BLAISE PASCAL PT 2020-2021
DM 4 – à rendre lundi 5 octobre Correction
Théorème de Bernoulli Filtrage
I - Remplissage d’un wagon citerne
1 Les trois pertes de charge s’additionnent,
hv=hr+ 2hs soit hv= fL
D + 2ζ v2
2g. La rugosité relative de la conduite est donnée par
e
D = 400·10−6
4·10−2 = 1·10−2
ce qui indique la courbe à lire pour déterminer le coefficient de friction sur le diagramme de Moody représenté figure 1.
f
0,001 0,01 0,1
'0,03 ⇐
Figure 1– Diagramme de Moody légendé.
2 La relation de Bernoulli généralisée s’écrit vW2
2 +PW ρ +ghW
− vB2
2 +PB ρ +ghB
=w−ghv
OrPW =PB =Patm, la surface du bassin est immobile donc vB= 0, et par conventionhB = 0. Il reste finalement vW2
2 +ghW =ghu−ghv donc vW2
2g =hu−hv−hW.
1/3 Étienne Thibierge, 13 octobre 2020,www.etienne- thibierge.fr
Correction DM 4 : Théorème de Bernoulli et filtrage Blaise Pascal, PT 2020-2021
3 L’écoulement étant permanent et incompressible, on a par conservation du débit volumique vS=vWSW soit v=SW
S vW. En insérant cette relation dans la perte de charge,
hv =
fL D + 2ζ
v2 2g =
fL
D + 2ζ SW2
S2 vW2
2g ce qui se réécrit
hv vW2/2g =
fL
D + 2ζ
| {z }
∼25
SW2
S2 1 d’où vW2 2g hv.
On peut donc réécrire la relation de Bernoulli en négligeant le terme de vitesse, hu−hv−hW = 0.
4 On en déduit
hv=hu−hW = fL
D+ 2ζ v2
2g d’où v2= 2g(hu−hW) fL
D + 2ζ ce qui s’écrit bien sous la forme indiquée
v=p
2G(hu−hW) avec G= g fL
D + 2ζ .
5 D’après la conservation du débit volumique,
vS=vWSW donc dhW
dt = S SWv .
En combinant avec la question précédente, dhW
dt = S SW
p2G(hu−hW).
6 En séparant les variables,
dhW 2√
hu−hW
= S SW
rG 2 dt
Entre les instants 0 etτ, la hauteur d’eau dans le wagon citerne passe de 0 àH. L’intégration donne ˆ h0+H
h0
dhW 2√
hu−hW
= S SW
rG 2
ˆ τ 0
dt h−p
hu−hW
ih0+H h0 = S
SW
rG 2τ On en déduit
τ= SW
S r2
G
phu−h0−p
hu−h0−H .
Numériquement,
τ= 1,9·104s'5h15.
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II - Passe-bas atténuateur
7 Dans la limite des hautes fréquences, le condensateur équivaut à un fil, doncs = 0. Dans la limite des basses fréquences, le condensateur équivaut à un interrupteur ouvert. Par un pont diviseur de tension entre les deux résis- tances,
S
E = R
R+R soit S= E 2 .
Le filtre est donc unpasse-bas, mais qui atténue néanmoins les basses fréquences ... ouf, le titre de l’exercice est bien donné !
8 L’associationR, C parallèle a pour admittance équivalente YRC= 1
R+ jCω= 1 + jRCω
R .
Par un diviseur de tension :
H = ZRC R+ZRC
= 1
1 +RYRC
= 1
2 + jRCω = 1/2 1 + jRC
2 ω
La marche à suivre est donnée par la forme canonique à laquelle on cherche à identifier la fonction de transfert : ici, elle commence par « 1 + ... » au dénominateur.
En identifiant avec la forme donnée par l’énoncé,
H0= 1
2 et ωc= 2
RC .
Par lecture du diagramme, on peut déterminer la fréquence de coupure à −3 dBfc= 30 Hz d’où RC= 2
ωc = 1
πfc = 1·10−2s. Dans la limite des basses fréquences,
H ∼ H0
1 =H0 d’où GdB= 20 log|H0|= cte ce qui justifie l’allurehorizontale. Dans la limite des hautes fréquences, on a cette fois
H ∼ H0
jω ωc
d’où GdB= 20 log|H0| −20 log ω ωc
ce qui conduit à unepente de −20 dB/décadeconforme à celle du diagramme de Bode.
9 Comme les signaux ont même amplitude, Sm
S0m = |H(f)|Em
|H(f0)|Em = |H(f)|
|H(f0)|
On lit sur le diagramme de Bode GdB(f) = −8 dB, donc |H(f)| = 10−8/20. De même, GdB(f0) = −38 dB donc
|H(f)|= 10−38/20. Finalement,
Sm
Sm0 = 10(−8+38)/20 soit Sm
Sm0 = 31.
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