Lois de comportement des milieux thermo-visco-´elastiques

(1)

Lois de comportement des milieux thermo-visco-´ elastiques

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(2)

Plan

1 Formulation des lois de comportement de la mati`ere 2 Une d´efinition des fluides et des solides

3 Lois de comportement élastique Forme générale

Solides ´elastiques isotropes Fluides ´elastiques isotropes

4 Thermodynamique des milieux continus Energie

Entropie

5 Matériaux hyperélastiques Lois d’état

Propriétés des matériaux élastiques Liaison interne : cas de l’incompressibilité Exemple : les élastomères

6 Viscosit´e

2/87

(3)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

(4)

Position du probl` eme

les lois universelles : lois de conservation chercher des champs (ρ,σ_∼,v) tels que

∂ρ

∂t +div(ρv) = 0 divσ_∼+ρf = ρv˙ i.e. 1+3=4 ´equations

nombre d’inconnues : 1 (ρ) + 3 (vi) + 6 (σij) = 10

il manque 6 ´equations...

Formulation des lois de comportement de la mati`ere 4/87

(5)

Position du probl` eme

∂ρ

relations non universelles : la loi de comportement 6 relationsσij←→vi,Lij,Fij...

(6)

Position du probl` eme

∂ρ

relations non universelles : la loi de comportement 6 relationsσij←→vi,Lij,Fij...

il faut ajouter la conservation de l’´energie

1 ´equation / 4 inconnues : le champ de temp´eratureT(x,t) et le flux de chaleurq(x,t)

loi de comportement : qi ←→T,gradT

(7)

Les grandes classes de comportement

∆l F

Elasticit´e F =k∆l

∆l F

Viscosit´e F =η∆ ˙l

∆l F

Plasticit´e F =F0signe(∆ ˙l) si ∆ ˙l 6= 0

(8)

Forme de la loi de comportement

un exemple : laviscoélasticité(modèle de Maxwell)

∆l F

∆ ˙l(t) = ∆ ˙lpiston(t) + ∆ ˙lressort(t) = F(t)

η +

F˙(t) k F(t) =k

Z t

−∞

exp(−k

η(t−s)) ∆ ˙l ds

la réponse actuelle dépend del’histoirecomplète de déformation extension à un corps matériel 3D : lafonctionnelle–mémoire

σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t,Y∈Ω0

(Φ(Y,s))

(9)

Origine physique des lois de comportements

Dynamique de particules r´egies par les lois de Newton f⁽ⁱ⁾=ma⁽ⁱ⁾

Formule du viriel pour les contraintes / m´ecanique statistique σ_∼= 1

V



 1 2

X

i6=j

X

j

f^(ij)⊗(x^(j)−x⁽ⁱ⁾)−X

i

v⁽ⁱ⁾⊗m⁽ⁱ⁾v⁽ⁱ⁾





Théorie cinétique des gaz, méthode due à Maxwell et Boltzmann σ_∼ = −p1_∼+ 2ηD_∼^dev+4η²

3p(D_∼^dev:D_∼^dev)1_∼

− 2η²

p ((traceD_∼)D_∼^dev+ 2D_∼.D_∼^dev+W_∼.D_∼−D_∼.W_∼) q = −αηg +αη²

2p (5(traceD_∼)g + 3L_∼·g + 8D_∼^dev·g) oùD_∼^devdésigne la partie déviatorique du tenseurD_∼,pdésigne la pression.

L’observateurgaliléenest seul habilité à formuler, de manière autonome, les lois de comportement thermomécanique

(10)

Structure de l’espace physique

L’espace physiqueE d’observation est unespace affine euclidien orienté, d’espace vectoriel euclidien associéE, de dimension 3. Il est entièrement caractérisé par la donnée des tenseurs suivants, que nous appelons tenseurs de structure spatiale:

le tenseur métrique, représenté par la 2-forme G_∼ =Gijeⁱ⊗e^j dans une baseB= (e₁,e₂,e₃)

G^M=M^TG M

le tenseur d’orientationd’ordre 3, dit tenseur de Levi-Civita O≡=ijkeⁱ⊗e^j⊗e^k

o`uijk est la signature de la permutation (i,j,k)

O^M = (detM)O R´esum´e :

T ={G, O}

Principe d’isotropie de l’espace : pas d’autre tenseur de structure! (6= Maurice Allais!)

(11)

Structure de l’espace physique

L’espace physiqueE d’observation est unespace affine euclidien orienté, d’espace vectoriel euclidien associéE, de dimension 3. Il est entièrement caractérisé par la donnée des tenseurs suivants, que nous appelons tenseurs de structure spatiale:

le tenseur métrique, représenté par la 2-forme G_∼ =Gijeⁱ⊗e^j dans une baseB= (e₁,e₂,e₃)

G^M=M^TG M

le tenseur d’orientationd’ordre 3, dit tenseur de Levi-Civita O≡=ijkeⁱ⊗e^j⊗e^k

oùijk est la signature de la permutation (i,j,k) O^M = (detM)O Résumé :

T ={G, O}

Principe d’isotropie de l’espace : pas d’autre tenseur de structure!

(6= Maurice Allais!)

(12)

Structure de l’espace mat´ eriel

L’espace tangent sur la variété matérielle Ω₀au point matériel étudiéX définit une configuration locale de référence, notéκ₀. C’est un espace vectoriel euclidien notéE₀de dimension 3, appeléespace matériel, caractérisé par lestenseurs de structure matérielle:

La masse volumique,ρ₀, du point mat´eriel dans la configurationκ₀.

Une base locale lagrangienne privilégiée ou trièdre directeur (anisotropie de la matière)

B⁰= (E₁=I,E₂=J,E₃=K) Le tenseur métrique matériel est la forme bilinéaire G_∼₀=G_IJ⁰EÎ⊗E^J

Le tenseur d’orientation lagrangien O

≡⁰=_IJKEÎ⊗E^J⊗E^K Généralement d’autresT, d’ordres variés. Ils se transforment en T^H⁻¹ par changement de configuration H_∼ ∈ U(E) :

T^H⁻¹^ˆÎ^J^ˆ^K^ˆ^L···^ˆ =HÎ^ÎH^J^ˆJH^K^ˆKH^L^ˆL· · ·TÎJKL···

R´esum´e : T^κ0 ={G0, O0, T}

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Structure de l’espace mat´ eriel

La masse volumique,ρ₀, du point matériel dans la configurationκ₀. Une base locale lagrangienne privilégiée ou trièdre directeur (anisotropie de la matière)

≡⁰=_IJKE^I⊗E^J⊗E^K

Généralement d’autresT, d’ordres variés. Ils se transforment en T^H⁻¹ par changement de configuration H_∼ ∈ U(E) :

R´esum´e : T^κ0 ={G0, O0, T}

(14)

Structure de l’espace mat´ eriel

La masse volumique,ρ₀, du point matériel dans la configurationκ₀. Une base locale lagrangienne privilégiée ou trièdre directeur (anisotropie de la matière)

≡⁰=_IJKEÎ⊗E^J⊗E^K Généralement d’autresT, d’ordres variés. Ils se transforment en T^H⁻¹ par changement de configuration H_∼ ∈ U(E) :

R´esum´e : T^κ0 ={G0, O0, T}

(15)

Groupe d’invariance de configuration

κ0

κˆ0

κˇ0

P_∼

κ˘0

P_∼ˇ

P_∼˘

κt

F_∼

F_∼ˆ

F_∼ˇ

F_∼˘

(16)

Groupe d’invariance de configuration

Un changement de configuration locale est l’endomorphisme P_∼ ∈GL(E0), κ0−→κˆ0

F_∼=F_∼ˆP_∼

On d´efinit alors legroupe d’invariance de configurationκ0: Gκ₀={H∈ U(E), T^H≡T}

Deux configurations locales liées par un élément de cet ensemble possèdent les mêmes tenseurs de structure matérielle. Elles sont ditesindiscernables.

Les éléments deGκ₀ sont également appeléessymétries matérielles En pratique c’est un sous–groupe du groupe unimodulaire

G^κ0≤ U(E)

(17)

Groupe d’invariance de configuration

Un changement de configuration locale est l’endomorphisme P_∼ ∈GL(E0), κ0−→κˆ0

F_∼=F_∼ˆP_∼

On d´efinit alors legroupe d’invariance de configurationκ0: Gκ₀={H∈ U(E), T^H≡T}

Deux configurations locales liées par un élément de cet ensemble possèdent les mêmes tenseurs de structure matérielle. Elles sont ditesindiscernables.

Les éléments deGκ₀ sont également appeléessymétries matérielles En pratique c’est un sous–groupe du groupe unimodulaire

G^κ0≤ U(E)

(18)

Exemple de groupes d’invariance de configuration

On donne ici des exemples de groupes d’invariance de configuration dans le cas où les tenseurs de structures se limitent à quelques éléments particuliers :

Cas o`u l’unique tenseur de structure est une base lagrangienne donn´ee :

(B⁰)^H≡ B⁰

=⇒H= 11, Gκ₀ ={11} Cas o`u le tenseur de structure est le tenseur m´etrique

(11)^H ≡11 =⇒H ∈GO(E), G_κ₀ =GO(E)

Cas o`u le tenseur de structure est le pseudo-tenseur d’orientation :

O H

= (detH)O≡O=⇒H∈ U(E), G_κ₀=U(E)

Pas d’invariance possible surGL(E) car niG, niOne sont invariants par homoth´etie.

(19)

Exemple de groupes d’invariance de configuration

(B⁰)^H≡ B⁰=⇒H= 11, Gκ₀ ={11} Cas o`u le tenseur de structure est le tenseur m´etrique

(11)^H ≡11

=⇒H ∈GO(E), G_κ₀ =GO(E)

O H

= (detH)O≡O=⇒H∈ U(E), G_κ₀=U(E)

(20)

Exemple de groupes d’invariance de configuration

(11)^H ≡11 =⇒H ∈GO(E), Gκ0 =GO(E)

O H

=

(detH)O≡O=⇒H∈ U(E), G_κ₀=U(E)

(21)

Exemple de groupes d’invariance de configuration

(11)^H ≡11 =⇒H ∈GO(E), Gκ0 =GO(E)

O H

= (detH)O≡O

=⇒H∈ U(E), G_κ₀=U(E)

(22)

Exemple de groupes d’invariance de configuration

(11)^H ≡11 =⇒H ∈GO(E), Gκ0 =GO(E)

O H

= (detH)O≡O=⇒H∈ U(E), Gκ0=U(E)

(23)

Premi` eres simplifications

principe du d´eterminisme σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t,Y∈Ω0

(Φ(Y,s);T^κ0,T) th´eorie non locale

principe de l’action locale σ_∼(x,t) =0≤s≤t,n>0F

Φ(X,s), ∂ⁿΦ

∂Xⁿ(X,s);T^κ0,T

milieumat´eriellement simple: th´eorie du premier gradient σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t Φ(X,s),F_∼(X,s);T^κ0,T

(24)

Invariance galil´ eenne

Les lois de Newton qui sont à la base des mécanismes élémentaires microscopiques de déformation du corps matériel sont invariantes par transformation galiléenne

(x,t)−→(Q

∼0.x +v₀t+c₀,t+t0)

Il en va de même de la loi de comportement macroscopique, ce qui exclut la dépendance explicite de la loi de comportement par rapport au temps, à la position du point matériel (cas homogène) et à la vitesse.

(25)

Principe d’´ equivalence d’Einstein

Einstein’s elevator Gedankenexperimentfrom [Klein and Mittelstaedt, 1997]

“Within a closed elevator, an observer can never detect whether the elevator is exposed to a static homogeneous gravitational field or is subject to a constant

acceleration, due, for instance, to the thrust of a rocket.”

“A freely falling elevator is equivalent to en elevator at rest in an inertial frame of reference.”

(26)

Principe d’´ equivalence d’Einstein

Gedankenexperiment d’EinsteinLe résultat d’une expérience réalisée dans un

“ascenseur” en chute libre dans un champ gravitationnel sera identique si elle est réalisée dans un référentiel galiléen en l’absence d’efforts volumiques externes.

L’effet du champ gravitationnel sur un corps ne peut ˆetre distingu´e de celui des efforts d’inertie.

On introduit les transformations galil´eennes ´etendues (x,t)−→(Q_∼

0.x +c(t),t+t0)

La loi de comportement macroscopique est invariante par transformation galil´eenne ´etendue :

0≤s≤tF (a(s),F_∼(s);Tκ₀,T) = F

0≤s≤t(a(s) +c¨(s),F_∼(s);Tκ₀,T), ∀¨c qui exclutde factotoute dépendance par rapport aux dérivées temporelles de la vitesse à tout ordre

σ∼(t) = F

0≤s≤t(F_∼(s);Tκ₀,T)

(27)

Les jeux de variables de la loi de comportement

grandeur eul´erienne lagrangienne

contraintes Jσ=Π^F⁻¹ Π=Jσ^F =F⁻¹JσF^−T

d´eformations F^(e)_t (τ) =F(τ)F⁻¹(t) = (F^(L)_t )^F⁻¹ F^(L)_t (τ) = (F^(e)_t )^F =F⁻¹(t)F(τ)

espace G

O

mati`ere G0

O^(L)

T

Les jeux eul´erien et lagrangien de variables de la loi de comportement. Les variables originelles de la mod´elisation sont en bleu.

(28)

Les jeux de variables de la loi de comportement

grandeur eul´erienne lagrangienne

contraintes Jσ=Π^F⁻¹ Π=Jσ^F =F⁻¹JσF^−T

d´eformations F^(e)_t (τ) =F(τ)F⁻¹(t) = (F^(L)_t )^F⁻¹ F^(L)_t (τ) = (F^(e)_t )^F =F⁻¹(t)F(τ)

espace G G^F =F^TG F=C(t)

O O^F = (detF)O^(L)

mati`ere G^F₀⁻¹=F^−TG0F⁻¹=B⁻¹(t) G0

O^(L)F⁻¹= (detF⁻¹)O O^(L)

T^F⁻¹ T

Les jeux eul´erien et lagrangien de variables de la loi de comportement. Les variables originelles de la mod´elisation sont en bleu.

(29)

Covariance de la loi de comportement

La loi de comportement

σ_∼(t) =F(F_∼^(e)_t (τ);T,Tκ^F0⁻¹)

σ_∼(t) =F(F_∼^(e)

t (τ); G_∼, O, B_∼⁻¹(t), ρ0, det(F_∼⁻¹), T^F⁻¹^(t))

est unerelation tensorielle entre tenseursdu jeu des variables dépendantes et commandables eulériennes. La condition de tensorialité signifie que la loi de comportement estcovariante, c’est–à–dire qu’elle vérifie la condition d’invariance suivante :

σ_∼^M(t) =F

(F_∼^(e)_t (τ))^M; G_∼^M, O^M, B_∼^−1M(t), det(F_∼^−1M),

T^F⁻¹^(t) M

pour toutM_∼ ∈GL(E) ne d´ependant pas du temps.

Les fonctions polynomiales sont des exemples de lois satisfaisant à cette exigence de tensorialité. Ce ne sont pas les seules et nous aurons besoin d’appliquer desthéorèmes de représentationdes fonctions tensorielles.

(30)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

(31)

Une d´ efinition (m´ ecanique) des solides

D´efinition. Un corps mat´eriel est unsolidessi

1 Il existe un trièdre directeur orthonormé privilégiéB⁰

2 Il existe une configuration de référence privilégiée κ0dénuée de contrainte et de masse volumique,ρ0

3 Le groupe d’invariance de configuration associ´e `aκ₀ est un

sous-groupe du groupe orthogonal : G_κ₀ ⊂GO(E)

4 La loi de comportement eulérienne par rapport à cette configuration s’écrit :

σ_∼(t) =F(F_∼^(e)

t (τ);G_∼,O, ρ0,B_∼(t),detF_∼,T^F⁻¹^(t)) La configuration localeκ0est ditenaturelle sans distorsion. Pour une autre

configuration locale ˆκ0distordue par un endomorphisme auto–adjoint défini positifZ_∼, le groupe d’invariance associé est letransmuédu précédent.

Gκˆ₀=Z_∼.Gκ₀.Z_∼⁻¹

Une d´efinition des fluides et des solides 23/87

(32)

Une d´ efinition (m´ ecanique) des solides

2 Il existe une configuration de référence privilégiéeκ0dénuée de contrainte et de masse volumique,ρ0

3 Le groupe d’invariance de configuration associ´e `a κ₀ est un

σ_∼(t) =F(F_∼^(e)

Gκˆ₀=Z_∼.Gκ₀.Z_∼⁻¹

(33)

Une d´ efinition (m´ ecanique) des solides

2 Il existe une configuration de référence privilégiéeκ0dénuée de contrainte et de masse volumique,ρ0

3 Le groupe d’invariance de configuration associ´e `a κ₀ est un

σ_∼(t) =F(F_∼^(e)

Gκˆ₀=Z_∼.Gκ₀.Z_∼⁻¹

(34)

Une d´ efinition (m´ ecanique) des fluides

D´efinition. Un corps mat´eriel est unfluidessi

1 Il existe un trièdre directeur privilégiéB⁰non nécessairement orthonormé.

2 On choisit une configuration de référence κ₀ caractérisée par sa masse volumique, ρ₀.

3 Le fluide est h´emi/isotrope ou anisotrope par rapport aux tenseurs de structuresO^(L),B⁰.

4 Sa loi de comportement eul´erienne est de la forme

σ_∼(t) =F(F_∼^(e)_t (τ); G_∼, O, ρ0, detF_∼, B⁰^F⁻¹^(t))

Le caractère fluide est affirmé par l’absence de la métrique lagrangienne quel que soit le groupe de symétrie. La référence à une masse volumique choisieρ0ne peut pas être

éliminée quant à elle. On distingue le cas desfluides isotropespour lequel Gκ₀=U(E)

Un fluide pseudo–isotrope a la propriété remarquable suivante. Son groupe des symétries matérielles est le même quelle que soit la configuration de référence. En d’autres termes, un fluide ne possède pas de configuration de référence privilégiée.

(35)

Une d´ efinition (m´ ecanique) des fluides

éliminée quant à elle.

On distingue le cas desfluides isotropespour lequel Gκ₀=U(E)

(36)

Une d´ efinition (m´ ecanique) des fluides

éliminée quant à elle. On distingue le cas desfluides isotropespour lequel Gκ₀=U(E)

(37)

Classification des corps mat´ eriels

On classe les corps mat´eriels en fonction de leur groupe de sym´etrie

GL E

(38)

Classification des corps mat´ eriels

GL E

U

E ^(fluides)

(39)

Classification des corps mat´ eriels

GL E

U

E ^(fluides) GO E

(solides isotropes)

(40)

Classification des corps mat´ eriels

GL E

U

^E ^(fluides) GO E

Cristal E

(solides anisotropes)

(solides tricliniques)

(41)

Classification des corps mat´ eriels

GL E

U

^E ^(fluides)

(impossible)

GO E

Cristal E

(solides anisotropes)

(42)

Classification des corps mat´ eriels

GL E

U

^E ^(fluides)

(impossible)

GO E

Cristal E

(solides anisotropes) (cristaux liquides)

(43)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

(44)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

Lois de comportement ´elastique 32/87

(45)

Loi de comportement thermo´ elastique

Temp´eratureT(x,t) and its Eulerian gradientg(t) =gradT(x,t)

Loi de comportement thermo´elastiqueeul´erienne

σ_∼(t) = F(T(t),g(t);G_∼,O, ρ0, B_∼(t),detF_∼, T^F⁻¹^(t)) Loi de comportement ´elastique

σ_∼(t) =F(G_∼,O, ρ0,B_∼(t),detF_∼, T^F⁻¹^(t)) Discussion selon le groupe d’invariance de configurationG_κ₀

(46)

Loi de comportement thermo´ elastique

TempératureT(x,t) and its Eulerian gradientg(t) =gradT(x,t) Loi de comportement thermoélastiqueeulérienne

σ_∼(t) = F(T(t),g(t);G_∼,O, ρ0, B_∼(t),detF_∼, T^F⁻¹^(t))

Loi de comportement ´elastique

(47)

Loi de comportement thermo´ elastique

σ_∼(t) =F(G_∼,O, ρ0,B_∼(t),detF_∼, T^F⁻¹^(t))

Discussion selon le groupe d’invariance de configurationG_κ₀

(48)

Loi de comportement thermo´ elastique

(49)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

(50)

Solides ´ elastiques isotropes

Dans le cas de l’isotropie, on montre que les tenseurs de structure se réduisent à la métriqueG_∼₀et donc àB_∼ dans la formulation

eul´erienne :

σ_∼(t) =F G_∼, ρ0,B_∼(t),detF_∼(t)

Le théorème de représentation de Rivlin–Ericksen fournit la forme de F compatible avec l’exigence de tensorialité

σ_∼ =β01_∼+β1B_∼+β2B_∼²

où lesβi sont des fonctions deρ0et des 3 invariants principaux de B_∼, ou, de manière équivalente, des fonctions symétriques des 3 déformations principalesλi.

Version lagrangienne de la loi des corps ´elastiques isotropes Π_∼ =α01_∼+α1C_∼+α2C_∼²

Les fonctionsαi d´ependent des valeurs propres deC_∼.

(51)

Solides ´ elastiques isotropes

eul´erienne :

σ_∼(t) =F G_∼, ρ0,B_∼(t),detF_∼(t)

σ_∼ =β01_∼+β1B_∼+β2B_∼²

(52)

Solides ´ elastiques isotropes

eul´erienne :

σ_∼(t) =F G_∼, ρ0,B_∼(t),detF_∼(t)

σ_∼ =β01_∼+β1B_∼+β2B_∼²

(53)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

(54)

Fluides ´ elastiques isotropes

Groupe d’invariance de configuration Gκ₀ =U(E)

C’est un corps isotrope par rapport `a toutes les configurations!

Loi eul´erienne du fluide ´elastique isotrope σ_∼(t) =F(G_∼, ρ0,detF_∼)

La fonction d’élasticitéF doit vérifier, en vertu de sa propriété de tensorialité, ∀Q0∈GO(E)

Q0σQ^T₀ =F(Q^T₀G Q0, ρ0,detQ0F) =F(G, ρ0,detF) =σ Loi eul´erienne du fluide isotrope

σ_∼=−p(ρ0,J)1_∼

oùpest une fonction scalaire deJ, ou de manière équivalente de la masse volumique actuelleρ, appelée contrainte hydrostatique ou pression. On reconnaˆıt l’état de contrainte d’un fluide parfait non visqueux.

Forme lagrangienne de la loi du fluide ´elastique est la suivante : Π_∼ =JF_∼⁻¹·σ_∼·F_∼^−T =−pJF_∼⁻¹.F_∼^−T =−pJC_∼⁻¹

(55)

Fluides ´ elastiques isotropes

Q0σQ^T₀ =F(Q^T₀G Q0, ρ0,detQ0F) =F(G, ρ0,detF) =σ

Loi eul´erienne du fluide isotrope

σ_∼=−p(ρ0,J)1_∼

(56)

Fluides ´ elastiques isotropes

σ_∼=−p(ρ0,J)1_∼

(57)

Fluides ´ elastiques isotropes

σ_∼=−p(ρ0,J)1_∼

Forme lagrangienne de la loi du fluide ´elastique est la suivante : Π_∼ =JF_∼⁻¹·σ_∼·F_∼^−T =−pJF_∼⁻¹.F_∼^−T=−pJC_∼⁻¹

(58)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

(59)

Plan

Entropie

6 Viscosit´e

Thermodynamique des milieux continus 39/87