B ULLETIN DE LA S. M. F.
E D . L UCAS
Démonstration du théorème de Clausen et de Staudt, sur les nombres de Bernoulli
Bulletin de la S. M. F., tome 11 (1883), p. 69-71
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Démonstration du théorème de Clausen et de Staudt, sur les nombres de Bernoulli; par M. EDOUARD LUCAS.
(Séance du 6 avril i883.)
Clausen et Staudt ont découvert en même temps sur les nombres de Bernoulli un théorème fort remarquable que l'on peut énoncer ainsi : On a pour les nombres de Bernoulli l'expression
B. -= A, i i i i
2-a ~ ~ p-•t~ ^
dans laquelle Ao, A i , Aa, . . . , A,^ désignent des nombres entiers, et a, a, (î, . . • ,\ tous les nombres premiers qui sapassent de Vunité tous les diviseurs de n. Nous donnerons de ce théorème une démonstration directe qui repose, d'une part, sur la méthode de sommation des puissances que l'on doit à Fermât et, d'autre part, sur les théorèmes de Fermât et de Wilson. Posons
Xp === x(x -}-ï)(x -+-2).. .(x -\-p —i),
et désignons par T9 la somme des p premiers nombres pris y à y,
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nous aurons
XP 4- rj,-i tvp~l .rP-2-
- P-I ,.-+-rç:}^=Xp;
si Fon remplace successivement p par ï , 2, 3, . . ., /ï, on obtient /ï équations linéaires et homogènes par rapport aux quantités
d?»-l, ;y»-2, a?»-3^ . . . , x, I .
En développant leur déterminant, suivant les éléments de la der- nière colonne, on a
(ï) x^ = X» 4- AiX^-i -1-...-+- A^-jo-i-i Xp-i 4-.. .-l- A^-iXi, après avoir posé
(— l)~-P+1 ^n-p+i = ri
1 n-i 1 0
0 F2
^n-l pi
1 n-î ï
0 F3
^/t-l F2 1 n-î pi
l/ ^ - 3
0
p/l-P-t . . . l , i - i
p/t-P . . . 1 w-a yn-p- . . . A ^—3
. . . l p - i?!
Mais, diaprés la théorie des combinaisons,
rT rir—l , _ pr-2 . iq = 1 < 7 - 1 + ^ ^^-l '
par conséquent, si l'on retranche respectivement des éléments de la première ligne ceux de la deuxième multipliés par n — ï , de la deuxième ceux de la troisième multipliés par n—2, etc., on pourra ramener tous les indices inférieurs de Y à p — ï . Donc
(_ i)^-p+i A^-p+i =
pi ^-i ï
0
0 p2
^P-i pi^p-l 1
0 p3
1P-
r?-
^-
0 1 1 1
prt-P+1 . . . A^-i
p/t-JO . . . l p - i
p/t-P-l . . . lp-i
. . . Ijo-lpi
Cela posé, désignons par p un nombre premier impair; la con- gruence
(x—\)(x— i)...{x—p 4-i)-H—;r^-1 == o, (mod.7?),
de degré p — 2, étant vérifiée par/?—ï valeurs non congrues de x^
savoir : ï , 2, 3, . . . , ( / ? — ï), est identique ; par suite,
r^.i=o, r'p^==o, 1^-1=0. ..- r ^ î — i ,
— 71 —
et, (Tailleurs, F^ est nul pour q ^>p— i. En portant ces résul- tats dans l'expression de A^_^^_i, on obtient un déterminant dont tous les éléments sont nuls, à l'exception de deux lignes obliques parallèles à la diagonale principale, dont l'une a tous ses éléments égaux à -i- i , et l'autre à — i. On voit très simplement que ce dé- terminant est égal à i ou à o, suivant que le nombre des colonnes fz — {/} — i ) d u déterminant'est ou n'est pas multiple de p — i.
Par suite,
A,i-p-n=i ou =o, (mod./)),
suivant que p — i est ou n'est pas diviseur de n.
Mais si, dans la formule (i), on remplace x par i, 2, 3, ..., x^
et si l'on fait la somme S,,, on obtient par la méthode de Fermât
S X-/1-H , . -X-rt Xy X;
n == „ , . 4" A! •—— -+•• • • +- ^n-q+i —— -+-...-+- ^n-i —
n 4-1 n 9 2
En prenant avec Bernoulli (Ars conjectandi) le coefficient de x dans S^, on a pour le nombre de Bernoulli l'expression
r» i . î . 3 . , . 7 i , r7!1 , i
B,=-^-^4-...4-A,-^-^+...4-A,-^.
En laissant de côté les dénominateurs 2 et 4> q116 l^011 traite im- médiatement, on voit qu^en supprimant les entiers la fraction
r"7-i
A 1 ^-1
A,,-^ ~^-
se réduit: i° à zéro, pour q composé, puisque 1.2.3.. .(q—a) est divisible par q ; 2° à zéro, pour q premier, lorsque q — i n^est pas un diviseur de n\ 3° à —? pour q égal à un nombre premier p impair tel que p—i divise n, puisque alors
A ^ - p 4 - i = i , r ^ : } = — i (mod.p). C . Q . F . D .
