Modèles déformables pour l analyse statistique des courbes et des images

(1)

Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images

J ´er ´emie Bigot

Institut de Math ´ematiques de Toulouse Universit ´e de Toulouse

Rencontres LPT-IMT Avril 2011

Collaboration avec Benjamin Charlier, S ´ebastien Gadat, Fabrice Gamboa, Xavier Gendre, Thierry Klein, Jean-Michel Loubes, Cl ´ement

Marteau, Myriam Vimond

(2)

Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Motivations

1 Motivations

2 Choix d’une distance

3 Moyenne de Fr ´echet

4 Action de groupe et mesures de dissimilarit ´e

5 Statistique non-param étrique et mod èles d éformables

6 Groupe de dimension infinie

(3)

Probl ´ematique

Objectif de l’analyse statistique :comparer des objets pr ´esentant des caract ´eristiques similaires et extraire des informations sur la loi de distribution de ces objets

Outils

Statistique d’ordre 1 : moyenne empirique Statistique d’ordre 2 : analyse de la matrice de

variance/covariance empirique (Analyse en composantes principales)

(4)

Probl ´ematique

Donn ´ees :images 2D de tailleN1×N2pixels

(5)

Probl ´ematique

Donn ´ees :formes dans le plan d ´ecrites park=13landmarks (points rougesdansR²)

(6)

Probl ´ematique

Observations :collection den“objets”Yi,i=1, . . . ,nqui peuvent ˆetre :

des courbes ou des images i.e.Yi: Ω→RavecΩ⊂R^d pour d=1,2,3

des points dans le planYi∈R^2k(ensemble deklandmarks dans R²)

(7)

Variabilit ´e d’un ensemble de donn ´ees

L’Analyse en Composante Principale(ACP)permet de visualiser les principaux modes de variabilit ´e d’un ensemble de donn ´ees autour de leur moyenne

SoitYi,i=1, . . . ,ndes variables al ´eatoires iid `a valeur dans un espace de HilbertH

Moyenne empiriqueY¯n=¹_nPn i=1Yi

SiH=R^p, ACP = diagonaliser la matrice de covariance S=1

n

X

i=1

(Y_i−Y¯n)(Y_i−Y¯n)⁰,

et on d ´efinit

- le premier mode de variation parY¯_n±√ λ₁wˆ₁ - le deuxi `eme mode de variation parY¯_n±√

λ2wˆ2

o `uwˆ1,wˆ2, . . .sont les premiers vecteurs propres deSassoci ´es aux plus grandes valeurs propresλ1≥λ2≥. . .≥0

(8)

Variabilit ´e d’un ensemble d’images

Donn ´ees :images de tailleN1×N2pixels i.e.H=R^N¹^N²

Moyenne empirique -Y¯nn’est pas un visage (effet de flou) !

(9)

Variabilit ´e d’un ensemble d’images

Premier mode de variation -Y¯n+√ λ1wˆ1

(10)

Variabilit ´e d’un ensemble d’images

Premier mode de variation -Y¯n

(11)

Variabilit ´e d’un ensemble d’images

Premier mode de variation -Y¯n−√ λ1wˆ1

(12)

Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Choix d’une distance

1 Motivations

(13)

Le probl `eme du choix d’une distance

Id ´ee :la comparaison d’objets repose sur le choix d’une bonne distance

Mod èle utilis é classiquement : choix d’unedistance euclidienne d surHassoci ée à un produit scalaire

d(y,y⁰) =ky−y⁰k_H=p

hy−y⁰,y−y⁰i_Hpoury,y⁰∈ H Le choix d’une distance induit des statistiques sp ´ecifiques Distance euclidienne⇒moyenne usuelle dansH

Y¯_n=1 n

n

X

i=1

Y_i=arg min

y∈H n

X

i=1

kY_i−yk²_H

Questions :

le choix de la distance euclidiennesurHest-il bien adapt ´ee `a la comparaison d’images ou de formes ?

Y¯nest-il toujours dans“le m ˆeme espace” que lesYi?

(14)

Cas de formes dans le plan

Probl ème : l’espace euclidienH=R^k×2est-il bien adapt é pour mod éliser des formes dans le plan ?

(15)

Espace des formes de Kendall

Soitx1, . . . ,xkdes points dansR²(vecteur dansR^2kouC^k)

D ´efinition d’une forme (Kendall (1984)) :“Shape is what remains when location, size, and rotational effects are filtered out”

Standardisation ( ´echelle + translation)

τ(x₁, . . . ,xk) =





x1−¯x qPk

j=1kxj−¯xk²

R²

, . . . ,xn−¯x qPk

j=1kxj−¯xk²

R²





o `u¯x= ¹_kPk

j=1xj∈R²

Pre-shape space :τ(x1, . . . ,xk)∈S^2k−3∗ =F^2k−2∩S^2k−1, o `u F^2k−2 = {(x1, . . . ,xk)∈R^2k :

k

X

j=1

xj=0}

S^2k−2 = {(x1, . . . ,xk)∈R^2k :

k

X

j=1

kxjk²_R2 =1}

(16)

Espace des formes de Kendall

Soitθ:R²→R²une rotation dans le plan autour de l’origine.

Equivalence de deux pr ´e-formesτ₁, τ₂∈S^2k−3∗ : τ₁∼τ₂s’il existeθtel queθ(τ₁) =τ₂

o `uθ(τ) = θτ¹, . . . , θτ^k

pourτ= (τ¹, . . . , τ^k)∈R^2×k Espace des formes de Kendall : ensemble de classes d’ ´equivalence

Σ^k₂={[τ] : τ∈S^2k−3∗ },

o `u[τ]est la classe d’ ´equivalence deτ pour la relation∼

(17)

Espace des formes = vari ´et ´e Riemannienne

Proposition

(Σ^k₂,˜d)est une vari ´et ´e Riemannienne de dimension2k−4pour la distance

˜d([τ₁],[τ₂]) =cos⁻¹(|hτ1, τ₂i|) =cos⁻¹



|

k

X

j=1

τ_1,jτ_2,j^∗|





Diff ´erences avec le cas EuclidienR^2k Σ^k₂n’est pas un espace lin ´eaire

dñ’est pas une distance associ ée à un produit scalaire euclidien Probl èmes :

comment d ´efinir une moyenne surΣ^k₂?

comment d ´efinir une notion d’ACP surΣ^k₂(pas d’op ´erateur naturel de covariance) ?

(18)

Mod èles d éformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Moyenne de Fr échet

1 Motivations

(19)

Moyenne au sens de Fr ´echet

Definition

SoitXune variable al éatoire de loiP à valeur dans un espace m étrique(M,d). Une moyenne (pas n écessairement unique !) au sens de Fr échet de la distributionPest un pointx^∗qui est un minimumglobalde la fonction

F(x) = Z

M

d²(x,y)dP(y)etx^∗∈arg min

x∈M

F(x)

Lamoyenne empiriqueau sens de Fr ´echet est donn ´e par la

distribution empirique associ ée à un échantillonX1, . . . ,Xnde loiPi.e.

X¯n∈arg min

x∈M n

X

i=1

d²(x,Xi)

(20)

Moyenne au sens de Fr ´echet - cas euclidien

Proposition

SiMest un espace de Hilbert muni de la distance euclienne usuelle alors la moyenne de Fr ´echet est unique et correspond `a la notion de moyenne usuelle

x^∗=EX= Z

M

ydP(y),

et

X¯n=1 n

n

X

i=1

Xi

(21)

Moyenne au sens de Fr échet - propri ét és statistiques

Question :convergence quandn→+∞de X¯_n∈arg min

x∈M n

X

i=1

d²(x,X_i)

vers

x^∗∈arg min

x∈M

Z

M

d²(x,y)dP(y)

R ´ef ´erences

R. Bhattacharya and V. Patrangenaru. Large sample theory of intrinsic and extrinsic sample means on manifolds (i). Annals of statistics, 31(1) :1–29, 2003.

R. Bhattacharya and V. Patrangenaru. Large sample theory of intrinsic and extrinsic sample means on manifolds (ii). Annals of statistics, 33 :1225–1259, 2005.

(22)

Mod èles d éformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Action de groupe et mesures de dissimilarit é

1 Motivations

(23)

Observations :collection den“objets”Y_i,i=1, . . . ,nqui peuvent ˆetre :

des courbes ou des images i.e.Yi: Ω→RavecΩ⊂R^d pour d=1,2,3

des points dans le planYi∈R^2k(ensemble deklandmarks dans R²)

Probl ème :comment choisir un espaceMet une distance (Riemannienne)dpour mod éliser les donn ées ?

(24)

Choix d’une action de groupe

Une possibilit ´e (dans cette direction) :se donner un groupeGde transformations qui agit sur l’espace de HilbertH

Principe :soitg∈Gety∈ H on note par·l’action deGsurH

on supposeg·y∈ Hpour tout(g,y)∈G× H

(25)

Choix d’une action de groupe

Exemple d’action de groupes pourH=R^2×k

Espace des formes - choix de

G=R²×S¹×R+

groupe des transformations “affines” (translation + rotation + scaling) du plan, et pourg= (b, θ,a)∈Gety∈R^2×kon d ´efinit

g·y=aRθy+





 1 ... 1





b⁰

o `u

Rθ=

cos(θ) sin(θ)

−sin(θ) cos(θ)

(26)

Choix d’une action de groupe

Exemple d’action de groupes pourH=L²([0,1])

D ´eformation rigide de courbes 1D - choix de G=R

groupe des translations, et pourg=b∈Gety∈L²([0,1])on d ´efinit

g·y(t) =y(t−b), t∈[0,1]

(27)

Choix d’une action de groupe

Exemple d’action de groupes pourH=L²([0,1]²)

D ´eformation rigide d’images 2D - choix de G=R²×S¹×R+

groupe des translations et rotations, et pourg= (b, θ,a)∈Get y∈L²([0,1]²)on d ´efinit

g·y(u) =y(aR_θ(u−b)), u∈[0,1]²

avec

Rθ=

cos(θ) sin(θ)

−sin(θ) cos(θ)

(28)

D ´eformation rigide d’images 2D

(29)

Choix d’une action de groupe

Exemple d’action de groupes pourH=L²(Ω)avecΩ⊂R^d D ´eformation non-rigide de courbes ou d’images - choix de

G={φ: Ω→Ω}

groupe de diff ´eomorphismes deΩi.e. tel que φ(Ω) = Ω =φ⁻¹(Ω), et pourg=φ∈Gety∈L²(Ω)on d ´efinit

g·y(u) =y(φ(u)), u∈Ω

(30)

D ´eformation non-rigide d’images 2D

(31)

Construction de “distances” non-euclidiennes

Th éorie des formes de Grenander (1993) : variabilit é g éom étrique des images sous l’action d’un groupe de Lie

Espace des formes ou des images : H=R^2×kouH=L²(Ω) Espace des d ´eformations : Ggroupe (de Lie) agissant surH Mesure de dissimilarit ´e induite parG: poury,y⁰∈L²(Ω)

d²_G(y,y⁰) = inf

g∈G

n

y−g⁻¹·y⁰

2

H+λD(g,e)o

, o `uλ≥0 Interpr ´etation ded_G² dans le casλ=0

d_G²(y,y⁰) =0s’il existeg∈Gtel que y=g⁻¹·y⁰

(32)

Estimation par moyenne de Fr ´echet

Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al éatoires iid à valeur dansH Sch éma g én éral d’estimation(registration/warping/alignment)

ˆyn = arg min

y∈H

1 n

n

X

i=1

d²_G(y,Yi)

= arg min

y∈H

1 n

n

X

i=1 ginfi∈G

n

g⁻¹_i ·Yi−y

2

H+λD(gi,e)o

(33)

Estimation par moyenne de Fr ´echet

Observations : Y₁, . . . ,Y_nvariables al éatoires iid à valeur dansH Sch éma g én éral d’estimation(registration/warping/alignment) Etape 1 Estimation des param ètres de d éformations

(ˆg1, . . . ,ˆgn) = arg min

(g₁,...,gn)∈Gⁿ





 1 n

n

X

i=1

g⁻¹_i ·Yi−1 n

n

X

j=1

g⁻¹_j ·Yj

2

H

+λD(g_i,e)







Etape 2 Alignement puis moyenne usuelle des donn ´ees ˆ

y_n= 1 n

n

X

i=1

ˆ g⁻¹_i ·Y_i

(34)

Exemple : moyenne de formes

G- groupe de translation + rotation + scaling du planR²

(35)

Exemple : moyenne de formes

G- groupe de translation + rotation + scaling du planR² Donn ées align ées :formes dans le plan d écrites park=13 landmarks (points vertsdansR²)

(36)

Exemple : moyenne de formes

Donn ées non-align ées /Donn ées align ées (n=56)

(37)

Exemple : moyenne de formes

Moyenne euclidienne usuelle /Moyenne de Fr ´echet (n=56)

(38)

Exemple : moyenne de formes

(39)

Exemple : moyenne de formes

G- groupe de translation + rotation + scaling du planR² Donn ées align ées :formes dans le plan d écrites park=50 landmarks (points vertsdansR²)

(40)

Exemple : moyenne de formes

Donn ées non-align ées /Donn ées align ées (n=200)

(41)

Exemple : moyenne de formes

Moyenne euclidienne usuelle /Moyenne de Fr ´echet (n=200)

(42)

Exemple : moyenne de courbes

G=S¹- groupe de translation

Donn ées :courbesYi∈L²([0,1])shift ées al éatoirement + bruit Y_i(x) =f(x−g_i) +W_i(x), pourx∈[0,1], etg_itranslations al éatoires iid

Courbef / Sous- ´echantillon de 10 donn ´ees (n=200)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

(43)

Exemple : moyenne de courbes

Moyenne euclidienne usuelle

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

(44)

Exemple : moyenne de courbes

Moyenne de Fr ´echet

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

(45)

Mod èles d éformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Statistique non-param étrique et mod èles d éformables

1 Motivations

(46)

Mod `ele statistique d ´eformable

Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al ´eatoires iid dansL²(Ω) Yi(x) =f(g^∗_i ·x) +Zi(g^∗_i ·x) +Wi(x), x∈Ω; i=1, . . . ,n avec

f forme moyenne de courbes/images Witerme additif d’erreur classique

Zi∈L²(Ω)v.a. centr ´ee : variation en intensit ´e/amplitude autour def

g^∗_i ∈G(groupe de Lie) variation g éom étrique autour def (param ètres de d éformation)

Objectifs :

inf érence dans ce type de mod èles du point de vue de la statistique nonparam étrique (f ? variabilit é desZiet desg^∗_i ?)

étude des propri ét és statistique de la moyenne de Fr échet d’un ensemble de courbes/images

(47)

Mod `ele statistique d ´eformable

Observations : Y1, . . . ,Ynvariables al éatoires iid dansL²(Ω) Yi(x) =f(g^∗_i ·x) +Zi(g^∗_i ·x) +Wi(x), x∈Ω; i=1, . . . ,n Sch éma g én éral d’estimation par moyenne de Fr échet Etape 1 Estimation des param ètres de d éformations

(ˆg1, . . . ,ˆgn) = arg min

(g₁,...,gn)∈Gⁿ





 1 n

n

X

i=1

Z

Ω

ˆfi(g⁻¹_i ·x)−1 n

n

X

j=1

ˆfj(g⁻¹_j ·x)

2

dx

+λD(g_i,e) o `uˆfi(·) = ˆfi(·,Yi)∈L²(Ω)

Etape 2 Alignement puis moyenne usuelle des donn ´ees

¯fn(x) =1 n

n

X

i=1

ˆfi(ˆg⁻¹_i ·x)

(48)

Courbes shift ´ees al ´etoirement

Mod èle le plus simple : courbes shift ées al étoirement dYi(x) =f(x−τi)dx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n

Objectif :estimer la fonctionf et ´etude asymptotique (pourn→+∞) du risque minimax

Rn(F) =inf

ˆfn

sup

f∈F

R(ˆfn,f), avec

R(ˆfn,f) =Ekˆfn−fk²=ER1

0 |ˆfn(x)−f(x)|²dx F ⊂L²([0,1])e.g. boule de Sobolev

ˆfn∈L²([0,1])une fonction mesurable de{Ym, m=1, . . . ,n}

(49)

Cas id ´eal : pas de shifts

Observations :courbes bruit ´eesY1, . . .Yn

dY_i(x) =f(x)dx+dW_i(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n

R ésultat classique :siF=H^s(A)(boule de Sobolev de rayonA) de r égularit és>0alors

Rn(F) =inf

ˆfn

sup

f∈F

R(ˆfn,f)∼Cn⁻^2s+1^2s

(50)

Cas de la d ´econvolution

Probl `eme de d ´econvolution standard avec erreur Gaussienne :

dY_i(x) = Z 1

0

f(x−τ)g(τ)dτdx+dW_i(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n

R ésultat classique : sous l’hypoth èse que les coefficients de Fourier degd écroissent à la vitesse polynomialeν >0i.e.

Z

g(x)e^−i2π`xdx∼ |`|^−νpour`∈Z.

PourF =H^s(A)(boule de Sobolev de rayonAet r ´egularit ´es>0) alors

Rn(F) =inf

ˆfn

sup

f∈F

R(ˆfn,f)∼Cn⁻^2s+2ν+1^2s (au lieu den⁻^2s+1^2s dans le cas direct)

(51)

Lien avec les probl `emes inverses

(Bigot, Gadat, Klein, Marteau)

Mod èle le plus simple : courbes shift ées al étoirement

dYi(x) =f(x−τi)dx+dWi(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n, avecτi∼iidg Moyenne empirique usuelle :

¯fn(x) = 1 n

n

X

i=1

Yi(x) −→

n→+∞EY1(x) =Ef(x−τ1) = Z

f(x−τ)g(τ)dτ

Probl `eme de d ´econvolution ?

(52)

Courbes shift ´ees al ´etoirement

Etude de l’estimation def ∈ F ⊂L²([0,1])au sens du risque minimax R_n(F) =inf

ˆfn

sup

f∈FEkˆf_n−fk²_L2

Hypoth èse : les coefficients de Fourier degd écroissent à la vitesse polynomialeν >0i.e.R

g(x)e^−i2π`xdx∼ |`|^−ν pour`∈Z.

R ´esultats : R_n(F)∼n⁻^2s+2ν+1^2s pourF =H^s(A)(boule de Sobolev)

(53)

Courbes shift ´ees al ´eatoirement

Etude du probl ème de la reconstruction des shiftsτ_i,i=1, . . . ,n (variablit é g éometrique)

Mod `ele

dYi(x) =f(x−τ_i^∗)dx+dW_i(x), x∈[0,1], i=1, . . . ,n, avecτ_i^∗∼_iidg Estimateurs des shifts (Etape 1)

(ˆτ₁^`⁰, . . . ,τˆ_n^`⁰) = arg min

(τ₁,...,τn)∈Rⁿ

1 n

n

X

i=1

Z

0

1

ˆf_i^`⁰(x+τi)−1 n

n

X

j=1

ˆf_j^`⁰(x+τj)

2

dx

o ùˆf_i^`⁰,i=1, . . . ,nsont des versions liss ées deYipar filtrage passe-bas (fr équence de coupure`₀).

(54)

Courbes shift ´ees al ´eatoirement

Etude du probl ème de la reconstruction des shiftsτ_i,i=1, . . . ,n (variablit é g éometrique)

R ésultats : convergence (en probabilit é) deτˆ_i^`⁰ versτiavec asymptotique→0(niveau du bruit) +filtrage passe-basdes courbes bruit ées (`0=`0()→+∞pas trop rapidement) Borne inf érieure pour l’estimation des shifts

E 1 n

n

X

m=1

(ˆτm−τm)²

!

≥ ²

kf⁰k²+²R _∂

∂τ logg(τ)²

g(τ)dτ 9

n→+∞0

o `u(ˆτ₁, . . . ,τˆ_n)sont des estimateurs quelconques des shifts (fonctions mesurables des donn ´ees)

(55)

Courbes shift ´ees al ´eatoirement

Moyenne de Fr ´echet¯fn(x) =¹_nPn

i=1ˆfi(x+ ˆτ_i^`⁰) Pas de convergence de¯fnversf car

n→+∞lim E 1 n

n

X

m=1

(ˆτ_m−τ_m)²

!

6=0⇒ lim

n→+∞Ek¯fn−fk²_L2([0,1]6=0

Choix de l’asymptotique ? n→+∞etfix ´e nfix ´e et→0 n→+∞et→0

Vitesse minimax dans le casn→+∞et→0?

(56)

Estimation semi-param étrique de d éformations - n fix é

Bigot, Loubes, Vimond

D ´eformations : G= groupe de Lie compact Exemples :G=S^d,G=SO(3)

Courbes / Images : f ∈L²(G)i.e.Ω =G

dY_i(g) =f(h^∗_i ·g)dg+dW_i(g), avech^∗_i ∈Gfix é,i=1, . . . ,n Contributions : constructions d’estimateurs deh^∗_i à partir de la transform ée de Fourier surG(th éor ème de Peter-Weyl, cas commutatif et non-commutatif)

R ´esultats :

convergence (→0) en probabilit ´e (par filtrage passe-bas sur les

“fr ´equences” de Fourier)

normalit é asymptotique des estimateurs en “lin éarisant” le groupeG à l’aide de la carte exponentielle

comparaison des cas commutatifs et non-commutatifs

(57)

Mod `eles d ´eformables pour l’analyse statistique des courbes et des images Groupe de dimension infinie

1 Motivations

(58)

Diff éomorphismes g én ér és par des petites d éformations

Question : comment construire un diff ´eomorphismeφ: Ω→Ωavec Ω⊂R^dun ouvert ?

Id ée : composer un ensemble de d éformations infit ésimales

(59)

Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations

Letv: Ω→R^d une fonction lisse telle, alors siest suffisamment petitφ(x) =x+v(x)est une fonction bijective

Soitv1, . . . ,vpune suite de fonctions lisses et >0telles que φp+1= (Id+vp)◦. . .◦(Id+v1) = (Id+vp)◦φp=φp+vp◦φp

est une suite de fonctions bijectives qui peut s’ ´ecrire comme

φ_p+1−φ_p

=vp◦φp,

Si→0, on obtient (en introduisant une variable de tempst)

∂φ_t(x)

∂t =vt(φ_t(x)), x∈Ω

(60)

Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations

est une suite de fonctions bijectives qui peut s’ ´ecrire comme φ_p+1−φ_p

=vp◦φp,

∂φ_t(x)

(61)

Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations

est une suite de fonctions bijectives qui peut s’ ´ecrire comme φ_p+1−φ_p

=vp◦φp,

∂φ_t(x)

(62)

Diff ´eomorphismes et composition de petites d ´eformations

Proposition (Trouv ´e, Younes)

SoitH ⊂C^q₀(Ω,R^d)un espace de Banach de fonctions (q≥1), et (v_t,t∈[0,1])un champ de vecteurs d ´ependant du temps tel que pour toutt,vt∈ Het

Z 1 0

kv_tk_Hdt<+∞

Alors pour toutx∈Ω⊂Rett∈[0,1]

il existe une unique solution de l’EDO ^∂φ_∂t^t =vt(φt)avec la condition initialeφ0(x) =xi.e.

φ_t(x) =x+ Z t

0

vs(φ_s(x))ds

pour toutt∈[0,1],φtest un diff ´eomorphisme deΩdansΩ.

(63)

Groupe de diff ´emorphismes

SoitH ⊂C^q₀(Ω,R^d)etχ¹_Hl’ensemble des champs de vecteurs v= (v_t,t∈[0,1])admissibles i.e.v_t∈ HetR1

0 kv_tk_Hdt<+∞

Definition

SoitG_H={φ^v₁, v∈χ¹_H}l’ensemble des diff émorphismes au temps t=1g én ér és par les champs de vecteurs deχ¹_H.

Proposition

GHest un groupe de diff ´emorphismes pour la composition de fonctions i.e. siφ^v₁, φ^v₁⁰ ∈GH, alors il existew∈χ¹_Htel que

φ^v₁◦φ^v₁⁰ =φ^w₁

(64)

Mod èle d éformable avec diff éomorphismes al éatoires

Observations : Y₁, . . . ,Y_nvariables al ´eatoires iid dansL²(Ω) dY_i(x) =f(g^∗_i ·x)dx+dW_i(x), x∈Ω; i=1, . . . ,n

avecg^∗_i,i=1, . . . ,ndiff éomorphismes al éatoires iid à valeur dansG_H (flots stochastiques de Kunita)

Probl `eme : estimation def? de la loi desg^∗_i ?

(65)

Exemple num ´erique

Construction d’une fonction monotone sur[0,1]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

vt=vpour toutt∈[0,1]

Le champ de vecteurs ne d ´epend pas du temps

(66)

Exemple num ´erique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

φt(x) =xau tempst=0

(67)

Exemple num ´erique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

φ_t(x) =x+Rt

0vs(φ_s(x))dsau tempst=0.05

(68)

Exemple num ´erique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

φ_t(x) =x+Rt

(69)

Exemple num ´erique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

φ_t(x) =x+Rt

(70)

Exemple num ´erique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

φ_t(x) =x+Rt

(71)

Exemple num ´erique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

φ_t(x) =x+Rt

0vs(φ_s(x))dsau tempst=1

(72)

Groupe de diff ´emorphismes

Definition d’une distance : soitψ, ψ⁰ ∈GH, on d ´efinit dH(ψ, ψ⁰) = inf

v∈χ¹_H{kvk_χ1

H, ψ⁰ =ψ◦φ^v₁}

o `ukvk_χ1 H =R1

0 kvtkHdt.

Proposition (Trouv ´e)

La fonctiondHest une distance surGH, et(G_H,dH)est un espace m ´etrique complet.

(73)

Groupe de Lie de dimension infinie

A pr ´eciser ! ! Proposition

G_Hest (presque ?) un groupe de Lie de dimension infinie (probl ème de diff érentiabilit é de la composition à gauche pour certains choix de H?) etHest peut être vu comme l’alg èbre de Lie deGH.