N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
M ONTCOQ
Solution du problème proposé au concours d’agrégation de 1868
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 8 (1869), p. 32-37
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D'AGRÉGATION DE 1 8 6 8 ;
PAR M. MONTCOQ.
Je me propose de donner la solution du problème d'agrégation comme application facile d'un théorème sur les paraboles.
É1NONCÉ DU PROBLÈME.
Étant donnée* dans un plan deux paraboles du deuxième degré, on les fait tourner autour de leurs som- mets, supposés fixes, de manière que dans chacune de leurs positions, leurs quatre points d'intersection soient sur une circonférence, et Von demande le lieu des centres de cette circonférence.
( 3 3 )
Soient (fig. i) les deux paraboles BAODC, ADO'CB dans l'une des positions particulières répondant à la ques-
tion, x et y étant les coordonnées de l'un des points de la première avant sa rotation autour du sommet O, x' et jrf ses coordonnées après avoir tourné de l'angle a; les formules de transformation sont
d'où
x — a-'cosa -(-jrrsina, y •=: j ' c o s a — x'sina.
Si nous supposons que la deuxième, ayant d'abord son sommet en O, soit transportée parallèlement à elle-même de manière à avoir son sommet en O', OO'étant égal à a, et qu'elle tourne alors de l'angle )3*, xt etj^j étant ses coor- données primitives et x" et y11 ses coordonnées après le double mouvement, les formules de transformation sont
x" z= a -f- .r, cos (S — j , sin p,
Ann. de Malhcmat., 2e série, t. VII (Janvier iSfig.) 3
art — .r"cosp -h j"sin|3
yx =rr > "cos f — .r"sin (3 -h « sin p.
L'équation de Ia première parabole avant sa rotation est
y*=zpx;
celle de la deuxième, avant son double mouvement, y, = ip'xx ;
l'équation de la parabole BAODC est donc (y'cosot. — .r'sina)2 — o.p (a/cosa -f-/'sina)
OU
l x'* sin5 a -4- y'"1 cos2 a — 'i x'y' sin a cos a ( — ipx'cosa.— ip) sinarr-o, et celle de la parabole ADO'CB
(j^cosp — o/'sinp -hflsinp)2—2j»/(x*rcosp -hj^sinp —
OU
sin^p -\-p' cos2p)
— ? j " (/?'sin p — ö sin fJ cos -f- a2sin2p -f-
Si nous retranchons, membre à membre, l'équation (i) de Féquation (2) après avoir multiplié la première par / et supprimé les accents, puisque les points d'intersection sont communs, il vient
in2p — "Xsin2a) x? -+- (cos2p — V
— ( 2 sin p cos p — 2 \ sin a cos a ) .rj
— 2(asin2p 4 - / / c o s p — X/> cosa) x
— 2(//sinp — a sin p cos p —/?>sina) y -h <7*sin2p -t- 2/7/>'cosS 3= o.
( 35 )
/ est indéterminé; nous pouvons donc le choisir de façon que l'équation représente une circonférence. Il suffit pour cela que le terme en xj soit nul et que les coefficients de x* et de y2 soient égaux, donc A = — i et j3 = — ~j- a 5 donc les axes des paraboles sont rectan- gulaires.
Si Ton fait X = — i et (3 = — r oc dans la dernière équation, elle devient
i x2 -hy7 — 2 («cos2a —/Ain a -^ p cosa) or (3) - — 2 (//cosa -4- tfsinacosa -h/>sina) y
' -I- tfVosa2 — 2 « / / s i n a —o»
g et ^ étant les coordonnées du centre de cette circonfé- rence, elle a aussi pour équation
(.r-^)2H-(jr->î)2-R2^O OU
(4) JT* _|_ yi __ lx — 2 3 î J ^ H2 -h >,' — R2 — O.
Exprimant que les coefficients des équations (3 ) et (4) sont proportionnels, ou, simplement identifiant, puisque îes coefficients des termes en x2 ety2 sont égaux à l'unité, on a
(5) \- «cos2a—//sina H-y?cosa, (6) n =-p'oosot. -f- «sina cosa 4-/?sin«, pour les coordonnées du centre en fonction de a.
11 suffirait d'éliminer a entre ces deux équations pour obtenir l'équation du lieu cherché ; mais la recherche de ce lieu peut se faire d'une façon simple, élégante en s'ap- puyant sur le théorème suivant :
THÉORÈME.— Lorsque deux paraboles tournant autour de leurs sommets soîit telles, que leurs quatre points dHn-
3.
centre est à Vintersection des deux lignes droites dis- tantes extérieurement de chaque sommet du paramètre de Vautre parabole.
En effet, l'axe de la première parabole, ou la droite OE passant par l'origine et faisant avec Taxe x un angle a, est
y — x tang a z=. o;
par suite, wF distance à cette droite du centre de la cir- conférence dont les coordonnées sont £ et YÎ est
//cosa -htfsinacosa -\-psinx—tanga(<2cos2a — //sina -4-pcosa)
ou
cl —//cos'a cos a sj i
-f- tangua
/?'sin2a tan g2 a
t
P •
Ainsi, comme nous l'avons énoncé, p1 est la distance du centre de la circonférence variable à l'axe de la para- bole dont le paramètre est p. Avec la même facilité on trouvera que p est la distance du centre de la circonfé- rence à l'axe de la parabole dont le paramètre est p\ ce qui démontre le théorème.
Le problème est donc ramené à un cas particulier de celui-ci :
Quel est le lieu de Vintersection des tangentes à deux circonférences ayant pour centres O et O', et pour rayons respectifs p' et p, ces tangentes étant supposées toujours rectangulaires ?
C'est un cas particulier pour plusieurs raisons : d'abord,
(*) Nous prenons le radical avec le signe -+- pour que cette distance soit positive.
parce que si Ton veut avoir le problème d'agrégation, il ne faut prendre que les tangentes extérieures {fig* 2); une
Fin
autre raison : ces tangentes extérieures donnent une courbe continue au-dessus et au-audessous de la droite qui joint les points O el O', tandis que dans le problème d'agrégation, on ne cherche qu'une partie de cette courbe; le lieu des points satisfaisant à la question s'ar- rête brusquement en deux points dont chacun répond au maximum ou au minimum de la circonférence.
Ainsi {fig. 2) tów'ü)" représente, d'un côté de OO', toute la courbe lieu des centres des circonférences. La courbe commence donc brusquement en w, et s'arrête brusque- ment en w"'. Le premier point correspond au minimum de cette circonférence et le deuxième au maximum.
Le point G/ correspond à la circonférence maxi- ma. On obtient ce point en faisant passer, par le sommet de l'autre, un point de la parabole ayant le plus grand paramètre.
Il est évident que le lieu ww'w" a sou symétrique par rapport à 0 0 ' .
