VI Machines thermiques
"Dans tous les cas où le travail est produit par la chaleur, une quantité de chaleur proportionnelle au travail accompli est dépensé, et inversement, par les dépenses de la même quantité de travail, la même quantité de chaleur peut être produite."
Rudolph Julius Emmanuel CLAUSIUS, 1851.
VI.I Enoncés de Clausius et de Kelvin du second principe
VI.I.1 Enoncés
Les énoncés qui suivent sont des énoncés historiques, qualitatifs et antérieurs à la notion d'entropie.
Même s'ils paraissent très différents dans leur expression, nous montrerons leur équivalence d'une part, et leur cohérence avec la notion d'entropie telle que nous l'avons introduite dans le chapitre qui lui est consacré.
VI.I.1.a Clausius1
Un système qui effectue des transferts thermiques avec deux thermostats sans échanger de travail avec l'extérieur ne peut que recevoir un transfert thermique de la source chaude et en fournir un à la source froide.
Cet énoncé traduit le fait que le transfert thermique se fait spontanément des sources chaudes vers les sources froides.
VI.I.1.b Kelvin
Un système parcourant un cycle et n'effectuant de transfert thermique qu'avec un seul thermostat ne peut que recevoir un travail du milieu extérieur.2
Cet énoncé traduit l'impossibilité du moteur perpétuel de deuxième espèce, à savoir un système qui serait capable de transformer intégralement un transfert thermique en travail, soit encore l'impossibilité du moteur thermique monotherme.
VI.I.2 Equivalence des deux énoncés
Démontrons déjà que si l'énoncé de Clausius est faux alors celui de Kelvin l'est également :
Imaginons que l'on dispose d'un unique thermostat.
On le sépare en deux parties, si l'énoncé de Clausius est faux, on peut, sans avoir à fournir de travail, effectuer un transfert thermique d'une partie à l'autre ; ce faisant, la partie recevant effectivement le transfert thermique voit sa température augmenter alors que l'autre partie voit sa température diminuer.
On dispose alors de deux sources de températures différentes entre lesquelles on peut faire fonctionner un moteur ditherme.
Le moteur va recevoir un transfert thermique de la partie chaude du thermostat pour en fournir à la partie froide ; les deux parties vont voir leurs températures s'égaliser mais on peut alors revenir à la seconde étape pour rétablir une différence de température sans que cela ne coûte de travail. On peut donc, à partir d'un unique thermostat, produire du travail de façon cyclique donc l'énoncé de Kelvin est faux.
TF TC
T0
Q
TF TC
M W
QC
QF
1 Rudolf Julius Emmanuel Clausius (Köslin, Poméranie, 2 janvier 1822 – Bonn, 24 août 1888) physicien allemand
2 L'énoncé donné par Kelvin était le suivant : "Il est impossible, par l'intermédiaire d'agents inanimés, d'extraire des effets mécaniques de quelque échantillon de matière que ce soit en le refroidissant au-dessous de la température du plus froid des objets environnants." La version donnée ci-dessus s'inspire d'une adaptation plus transparente due à Max PLANCK.
Rudolph Julius Emmanuel CLAUSIUS
Supposons désormais que l'énoncé de Kelvin soit faux :
Si l'énoncé de Kelvin est faux, on peut produire du travail de façon cyclique à l'aide d'un unique thermostat de température TF en liaison avec un moteur M.
Ce travail peut être fourni à un dispositif S le dégradant en chaleur (le travail produit de l'électricité qui alimente une résistance, par exemple), cette chaleur peut être transférée à un thermostat de température TC.
Rien n'interdit que TC soit supérieur à TF ; considérant le système M S, ce dispositif effectue donc un transfert thermique d'une source froide vers une source chaude sans échanger de travail avec l'extérieur donc l'énoncé de Clausius est faux.
Q M
W TF
Q M
W
TF S TC
Q M S
On en conclut donc que les deux énoncés sont équivalents entre eux.
VI.I.3 Démonstration de l'énoncé de Kelvin
On envisage un système S parcourant un cycle, ne recevant un transfert thermique Q que de la part d'un seul thermostat de température T, et recevant un travail W de la part du milieu extérieur. Les quantités W et Q sont algébriques et s'entendent par cycle.
L'application des deux principes de la thermodynamique au système S sur un cycle conduit à :
0 0
U W Q
S Q T
On montre donc ainsi que le transfert thermique ne peut être que négatif et, par suite, que le travail est positif.
On a donc montré qu'un système monotherme ne peut être qu'un récepteur de travail. Cela établit l'impossibilité du moteur perpétuel de seconde espèce (moteur qui serait capable de transformer intégralement le transfert thermique en travail).
VI.II Machines dithermes
On se propose d’étudier les différents cas possibles de machines dithermes c’est à dire réalisant des cycles en effectuant des transferts thermiques avec deux thermostats de température TF et TC (TC > TF). On notera QF et QC les
transferts thermiques algébriquement reçus respectivement de TF et TC et W le travail algébriquement reçu de la part du milieu extérieur.
QC
S
W TC
QF
TF
L’application des deux principes de la thermodynamique au système S lors d’un cycle conduit aux relations : 0
0
C F
C F
C F
U W Q Q
Q Q
S T T
VI.II.1 Coefficient de performance
On appelle coefficient de performance d'une machine thermique la valeur absolue du rapport de la grandeur énergétique recherchée sur le coût énergétique :
bénéfice
coût
Ce coefficient s'appelle également rendement s'il est inférieur à 1, ou efficacité dans le cas contraire.
Nous allons par la suite exprimer ce coefficient pour les différents types de machines dithermes.
Q S
W T
VI.II.2 Diagramme de Raveau
On appelle diagramme de Raveau un diagramme dont les axes sont respectivement QF et QC.
Nous allons faire figurer sur ce diagramme deux droites :
La droite de travail nul : d’après l’écriture du premier principe appliqué à la machine ditherme S, si W = 0 alors QCQF 0 qui est l’équation de la droite.
La droite de réversibilité : pour une évolution réversible de S, la variation d’entropie (qui est nulle pour un cycle) se limite à l’entropie reçue et donc :
C F 0
C F
Q Q T T
La droite de travail nul associée aux deux axes partagent le plan de Raveau en six zones qui correspondent aux différents signes possibles des grandeurs algébriques W, QF et QC, le premier principe excluant qu’elles soient toutes les trois de même signe.
La droite de réversibilité partage le plan de Raveau en deux parties, seule la partie C F 0
C F
Q Q
T T étant autorisée par le second principe.
On s'aperçoit qu'il existe quatre possibilités de fonctionnement compatibles avec les deux principes de la thermodynamique pour une machine ditherme :
VI.II.3 Cas : le moteur ditherme
Le cas est le seul cas pour lequel W < 0 ce qui correspond à un moteur ; on a par ailleurs QC > 0 et QF < 0 : le transfert thermique est effectivement reçu de la source chaude et effectivement fourni à la source froide.
L'application de la définition du coefficient de performance au cas du moteur ditherme conduit à l'expression :
moteur C
W
Q
Le but d'un moteur est en effet de produire du travail ; il faut pour cela lui apporter la quantité QC de la part de la source chaude.
VI.II.3.a Théorème de Carnot (calcul du rendement et démonstration) VI.II.3.a.i Enoncé
Le rendement d’un moteur ditherme réel est inférieur au rendement d’un moteur réversible fonctionnant entre les deux mêmes thermostats. Le rendement du moteur réversible, qui ne dépend que des températures TF de la source froide et TC de la source chaude, et non de l’agent de la transformation, a pour expression : rév 1 F
C
T
T . VI.II.3.a.ii Démonstration
L’application des deux principes conduit, comme cela a déjà été écrit plus haut, aux expressions :
0 0
C F
C F
C F
U W Q Q
Q Q
S T T
QC
QF
W = 0
W < 0
W > 0
Région interdite par
le second principe
C F 0
C F
Q Q T T
QC
M
W TC
QF
TF
TC
TF QC W
QF
Par suite moteur F C 1 F
C C C
Q Q Q
W
Q Q Q
et, par ailleurs F F
C C
Q T
Q T
donc finalement moteur 1 F
C
T
T
L'égalité est obtenue lorsque le fonctionnement est réversible car alors Sprod = 0 et C F 0
C F
Q Q T T . VI.II.4 Le cas
Le cas correspond à W > 0 ce qui correspond à un récepteur ; on a par ailleurs QC < 0 et QF > 0 : le transfert thermique est effectivement reçu par la source chaude et effectivement fourni par la source froide.
Deux applications pratiques correspondent à cette même configuration de transferts énergétiques :
VI.II.4.a Le réfrigérateur
Le but est alors de produire un transfert thermique issu de la source froide : le bénéfice est donc QF ; pour cela, il a fallu fournir un travail qui représente le coût. Par suite :
réfr F
Q
W Sachant que d'après les deux principes,
0
C F
C F
prod
C F
W Q Q
Q Q T T S
, 1 1
1 1
réfr C C C prod
F F F
Q T T S
Q T Q
. Le coefficient de
performance est donc maximal lorsque Sprod = 0 ; il vaut alors ,max 1 1
réfr C
F
T T
.
VI.II.4.b La pompe à chaleur
Le but est alors de produire un transfert thermique vers la source chaude : le bénéfice est donc –QC ; pour cela, il a fallu fournir un travail qui représente le coût. Par suite :
pac C
Q
W Sachant que d'après les deux principes,
0
C F
C F
prod
C F
W Q Q
Q Q T T S
, 1 1
1 1
pac F F F prod
C C C
Q T T S
Q T Q
. Le coefficient de
performance est donc maximal lorsque Sprod = 0 ; il vaut alors ,max 1 1
pac F
C
T T
.
On retiendra que, quelle que soit la machine ditherme envisagée, son coefficient de performance est maximal lorsque son fonctionnement est réversible.
VI.II.5 Les cas inintéressants et
Ces deux cas, quoique théoriquement possibles, ne présentent pas d'intérêt dans la pratique :
VI.II.5.a Cas
Dans ce cas, on apporte un transfert thermique à la source froide en en prélevant à la source chaude et en fournissant du travail ; un tel transfert thermique de la source chaude vers la source froide peut se faire spontanément, sans apport de travail.
TC
TF
QC QF
W
TC
TF
QF QC
W
VI.II.5.b Cas
On apporte alors un travail pour fournir un transfert thermique vers les deux sources ; cela reviendrait, par exemple, à installer un radiateur électrique à cheval sur l'intérieur et l'extérieur d'une habitation.
Les rendements du cycle récepteur, soit réfrigérateur, soit pompe à chaleur ont été donnés.
VI.III Les cycles classiques
On se propose de présenter ici quelques cycles de machines thermiques et leurs applications réelles, le cas échéant.
VI.III.1 Cycle de Carnot VI.III.1.a Généralités
Il s'agit du cycle ditherme réversible. Afin que les transferts thermiques soient réversibles, ils doivent se faire sur des isothermes à la température de la source avec laquelle le transfert a lieu3. Pour faire évoluer la température du système de TF à TC
(ou l'inverse), la seule possibilité est d'opérer sur des chemins adiabatiques et réversibles, autrement dit isentropiques.
Sa représentation est extrêmement simple dans un diagramme entropique d'axes (T, S), il s'agit en effet d'un rectangle :
VI.III.1.b Remarques générales sur le diagramme entropique :
De même que dans un diagramme de Clapeyron, l'aire du cycle représente la valeur absolue du travail reçu. Cela se démontre grâce à l'identité thermodynamique :
dU W TdS W dU TdS en réalisant la sommation sur le cycle, on obtient :
cycle cycle
W U
TdS
TdS puisque, sur le cycle U 0.Le cycle moteur est parcouru dans le sens horaire.
VI.III.1.c Calculs dans le cas du moteur de Carnot à gaz parfait
On considère donc un cycle décrit par un gaz parfait constitué de deux isothermes AB (temp. TC) et CD (temp. TF), et de deux adiabatiques réversibles BC et DA.
Il est à noter que sur les quatre transformations constituant le cycles, seules deux d'entre elles font intervenir un transfert thermique alors qu'un travail est échangé sur chacune d'entre elles : il est donc plus rapide du point de vue calcul de s'intéresser aux deux transferts thermiques. Ceux-ci ayant lieu sur des isothermes, on obtient sans difficulté C Cln B
A
Q nRT V
V et F Fln D
C
Q nRT V
V .
Par ailleurs, la loi de Laplace s'applique sur les deux adiabatiques réversibles :
1 1
1 1
C A F D A D
B C
C B F C
T V T V V V
V V T V T V
. On retrouve
alors bien l'identité de Carnot-Clausius : C F 0
C F
Q Q
T T . Le travail reçu est, d'après le premier principe W QCQF, on retrouve sans difficulté le rendement maximal du moteur ditherme : rév 1 F
C C
T W
Q T
.
Ce calcul n'a d'intérêt que comme exemple d'un calcul à mener lors de l'étude d'un cycle de machine thermique, les résultats que l'on obtient ayant déjà été démontré par ailleurs.
Le moteur de Carnot n'est pas utilisé dans la pratique, la différence de pente entre les isothermes et les adiabatiques étant faible, la surface du cycle (donc le travail produit à chaque cycle) est faible. Pour produire une puissance acceptable, il faudrait réaliser un grand nombre de cycles par seconde, ce qui va à l'encontre de la réalisation de transferts thermiques isothermes. Une autre solution consisterait à augmenter la taille de la machine ce qui n'est en général pas recherché : à masse donnée d'un véhicule, on cherche plutôt à diminuer celle du moteur pour augmenter la charge utile.
3 Le raisonnement de Sadi CARNOT (exposé dans ses Réflexions sur la puissance motrice du feu…) se base sur le fait que, s'il existe une différence de température entre le système et la source, cet écart pourrait être mis à profit pour produire du travail et par là augmenter le rendement du moteur.
TC QC QF TF
W
T
TC
TF
S1 S2 S p
TC
TF
V A
B D C
VI.III.2 Cycles de puissance à gaz : les moteurs à combustion interne VI.III.2.a Cycle d'Otto4 ou de Beau de Rochas5
C'est le cycle mis en œuvre dans le moteur à explosion à essence, à quatre temps :
1er temps : de A à B, admission isobare du mélange air + essence
2ème temps : de B à C compression rapide donc adiabatique, allumage par la bougie et combustion très rapide donc isochore de C à D
3ème temps : détente adiabatique de D à E, ouverture de la soupape d'échappement et refroidissement isochore de E à B
4ème temps : échappement isobare des gaz brûlés.
On constate donc que seul un temps sur quatre est moteur soit un cycle thermodynamique pour deux tours du vilebrequin
Seule la partie BCDE correspond au cycle thermodynamique.
Le rapport max
min
V
V est appelé taux de compression.
Diagramme théorique p, V Diagramme théorique T, S Allure du cycle réel
Le plus gros moteur fonctionnant suivant un cycle d’Otto (moteur lent à gaz naturel liquéfié) CMD-WinGD 12X92 DF, équipant le porte conteneur CMA CGM Jaques Saadé, le plus gros porte-conteneurs en service en 2021.
4 Gustav Otto (12 janvier 1883 - 28 février 1926) ingénieur, designer et industriel allemand, cofondateur de la société Bayerische Motoren Werke AG (BMW)
5 Alphonse Eugène Beau, dit Beau de Rochas1, (9 avril 1815 à Digne-les-Bains, 27 mars 1893 à Vincennes) ingénieur thermodynamicien français Gustav OTTO
VI.III.2.b Cycle de Diesel6
Le cycle de Diesel est voisin. Les différences sont les suivantes : on admet et on comprime de l'air seul, le carburant étant injecté en fin de compression. L'inflammation est spontanée et ne nécessite pas de bougie (le taux de compression est beaucoup plus important que pour le moteur à essence). La combustion étant plus lente est représentée par une isobare.
VI.III.2.c Cycle de Joule-Brayton7
C'est le cycle théorique mis en œuvre dans un certain nombre d'appareils tels que turbines à gaz, turbopropulseurs, turboréacteurs,…
Il est constitué :
de 1 à 2 : d'une compression adiabatique (idéalement réversible) dont le travail est fourni par un compresseur
de 2 à 3 : d'un chauffage isobare, obtenu soit par une combustion, soit par un échange de chaleur
de 3 à 4 : d'une détente adiabatique (idéalement réversible) fournissant du travail à une turbine dont l'arbre est commun avec celui du compresseur et qui entraîne donc ce dernier en rotation
de 4 à 1 : d'un refroidissement isobare : cette dernière étape est souvent imaginaire dans la mesure où, dans le cas où la chaleur est fournie par une combustion, l'on admet des gaz "frais" en 1 et l'on évacue les gaz brûlés en 4.
6 Rudolf Diesel est un ingénieur allemand, né le 18 mars 1858 à Paris et disparu dans la nuit du 29 au 30 septembre 1913 lors d'une traversée de la mer du Nord.
7 George Brayton (3 octobre 1830 dans le Rhode Island, aux États-Unis, 17 décembre 1892 à Kingsbury, dans le Middlesex) mécanicien américain.
Premier moteur Diesel construit par Rudolf Diesel en 1897, exposé au Deutsches Museum à Münich (Crédit photo : Chris Thomas)
Moteur Diesel MAN B&W 12S90ME-C Mark 9.2 (plus de 17 m de haut) équipant le porte conteneur CSCL GLOBE développant une puissance équivalente à 747 Golf GTI (82,4 MW)
Rudolf DIESEL
James Prescott JOULE
© Royal Society
Georges BRAYTON
Dans le cas d'une turbine à gaz ou d'un turbopropulseur ou d'une turbine à gaz, l'excédent de travail fourni par la turbine sert à entraîner un alternateur, une hélice,… Dans un turbo réacteur, la turbine n'entraîne que le compresseur mais les gaz sont éjectés à grande vitesse ce qui provoque la propulsion par réaction.
Schéma et photographies du turboréacteur SNECMA M53 équipant les Mirages 2000 VI.III.3 Un exemple de cycle de puissance à vapeur : le cycle de Rankine8
Le cycle de Rankine s'apparente au précédent dans la mesure où il se compose des mêmes transformations à savoir deux adiabatiques et deux isobares. Il en diffère par le fait qu'il met en jeu
le changement d'état du fluide. Le compresseur est donc remplacé par une pompe qui fait circuler le fluide à l'état liquide de la sortie du condenseur (où il s'est liquéfié) à l'entrée du générateur de vapeur dans laquelle il se vaporise, la vapeur se détendant dans la turbine en fournissant ainsi un travail qui sert généralement à entraîner un alternateur pour produire de l'énergie électrique.
Dans la pratique, on utilise dans les centrales électriques nucléaires ou thermiques) des cycles dérivés de celui de Rankine.
8 William John Macquorn Rankine (5 juillet 1820 à Édimbourg, 24 décembre 1872 à Glasgow) ingénieur et physicien écossais.
Ces cycles sont généralement basés sur celui de Hirn9 :
Dans le cas du cycle de Hirn, le fluide traversant la turbine est essentiellement sous forme de vapeur, contrairement au cas du cycle de Rankine.
On procède en pratique à cycles avec « resurchauffe » :
Et/ou avec « soutirage » :
VI.III.4 Réfrigérateur
On décrit ici le réfrigérateur à compresseur d'usage courant dans les foyers.
Le fluide caloporteur à l'état de vapeur est comprimé de à .
Il est ensuite liquéfié dans le condenseur de à en cédant la chaleur QC à l'extérieur.
Il subit une détente de Joule-Thomson de à à travers une vanne de détente en se vaporisant partiellement.
Il termine de se vaporiser de à à la traversée de l'évaporateur en recevant la chaleur QF de la source froide, l'intérieur du réfrigérateur.
9 Gustave-Adolphe Hirn (21 août 1815 à Logelbach-près-Colmar, 14 janvier 1890 à Colmar) : industriel et physicien français
Gustave-Adolphe Hirn
VI.IV Ordres de grandeur des coefficients de performance
Type de machine Coefficient de performance
Turbine à gaz (production d’électricité) < 0,4
Cycle combiné (Turbine à gaz + turbine à vapeur, production d’électricité) < 0,6 Moteur Diesel à fioul lourd (centrales électriques ou propulsion maritime) 0,5
Moteur Diesel De 0,42 à 0,43
Moteur essence De 0,37 à 0,38
Turboréacteur simple flux (avion de ligne subsonique) 0,25
Turboréacteur double flux (avion de ligne subsonique) 0,3
Turboréacteur double flux (avion de chasse, Mach 2) 0,45
Réfrigérateur De 0,2 à 0,5
Pompe à chaleur De 3 à 5
VI.V Annexe : programme officiel
Notions et contenus Capacités exigibles
5. Machines thermiques
Application du premier principe et du deuxième principe aux machines thermiques cycliques dithermes :
rendement, efficacité, théorème de Carnot.
Donner le sens des échanges énergétiques pour un moteur ou un récepteur thermique ditherme.
Analyser un dispositif concret et le modéliser par une machine cyclique ditherme.
Définir un rendement ou une efficacité et la relier aux énergies échangées au cours d’un cycle.
Justifier et utiliser le théorème de Carnot.
Citer quelques ordres de grandeur des rendements des machines thermiques réelles actuelles.
