Le tétraèdre qui roule
Etant donné un triangle acutangle T, le tétraèdre dont toutes les faces sont égales à T peut rouler(en basculant sur une arête) sans glisser dans le plan de telle sorte qu’il repasse quelque part toujours dans la même position ; ce qui ne vaut pas pour un cube.
Le coloriage du réseau triangulaire ci-dessus illustre les différentes positions que le tétraèdre peut atteindre, en partant du centre posé sur sa face bleue.
Il est bien connu que lorsqu’on dessine un triangle quelconque (c’est-à-dire : qui n’est pas équilatéral) alors il est presque rectangle ou isocèle.
Dans le même ordre d’idée, si on construit physiquement un tétraèdre avec quatre faces égales (autre que le tétraèdre régulier) il est fort probable qu’il ait un dièdre obtus (c’est-à-dire : qu’une fois posé à plat, il ait un air penché).
Problème
A quelles conditions, relatives au triangle T, le tétraèdre sera-t-il acudrièdre ? aura-t-il tous ses dièdres aigus ?
Remarque : Considéré comme un tampon encreur, le tétraèdre qui roule engendre un dessin à motifs répétitfs du type p2 (parallélogrammique symétrique). Le tétraèdre est alors le quotient du plan par le groupe des isométries du dessin.
Solution
Supposons le tétaèdre aux quatre faces égales posé sur sa face OIJ. Son sommet S peut venir en A, en pivotant autour de IJ ; ou en B, en pivotant autour de OI ; ou en C, en pivotant autour de OI.
Les droites SA, SB, SC sont respectivement perpendiculaires aux charnières IJ, OI, OJ.
La projection orthogonale du sommet S sur le plan ABC est donc l’orthocentre H du triangle ABC
A
S I J
O C
B Prenons pour coordonnées de A, B et
C : (X,Y), (-a,0) et (a,0).
Calculons les ordonnées h, u de H, U ; V ayant pour ordonnée v = Y / 2.
La hauteur issue de C a pour équation : y = - (a+X)/Y (x-a)
donc h = (a2 – X2) / Y La droite OJ a, de même, pour équation : y = Y/(a+X) x
donc u = XY / (a+X)
Le point H est à l’intérieur du triangle OIJ lorsque u < h < v ; d’où la double inégalité : XY/(a+X) < (a2 – X2)/Y < Y/2 ou encore :
Y2 < (a2 – X2)(a+X) / X et Y2 > 2(a2 – X2)
La première inégalité est satisfaite si nous supposons que le coté BC est le plus grand coté du triangle ABC ; soit Y2 ≤ 3a2 – 2aX – X2. A vérifier soi-même !
Ci-contre : la zone verte, limitée par des arcs de cercles centrés en B et C et une demi-ellipse, (dont ils sont osculateurs) correspond aux sommets A pour lesquels le tétraèdre est acudièdre ;
la zone jaune correspond aux sommets A pour lesquels le tétraèdre possède deux dièdres obtus ;
la zone intérieure au deml-cercle de diamètre BC correspond à un angle A qui serait obtus
A
C
B O
U H
V
I J
