1 Algorithmique Exercice 1

(1)

1 Algorithmique

Exercice 1

Ecrire un algorithme permettant de calculer Spxq “

n

ÿ

k“1

k sinp2 ˚ k ˚ xq

Exercice 2

Ecrire un algorithme permettant de calculer Ppzq “

k

ź

n“1

sinp2 ˚ k ˚ z{nq ^k

Exercice 3

Q. 1. Reprendre les exercices précédents en utilisant les boucles tant que.

Q. 2. Reprendre les exercices précédents en écrivant "au mieux" une fonction pour chacun d'entre eux.

Exercice 4

Soit la série de Fourier

xptq “ 4A π

"

cos ωt ´ 1

3 cos 3ωt ` 1

5 cos 5ωt ´ 1

7 cos 7ωt ` ¨ ¨ ¨

* . Ecrire la fonction SFT permettant de calculer x n ptq.

Exercice 5

Soient x un réel, m, n, p, q des entiers strictement supérieurs à 1 , u u u “ pu 1 , . . . , u m q un vecteur de R ^m , v v v “ pv 1 , . . . , v p q un vecteur de R ^p et w w w “ pw 1 , . . . , w q q un vecteur de R ^q .

Le réel y est donné par

y “

m

ź

i“1

˜

pu _i ` cospxqq

n

ÿ

k“1

pk ` px ´ iq ² q

¸

Q. 1. 1. Quelles sont les données nécessaires et susantes permettant de calculer y? Préciser les types et les dimensions.

2. Ecrire la fonction PS permettant de calculer y. Toutes les données seront passées en paramètre à la fonction.

3. Donner un exemple d'utilisation de cette fonction.

Soit zzz “ pz 1 , . . . , z m q le vecteur de R ^m déni par z i “

p

ÿ

k“1

˜

pu i ` cospkxqq

p

ź

j“1

pv k ` px ´ jq ² q

¸

, @i P v1, mw.

Q. 2. 1. Quelles sont les données nécessaires et susantes permettant de calculer zzz? Préciser les types et les dimensions.

2. Ecrire la fonction SP permettant de calculer zzz. Toutes les données seront passées en paramètre à la fonction.

3. Donner un exemple d'utilisation de cette fonction.

1

(2)

2 Dérivation numérique

Exercice 6

Q. 1. Soit y P C ² pra, bsq.

1. Montrer qu'il existe η _P ⁿ Pst ⁿ , t ^n`1 r et η _R ⁿ Pst ^n´1 , t ⁿ r tels que pDyq ^P _n “ y ^p1q pt ⁿ q ` h

2 y ^p2q pη ⁿ _P q et

pDyq ^R _n “ y ^p1q pt ⁿ q ´ h

2 y ^p2q pη ⁿ _R q 2. En déduire que

| y ^p1q pt ⁿ q ´ pDyq ^P _n | ď C 1 h, avec C 1 “ 1

2 max

tPrt

ⁿ

,t

^n`1

s | y ^p2q ptq|

et

|y ¹ pt ⁿ q ´ pDyq ^R _n | ď C ₂ h, avec C ₂ “ 1

2 max

tPrt

^n´1

,t

ⁿ

s

| y ^p2q ptq|

Q. 2. Soit y P C ³ pra, bsq.

1. Montrer qu'il existe η ₁ ⁿ Pst ⁿ , t ^n`1 r et η ₂ ⁿ Pst ^n´1 , t ⁿ r tels que

pDyq ^C _n “ y ^p1q pt ⁿ q ´ h ²

12 p y ^p3q pη ₁ ⁿ q ` y ^p3q pη ₂ ⁿ qq

2. En déduire que

| y ^p1q pt ⁿ q ´ pDyq ^C _n | ď Eh ² , avec E “ 1

6 max

tPrt

^n´1

,t

^n`1

s

| y ^p3q ptq|

Exercice 7

Soit f P C ³ pra, bs; R q. On note t ⁿ , n P v0, Nw, une discrétisation régulière de ra, bs de pas h. On note F F F P R ^N ^`1 le vecteur déni par F n`1 “ f pt ⁿ q, @n P v0, Nw.

Q. 1. 1. Déterminer en fonction de h et F F F , un vecteur V V V P R ^N ^`1 vériant V _n`1 “ f ¹ pt ⁿ q ` Ophq, @n P v0, N w.

2. Ecrire une fonction algorithmique permettant, à partir du vecteur F F F et de la discrétisation régulière, de calculer le vecteur V V V précédant.

Q. 2. 1. Connaissant uniquement le vecteur F F F , déterminer un vecteur W W W P R ^N`1 vériant W

W

W n “ f ¹ pt ⁿ q ` Oph ² q, @n P v0, Nw

2. Ecrire une fonction algorithmique permettant, à partir du vecteur F F F et de la discrétisation régulière, de calculer le vecteur W W W précédant.

2

1 Algorithmique Exercice 1

1 Algorithmique

Exercice 1

Ecrire un algorithme permettant de calculer Spxq “

n

ÿ

k“1

k sinp2 ˚ k ˚ xq

Exercice 2

Ecrire un algorithme permettant de calculer Ppzq “

k

ź

n“1

sinp2 ˚ k ˚ z{nq k

Exercice 3

Q. 1. Reprendre les exercices précédents en utilisant les boucles tant que.

Q. 2. Reprendre les exercices précédents en écrivant "au mieux" une fonction pour chacun d'entre eux.

Exercice 4

Soit la série de Fourier

xptq “ 4A π

"

cos ωt ´ 1

3 cos 3ωt ` 1

5 cos 5ωt ´ 1

7 cos 7ωt ` ¨ ¨ ¨

* . Ecrire la fonction SFT permettant de calculer x n ptq.

Exercice 5

Soient x un réel, m, n, p, q des entiers strictement supérieurs à 1 , u u u “ pu 1 , . . . , u m q un vecteur de R m , v v v “ pv 1 , . . . , v p q un vecteur de R p et w w w “ pw 1 , . . . , w q q un vecteur de R q .

Le réel y est donné par

y “

m

ź

i“1

˜

pu i ` cospxqq

n

ÿ

k“1

pk ` px ´ iq 2 q

¸

Q. 1. 1. Quelles sont les données nécessaires et susantes permettant de calculer y? Préciser les types et les dimensions.

2. Ecrire la fonction PS permettant de calculer y. Toutes les données seront passées en paramètre à la fonction.

3. Donner un exemple d'utilisation de cette fonction.

Soit zzz “ pz 1 , . . . , z m q le vecteur de R m déni par z i “

p

ÿ

k“1

˜

pu i ` cospkxqq

p

ź

j“1

pv k ` px ´ jq 2 q

¸

, @i P v1, mw.

Q. 2. 1. Quelles sont les données nécessaires et susantes permettant de calculer zzz? Préciser les types et les dimensions.

2. Ecrire la fonction SP permettant de calculer zzz. Toutes les données seront passées en paramètre à la fonction.

3. Donner un exemple d'utilisation de cette fonction.

1

2 Dérivation numérique

Exercice 6

Q. 1. Soit y P C 2 pra, bsq.

1. Montrer qu'il existe η P n Pst n , t n`1 r et η R n Pst n´1 , t n r tels que pDyq P n “ y p1q pt n q ` h

2 y p2q pη n P q et

pDyq R n “ y p1q pt n q ´ h

2 y p2q pη n R q 2. En déduire que

| y p1q pt n q ´ pDyq P n | ď C 1 h, avec C 1 “ 1

2 max

tPrt

,t

s | y p2q ptq|

et

|y 1 pt n q ´ pDyq R n | ď C 2 h, avec C 2 “ 1

2 max

tPrt

,t

s

| y p2q ptq|

Q. 2. Soit y P C 3 pra, bsq.

1. Montrer qu'il existe η 1 n Pst n , t n`1 r et η 2 n Pst n´1 , t n r tels que

sinp2 ˚ k ˚ z{nq ^k

Soient x un réel, m, n, p, q des entiers strictement supérieurs à 1 , u u u “ pu 1 , . . . , u m q un vecteur de R ^m , v v v “ pv 1 , . . . , v p q un vecteur de R ^p et w w w “ pw 1 , . . . , w q q un vecteur de R ^q .

pu _i ` cospxqq

pk ` px ´ iq ² q

Soit zzz “ pz 1 , . . . , z m q le vecteur de R ^m déni par z i “

pv k ` px ´ jq ² q

Q. 1. Soit y P C ² pra, bsq.

1. Montrer qu'il existe η _P ⁿ Pst ⁿ , t ^n`1 r et η _R ⁿ Pst ^n´1 , t ⁿ r tels que pDyq ^P _n “ y ^p1q pt ⁿ q ` h

2 y ^p2q pη ⁿ _P q et

pDyq ^R _n “ y ^p1q pt ⁿ q ´ h

2 y ^p2q pη ⁿ _R q 2. En déduire que

| y ^p1q pt ⁿ q ´ pDyq ^P _n | ď C 1 h, avec C 1 “ 1

s | y ^p2q ptq|

|y ¹ pt ⁿ q ´ pDyq ^R _n | ď C ₂ h, avec C ₂ “ 1

| y ^p2q ptq|

Q. 2. Soit y P C ³ pra, bsq.

1. Montrer qu'il existe η ₁ ⁿ Pst ⁿ , t ^n`1 r et η ₂ ⁿ Pst ^n´1 , t ⁿ r tels que

pDyq ^C _n “ y ^p1q pt ⁿ q ´ h ²

12 p y ^p3q pη ₁ ⁿ q ` y ^p3q pη ₂ ⁿ qq

| y ^p1q pt ⁿ q ´ pDyq ^C _n | ď Eh ² , avec E “ 1

| y ^p3q ptq|

Soit f P C ³ pra, bs; R q. On note t ⁿ , n P v0, Nw, une discrétisation régulière de ra, bs de pas h. On note F F F P R ^N ^`1 le vecteur déni par F n`1 “ f pt ⁿ q, @n P v0, Nw.

Q. 1. 1. Déterminer en fonction de h et F F F , un vecteur V V V P R ^N ^`1 vériant V _n`1 “ f ¹ pt ⁿ q ` Ophq, @n P v0, N w.

Q. 2. 1. Connaissant uniquement le vecteur F F F , déterminer un vecteur W W W P R ^N`1 vériant W

W n “ f ¹ pt ⁿ q ` Oph ² q, @n P v0, Nw