Modélisation de la dynamique d’un plongeoir

Modélisation de la dynamique d’un plongeoir

Pierre Le Scornet, sous la direction de A. Debussche et E. Faou ENS Rennes, INRIA

20 mai - 20 juillet 2018

Figure1 – Prise d’élan, plongeon synchronisé, Coupe du monde de plongeon FINa, 5 juin 2018, Wuhan, Chine¹

Résumé

L’objet de ce stage est la modélisation du comportement d’un plon- geoir, en utilisant une approche mathématique et numérique du sys- tème d’équations différentielles partielles de Timoshenko. Ce stage fait partie du programmeSciences 2024², visant à augmenter les perfor- mances des athlètes français aux Jeux Olympiques de Paris 2024.

1. Les athlètes chinois Cao Yuan (devant) et Xie Siyi ont participés à la finale du plongeon 3m synchronisé, qu’ils ont remportée. (Crédit Image : Xiao Yijiu/Xinhua via ZUMA Wire)

2. https://sciences2024.polytechnique.fr/

Table des matières

1 Présentation du problème 3

2 Équation des ondes avec contact ponctuel 5

2.1 Théorème d’existence . . . 5

2.2 Preuve du théorème . . . 6

2.2.1 Introduction à la preuve . . . 6

2.2.2 Premier lemme de bornage . . . 7

2.2.3 Preuve du premier lemme . . . 7

2.2.4 Première convergence enm . . . 10

2.2.5 Second lemme de bornage . . . 13

2.2.6 Preuve du second lemme . . . 13

2.2.7 Passage à la limite en . . . 14

2.2.8 Conclusion de la preuve . . . 15

2.3 Remarques additionelles . . . 16

3 Construction d’un schéma numérique 16 3.1 Cas de l’équation des ondes sans obstacle . . . 16

3.1.1 Définition du schéma numérique . . . 16

3.1.2 Solutions numériques et courbes d’erreur . . . 18

3.2 Cas de l’équation des ondes avec obstacle . . . 19

3.2.1 Définition de schémas numériques . . . 19

3.2.2 Résultats numériques . . . 21

3.3 Cas du système d’équation de Timoshenko . . . 23

3.3.1 Définition du schéma numérique sans contact ponctuel 23 3.3.2 Définition du schéma numérique avec contact ponctuel 24 3.3.3 Résultats numériques . . . 25

4 Problèmes ouverts 26 5 Annexe 28 5.1 Script Python pour l’équation des ondes . . . 28

5.2 Script Python pour Timoshenko . . . 29

Introduction

Contexte du stage

Ce stage fait partie d’un programme de recherche avec des stages étudiants et des thèses, entre l’Université Rennes 1 et l’École normale Supérieure de Rennes. Trois stages se sont déroulés avec chacun une approche différente : un étudiant du département mécatronique a travaillé à instrumenter et ana- lyser un modèle réduit puis un modèle taille réelle de plongeoir, un étudiant en master de modélisation a appliqué des méthodes d’analyse modale sur le système différentiel de Timoshenko, et j’ai étudié l’existence d’une solution à l’équation des ondes avec contact ponctuel par une méthode variationelle, puis construit un schéma numérique pour l’équation des ondes, que j’ai en- suite adapté au modèle de Timoshenko.

Plan du rapport

Je commence dans la première partie par présenter le problème du plongeoir, le modèle de Timoshenko de déformation des poutres, et comment l’adapter au problème du plongeoir. Ensuite, je présente une preuve variationelle par pénalisation de l’existence d’une solution à l’équation des ondes avec contact ponctuel. Enfin, je présente un schéma numérique résolvant l’équation des ondes avec contact ponctuel, et son adaptation aux équations de Timoshenko.

1 Présentation du problème

0 l L

Figure2 – Schéma d’un plongeoir

On considère un plongeoir de longueurL. Ce plongeoir est accroché à gauche à un support fixe, est libre à droite, et est limité vers le bas dans son dé- placement au point 0 < l < L par un contact ponctuel³. On considère le mouvement du plongeoir comme plan, i.e. on néglige la torsion du plongeoir.

3. Ce sera le même schéma quand on considérera l’équation des ondes.

Figure3 – Schéma de la fibre moyenne et de la section droite d’une poutre On noteu(x, t)ledéplacement vertical de la fibre moyenne du plongeoir. Au repos, on peut définir une section droite au long de la fibre moyenne comme la section de la poutre orthogonale à la fibre moyenne. On a alors deux façons de modéliser la dynamique de la poutre :

— le modèle d’Euler-Bernoulli, qui suppose que la section droite reste orthogonale à la fibre moyenne au cours du temps, correspondant au premier schéma de déformation.

— le modèle de Timoshenko, qui prend en compte le cisaillement : si la section droite reste plane, elle est cependant inclinée par rapport au plan orthogonal à la fibre moyenne. On note cet angle θ(x, t) le cisaillement. Alors, l’équation différentielle partielle de Timoshenko s’écrit sous la forme :











∂²u

∂x² −∂θ

∂x+f(x, t) = ∂²u

∂t² + (∂²θ

∂t²)²u g∂²θ

∂x² +∂u

∂x−θ= ∂²θ

∂t²

Ce modèle fonctionne mieux pour des petites élongations comme celle que nous avons que le modèle de Bernoulli.

À partir de maintenant, on notera ^∂g_∂x =g⁰ et ^∂g_∂t = ˙g. On négligera (^∂_∂t²2^θ)²u, ce qui nous donne :

¨

u=u⁰⁰−θ⁰+f θ¨=gθ⁰⁰+u⁰−θ

On fixe les conditions limites à :

En x= 0, u= 0, θ⁰= 0 En x=L, u⁰−θ= 0, θ⁰ = 0

Ces conditions limites viennent de la structure physique de la poutre sous le modèle de Timoshenko : les deux forces s’appliquant à la poutre sont une force de cisaillement N~ =u⁰−θ indiquant la force s’exerçant verticalement sur la poutre, et un moment de flexionM~ =θ⁰ indiquant la force tordant la section droite de la poutre par rapport au plan orthogonal à la fibre moyenne.

Ainsi, à droite la poutre est libre, donc les forces sont nulles, et à gauche seule la force de flexion est nulle, puisque le déplacement est constant.

2 Équation des ondes avec contact ponctuel

2.1 Théorème d’existence

[Sch80] propose un théorème d’existence de solution de l’équation des ondes avec contact ponctuel, avec la structure d’une démonstration de ce théo- rème. Notons l’opérateur d’Alembertien, Ω =]0, L[, Q =]0, L[×]0, T[, H=L²(Ω),V =H₀¹(Ω),a(u, v) =R

Ω

∂u

∂x

∂v

∂xdx, et(u, v) =RL 0 uvdx.

On va travailler dans l’espace

K={u∈L^∞(0, T;V)∩W^1,∞(0, T;H)/u(l, t)≥h₀}

Nous avons besoin de formuler l’équation des ondes avec un contact ponc- tuel. Pour cela, nous allons prouver qu’il existe une solution à l’inégalité variationelle :

∀v∈ K,hu, v−ui ≥ Z

Q

f(v−u)

Théorème 2.1 (Résolution par méthode variationelle). Pour tout u₀ dans V tel que u0(l) ≥ 0, et pour tout u1 dans H, f dans L²(Q), il existe une fonctionu telle que :

u∈ K u∈M¹(Q)

¨

u(0,l)×(0,T)∈L²(0, T;H⁻¹(0, l))

¨

u(l,L)×(0,T)∈L²(0, T;H⁻¹(l, L))

∀v∈ K,hu, v−ui ≥ Z

Q

f(v−u)dxdt (1)

u(x,0) =u0(x)

˙

u(x,0) =u1(x) 2.2 Preuve du théorème

2.2.1 Introduction à la preuve

On utilise une méthode variationelle et de la pénalisation. D’abord, soit (wj)j∈N une base orthonormée de V, formée de vecteurs propres du La- placien nuls en0etL. NotonsV_m =V ect(w₁, ...w_m), etp_m la projection sur V_m. On étudie le système différentiel :

u_m(·, t)∈V_m

∀1≤j≤m, u⁰⁰_m(·, t), w_j)+a(um(·, t), w_j)−1

(um(l, t))⁻wj(l) = (f(·, t), w_j) (2) u_m(x,0) =u⁰_m

˙

u_m(x,0) =u¹_m

oùu⁰_metu¹_msont des conditions initiales telles queu⁰_m converge versu₀ dans V,u¹_m converge versu₁ dans H et u⁰_m(l)≥0.

Ce système différentiel est la traduction de l’équation des ondes non homo- gène, auquel on rajoute le terme de pénalisation ¹(u_m(l, t)−h₀)⁻. Il a une solution par le théorème de Cauchy-Lipshitz-Picard ([Bre83], VII.3) : Théorème 2.2 (Cauchy-Lipshitz-Picard). Soit E un espace de Banach et soit F :E →E une application telle que :

kF u−F vk ≤Lku−vk ∀u, v∈E (L≥0)

Alors pour tout u₀ ∈E il existe une unique fonction u∈ C¹([0;∞[;E) telle que :





 du dt =F u u(0) =u0

puisque la partie négative(·)⁻ est lipschitzienne. Remarquons que (2) peut se réécrire en sommant :

u_m =p_mf +1

(u_m(l,·)−h₀)⁻p_mδ_l

avechp_mδl, φi_V⁰_,V :=pmφ(l).

On va montrer des bornes suru_met ses dérivées, puis on va faire tendre une sous-suite selonmvers une fonctionu, en passant des bornes à la limite, et enfin nous passerons une sous-suite à la limite selon vers u qui respectera les conditions du théorème.

2.2.2 Premier lemme de bornage Lemme 2.1. Nous pouvons contrôleru_m :

|u_m|_L^∞_(0,T;V) ≤C

|u˙m|_L^∞_(0,T;H)≤C

| 1

√(um(l,·)−h0)⁻|_L^∞_(0,T)≤C

|¨um|_L2(0,T;V⁰)≤C() Z T

0

1

(um(l, t)−h0)⁻dt≤C

|u_m|_M1(Q)≤C

Ces constantes sont indépendantes demet(sauf la quatrième qui ne dépend que de).

2.2.3 Preuve du premier lemme

On peut commencer par une estimation d’énergie.

1 2

∂

∂t Z L

0

( ˙um)²+ (u⁰_m)²dx= Z L

0

˙

umu¨m+ ˙u⁰_mu⁰_m

= (¨um(·, t)−u⁰⁰_m(·, t),u˙m(·, t))_L2(Ω)

= (f(·, t),u˙_m(·, t))_L2(Ω)

−1

(u_m(l, t)−h₀)⁻u˙_m(l, t)

On a utilisé une intégration par partie sur le deuxième terme, en utilisant u_m(·, t) ∈V =H₀¹(Ω), puis que u˙_m(·, t) ∈V_m. Or _∂t^∂[(u_m(l, t)−h₀)⁻]² = 2(um(l, t)−h0)⁻u˙m(l, t), donc :

1 2

∂

∂t( Z L

0

( ˙um)²+ (u⁰_m)²dx+1

[(um(l, t)−h0)⁻]² = (f(·, t),u˙m(·, t))_L2(Ω)

≤ 1

2(|f(·, t)|²_L2(Ω)+|u˙_m(·, t)|²_L2(Ω)) On utilise le fait que chacun des termes est positif pour obtenir :

|u˙m(·, t)|_L2(Ω)|²− |u⁰_m|_L2(Ω)|² ≤ |f|_L2(Q)+ Z t

0

|u˙m(·, t)|_L2(Ω)|²dt Or(u⁰_m)_m est borné dansL²(Ω), donc on a :

|u˙_m(·, t)|_L2(Ω)|²≤K+ Z t

0

|u˙_m(·, t)|_L2(Ω)|²dt

avec K = |u⁰_m|²_L2(Ω)+|f|²_L2(Q). On applique donc le lemme de Grönwall et on obtient :

|u˙_m(·, t)|_L2(Ω)|²≤Ke^t≤Ke^T

On a donc majoré u˙_m par une constante indépendante de m et dans L^∞(0, T;H). Or on peut écrireum(·, t)−u⁰_m =Rt

0u˙m(·, s)dsqui nous donne directementum borné dans L^∞(0, T;H) et doncL^∞(0, T;V) indépendam- ment de met. De même :

1

[(um(l, t)−h0)⁻]² ≤ |f|_L2(Q)+T|u˙m|_L^∞_(0,T;V) donc ^√1

(u_m(l, t)−h₀)⁻ est borné indépendamment dem et(ett).

Bornons maintenantu¨m dansL²(0, T;V⁰). Pour cela, remarquons que l’on peut interpréter (2) comme une égalité surV⁰. Pour contrôler u¨m dansV⁰, on peut donc contrôleru⁰⁰_m,f et ¹(u_m(l,·)−h₀)⁻p_mδ_l.

—

hf(·, t), φi_V⁰_,V = Z L

0

f(·, t)φ

≤ |f(·, t)|_L2(Ω)|φ|_L2(Ω)

≤ |f(·, t)|_L2(Ω)|φ|_V Donc

|f|_L2(0,T;V⁰)≤ |f|_L2(Q)

— De même, par intégration par parties : hu⁰⁰_m(·, t), φi_V⁰_,V =

Z L 0

u⁰⁰_m(·, t)φ

=− Z L

0

u⁰_m(·, t)φ⁰

≤ |u⁰_m(·, t)|_L2(Ω)|φ⁰|_L2(Ω)

≤ |u_m(·, t)|_V|φ|_V Donc nous avons :

|u⁰⁰_m(·, t)|_V⁰ ≤ |u_m(·, t)|_V qui est borné selontd’où :

|u⁰⁰_m|_L2(0,T;V⁰)≤√

T|u_m|_L∞(0,T;V)

— Enfin, nous avons : h1

(um(·, t)−h0)⁻pmδl, φi_V⁰_,V = 1

(um(l, t)−h0)⁻φ(l)

= 1

(um(l, t)−h0)⁻ Z l

0

φ⁰(x)dx

≤ 1

(u_m(l, t)−h₀)⁻

√

l|φ⁰|_L2(Ω)

≤ 1

(um(l, t)−h0)⁻

√ l|φ|_V Par Cauchy-Schwarz, d’où :

|1

(u_m(l, t)−h₀)⁻p_mδ_l|_V⁰ ≤ 1

(u_m(l, t)−h₀)⁻

|1

(u_m(l,·)−h₀)⁻p_mδ_l|_L2(0,T;V⁰)≤ |1

(u_m(l,·)−h₀)⁻|_L∞(0,T)

Les trois bornesL²(0, T;V⁰)ne dépendent pas dem(la dernière dépend de puisque c’est ^√1

(um(l,·)−h₀)⁻pmδ_lque l’on a borné, et non pas ¹(um(l,·)−

h₀)⁻p_mδ_l). On a donc u¨_m borné dans L²(0, T;V⁰), indépendamment dem.

On cherche maintenant à borner RT 0

1

um(l, t)−h0)⁻dt. Pour cela, notons quew1(l)6= 0 et utilisons (2) pourj= 1 :

Z T 0

1

(um(l, t)−h0)⁻dt= 1 w₁(l)

Z T 0

(f(·, t), w₁)−(¨um(·, t), w₁) + (u⁰⁰_m(·, t), w₁)dt

Le premier terme à droite est constant selon m et . De plus, par linéarité on a :

| Z T

0

(¨um(·, t), w₁)dt|=|( ˙um(·, T)−u˙m(·,0), w1)|

≤ |u˙m(·, T)−u˙m(·,0)|_L2(Ω)|w₁|_L2(Ω)

≤2√

L|u_m|_L∞(0,T;V)

Enfin, on a par intégrations par parties, pourλ₁ la valeur propre associée à w₁ :

Z T 0

(u⁰⁰_m(·, t), w₁)dt= Z T

0

(um(·, t), w⁰⁰₁)dt

= Z _T

0

λ₁(u_m(·, t), w₁)dt

| Z T

0

(u⁰⁰_m(·, t), w₁)dt| ≤ |λ₁| Z T

0

|u_m(·, t)|_L2(Ω)|w₁|_L2(Ω)dt

≤T|λ₁||u_m|_L^∞_(0,T;V)

Cette borne ne dépend pas demet. Ainsi, nous pouvons bornerRT 0

1

(um(l, t)−

h0)⁻ indépendamment deetm.

On peut enfin montrer queu_m est une mesure bornée surQ :

um =f −1

(um(l,·)−h0)⁻pmδ_l Or,f est une mesure bornée carR

Qf ≤√

LT|f|_L2(Q), que ¹(u_m(l,·)−h₀)⁻ est borné et quepmδlest une mesure finie. De plus, cette borne est indépen- dante dem et.

2.2.4 Première convergence en m

Nous pouvons maintenant passer à la limite en m. Pour cela, considérons (u_m)m∈N. Nous savons que

|u˙m|_L^∞_(0,T;H)≤C donc

|u_m(·, t)−u_m(·, s)|_L2(Ω)≤C|t−s| ∀t, s∈[0, T]

Ainsi,(u_m)m∈Nest équicontinue. De plus,u_mest continue ent, et[0, T]est compact, doncu_m([0, T])est compact. On a donc par le théorème d’Ascoli :

Théorème 2.3 (Ascoli). Soit K un espace métrique compact et soit H un sous-ensemble borné deC(K). On suppose que Hest uniformément équicon- tinu i.e. :

∀ >0,∃δ >0,∀f ∈ H, d(x₁, x₂)< δ⇒ |f(x₁)−f(x₂)|<

que (um)m∈N relativement compact dans C([0, T], H). Il existe donc une sous-suite convergente

um_k →u dansC([0, T], H)

On peut maintenant passer à la limite dans chacun des termes de l’équation (2). D’abord,

|a(u_m(·, t), w_j)| ≤LT|u_m(·, t)|_H|w⁰⁰_j|_H ∀t∈[0, T] par intégration par parties, d’où

a(umk(·, t), w_j)→a(u(·, t), w_j) ∀t∈[0, T] Ensuite, on veut prouver

umk(l, t)→u(l, t) ∀t∈[0, T]

pour faire converger le troisième terme à gauche de (2). Pour cela, nous savons que∀t∈[0, T],|u_mk(·, t)|_V ≤C, et queV s’injecte de manière com- pacte dansC¹²(Ω). On a donc pour toutt∈[0, T] (u_mk(·, t))_k∈Néquicontinue etumk(Ω, t) compact (par continuité et compacité deΩ). On a donc, par le théorème d’Ascoli 2.3 sur Ω,R etum_k(·, t), il existe une sous-suite conver- geant versv :

um_kl(·, t)→v(·, t) avec v(·, t)∈ C(Ω)

Or, on sait déjà que u_mk → u dans C([0, T], H), donc cette limite est la même :

v(·, t) =u(·, t) ∀t∈[0, T]

Par continuité, la valeur ponctuelle deumk(·, t) a bien un sens et converge versu(l, t). Ainsi :

1

(um_k(l, t)−h0)⁻wj(l)→ 1

(u(l, t)−h0)⁻wj(l) ∀t∈[0, T]

Enfin, on sait que la suite u¨_mk est bornée dans L²(0, T;V⁰). Ainsi, par le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki ([Bre83], III.15) :

Théorème 2.4(Banach-Alaoglu-Bourbaki). PourEespace de Banach, l’en- semble B_E⁰ ={f ∈E⁰;kfk ≤1} est compact pour la topologie faible-*.

¨

um_k est relativement compacte dansL²(0, T;V⁰). Ainsi, on peut en extraire une sous-suite convergeant vers w dansL²(0, T;V⁰). Or,w= ¨u, car pour toutg∈ C²([0, T];V) :

Z T 0

h¨u_mk(·, t), g(·, t)i_V⁰_,Vdt= Z T

0

hu_mk(·, t),g(·, t)i¨ _V⁰_,Vdt

→ Z T

0

hu(·, t),¨g(·, t)i_V⁰_,Vdt

= Z T

0

h¨u(·, t), g(·, t)i_V⁰_,V

On peut donc passer à la limite (2) selon k, et on obtient une égalité dans L²(0, T, V⁰). De même, on peut la sommer pour obtenir :

(¨u(·, t), w) +a(u(·, t), w) +1

(u(l, t)−h0)⁻w(l) = (f(·, t), w)

∀w∈V_m,∀m∈N (3) On peut maintenant fermer Vm : pour cela, soit w∈ V, etwⁿ une suite de

∪_mV_m convergeant dansV versw. Alors, on peut montrer la convergence de chaque terme de (3).

— Le dernier terme enf converge par continuité du produit scalaire sur V.

—

|a(u(·, t), wⁿ)−a(u(·, t), w)|=|a(u(·, t), wⁿ−w)|

≤C|u⁰(·, t)|_H|(wⁿ−w)⁰|_H

≤C|u(·, t)|_V|wⁿ−w|_V

→0

— De même : 1

(u(l, t)−h₀)⁻wⁿ(l)→ 1

(u(l, t)−h₀)⁻w(l)

car la convergence dans V = H₀¹(Ω) implique la convergence ponc- tuelle.

— Enfin :

|(hu¨(·, t), wⁿi_V⁰_,V − h¨u(·, t), wi_V⁰_,V)|=|h¨u(·, t), wⁿ−wi_V⁰_,V|

≤ |¨u(·, t)|_V⁰|w_n−w|_V

On a donc ici la convergence dansL²(0, T). Ainsi, on a l’égalité dansL²(0, T;V⁰): (¨u(·, t), w) +a(u(·, t), w) +1

(u(l, t)−h₀)⁻w(l) = (f(·, t), w)

∀w∈V (4) Nous pouvons aussi montrer la convergence faible-* deu_mkdansL^∞(0, T;V) Soit g ∈ L¹(0, T;V⁰). Par convergence dominée, avec la borne L^∞(0, T;V) suru_,mk, on obtient :

Z T 0

hg(·, t), u_mk(·, t)i_V⁰_,Vdt→ Z T

0

hg(·, t), u(·, t)i_V⁰_,Vdt De même,u˙mk converge faiblement-* versu˙.

2.2.5 Second lemme de bornage

Lemme 2.2. On peut passer certaines bornes à la limite :

|u|_L∞(0,T;V)≤C

|u˙|_L∞(0,T;H) ≤C

|u|_M1(Q)≤C 2.2.6 Preuve du second lemme

— Un des corollaires du théorème de Hahn-Banach nous dit que pourX R-espace vectoriel normé, et h∈X :

|h|_X = sup

g∈X⁰,|g|_X0=1

|hg, hi_X⁰_,X|

On a donc :

|u|_L∞(0,T;V) = sup

g∈L¹(0,T;V⁰),|g|_L1(0,T;V0)=1

hg, ui_L1(0,T;V⁰),L^∞(0,T;V)

= sup

g

Z T 0

hu(·, t), g(·, t)idt

= sup

g

limk

Z T 0

hu_mk(·, t), g(·, t)idt

≤sup

g

sup

k

|u_mk|_L^∞_(0,T;V)|g|_L1(0,T;V⁰)

|u|_L^∞_(0,T;V) ≤C qui ne dépend pas de.

— De la même manière, on peut borner u˙ dans L^∞(0, T;H).

|u˙|_L^∞_(0,T;H)= sup

g∈L¹(0,T;H⁰),|g|_L1(0,T;H0)=1

hg,u˙i_L1(0,T;H⁰),L^∞(0,T;H)

= sup

g

Z T 0

hu˙(·, t), g(·, t)idt

= sup

g

limk

Z T 0

hu˙_mk(·, t), g(·, t)idt

≤sup

g

sup

k

|u˙_mk|_L∞(0,T;H)|g|_L1(0,T;H⁰)

|u˙|_L^∞_(0,T;H)≤C

— Enfin, de la même manière, on peut borner u dans M¹(Q). En effet :

u =f−1

(u(l,·)−h₀)⁻δ_l Or f ∈ M¹(Q), et puisque RT

0 1

(u(l, t)−h₀)⁻dt ≤ C, la mesure

1

(u(l, t)−h₀)⁻δ_l est finie.

2.2.7 Passage à la limite en

Considérons(u)∈R^∗+. Cette suite est équicontinue, puisque :

|u(·, t)−u(·, s)|=| Z t

s

˙

u(·, z)dz|

≤ |u˙|_L^∞_(0,T;H)|t−s|

≤C|t−s|

De plus, on a prouvé que u ∈ C(Q), donc l’image deQ compact par u est compacte. Alors, par le théorème d’Ascoli 2.3,(u)est relativement compacte dansC([0, T], V). Il existe donc une suite _k→0 telle que u converge dans C([0, T], V) vers une fonction que l’on noterau. On peut aussi montrer que u_k converge faiblement-* vers u dans L^∞(0, T;V). Pour cela, posons g ∈ L¹(0, T;V). Par convergence dominée avec la borne L^∞(0, T;V) sur u, on obtient :

Z T 0

hg(·, t), u_k(·, t)i_V⁰_,Vdt→ Z T

0

hg(·, t), u(·, t)i_V⁰_,V

D’où la convergence faible-*. Enfin, on peut utiliser le théorème d’Ascoli 2.3 par rapport à t pour montrer que u est dans C(Q) et la convergence ponctuelle.

On peut montrer par une simple intégration par parties queu˙_kconverge vers

˙

u dansL^∞(0, T;H) au sens faible-*. Enfin, on peut montrer la convergence deu_k versuau sens faible-* dans M¹(Q). En effet,u_k est borné dans M¹(Q), donc par le théorème de Banach-Alaoglu, la suite est compacte, donc une sous-suite que l’on nomme toujoursuk converge dansM¹(Q). De plus, on peut écrire cette convergence au sens des distributions :

|huk −u, gi_M1(Q),C(Q)|=|h¨uk−u⁰⁰_k+ ¨u−u⁰⁰, gi|

=|hu_k−u,g¨−g⁰⁰i|

≤ |¨g−g⁰⁰|_C(Q)|u_k −u|_M1(Q)

≤ |¨g−g⁰⁰|_C(Q)T|u_k−u|_L∞(0,T;V) →0 Ainsi, on sait que uk, u˙k et uk convergent faiblement-* vers u, u,˙ u dansL^∞(0, T;V),L^∞(0, T;H) etM¹(Q).

2.2.8 Conclusion de la preuve On peut donc prouver (1) :

(u−f, v−u) = Z T

0

1

(u(l, t)−h0)⁻(v(l, t)−u(l, t))dt ∀v∈ K Orv∈ K donc presque partout ent, siu(l, t)≥h₀, alors la partie négative est nulle et sinonv(l, t)≥u(l, t) et la partie négative est positive, donc :

(u−f, v−u)≥0

On peut donc écrire :

(u_k−f, v−u_k)−(u−f, v−u) = (u_k−u, v−u)

+ (u_k−f, u−u_k) Or, le premier terme tend vers0carv−u∈ C(Q) et queuk converge vers u faiblement-*. Le deuxième terme tend vers0 car

(u_k−f, u−u_k)≤ |u_k−f|_M1(Q)|u−u_k|_L∞(Q)→0 Ainsi, nous avons :

(uk−f, v−uk)−(u−f, v−u)→0 D’où :

(u−f, v−u)≥0

2.3 Remarques additionelles

Les autres conditions sont immédiates. On peut aussi montrer que le support deu−f est compris dans{l}×[0, T]. Pour cela, il suffit de prendrev ∈ C(Q) à support compact inclus dans]0, l[×[0, T], et par convergence faible-* dans M¹(Q) :

(u−f, v) = lim

→0(u−f, v)

= lim

→0

Z T 0

1

(u(l, t)−h0)⁻v(l)

= 0

De même pourvà support compact inclus dans]l, L[×[0, T],(u−f, v) = 0.

Ainsi, u−f =µ,µétant une mesure positive à support dans {l} ×[0, T] puisque limite deuk−f = ¹(uk−h0)⁻δl qui est une mesure positive.

3 Construction d’un schéma numérique

3.1 Cas de l’équation des ondes sans obstacle 3.1.1 Définition du schéma numérique

Nous cherchons à modéliser l’équation :

u=f (5)

u(·,0) =u0

˙

u(·,0) =u₁ u(0,·) = 0 u⁰(L,·) = 0

par une méthode des différences finies. On va noter ∆x le pas spatial, ∆t le pas temporel, (n_x, n_t) la dimension du maillage utilisé (d’où n_x∆x =L, n_t∆t=T). On discrétise les dérivées par :

u(·, t) = lim¨

∆t→0

u(·, t+ ∆t)−2u(·, t) + 2u(·, t−∆t)

∆t² u⁰⁰(x,·) = lim

∆x→0

u(x+ ∆x,·)−2u(x,·) +u(x−∆x,·)

∆x² On peut alors initialiser le schéma numérique :

U_j⁰ =u₀(j∆x)

U_j¹ =u₀(j∆x) + ∆tu₁(j∆x) écrire le cœur du schéma numérique :

U_j^k+1−2U_j^k+U_j^k−1

∆t² = U_j+1^k −2U_j^k+U_j−1^k

∆x² +f(j∆x, k∆t)

On voit que l’on peut obtenirU_j^k+1 grâce àU^k etU^k−1, en multipliant par

∆t² :

U_j^k+1= 2U_j^k−U_j^k−1+ ∆t²

∆x²(U_j+1^k −2U_j^k+U_j−1^k ) + ∆t²f(k∆x, j∆t)

∀k∈J2, nt−1K,∀j∈J1, nx−1K et écrire les conditions limites :

U₀^k+1=U₀^k−1 U_n^k+1_x = 2U_n^k_x −U_n^k−1_x +∆x²

∆t²(U_n^k_x−1−U_n^k_x)

On obtient la dernière équation en posant U_n^k_x+1 = U_n^k_x, qui correspond à u⁰(L,·) = 0.

Définissons le nombre de Courant : C= ∆t

∆x

La conditionCFL (Courant–Friedrichs–Lewy) qui s’écrit sous la formeC ≤ C₀ = 1, garantit la convergence du schéma numérique. On peut en trouver une preuve dans {Beca.

3.1.2 Solutions numériques et courbes d’erreur Posons des conditions initiales :

u₀(x) =sin(πx 2L) u1= 0

Ces conditions initiales respectent bien les conditions aux limites. La solution exacte à (5) pourf = 0 est alors :

u(x, t) = 1

2(sin(x+t)π

2L + sin(x−t)π 2L )

On peut calculer l’erreur _n de ce schéma, dans le cas où n_x = n_t =n, qui est définie comme :

_n= sup

k

|(U_j^k−u(j∆x, k∆t))_j|_L2

Figure 4 – Convergence _n du schéma numérique de l’équation des ondes

De même, on peut vérifier la vitesse de la convergence, en calculantnn :

Figure 5 – Vitesse de convergence de l’équation des ondes

En fait, on peut montrer que la convergence est en O(∆x+ ∆t). On peut améliorer cette convergence enO(∆x²+ ∆²_t) en améliorant la précision des conditions initiales. En effet, l’estimation U¹ = u0 + ∆tu1 n’est que du premier ordre, mais on peut améliorer cette convergence à l’ordre 2 en temps et espace, voire plus dans le cas C = 1. On peut trouver une preuve de la convergence de ce schéma et de la vitesse de convergence dans [Bé09].

3.2 Cas de l’équation des ondes avec obstacle 3.2.1 Définition de schémas numériques

Dans [SB89], on peut trouver un schéma numérique pour un problème sem- blable au précédent, où le contact ponctuel s’effectue au bout de la poutre enL, que l’on peut exprimer comme :

u= 0

u(0,·) =u0

˙

u(0,·) =u₁ u(t,0) = 0

avec les conditions limites :

u⁰(t, L) = 0 etu(t, L)>0 ouu(t, L) = 0 etu⁰(t, L)>0

C’est donc la même condition de Neumann en L quand il n’y a pas contact, et une condition de Dirichlet quand il y a contact. [SB89] propose ce schéma numérique :

U₀^k+1 = 0

U_j^k+1= 2U_j^k−U_j^k−1+ ∆t²

∆x²(U_j+1^k −2U_j^k+U_j−1^k ) + ∆t²f(j∆x, k∆x)

∀j∈J1, n_x−1K U_n^k+1_x = max[0,2U_n^k_x −U_n^k−1_x + ∆t²

∆x²(U_n^k_x−1−U_n^k_x)]

On peut trouver dans cet article une preuve de la convergence de ce schéma vers la solution du problème, sous la condition C ≤ 1. Il est cependant difficile d’obtenir la solution exacte au problème, dès qu’il y a contact. On peut facilement voir qu’on peut adapter ce schéma à notre problème : on introduit n_l =bn_xL^lc ∈J1, nxKla position du contact ponctuel sur la grille.

On a donc le schéma numérique :

U₀^k+1 = 0

U_j^k+1= 2U_j^k−U_j^k−1+ ∆t²

∆x²(U_j+1^k −2U_j^k+U_j−1^k ) + ∆t²f(j∆x, k∆t)

∀j∈J1, n_l−1K∪Jn_l+ 1, n_x−1K U_n^k+1_x = 2U_n^k_x −U_n^k−1_x + ∆t²

∆x²(U_n^k_x−1−U_n^k_x) + ∆t²f(nx∆x, k∆t)

U_n^k+1_l = max[0, U_n^k+1_l = 2U_n^k_l−U_n^k−1_l + ∆t²

∆x²(U_n^k_l+1−2U_n^k_l+U_n^k_l−1 + ∆t²f(nl∆x, k∆t))]

Cela revient à dire que quand l’onde est au dessus du point de contact elle se comporte normalement, quand elle arrive au point de contact elle s’y colle

et elle ne repart que quandU_n^k_l+1+U_n^k_l−1+f(nl∆x, j∆t)≥2U_n^k_l.

[SB89] nous donne une convergence de son schéma avec contact à droite en O(√

∆x). Je n’ai malheureusement pas de preuve de la convergence de mon schéma. Cependant, en dehors du contact, le schéma est le même que sans le contact : l’erreur du schéma numérique ne vient donc que de l’erreur sur les conditions initiales, limites et au niveau du contact.

3.2.2 Résultats numériques

Je prends les mêmes conditions que dans la partie 3.1.2 : un quart de sinu- soïde en position initiale et une vitesse initiale nulle :

Figure 6 – Conditions initiales

Jusqu’au contact, le schéma donne le même résultat qu’avant. Au contact, la corde reste collée au point de contact :

Figure 7 – Schéma numérique de l’équation des ondes avec contact De plus, quand on se décolle, on peut voir que l’on ne revient pas à une solution en sinusoïde sans contact :

Figure 8 – Schéma numérique de l’équation des ondes après contact

3.3 Cas du système d’équation de Timoshenko

3.3.1 Définition du schéma numérique sans contact ponctuel Rappelons le système d’équation de Timoshenko :

¨

u=u⁰⁰−θ⁰+f θ¨=gθ⁰⁰+u⁰−θ

On peut donc utiliser les mêmes discrétisations des dérivées secondes en temps et espace. Pour les dérivées premières en espace, il suffit d’utiliser l’estimation suivante :

u⁰(x,·) = lim

∆x→0

u(x+ ∆x,·)−u(x−∆x,·) 2∆x

On peut écrire le cœur du schéma numérique en utilisant les discrétisations, pour toutj ∈J1, nx−1K:

U_j^k+1−2U_j^k+U_j^k−1

∆t² = U_j+1^k −2U_j^k+U_j−1^k

∆x² −Θ^k_j+1−Θ^k_j−1

2∆x +f(k∆t, j∆x) Θ^k+1_j −2Θ^k_j + Θ^k−1_j

∆t² =gΘ^k_j+1−2Θ^k_j + Θ^k_j−1

∆x² −U_j+1^k −U_j−1^k 2∆x −Θ^k_j ce qui s’écrit dans sa version explicite :

U_j^k+1= 2U_j^k−U_j^k−1+ ∆t²

∆x²(U_j+1^k −2U_j^k+U_j−1^k )− ∆t²

2∆x(Θ^k_j+1−Θ^k_j−1) + ∆t²f(k∆t, j∆x)

Θ^k+1_j = 2Θ^k_j −Θ^k−1_j +g∆t²

∆x²(Θ^k_j+1−2Θ^k_j + Θ^k_j−1) + ∆t²

2∆x(U_j+1^k −U_j−1^k )

−∆t²Θ^k_j Ainsi, on peut écrire le schéma numérique avec comme conditions initiales :

U_j⁰=u0(j∆x)

U_j¹=u₀(j∆x) +dtu₁(j∆x) Θ⁰_j =θ₀(j∆x)

Θ¹_j =θ₀(j∆x) +dtθ₁(j∆x)

Les conditions limites sont un peu plus complexes. En effet, elles s’expriment commeu= 0, θ⁰ = 0enx= 0etu⁰−θ= 0, θ⁰ = 0enx=L. Nous allons donc introduireU etΘaux pointsj, n_x+ 1etj,−1, et l’on pourra définirU etΘ.

en introduisant ces évaluations en dehors de la grille dans nos expressions :

U₋₁^k = 2U₀^k−U₁^k Θ^k₋₁ = Θ^k₀

U_n^k_x+1 =U_n^k_x+dtΘ^k_nx Θ^k_nx+1 = Θ^k_nx

Ce qui nous donne les conditions limites : U₀^k = 0

U_n^k+1_x = 2U_n^k_x −U_n^k−1_x + ∆t²

∆x²(dtΘ^k_nx−U_j^k+U_j−1^k )

− ∆t²

2∆x(Θ^k_nx−Θ^k_nx−1) + ∆t²f(k∆t, j∆x) Θ^k+1₀ = 2Θ^k₀−Θ^k−1₀ +g∆t²

∆x²(Θ^k₁ −Θ^k₀) +∆t²

∆x(U₁^k−U₀^k)−∆t²Θ^k₀

Θ^k+1_nx = 2Θ^k_nx−Θ^k−1_nx +g∆t²

∆x²(Θ^k_nx−1−Θ^k_nx) + ∆t²

2∆x(U_n^k_x +dtΘ^k_nx−U_n^k_x−1)−∆t²Θ^k_nx 3.3.2 Définition du schéma numérique avec contact ponctuel On utilise ici la même technique pour simuler le contact ponctuel que dans le cas précédent, i.e. :

Θ^k+1_j = max[0,2Θ^k_j −Θ^k−1_j +g∆t²

∆x²(Θ^k_j+1−2Θ^k_j + Θ^k_j−1) + ∆t²

2∆x(U_j+1^k −U_j−1^k )−∆t²Θ^k_j]

3.3.3 Résultats numériques

Posonsf = 0 et l= 0.3L. Choisissons comme condition initiale θ= 0 etu en quart de sinusoïde. La condition initiale est donc :

Figure 9 – Conditions initiales

Voici une capture de la solution numérique au cours d’un contact.

Figure 10 – Solution numérique à l’équation de Timoshenko pendant un contact

On observe ici un saut dans la dérivée deuen l, tout comme dans le cas de l’équation des ondes. En effet, la force qui agit sur l’onde s’écrit u⁰(+f), et le saut se résorbe quand l’onde décolle du point de contact. Ici, c’est la force u⁰−θ+f qui prend la place deu⁰+f : le saut dansN~ se résorbe aussi quand la poutre décolle du point de contact. Cependant,θest continu, et donc seul u⁰ fait un saut que l’on observe ici.

4 Problèmes ouverts

— [Sch80] nous donne une solution u telle que u−f ∈M₊¹(Q). Nous pourrions expliciter ce µ, par exemple l’écrire sous la forme µ = h(t)δ_l(x). Ensuite, nous pourrions prouver l’unicité de cette solution.

Enfin, nous pourrions essayer d’adapter cette méthode par pénalisa- tion au système différentiel de Timoshenko.

— Dans [SB89], on peut trouver une preuve que l’énergie est conservée par le schéma numérique, même avec un contact ponctuel. On peut

l’expliquer par le fait que l’énergie instantanée de la corde estR_L

0 u˙²+ u⁰², donc quand la corde arrive par le haut vers le point de contact, elle perde de l’énergie cinétique (enu˙²), mais en gagne de chaque côté du point de contact en énergie potentielle (enu⁰²). De même, on peut définir une énergie sur la poutre dans le modèle de Timoshenko, et si besoin adapter notre schéma numérique afin de conserver l’énergie.

— On peut voir deux choses sur les vidéos capturées de mes solutions numériques au cours du temps. D’un côté, on peut voir que le schéma numérique pour l’équation des ondes⁴ est très vraisemblable. D’un autre côté, on peut voir celui pour le modèle de Timoshenko⁵ est beaucoup moins vraisemblable : cela ne ressemble pas à la dynamique d’un plongeoir. Cela peut venir des approximations que nous avons admises. D’abord, on a fait un contact ponctuel sans perte d’énergie, alors que dans la réalité il est plutôt large (10cm pour un plongeoir de 3m) et il y a une couche de mousse entre le plongeoir et la surface de contact. D’autres approximations sont utiles : les conditions limites représentent bien comment se comportent les forces à gauche et à droite, il n’y a quasiment pas de torsion en situation réelle, utiliser la fibre moyenne est une bonne approximation du comportement d’une poutre, ne pas négliger la partie non linéaire de l’équation ne change pas grand chose ici.

4. voir https://youtu.be/mFWnpVWntwg 5. voir https://youtu.be/Qt9iO-yIU4Q

5 Annexe

5.1 Script Python pour l’équation des ondes

i m p o r t m a t p l o t l i b . p y p l o t as plt i m p o r t n u m p y as np

f r o m m a t p l o t l i b i m p o r t a n i m a t i o n f r o m m a t p l o t l i b i m p o r t p y p l o t as plt i m p o r t t im e

L = 1 l = 0 . 3 T = 100

def m a i n ( n_t , n_L ):

dx = L / n_L dt = T / n_t n_L + = 1 n_t + = 1

u _ i n i t = 3 * np .sin( np .a r a n g e( 0 , n_L )*dx * np .pi / ( 2*L ) ) v _ i n i t = np .o n e s( n_L ) * 0

Z = np .z e r o s(( n_t , n_L ) ) Z[0 ,: ] = u _ i n i t

Z[1 ,: ] = u _ i n i t + dt * v _ i n i t

# D e f i n i t i o n de la m a t r i c e de p a s s a g e A = np .eye( n_L ) * ( 2 - dt**2 / dx**2 * 2 ) A[ -1 ,-1] = 2 - dt**2/dx**2

for k in r a n g e( n_L-1 ):

A[k , k+1] = dt**2/dx**2 A[k+1 , k] = dt**2/dx**2 def f ( u ):

r e t u r n 0 def o n d e s ( n ):

Z[n] = A .dot( Z[n-1]) - Z[n-2] + dt**2 * f ( Z[n-1]) Z[n , 0] = 0

Z[n , n_l] = max( Z[n , n_l], 0 ) for n in r a n g e( 2 , n_t ):

o n d e s ( n ) r e t u r n Z

n_L = 200

n_t = 2 0 0 0 0

n_l = int( l * n_L / L ) dx = L / n_L

dt = T / n_t