Les connecteurs propositionnels
Cours d’introduction `a la logique et la philosophie du langage au semestre d’hiver 2003-2004
Feuille d’accompagnement pour le cours du 4 novembre 2003
Points ` a retenir du dernier cours
1. La logique moderne a ´et´e cr´e´ee par Gottlob Frege en 1879.
2. La philosophie est la science des arguments.
3. La logique est l’´etude des inf´erences valides.
4. La logique porte sur un langage simplifi´e, id´ealis´e et formel.
5. La logique propositionnelle ´etudie les connecteurs propositionnels qui relient des proposi- tions ; la logique des pr´edicats ´etudie en plus la quantification, les relations et les fonctions.
6. La syntaxe concerne la forme des expressions, la s´emantique leurs significations et la prag- matique leur usage.
7. La formalisation des arguments est un art.
8. Les arguments ne sont pas vrais ou faux, mais valides ou invalides.
9. Une inf´erence est valide si et seulement s’il est impossible que ses pr´emisses soient vraies et sa conclusion fausse.
10. Il faut distinguer l’utilisation et la mention des mots et mettre des guillemets o`u il le faut.
La formalisation
Consid´erons l’argument suivant (formul´e dans une langue naturelle) : Si j’´etudie la logique, alors je serai heureux et sage.
J’´etudie la logique.
Donc, je serai heureux et sage.
En abbr´eviant les propositions exprim´ees par des lettres, on obtient : Sip, alorsq.
p Donc,q.
On indique le fait que la conclusion est tir´ee `a partir des deux pr´emisses de la mani`ere suivante : Sip, alorsq.
p q
On passe `a une langue formelle on introduisant “→” pour signifier la relation d’implication mat´erielle (“si... alors —”) :
p→q p q
Ceci est le squelette d’un argument, repr´esent´e dans le langage formel de la logique proposition- nelle : il repr´esente la forme commune `a toutes les arguments valides qu’on obtient en rempla¸cant
“→” par “si ... alors —”, le trait par “Donc, ...” et “p” et “q” par des phrases du langage ordinaire.
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La syntaxe et la s´ emantique
D´efinition r´ecursive de notre langage formelL:
A1 des propositions atomiques “p”, “q”, “r”, “s”, “t” etc.
A2 des constantes logiques “∧” (parfois : &) (“et”), “∨” (“ou”), “¬” (parfois∼) (“il n’est pas le cas que”) et “→” (parfois : “⊃”) (“si . . .alors . . .”)
A3 des parenth`eses “(” et “)”
D´efinition r´ecursive des formules bien form´ees deL :
B1 Toute proposition atomique est une formule bien form´ee.
B2 Si “φ” et “ψ” sont des formules bien form´ees, alors “(¬φ)”, “(φ∧ψ)”, “(φ∨ψ)” et
“(φ→ψ)” sont des formules bien form´ees.
B3 Il n’y a pas d’autres formules bien form´ees.
Le principe de v´erifonctionnalit´e (pour la logique propositionnelle) : La valeur de v´erit´e d’une proposition complexe ne d´epend que des valeurs de v´erit´e des propositions qui la constituent et des connecteurs qui les relient.
Uneinterpr´etationd’une proposition est l’attribution des valeurs de v´erit´e aux propositions simples qu’elle contient.
La n´ egation
La signification de “¬” est d´et´ermin´ee par la table de v´erit´e suivante : p ¬p
V F
F V
Elimination de la double n´egation :
¬¬p
p ¬E (1)
R´eduction `a l’absurde (reductio ad absurdum) : p→ ⊥
¬p ¬I∗ (2)
Soit “p” une proposition arbitraire :
principe de non-contradiction il n’est pas possible que “p” et“¬p” soient vraies ensembles principe du tiers-exclu ou bien “p” est vraie ou bien “¬p” est vraie
principe de bivalence “p” est vraie ou bien “p” est fausse
La conjonction
Les r`egles d’introduction et d’´elimination de la conjonction : p, q
p∧q ∧I p∧q
p ∧E p∧q
q ∧E (3)
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Sa table de v´erit´e :
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
La disjonction
Les r`egles d’introduction et d’´elimination de la disjonction : p
p∨q ∨I q
p∨q ∨I p∨q, ¬p
q ∨E (4)
Sa table de v´erit´e :
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
L’implication mat´ erielle
Sa table de v´erit´e (“p→q” est ´equivalent `a “¬p∨q”) : p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Sa r`egle d’´elimination (le modus ponens) : p→p q
q →E (5)
L’´ equivalence mat´ erielle
Les r`egles d’introduction et d’´elimination : p→q, q→p
p↔q ↔I p↔q
p→q ↔E p↔q
q→p ↔E (6)
La table de v´erit´e :
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
3
Les tables de v´ erit´ e – premi` ere m´ ethode
Construisons une table de v´erit´e pour “¬(¬p∨ ¬q)” : 1. Premier pas :
p q V V V F F V F F 2. Deuxi`eme pas :
p q ¬p ¬q
V V F F
V F F V
F V V F
F F V V
3. Troisi`eme pas :
p q ¬p ¬q ¬p∨ ¬q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
4. Quatri`eme pas :
p q ¬p ¬q ¬p∨ ¬q ¬(¬p∨ ¬q)
V V F F F V
V F F V V F
F V V F V F
F F V V V F
Les tables de v´ erit´ e – deuxi` eme m´ ethode
1. Premier pas :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
V V
V F
F V
F F
2. Deuxi`eme pas :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
F V F V
F V V F
V F F V
V F V F
3. Troisi`eme pas :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
F V F F V
F V V V F
V F V F V
V F V V F
4. Quatri`eme pas :
¬ (¬ p ∨ ¬ q) V F V F F V F F V V V F F V F V F V F V F V V F
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