume-se que os valores da caracter´ıstica de interesse s ão fixos, para todos os elementos da populaç ão, e a aleatoriedade resulta da forma como estes elementos s ão seleccionados;

• Na abordagem baseada no modelo os valores da caracter´ıstica de interesse, nos elemen-

(30)

tos da populaç ão, s ão encarados como aleat órios e a derivaç ão das propriedades dos estimadores depende da funç ão de probabilidade conjunta destas vari áveis aleat órias.

Neste cap´ıtulo apresentam-se inicialmente os estimadores comummente utilizados na amostragem baseada num delineamento com probabilidades desiguais. Segue-se uma breve exposiç ão da amostragem por dist âncias, cujos estimadores podem ser encarados como um caso particular dos apresentados na secç ão anterior, bem como dos desenvolvimentos mais relevantes para a continuidade deste trabalho, como sejam os modelos espaciais da amostragem por dist âncias e a amostragem por dist âncias adaptativa.

2.2 Amostragem com probabilidades desiguais

Por vezes os elementos da populaç ão t êm probabilidades diferentes de serem inclu´ıdos na amostra, que podem resultar de caracter´ısticas espec´ıficas dos elementos, por exemplo o tamanho, ou serem impostas com a atribuiç ão de uma probabilidade de inclus ão maior aos elementos

“mais importantes” (Thompson, 1992, p ´ag. 46).

A utilizaç ão de probabilidades de inclus ão desiguais deve ser tomada em consideraç ão na forma dos estimadores de modo que verifiquem as propriedades desejadas e, se poss´ıvel, at é obter ganhos significativos na precis ão, relativamente aos estimadores com probabilidades iguais.

Em 1943, Hansen e Hurwitz propuseram um estimador baseado no delineamento para a amostragem com reposiç ão e mais tarde, em 1952, Horvitz e Thompson introduziram um estimador v álido para planos de amostragem com ou sem reposiç ão.

2.2.1 Estimadores Hansen-Hurwitz

Considere-se a selecç ão aleat ória com reposiç ão de uma amostrasdenanimais duma populaç ão de dimens ãoN, em que a probabilidade doi- ésimo animal ser seleccionado da populaç ão épi, parai= 1, ..., N e∑N

i=1pi = 1. O estimador n ão enviesado para a dimens ão da populaç ão,N, proposto por Hansen e Hurwitz (1943) é

Nˆ = 1 n

∑

i∈s

1 pi

, (2.1)

com vari ˆancia dada por

V ar [Nˆ

]

= 1 n

∑N i=1

p_i (1

p_i −N )2

. (2.2)

(31)

Uma estimativa n ão enviesada da vari ância é dada por V ard

[Nˆ ]

= 1

n(n−1)

∑

i∈s

pi

(1 pi −Nˆ

)2

. (2.3)

Quando as probabilidades de selecç ão s ão desconhecidas, e por conseguinte t êm de ser estimadas, o estimador diz-se do tipo Hansen-Hurwitz. Este estimador j á n ão é centrado e n ão existe uma express ão anal´ıtica para a sua vari ância, pelo que tem de ser aproximada pelo m étodo delta (Casela e Berger, 2002, p ág. 240) ou pelo m étodo de re-amostragembootstrap (Efron, 1981).

2.2.2 Estimadores Horvitz-Thompson

O estimador proposto por Horvitz-Thompson (1952) pode ser utilizado em delineamentos com e sem reposiç ão. Sejap^∗_i, para i= 1, ..., N, a probabilidade doi- ésimo animal da populaç ão ser inclu´ıdo na amostra. O estimador n ão enviesado para o tamanho da populaç ão é

Nˆ =∑

i∈s_υ

1

p^∗_i, (2.4)

ondes_υrepresenta a amostra composta apenas pelosυanimais distintos inclu´ıdos na amostra inicial, designando-se habitualmenteυpor tamanho efectivo da amostra. Deste modo, este estimador n ão depende do n úmero de vezes que cada animal é seleccionado dado que cada ele- mento é utilizado apenas uma vez. A vari ância deste estimador é dada por

V ar [Nˆ

]

=

∑N i=1

(1−p^∗_i p^∗_i

) +

∑N i=1

∑

j̸=i

(p^∗_ij−p^∗_ip^∗_j p^∗_ip^∗_j

)

. (2.5)

ondep^∗_ikrepresenta a probabilidade de inclus ˜ao conjunta das unidadesiek.

Um estimador n ão enviesado da vari ância é dado por V ard

[Nˆ ]

=∑

i∈s_υ

(1−p^∗_i p^∗_i²

)

+∑

i∈s_υ

∑

j̸=i

(p^∗_ij−p^∗_ip^∗_j p^∗_ip^∗_j

) 1

p^∗_ij. (2.6)

caso todas as probabilidades de inclus ão conjuntas sejam n ão nulas. De salientar que esta vari ância pode por vezes dar estimativas negativas, pelo que existem aproximaç ões alternativas enviesadas, mas que d ão estimativas n ão negativas para a vari ância.

A semelhança do estimador anterior, quando as probabilidades de inclus ão s ão desconheci-` das, e por conseguinte t êm de ser estimadas, o estimador diz-se do tipo Horvitz-Thompson. Este estimador n ão é centrado e n ão existe uma express ão anal´ıtica para a sua vari ância, pelo que tem de ser aproximada pelo m étodo delta ou por m étodos de reamostragem.

(32)

2.3 Amostragem por dist ˆancias

A amostragem por dist âncias é uma t écnica utilizada para estimar a densidade ou abund ância de animais numa determinada área de estudo,A, com base nas dist âncias aos animais detectados.

Os dois principais m étodos de amostragem por dist âncias s ão os transectos lineares (Figura 2.1) e os transectos pontuais (Figura 2.2) onde o observador percorre uma s érie de linhas, habitualmente rectas, ou pontos aleat órios, respectivamente, e regista a dist ância perpendicular, ou radial, dos animais detectados à linha, ou ponto. Nos transectos lineares, representa-se por2w a largura da faixa observada, sendow a dist ância de cada um dos lados à linha central que é percorrida pelo observador. Nos transectos pontuais,wrepresenta o raio do circulo amostrado e o observador realiza as detecç ões a partir do ponto central do c´ırculo.

Figura 2.1: Exemplificaç ão da amostragem com 1 transecto linear numa regi ão de estudo. Os pontos representam os animais existentes nessa regi ão. O observador percorre uma linha (a tracejado) observando a área rectangular a sombreado com largura2w. Os animais detectados est ão identificados com a dist ância perpendicularymedida.

Na pr ática, na amostragem por transectos lineares, em vez da dist ância perpendicular o observador regista o ânguloβ e a dist ância radial de avistamentor, obtendo-se depois a dist ância perpendicular atrav és da relaç ãoy=rsenβ(Figura 2.3).

Nestes m étodos de amostragem assume-se que nem todos osN_canimais na área coberta, a, s ão detectados e que apenas é observada uma parte da área de estudo,A. Denotando-se por Pa a probabilidade de detecç ão, porPc a probabilidade de cobertura eno n úmero de animais

(33)

Figura 2.2: Exemplificaç ão da amostragem com 1 transecto pontual numa regi ão de estudo. Os pontos representam os animais existentes nessa regi ão. O observador permanece durante um certo per´ıodo de tempo num local (centro do c´ırculo) observando a área circular a sombreado com raiow. Os animais detectados est ão identificados com a dist ância radialrmedida.

Figura 2.3: Dist âncias e ângulos medidos numa amostragem por dist âncias, onde o asterisco representa a localizaç ão inicial do animal detectado: dist ância radial, r, entre o observador e o animal detectado; ângulo,β, de avistamento formado entre o animal detectado e o transecto linear; e a dist ância perpendicular,y.

detectados, o estimador da abund ância de animais,Nˆ, na área observada de estudo é dado por Nˆ = n

PcPˆa

, (2.7)

(Bucklandet al., 2004, p ´ag. 8) e, portanto, estimador da densidade de animais ´e Dˆ = n

APcPˆa

. (2.8)

De um modo geral a probabilidade de cobertura,Pc, é conhecida e dada pora/A. A probabilidade de detecç ão,P_a, é estimada a partir duma funç ão de detecç ãogajustada às dist âncias observadas, ondeg(x)representa a probabilidade de detectar um animal dado que este se encontra à dist ância gen éricax, e da f.d.p. φ das dist âncias a todos os animais (detectados ou

(34)

n ão). SejaX a vari ável aleat ória (v. a.) que representa a dist ância ao animal eIuma vari ável indicatriz tal queI= 1se o animal é detectado e zero caso contr ário. Ent ão

g(x) = lim

dx→0⁺P(I= 1|X∈(x, x+dx]), (2.9)

φ(x) = lim

dx→0⁺

P(X ∈(x, x+dx])

dx , (2.10)

e

Pa=

∫ w 0

g(x)φ(x)dx. (2.11)

(Seber, 2001; Borcherset al., 2002, p ´ag. 139).

A medida que aumenta a dist ância entre o observador e os animais, é natural que diminua a` capacidade de detecç ão do observador. Desta forma, é habitual considerar-se que a funç ão de detecç ãog é decrescente com o aumento das dist âncias. Dado tratar-se de uma probabilidade, esta funç ão tem de verificar0≤g(x)≤1para0≤x≤w.

No processo de estimaç ão da funç ãog(x), a presença de dist âncias at´ıpicas dificultam este processo. Para ultrapassar esta dificuldade é usual truncar parte das maiores dist âncias observadas, definindo-se assimwcomo a dist ância de truncatura à direita.

De referir que tamb ém pode haver necessidade de truncar as dist âncias mais pequenas. Por exemplo, nas amostragens a éreas o observador apenas consegue observar os objectos a partir de certa dist ância, uma vez que n ão consegue observar directamente para baixo da aeronave (Alldregde e Gates, 1985).

A funç ão densidade de probabilidade (f. d. p.),f(x), das dist âncias detectadas à linha ou ponto é

f(x) = lim

dx→0⁺

P(X∈(x, x+dx]|I= 1) dx

= lim

dx→0⁺

P(I= 1|X ∈(x, x+dx])P(X ∈(x, x+dx])/dx P(I= 1)

= g(x)φ(x)

∫w

0 g(x)φ(x)dx

= g(x)φ(x) Pa

. (2.12)

Contudo, existem muitos factores que podem influenciar a funç ão de detecç ão, como sejam por exemplo o tempo despendido num ponto de observaç ão, a altitude de voo, o comprimento dos transectos, a tipologia de terreno, o tamanho do grupo (se for o caso), entre muitos outros.

Nessas situaç ões justifica-se a inclus ão de vari áveis auxiliares, designadas por covari áveisZ, na

(35)

funç ão de detecç ão que permitam melhorar o seu ajuste (Marques e Buckland, 2003). A f.d.p.

conjunta das dist âncias detectadas e covari áveis associadas é f(x, z) = g(x, z)φ(x, z)

∫ ∫g(x, z)φ(x, z)dxdz. (2.13)

ondeg(x, z) representa a probabilidade de detectar um animal à dist ância gen éricaxcom covari áveiszeφ(x, z)a f.d.p. conjunta deX eZ na populaç ão (Bucklandet al., 2004, p ág. 32).

Habitualmente a funç ão densidade de probabilidade conjuntaφ(x, z)é desconhecida, mas da teoria convencional da amostragem por dist âncias a funç ão densidade de probabilidade marginal φ(x) é conhecida. Se a funç ãoφ(z)tamb ém for conhecida eX eZforem independentes ent ão φ(x, z) =φ(x)φ(z)e (2.13) pode escrita como

f(x, z) =∫ ∫ g(x, z)φ(x)φ(z)

g(x, z)φ(x)φ(z)dxdz. (2.14)

Todavia, de um modo geral, a funç ãoφ(z)tamb ém é desconhecida e portanto tem de ser estimada.

Uma abordagem alternativa que evita o conhecimento da funç ãoφ(z) é a infer ência condi- cionada nos valores observados deZ observando que (Bucklandet al., 2004, p ág. 33):

f(z) = φ(z)∫

g(x, z)φ(x)dx

∫ ∫g(x, z)φ(x)φ(z)dxdz (2.15)

e

f(x|z) = f(x, z)

f(z) = g(x, z)φ(x)

∫g(x, z)φ(x)dx. (2.16)

Quando os animais t êm tend ência para formar grupos bem definidos, ent ão considera-se quen é o n úmero de grupos detectados, a abund ância estimada de grupos,N_s, é dada pela a equaç ão (2.7) e a estimativa para a abund ância de animais é obtida multiplicando a estimativa anterior pelo n úmero m édio estimado de indiv´ıduos por grupo,Eˆ[s], ou seja,

Nˆ = nEˆ[s]

PcPˆa

. (2.17)

A detectabilidade dos grupos pode estar relacionada com a dist ância a que estes se encontram. Por exemplo, os grupos de maior dimens ão podem ser detectados mais facilmente a grandes dist âncias, do que os grupos pequenos, obtendo-se uma m édia da dimens ão dos grupos superior à real. Deste modo, no caso em que n ão existe enviesamento,E[s]pode ser estimado pela m édia aritm ética da dimens ão dos grupos, i.e.Eˆ[s] = ¯s. Quando existe enviesamento deve optar-se por outros m étodos de estimaç ão deE[s](ver por exemplo Buckland et al., 2001, p ág.

71-76).

(36)

2.3.1 Pressupostos

A teoria cl ´assica da amostragem por dist ˆancias baseia-se nos seguintes pressupostos:

1. Todos os animais sobre a linha ou ponto s ˜ao detectados, i.e.,g(0) = 1.

2. Os animais s ão detectados na sua localizaç ão inicial antes de efectuarem qualquer movimento em reacç ão ao observador.

3. As dist âncias e ângulos (caso sejam necess ários) s ão medidos correctamente.

Assume-se ainda que os transectos s ão colocados de forma aleat ória relativamente à distribuiç ão dos animais na área de estudo.

Estes pressupostos nem sempre se cumprem e ignorar a sua violaç ão origina estimadores enviesados. Bucklandet al.(2001, p ág 29-37) discutem detalhadamente estes pressupostos e as implicaç ões da sua violaç ão e em Bucklandet al. (2004) s ão apresentados os desenvolvimentos te óricos mais recentes onde se relaxam alguns destes pressupostos.

Aqui enunciam-se apenas algumas situaç ões, e respectivas consequ ências, em que estes pressupostos s ão violados:

1. Nem sempre todos os animais sobre a linha ou ponto s ão detectados, ou seja,g(0)<1, pois podem por exemplo n ão estar vis´ıveis e, consequentemente, n ão ser ão detectados. Se tal n ão for considerado no processo de estimaç ão, a abund ância ser á subestimada. A violaç ão deste pressuposto originou severas cr´ıticas, tendo Pollock e Kendall (1987) posto em causa a utilidade deste m étodo de amostragem e recomendado antes a utilizaç ão de m étodos de reavistamento e recaptura. Alpizar-Jara e Pollock (1996, 1999) prop õem a combinaç ão da amostragem por dist âncias com modelos de captura-recaptura para estimar o valor deg(0) e Borchers et al. (1998) generalizam alguns destes modelos combinados.

2. Palka (1993) observou que perante a movimentaç ão dos animais em resposta à presença do observador, obt êm-se estimadores da abund ância ou densidade enviesados. Mais con- cretamente, quando o movimento é de repulsa, os animais s ão detectados a dist âncias afastadas do observador e, consequentemente, os estimadores tendem a ser enviesados negativamente. Se pelo contr ário os animais s ão atra´ıdos pelo observador, os estimadores tendem a ser enviesados positivamente.

3. Muitos observadores t êm tend ência para arredondar as dist âncias a que os animais s ão detectados. Nesta situaç ão aconselha-se à formaç ão de classes de dist âncias de modo a

(37)

que este efeito seja anulado. A exist ência de erros sistem áticos na mediç ão das dist âncias, com o registo de dist âncias superiores ou inferiores às reais, conduz à subestimaç ão ou sobrestimaç ão da densidade, respectivamente. Alpizar-Jara (1997), Chen (1998), Chen e Cowling (2001), Marques (2004) e Marques (2007) propuseram v árias formas para corrigir o estimador da densidade na presença de erros.

2.3.2 Transectos lineares

Na amostragem por transectos lineares, o observador percorre uma linhak, ou uma s érie de Klinhas, de comprimentol_k,k = 1, ..., K, e regista as dist âncias perpendiculares aos animais que detecta à esquerda e à direita dessa linha. A área total observada éa = 2wL, onde w corresponde a metade da largura da faixa pesquisada ou à dist ância de truncatura, eL=∑K

k=1lk

ao comprimento total da linha. Deste modo, a probabilidade de coberturaPc ´e dada por Pc= a

A =2wL

A . (2.18)

A probabilidade de um animal estar na faixa amostrada e no intervalo de dist ância(y, y+dy) (ondedy é relativamente pequeno) é

φ(y)dy=2Ldy 2Lw = 1

wdy, 0≤y≤w, (2.19)

ou seja, a área de uma faixa incrementada à dist ânciayda linha éLdy, independentemente do y, pelo que a diferença entre a f.d.p. das dist ânciasf(y)e a funç ão de detecç ão g(y) é apenas ao n´ıvel da escala.

Tendo em conta (2.11), a probabilidade de detecç ão na faixa é dada por Pa=

∫ w 0

g(y)φ(y)dy= µ

w, (2.20)

onde

µ=

∫ w 0

g(y)dy, (2.21)

que se designa por largura efectiva da faixa (na realidade, metade da largura efectiva) e ´e desconhecida.

Com base no pressuposto 1,g(0) = 1, e considerando (2.12) e (2.20) obt ´em-se f(0) = 1

µ. (2.22)

Ent ão, a probabilidade de detecç ão é estimada por Pâ= µˆ

w = 1

wfˆ(0). (2.23)

(38)

Substituindo em (2.7) e (2.8), os estimadores convencionais da abund ˆancia e densidade de animais na amostragem por transectos lineares s ˜ao, respectivamente,

Nˆ = nAfˆ(0)

2L , (2.24)

e

Dˆ =nfˆ(0)

2L . (2.25)

2.3.3 Transectos pontuais

Na amostragem de transectos pontuais, considerando que se observaram objectos at é à dist ân- cia radialw, relativamente ao ponto, a área coberta em cada ponto éπw². Deste modo, com a realizaç ão deKtransectos pontuais a área total coberta éa=Kπw², sendo a probabilidade de cobertura dada por

Pc= a

A =Kπw²

A . (2.26)

Nos transectos pontuais a probabilidade de um animal estar no circulo amostrado e no intervalo de dist ância(r, r+dr)(ondedré relativamente pequeno) no c´ırculo amostrado, depende do valor da dist ânciar, pois um aumento na dist ânciarao ponto tem área2πrdr, pelo que

φ(r)dr=2πrdr

πw² , 0≤r≤w. (2.27)

Deste modo, substituindo em (2.11), a probabilidade de detecç ão é dada por P_a = 2π

πw²

∫ w 0

rg(r)dr= ρ

πw², (2.28)

onde

ρ= 2π

∫ w 0

rg(r)dr. (2.29)

que se designa por área efectiva de observaç ão e é desconhecida.

Com base no pressuposto i), g(0) = 1, e considerando as igualdades (2.12), (2.27), (2.28) verifica-se que

h(0) =f^′(0) =lim_r_→₀f(r) r = 2

ρ. (2.30)

(Bucklandet al., 2001, p ´ag. 193).

Substituindo em (2.7) e (2.8), os estimadores convencionais da abund ˆancia e densidade de animais na amostragem por transectos pontuais s ˜ao, respectivamente,

Nˆ =nAh(0)ˆ

2Kπ , (2.31)

(39)

e

Dˆ =nh(0)ˆ

2Kπ . (2.32)

2.3.4 Estimaç ão da probabilidade de detecç ão

A estimaç ão da probabilidade de detecç ão,Pa, é realizada a partir das dist âncias perpendiculares ou radiais aos animais detectados. Assume-se um modelo para a funç ão de detecç ãog(x)e os seus par âmetros s ão estimados pelo m étodo da m áxima verosimilhança, atrav és por exemplo do m étodo de Newton-Raphson quando n ão existe uma forma fechada para estes estimadores.

Genericamente, a funç ão de detecç ão resulta da conjugaç ão de duas funç ões: funç ão chave (Chave(x)) e expans ão em s érie (Serie(x))

g(x)∝Chave(x)[1 +Serie(x)]. (2.33)

(Buckland, 1992). A funç ão chave é uma funç ão simples que descreve o comportamento gen érico dos dados. Para melhorar o ajustamento deste modelo utiliza-se uma forma mais flex´ıvel, designada por expans ão em s érie.

A qualidade do estimador da densidade ou da abund ância est á fortemente dependente da qualidade das detecç ões à dist ância zero, ou pr óximas de zero. Quando o histograma das dist âncias observadas n ão apresenta um ombro junto da dist ância zero, é vulgar obter estimativas com um modelo ajustado que s ão o dobro das obtidas com outro modelo (Buckland et al., 2004, p ág. 335). Deste modo, um dos crit érios adoptados para a escolha de poss´ıveis funç ões de detecç ão é que estas devem descrever um ombro junto da dist ância zero. Habitual- mente consideram-se as seguinte funç ões chave: uniforme, semi-normal ou taxa de risco; e as seguintes expans ões em s érie: coseno, polinomial simples e polinomial de Hermite.

A metodologia utilizada para encontrar a funç ãog(x)que melhor se ajusta as dist âncias observadas pode ser resumida nas seguintes etapas:

1. Identificaç ão: Com base, por exemplo, na inspecç ão visual do histograma, seleccionar a funç ão chave que melhor se identifica com o comportamento do histograma. Caso seja necess ário, considerar ainda uma expans ão em s érie.

2. Estimaç ão: Esta etapa consiste na estimaç ão dos par âmetros da funç ão chave e das ex- pans ões em s érie, identificadas na etapa anterior.

3. Avaliaç ão: A qualidade do ajustamento do modelo considerado é avaliada com a realizaç ão