D20346. Quadrilatères emboîtés Soit un quadrilatère

D20346. Quadrilatères emboîtés

Soit un quadrilatère ABCD, et sur ses côtés AB, BC, CD, DA respective- ment quatre pointsP, Q, R, S tels que

AP/P B=BQ/QC =CR/RD=DS/SA=k.

Déterminer le rapport des aires de P QRS et ABCD; déterminer k pour que le rapport des aires soit 0,52.

Solution

Les rapports d’airesS(P BQ)/S(ABC),S(QCR)/S(BCD), S(RDS)/S(CDA),S(SAP)/S(DAB), ont la même valeur k

(1 +k)². Ajoutant les numérateurs d’une part, les dénominateurs d’autre part, c’est aussi la valeur de S(ABCD)−S(P QRS)

2S(ABCD) .

Le rapportS(P QRS)/S(ABCD) vaut 1−2k/(1 +k)² = (1 +k²)/(1 +k)². Il prend la valeur 0,52 quandk= 2/3, ou k= 3/2.

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