TD6
Exercice 1
Le potentiel cr´e´e en point O par une chargeQ plac´ee en point A est donn´e par ϕA(O) = 1
4πε0 Q AO.
Dans notre cas AO =BO =CO = DO = a√22 (puisque O est au centre du carr´e), donc le potentiel total en O est
ϕ(O) = ϕA(O) +ϕB(O) +ϕC(O) +ϕD(O) == 1 4πε0
+q−q+ 2q−2q
³a√ 2 2
´
= 0.
Exercice 2
Reconsid´erons l’Ex. 5 de TD2, en particulier la Fig. 5 dans son corrig´e. La charge dq de l’´el´ement de la surface dS qui correspond `a dr etdϕ est ´egale `a
dq=λdS =λrdr dϕ.
Donc le potentiel cr´e´e par cette charge en point M = (0,0, z) est donn´e par dϕ(M) = 1
4πε0 dq
AM = 1 4πε0
λrdr dϕ
AM = 1
4πε0
λrdr dϕ
√r2+z2.
a) Pour calculer le potentiel total en M on somme les contributions de tous les petits
´elements:
ϕ(M) = Z
disque
dϕ(M) = ZR
0
dr Z2π
0
dϕ 1 4πε0
√ λr
r2+z2 = λ 2ε0
ZR
0
√ rdr
r2+z2 =
= λ 2ε0
ZR
0
d(r2+z2) 2√
r2+z2 = λ 2ε0
ZR
0
d(√
r2+z2) = λ 2ε0
·√
r2 +z2
¸R
0
=
= (posons z >0) = λ 2ε0(√
R2+z2−z).
b) On sait (en regardant les sym´etries) que le champ ´electrique enM est vertical. Donc il suffit de regarder la composanteEz(M) (commeEx(M) =Ey(M) = 0 automatiquement).
De plus, E~ =−∇ϕ. Alors Ez =−∂ϕ
∂z et on obtient Ez =− ∂
∂z µ λ
2ε0 (√
R2+z2−z)
¶
=− λ 2ε0
∂
∂z
³√
R2+z2−z
´
= 1
= λ 2ε0
µ
1− z
√R2+z2
¶ .
C’est exactement le r´esultat qu’on a trouv´e dans le TD2 (voir la 2`eme ligne des calculs sur la page 9 du corrig´e).
Exercice 3.
Consid´erons un point M = (x, y, z). On obtient ϕ(M) = ϕP(M) +ϕP0(M) = 1
4πε0
Q
P M + 1 4πε0
−Q P0M =
= Q
4πε0 Ã
p 1
x2+y2+ (z−d/2)2 − 1
px2+y2+ (z+d/2)2
!
=
= Q
4πε0
px2+y2 + (z+d/2)2−p
x2+y2+ (z−d/2)2 px2 +y2+ (z+d/2)2p
x2+y2+ (z−d/2)2 =
= Q
4πε0
px2+y2+ (z+d/2)2 −p
x2+y2+ (z−d/2)2 px2+y2+ (z+d/2)2p
x2+y2+ (z−d/2)2 ×
×
px2+y2+ (z+d/2)2+p
x2+y2+ (z−d/2)2 px2+y2+ (z+d/2)2+p
x2+y2+ (z−d/2)2 =
= Q
4πε0
(x2+y2+ (z+d/2)2)−(x2+y2+ (z−d/2)2) px2+y2+ (z+d/2)2p
x2+y2+ (z−d/2)2 ×
× 1
px2+y2+ (z+d/2)2+p
x2+y2+ (z−d/2)2 =
= Q
4πε0
p 2zd
x2+y2+ (z+d/2)2p
x2+y2+ (z−d/2)2×
× 1
px2+y2+ (z+d/2)2+p
x2+y2+ (z−d/2)2 ≈
≈ Q 4πε0
p 2zd
x2+y2 +z2p
x2+y2+z2 × 1 px2+y2+z2+p
x2+y2 +z2 =
= Q
4πε0
zd
(x2 +y2+z2)3/2 . Exercice 4.
A priori le potentiel ϕest une fonction de x,y,z. On sait que E(x, y, z) =~ −∇ϕ(x, y, z) et donc
Ex(x, y, z) =−∂ϕ
∂x(x, y, z), Ey(x, y, z) =−∂ϕ
∂y(x, y, z), 2
Ez(x, y, z) =−∂ϕ
∂z(x, y, z).
D’apr`es l’´enonc´e Ey(x, y, z) =Ez(x, y, z) = 0, et doncϕ ne d´epend pas de y et de z:
ϕ(x, y, z) =ϕ(x).
On a de plusEx(x, y, z) = E o`u E est une constante. Donc E =−dϕ
dx(x) =⇒ ϕ(x) =−Ex+ const.
Le plan yOz correspond `a x= 0, alors on obtient const =V0 et, par cons´equent, ϕ(x, y, z) =V0−Ex.
3
