D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test 01 – Statistiques à deux variables
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Test 01 – T Mercatique
Durée : 50 minutes
Septembre 2007 EXERCICE (d’après Centres Etrangers 2007)
Le tableau suivant montre l’évolution du nombre d’écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à 2004 en France :
1. a. Dans un repère d’unités 2 cm pour 5 rangs en abscisse et 1 cm pour 10 milliers d’écoles en ordonnée, tracer le nuage de points de coordonnées associé à cette série statistique.
b. Un ajustement affine parait-il envisageable ? Partie A.
2. a. Déterminer les coordonnées du point moyen G1 des trois premiers points du nuage et G2 des deux derniers points.
b. Placer G1 et G2 et tracer la droite
(
G G1 2)
.On considère désormais que cette droite constitue une droite d’ajustement du nuage.
3. a. Déterminer graphiquement le nombre d’écoles présentes en 1985.
b. Déterminer graphiquement en quelle année le nombre d’écoles en France passera sous la barre des 50000.
4. Donner une équation de la droite
(
G G1 2)
. Partie B.5. A l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite des moindres carrés.
Les coefficients seront arrondis à 10−2. 6. Reprenez, par le calcul, les questions 3a et 3b.
7. Tracer cette droite sur le graphique.
Que constate-t-on ?
8. Le point G1 est-il sur la droite de régression ? Conclure.
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Test 01 – TM - corrigé
EXERCICE (d’après Centres Etrangers 2007)
Le tableau suivant montre l’évolution du nombre d’écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à 2004 en France :
1. a. La figure complète se trouve à la fin du corrigé.
b. Oui, un ajustement affine parait-il envisageable puisque tous les points du nuage sont à peu près alignés.
Partie A.
2. a. Un point moyen G a pour coordonnées G x y
( )
; .Par conséquent : 1 9 64419.3
G
(ordonnée arrondie au dixième) et 2 22.5 57497.5
G
.
b. Voir graphique.
On considère désormais que cette droite constitue une droite d’ajustement du nuage.
3. a. L’année 1985 correspond au rang 5 (abscisse) : graphiquement, on lit que le nombre d’écoles devait être d’environ 66000.
b. Graphiquement, lorsque y = 50000, on lit que le rang x = 37, ce qui correspond à l’année 2017.
4. La droite
(
G G1 2)
étant non verticale, elle admet une équation du type y = ax + b.On a :
> 1 2
1 2
512.726
G G
G G
y y
a x x
= − = −
− donc y = -512.726x + b.
> comme G1 est sur la droite, ses coordonnées vérifient l’équation.
Ainsi : 64419.3= −512.726 9× + ⇔ =b b 64419.3 512.726 9+ × =69033.8
> Finalement, la droite a pour équation y = -512.726x + 69033.8 Partie B.
5. A l’aide de la calculatrice, une équation de la droite des moindres carrés, les coefficients étant arrondis à 10−2 est y= −510.57x+69002.80.
6. Pour la 3a : pour x = 5, on trouve y=66450 : donc en 1985, avec cette méthode, le nombre d’écoles approchait les 66450. Cette approximation est cohérente avec la première.
Pour la 3b : pour y = 50000, on résout l’équation
19002.8 50000 510.57 69002.80 510.57 69002.8 50000 37.22
510.57
x x x
= − + ⇔ = − ⇔ = ≈ , soit en 2017, résultat encore
cohérent avec le A 3b.
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7. A l’aide des deux précédents calculs, on obtient deux points de la droite des moindres carrés, d’où le tracé suivant.
On constate que les deux droites sont quasiment confondues.
On a envie de dire que ce sont les mêmes.
8. Pour vérifier si G1 est sur cette droite, on remplace ses coordonnées dans l’équation : pour x = 9, y= −510.57 9 69002.80× + =64407.7 qui est proche mais différent de
G1
y . Donc G1 n’est pas sur cette droite et les deux droites sont en fait différentes.
G1
G2
10 15 20 25 30 35 40
20 30 40 50 60 70
0 5
10
x y
G1
G2
