Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images
J ´er ´emie Bigot
Institut de Math ´ematiques de Toulouse Universit ´e de Toulouse
Rencontres LPT-IMT Avril 2011
Collaboration avec Benjamin Charlier, S ´ebastien Gadat, Fabrice Gamboa, Xavier Gendre, Thierry Klein, Jean-Michel Loubes, Cl ´ement
Marteau, Myriam Vimond
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations
1 Motivations
2 Choix d’une distance
3 Moyenne de Fr ´echet
4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
5 Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
6 Groupe de dimension infinie
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations
Probl ´ematique
Objectif de l’analyse statistique :comparer des objets pr ´esentant des caract ´eristiques similaires et extraire des informations sur la loi de distribution de ces objets
Outils
Statistique d’ordre 1 : moyenne empirique Statistique d’ordre 2 : analyse de la matrice de
variance/covariance empirique (Analyse en composantes principales)
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Probl ´ematique
Donn ´ees :images 2D de tailleN1×N2pixels
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations
Probl ´ematique
Donn ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=13landmarks (points rougesdansR2)
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Probl ´ematique
Observations :collection den“objets”Yi,i=1, . . . ,nqui peuvent ˆetre :
des courbes ou des images i.e.Yi: Ω→RavecΩ⊂Rd pour d=1,2,3
des points dans le planYi∈R2k(ensemble deklandmarks dans R2)
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Variabilit ´e d’un ensemble de donn ´ees
L’Analyse en Composante Principale(ACP)permet de visualiser les principaux modes de variabilit ´e d’un ensemble de donn ´ees autour de leur moyenne
SoitYi,i=1, . . . ,ndes variables al ´eatoires iid `a valeur dans un espace de HilbertH
Moyenne empiriqueY¯n=1nPn i=1Yi
SiH=Rp, ACP = diagonaliser la matrice de covariance S=1
n
n
X
i=1
(Yi−Y¯n)(Yi−Y¯n)0,
et on d ´efinit
- le premier mode de variation parY¯n±√ λ1wˆ1 - le deuxi `eme mode de variation parY¯n±√
λ2wˆ2
o `uwˆ1,wˆ2, . . .sont les premiers vecteurs propres deSassoci ´es aux plus grandes valeurs propresλ1≥λ2≥. . .≥0
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Variabilit ´e d’un ensemble d’images
Donn ´ees :images de tailleN1×N2pixels i.e.H=RN1N2
Moyenne empirique -Y¯nn’est pas un visage (effet de flou) !
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations
Variabilit ´e d’un ensemble d’images
Donn ´ees :images de tailleN1×N2pixels i.e.H=RN1N2
Premier mode de variation -Y¯n+√ λ1wˆ1
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations
Variabilit ´e d’un ensemble d’images
Donn ´ees :images de tailleN1×N2pixels i.e.H=RN1N2
Premier mode de variation -Y¯n
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations
Variabilit ´e d’un ensemble d’images
Donn ´ees :images de tailleN1×N2pixels i.e.H=RN1N2
Premier mode de variation -Y¯n−√ λ1wˆ1
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance
1 Motivations
2 Choix d’une distance
3 Moyenne de Fr ´echet
4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
5 Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
6 Groupe de dimension infinie
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance
Le probl `eme du choix d’une distance
Id ´ee :la comparaison d’objets repose sur le choix d’une bonne distance
Mod `ele utilis ´e classiquement : choix d’unedistance euclidienne d surHassoci ´ee `a un produit scalaire
d(y,y0) =ky−y0kH=p
hy−y0,y−y0iHpoury,y0∈ H Le choix d’une distance induit des statistiques sp ´ecifiques Distance euclidienne⇒moyenne usuelle dansH
Y¯n=1 n
n
X
i=1
Yi=arg min
y∈H n
X
i=1
kYi−yk2H
Questions :
le choix de la distance euclidiennesurHest-il bien adapt ´ee `a la comparaison d’images ou de formes ?
Y¯nest-il toujours dans“le m ˆeme espace” que lesYi?
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance
Cas de formes dans le plan
Donn ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=13landmarks (points rougesdansR2)
Probl `eme : l’espace euclidienH=Rk×2est-il bien adapt ´e pour mod ´eliser des formes dans le plan ?
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance
Espace des formes de Kendall
Soitx1, . . . ,xkdes points dansR2(vecteur dansR2kouCk)
D ´efinition d’une forme (Kendall (1984)) :“Shape is what remains when location, size, and rotational effects are filtered out”
Standardisation ( ´echelle + translation)
τ(x1, . . . ,xk) =
x1−¯x qPk
j=1kxj−¯xk2
R2
, . . . ,xn−¯x qPk
j=1kxj−¯xk2
R2
o `u¯x= 1kPk
j=1xj∈R2
Pre-shape space :τ(x1, . . . ,xk)∈S2k−3∗ =F2k−2∩S2k−1, o `u F2k−2 = {(x1, . . . ,xk)∈R2k :
k
X
j=1
xj=0}
S2k−2 = {(x1, . . . ,xk)∈R2k :
k
X
j=1
kxjk2R2 =1}
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance
Espace des formes de Kendall
Soitθ:R2→R2une rotation dans le plan autour de l’origine.
Equivalence de deux pr ´e-formesτ1, τ2∈S2k−3∗ : τ1∼τ2s’il existeθtel queθ(τ1) =τ2
o `uθ(τ) = θτ1, . . . , θτk
pourτ= (τ1, . . . , τk)∈R2×k Espace des formes de Kendall : ensemble de classes d’ ´equivalence
Σk2={[τ] : τ∈S2k−3∗ },
o `u[τ]est la classe d’ ´equivalence deτ pour la relation∼
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance
Espace des formes = vari ´et ´e Riemannienne
Proposition
(Σk2,˜d)est une vari ´et ´e Riemannienne de dimension2k−4pour la distance
˜d([τ1],[τ2]) =cos−1(|hτ1, τ2i|) =cos−1
|
k
X
j=1
τ1,jτ2,j∗|
Diff ´erences avec le cas EuclidienR2k Σk2n’est pas un espace lin ´eaire
d˜n’est pas une distance associ ´ee `a un produit scalaire euclidien Probl `emes :
comment d ´efinir une moyenne surΣk2?
comment d ´efinir une notion d’ACP surΣk2(pas d’op ´erateur naturel de covariance) ?
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Moyenne de Fr ´echet
1 Motivations
2 Choix d’une distance
3 Moyenne de Fr ´echet
4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
5 Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
6 Groupe de dimension infinie
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Moyenne de Fr ´echet
Moyenne au sens de Fr ´echet
Definition
SoitXune variable al ´eatoire de loiP `a valeur dans un espace m ´etrique(M,d). Une moyenne (pas n ´ecessairement unique !) au sens de Fr ´echet de la distributionPest un pointx∗qui est un minimumglobalde la fonction
F(x) = Z
M
d2(x,y)dP(y)etx∗∈arg min
x∈M
F(x)
Lamoyenne empiriqueau sens de Fr ´echet est donn ´e par la
distribution empirique associ ´ee `a un ´echantillonX1, . . . ,Xnde loiPi.e.
X¯n∈arg min
x∈M n
X
i=1
d2(x,Xi)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Moyenne de Fr ´echet
Moyenne au sens de Fr ´echet - cas euclidien
Proposition
SiMest un espace de Hilbert muni de la distance euclienne usuelle alors la moyenne de Fr ´echet est unique et correspond `a la notion de moyenne usuelle
x∗=EX= Z
M
ydP(y),
et
X¯n=1 n
n
X
i=1
Xi
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Moyenne de Fr ´echet
Moyenne au sens de Fr ´echet - propri ´et ´es statistiques
Question :convergence quandn→+∞de X¯n∈arg min
x∈M n
X
i=1
d2(x,Xi)
vers
x∗∈arg min
x∈M
Z
M
d2(x,y)dP(y)
R ´ef ´erences
R. Bhattacharya and V. Patrangenaru. Large sample theory of intrinsic and extrinsic sample means on manifolds (i). Annals of statistics, 31(1) :1–29, 2003.
R. Bhattacharya and V. Patrangenaru. Large sample theory of intrinsic and extrinsic sample means on manifolds (ii). Annals of statistics, 33 :1225–1259, 2005.
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1 Motivations
2 Choix d’une distance
3 Moyenne de Fr ´echet
4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
5 Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
6 Groupe de dimension infinie
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Observations :collection den“objets”Yi,i=1, . . . ,nqui peuvent ˆetre :
des courbes ou des images i.e.Yi: Ω→RavecΩ⊂Rd pour d=1,2,3
des points dans le planYi∈R2k(ensemble deklandmarks dans R2)
Probl `eme :comment choisir un espaceMet une distance (Riemannienne)dpour mod ´eliser les donn ´ees ?
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Choix d’une action de groupe
Une possibilit ´e (dans cette direction) :se donner un groupeGde transformations qui agit sur l’espace de HilbertH
Principe :soitg∈Gety∈ H on note par·l’action deGsurH
on supposeg·y∈ Hpour tout(g,y)∈G× H
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Choix d’une action de groupe
Exemple d’action de groupes pourH=R2×k
Espace des formes - choix de
G=R2×S1×R+
groupe des transformations “affines” (translation + rotation + scaling) du plan, et pourg= (b, θ,a)∈Gety∈R2×kon d ´efinit
g·y=aRθy+
1 ... 1
b0
o `u
Rθ=
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
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Choix d’une action de groupe
Exemple d’action de groupes pourH=L2([0,1])
D ´eformation rigide de courbes 1D - choix de G=R
groupe des translations, et pourg=b∈Gety∈L2([0,1])on d ´efinit
g·y(t) =y(t−b), t∈[0,1]
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Choix d’une action de groupe
Exemple d’action de groupes pourH=L2([0,1]2)
D ´eformation rigide d’images 2D - choix de G=R2×S1×R+
groupe des translations et rotations, et pourg= (b, θ,a)∈Get y∈L2([0,1]2)on d ´efinit
g·y(u) =y(aRθ(u−b)), u∈[0,1]2
avec
Rθ=
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
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D ´eformation rigide d’images 2D
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Choix d’une action de groupe
Exemple d’action de groupes pourH=L2(Ω)avecΩ⊂Rd D ´eformation non-rigide de courbes ou d’images - choix de
G={φ: Ω→Ω}
groupe de diff ´eomorphismes deΩi.e. tel que φ(Ω) = Ω =φ−1(Ω), et pourg=φ∈Gety∈L2(Ω)on d ´efinit
g·y(u) =y(φ(u)), u∈Ω
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D ´eformation non-rigide d’images 2D
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Construction de “distances” non-euclidiennes
Th ´eorie des formes de Grenander (1993) : variabilit ´e g ´eom ´etrique des images sous l’action d’un groupe de Lie
Espace des formes ou des images : H=R2×kouH=L2(Ω) Espace des d ´eformations : Ggroupe (de Lie) agissant surH Mesure de dissimilarit ´e induite parG: poury,y0∈L2(Ω)
d2G(y,y0) = inf
g∈G
n
y−g−1·y0
2
H+λD(g,e)o
, o `uλ≥0 Interpr ´etation dedG2 dans le casλ=0
dG2(y,y0) =0s’il existeg∈Gtel que y=g−1·y0
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Estimation par moyenne de Fr ´echet
Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al ´eatoires iid `a valeur dansH Sch ´ema g ´en ´eral d’estimation(registration/warping/alignment)
ˆyn = arg min
y∈H
1 n
n
X
i=1
d2G(y,Yi)
= arg min
y∈H
1 n
n
X
i=1 ginfi∈G
n
g−1i ·Yi−y
2
H+λD(gi,e)o
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Estimation par moyenne de Fr ´echet
Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al ´eatoires iid `a valeur dansH Sch ´ema g ´en ´eral d’estimation(registration/warping/alignment) Etape 1 Estimation des param `etres de d ´eformations
(ˆg1, . . . ,ˆgn) = arg min
(g1,...,gn)∈Gn
1 n
n
X
i=1
g−1i ·Yi−1 n
n
X
j=1
g−1j ·Yj
2
H
+λD(gi,e)
Etape 2 Alignement puis moyenne usuelle des donn ´ees ˆ
yn= 1 n
n
X
i=1
ˆ g−1i ·Yi
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Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2
Donn ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=13landmarks (points rougesdansR2)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2 Donn ´ees align ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=13 landmarks (points vertsdansR2)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2
Donn ´ees non-align ´ees /Donn ´ees align ´ees (n=56)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2
Moyenne euclidienne usuelle /Moyenne de Fr ´echet (n=56)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2
Donn ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=50landmarks (points rougesdansR2)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2 Donn ´ees align ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=50 landmarks (points vertsdansR2)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2
Donn ´ees non-align ´ees /Donn ´ees align ´ees (n=200)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de formes
G- groupe de translation + rotation + scaling du planR2
Moyenne euclidienne usuelle /Moyenne de Fr ´echet (n=200)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de courbes
G=S1- groupe de translation
Donn ´ees :courbesYi∈L2([0,1])shift ´ees al ´eatoirement + bruit Yi(x) =f(x−gi) +Wi(x), pourx∈[0,1], etgitranslations al ´eatoires iid
Courbef / Sous- ´echantillon de 10 donn ´ees (n=200)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de courbes
Moyenne euclidienne usuelle
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
Exemple : moyenne de courbes
Moyenne de Fr ´echet
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
1 Motivations
2 Choix d’une distance
3 Moyenne de Fr ´echet
4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
5 Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
6 Groupe de dimension infinie
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Mod `ele statistique d ´eformable
Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al ´eatoires iid dansL2(Ω) Yi(x) =f(g∗i ·x) +Zi(g∗i ·x) +Wi(x), x∈Ω; i=1, . . . ,n avec
f forme moyenne de courbes/images Witerme additif d’erreur classique
Zi∈L2(Ω)v.a. centr ´ee : variation en intensit ´e/amplitude autour def
g∗i ∈G(groupe de Lie) variation g ´eom ´etrique autour def (param `etres de d ´eformation)
Objectifs :
inf ´erence dans ce type de mod `eles du point de vue de la statistique nonparam ´etrique (f ? variabilit ´e desZiet desg∗i ?)
´etude des propri ´et ´es statistique de la moyenne de Fr ´echet d’un ensemble de courbes/images
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Mod `ele statistique d ´eformable
Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al ´eatoires iid dansL2(Ω) Yi(x) =f(g∗i ·x) +Zi(g∗i ·x) +Wi(x), x∈Ω; i=1, . . . ,n Sch ´ema g ´en ´eral d’estimation par moyenne de Fr ´echet Etape 1 Estimation des param `etres de d ´eformations
(ˆg1, . . . ,ˆgn) = arg min
(g1,...,gn)∈Gn
1 n
n
X
i=1
Z
Ω
ˆfi(g−1i ·x)−1 n
n
X
j=1
ˆfj(g−1j ·x)
2
dx
+λD(gi,e) o `uˆfi(·) = ˆfi(·,Yi)∈L2(Ω)
Etape 2 Alignement puis moyenne usuelle des donn ´ees
¯fn(x) =1 n
n
X
i=1
ˆfi(ˆg−1i ·x)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Courbes shift ´ees al ´etoirement
Mod `ele le plus simple : courbes shift ´ees al ´etoirement dYi(x) =f(x−τi)dx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n
Objectif :estimer la fonctionf et ´etude asymptotique (pourn→+∞) du risque minimax
Rn(F) =inf
ˆfn
sup
f∈F
R(ˆfn,f), avec
R(ˆfn,f) =Ekˆfn−fk2=ER1
0 |ˆfn(x)−f(x)|2dx F ⊂L2([0,1])e.g. boule de Sobolev
ˆfn∈L2([0,1])une fonction mesurable de{Ym, m=1, . . . ,n}
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Cas id ´eal : pas de shifts
Observations :courbes bruit ´eesY1, . . .Yn
dYi(x) =f(x)dx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n
R ´esultat classique :siF=Hs(A)(boule de Sobolev de rayonA) de r ´egularit ´es>0alors
Rn(F) =inf
ˆfn
sup
f∈F
R(ˆfn,f)∼Cn−2s+12s
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Cas de la d ´econvolution
Probl `eme de d ´econvolution standard avec erreur Gaussienne :
dYi(x) = Z 1
0
f(x−τ)g(τ)dτdx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n
R ´esultat classique : sous l’hypoth `ese que les coefficients de Fourier degd ´ecroissent `a la vitesse polynomialeν >0i.e.
Z
g(x)e−i2π`xdx∼ |`|−νpour`∈Z.
PourF =Hs(A)(boule de Sobolev de rayonAet r ´egularit ´es>0) alors
Rn(F) =inf
ˆfn
sup
f∈F
R(ˆfn,f)∼Cn−2s+2ν+12s (au lieu den−2s+12s dans le cas direct)
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Lien avec les probl `emes inverses
(Bigot, Gadat, Klein, Marteau)Mod `ele le plus simple : courbes shift ´ees al ´etoirement
dYi(x) =f(x−τi)dx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n, avecτi∼iidg Moyenne empirique usuelle :
¯fn(x) = 1 n
n
X
i=1
Yi(x) −→
n→+∞EY1(x) =Ef(x−τ1) = Z
f(x−τ)g(τ)dτ
Probl `eme de d ´econvolution ?
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Courbes shift ´ees al ´etoirement
Etude de l’estimation def ∈ F ⊂L2([0,1])au sens du risque minimax Rn(F) =inf
ˆfn
sup
f∈FEkˆfn−fk2L2
Hypoth `ese : les coefficients de Fourier degd ´ecroissent `a la vitesse polynomialeν >0i.e.R
g(x)e−i2π`xdx∼ |`|−ν pour`∈Z.
R ´esultats : Rn(F)∼n−2s+2ν+12s pourF =Hs(A)(boule de Sobolev)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Courbes shift ´ees al ´eatoirement
Etude du probl `eme de la reconstruction des shiftsτi,i=1, . . . ,n (variablit ´e g ´eometrique)
Mod `ele
dYi(x) =f(x−τi∗)dx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n, avecτi∗∼iidg Estimateurs des shifts (Etape 1)
(ˆτ1`0, . . . ,τˆn`0) = arg min
(τ1,...,τn)∈Rn
1 n
n
X
i=1
Z
0
1
ˆfi`0(x+τi)−1 n
n
X
j=1
ˆfj`0(x+τj)
2
dx
o `uˆfi`0,i=1, . . . ,nsont des versions liss ´ees deYipar filtrage passe-bas (fr ´equence de coupure`0).
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Courbes shift ´ees al ´eatoirement
Etude du probl `eme de la reconstruction des shiftsτi,i=1, . . . ,n (variablit ´e g ´eometrique)
R ´esultats : convergence (en probabilit ´e) deτˆi`0 versτiavec asymptotique→0(niveau du bruit) +filtrage passe-basdes courbes bruit ´ees (`0=`0()→+∞pas trop rapidement) Borne inf ´erieure pour l’estimation des shifts
E 1 n
n
X
m=1
(ˆτm−τm)2
!
≥ 2
kf0k2+2R ∂
∂τ logg(τ)2
g(τ)dτ 9
n→+∞0
o `u(ˆτ1, . . . ,τˆn)sont des estimateurs quelconques des shifts (fonctions mesurables des donn ´ees)
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Courbes shift ´ees al ´eatoirement
Moyenne de Fr ´echet¯fn(x) =1nPn
i=1ˆfi(x+ ˆτi`0) Pas de convergence de¯fnversf car
n→+∞lim E 1 n
n
X
m=1
(ˆτm−τm)2
!
6=0⇒ lim
n→+∞Ek¯fn−fk2L2([0,1]6=0
Choix de l’asymptotique ? n→+∞etfix ´e nfix ´e et→0 n→+∞et→0
Vitesse minimax dans le casn→+∞et→0?
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
Estimation semi-param ´etrique de d ´eformations - n fix ´e
Bigot, Loubes, Vimond
D ´eformations : G= groupe de Lie compact Exemples :G=Sd,G=SO(3)
Courbes / Images : f ∈L2(G)i.e.Ω =G
dYi(g) =f(h∗i ·g)dg+dWi(g), avech∗i ∈Gfix ´e,i=1, . . . ,n Contributions : constructions d’estimateurs deh∗i `a partir de la transform ´ee de Fourier surG(th ´eor `eme de Peter-Weyl, cas commutatif et non-commutatif)
R ´esultats :
convergence (→0) en probabilit ´e (par filtrage passe-bas sur les
“fr ´equences” de Fourier)
normalit ´e asymptotique des estimateurs en “lin ´earisant” le groupeG `a l’aide de la carte exponentielle
comparaison des cas commutatifs et non-commutatifs
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
1 Motivations
2 Choix d’une distance
3 Moyenne de Fr ´echet
4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e
5 Statistique non-param ´etrique et mod `eles d ´eformables
6 Groupe de dimension infinie
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Diff ´eomorphismes g ´en ´er ´es par des petites d ´eformations
Question : comment construire un diff ´eomorphismeφ: Ω→Ωavec Ω⊂Rdun ouvert ?
Id ´ee : composer un ensemble de d ´eformations infit ´esimales
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Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations
Letv: Ω→Rd une fonction lisse telle, alors siest suffisamment petitφ(x) =x+v(x)est une fonction bijective
Soitv1, . . . ,vpune suite de fonctions lisses et >0telles que φp+1= (Id+vp)◦. . .◦(Id+v1) = (Id+vp)◦φp=φp+vp◦φp
est une suite de fonctions bijectives qui peut s’ ´ecrire comme
φp+1−φp
=vp◦φp,
Si→0, on obtient (en introduisant une variable de tempst)
∂φt(x)
∂t =vt(φt(x)), x∈Ω
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Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations
Letv: Ω→Rd une fonction lisse telle, alors siest suffisamment petitφ(x) =x+v(x)est une fonction bijective
Soitv1, . . . ,vpune suite de fonctions lisses et >0telles que φp+1= (Id+vp)◦. . .◦(Id+v1) = (Id+vp)◦φp=φp+vp◦φp
est une suite de fonctions bijectives qui peut s’ ´ecrire comme φp+1−φp
=vp◦φp,
Si→0, on obtient (en introduisant une variable de tempst)
∂φt(x)
∂t =vt(φt(x)), x∈Ω
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations
Letv: Ω→Rd une fonction lisse telle, alors siest suffisamment petitφ(x) =x+v(x)est une fonction bijective
Soitv1, . . . ,vpune suite de fonctions lisses et >0telles que φp+1= (Id+vp)◦. . .◦(Id+v1) = (Id+vp)◦φp=φp+vp◦φp
est une suite de fonctions bijectives qui peut s’ ´ecrire comme φp+1−φp
=vp◦φp,
Si→0, on obtient (en introduisant une variable de tempst)
∂φt(x)
∂t =vt(φt(x)), x∈Ω
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Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations
Proposition (Trouv ´e, Younes)
SoitH ⊂Cq0(Ω,Rd)un espace de Banach de fonctions (q≥1), et (vt,t∈[0,1])un champ de vecteurs d ´ependant du temps tel que pour toutt,vt∈ Het
Z 1 0
kvtkHdt<+∞
Alors pour toutx∈Ω⊂Rett∈[0,1]
il existe une unique solution de l’EDO ∂φ∂tt =vt(φt)avec la condition initialeφ0(x) =xi.e.
φt(x) =x+ Z t
0
vs(φs(x))ds
pour toutt∈[0,1],φtest un diff ´eomorphisme deΩdansΩ.
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Groupe de diff ´emorphismes
SoitH ⊂Cq0(Ω,Rd)etχ1Hl’ensemble des champs de vecteurs v= (vt,t∈[0,1])admissibles i.e.vt∈ HetR1
0 kvtkHdt<+∞
Definition
SoitGH={φv1, v∈χ1H}l’ensemble des diff ´emorphismes au temps t=1g ´en ´er ´es par les champs de vecteurs deχ1H.
Proposition
GHest un groupe de diff ´emorphismes pour la composition de fonctions i.e. siφv1, φv10 ∈GH, alors il existew∈χ1Htel que
φv1◦φv10 =φw1
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Mod `ele d ´eformable avec diff ´eomorphismes al ´eatoires
Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al ´eatoires iid dansL2(Ω) dYi(x) =f(g∗i ·x)dx+dWi(x), x∈Ω; i=1, . . . ,n
avecg∗i,i=1, . . . ,ndiff ´eomorphismes al ´eatoires iid `a valeur dansGH (flots stochastiques de Kunita)
Probl `eme : estimation def? de la loi desg∗i ?
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
vt=vpour toutt∈[0,1]
Le champ de vecteurs ne d ´epend pas du temps
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
φt(x) =xau tempst=0
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
φt(x) =x+Rt
0vs(φs(x))dsau tempst=0.05
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
φt(x) =x+Rt
0vs(φs(x))dsau tempst=0.1
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
φt(x) =x+Rt
0vs(φs(x))dsau tempst=0.3
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
φt(x) =x+Rt
0vs(φs(x))dsau tempst=0.7
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Exemple num ´erique
Construction d’une fonction monotone sur[0,1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
φt(x) =x+Rt
0vs(φs(x))dsau tempst=1
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Groupe de diff ´emorphismes
Definition d’une distance : soitψ, ψ0 ∈GH, on d ´efinit dH(ψ, ψ0) = inf
v∈χ1H{kvkχ1
H, ψ0 =ψ◦φv1}
o `ukvkχ1 H =R1
0 kvtkHdt.
Proposition (Trouv ´e)
La fonctiondHest une distance surGH, et(GH,dH)est un espace m ´etrique complet.
Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie
Groupe de Lie de dimension infinie
A pr ´eciser ! ! Proposition
GHest (presque ?) un groupe de Lie de dimension infinie (probl `eme de diff ´erentiabilit ´e de la composition `a gauche pour certains choix de H?) etHest peut ˆetre vu comme l’alg `ebre de Lie deGH.