Lycée Benjamin Franklin TS, PTSI−2014-2015
L. Gomes, D. Blottière Mathématiques
Étude d’une famille de fonctions
On fixe un repère³ O;−→
i ,→− j´
du plan. Pour toutn∈N, on notefnla fonction définie par
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fn : ]2,+∞[ → R
x 7→ x3−x2+(2n−4)x+4 x2−4
etCnsa courbe représentative.
1. On suppose quen=2, dans un premier temps.
(a) Déterminer deux réelsaetbtels que
f2(x)=x−1+ a
x+2+ b x−2 pour toutx∈]2,+∞[.
(b) Étudier la position relative de la courbeC2et de la droiteDd’équationy=x−1.
(c) Que peut-on déduire des questions 1.(a) et 1.(b), quant au tracé de la courbeC2au voisi- nage de+∞?
(d) Étudier les variations de la fonctionf2sur ]2,+∞[.
(e) Préciser les éventuelles tangentes àC2qui sont remarquables.
(f) Tracer l’allure de la courbeC2, en utilisant les questions 1.(c), 1.(d) et 1.(e).
2. À présent,ndésigne un entier naturel quelconque.
(a) Déterminer deux réelsanetbntels que
fn(x)=x−1+ an x+2+ bn
x−2 pour toutx∈]2,+∞[.
(b) Étudier la position relative de la courbeCnet de la droiteD.
(c) Que peut-on déduire des questions 2.(a) et 2.(b), quant au tracé de la courbeCnau voisi- nage de+∞?
