HAL Id: inria-00000077
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Submitted on 26 May 2005
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Les réseaux de contraintes quantitatives ultimement périodiques (UPSTP)
Jean-François Condotta, Gérard Ligozat, Stavros Tripakis
To cite this version:
Jean-François Condotta, Gérard Ligozat, Stavros Tripakis. Les réseaux de contraintes quantitatives ultimement périodiques (UPSTP). Premières Journées Francophones de Programmation par Con- traintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.287-296. �inria-00000077�
Les réseaux de ontraintes quantitatives
ultimement périodiques (UPSTP )
Jean-François Condotta 1
Gérard Ligozat 2
Stavros Tripakis 3
1
CRIL-CNRS, Université d'Artois,Rue de l'Université62307 Lens, Frane
2
LIMSI-CNRS, Université de Paris-Sud91403 Orsay,Frane
3
VERIMAG, Centre Équation, 2,avenue de Vignate, 38610 Gieres,Frane
ondottaril.univ-artois.f r ligozatlimsi.fr tripakisimag.fr
Résumé
Dans ette étude, nous onsidérons des réseaux de
ontraintes quantitativestemporelles ou spatiales évo-
luant au ours du temps de manière périodique. Ces
réseaux de ontraintes sont une extension des STP
(SimpleTemporalProblems).Nousétudionslesproprié-
tés debase dees réseauxde ontraintes,etnous pro-
posons égalementun algorithme de propagation loale
de ontraintes. Nous montrons que pour plusieurs as
intéressants et algorithme est omplet etdon résout
leproblèmedelaohérene.
1 Introdution
Dansdenombreusesappliationsdel'Informatiqueet
en partiulierde l'IntelligeneArtiielleil est nées-
saire de raisonner sur des informations temporelles.
De nombreux formalismes permettant de raisonner
à partir de ontraintes temporelles ont été proposés.
Lesréseauxdeontraintesqu'ilsonsidèrentdièrent
d'unepartsurlesentitéstemporellesreprésentéespar
les variables. Ces entités peuvent être par exemple
des points temporels, des intervalles de temps, des
durées ou bien enore des distanes. La nature des
ontraintes utilisées permet également de distinguer
es formalismes, elle peut être qualitative[1, 13, 10℄,
métrique/quantitative [6, 4℄ ou bien enore les deux
[8,11,3℄.
LesSTP(SimpleTemporalProblem)[4℄fontpartiede
lalassedesréseauxdeontraintestemporellesquan-
titatives. Ils représentent des entités temporelles par
des points de la droite et permettent de ontraindre
les distanes/duréesentre es points par des valeurs
tiond'unSTPpeutêtreréaliséeentempspolynomial,
eiexpliquel'utilisationimportantedeesréseauxde
ontraintes.LesSTPontétéàdenombreusesreprises
étendus pourdénirdesréseauxdeontraintesplus
expressifs[5,9,2℄.
Dans e papier, nous onsidérons des réseaux de
ontraintes quantitatives temporelles évoluant au
ours du temps de manière périodique. Ces réseaux
de ontraintes sont une extension des STP et des
ontraintes yliques dénis par Tripakis [12℄, ils
sontappelésSTPultimementpériodiques (UPSTPen
abrégé). Cette notion interprétée dans un ontexte
spatialpeutêtrevueommeunSTPtemporisé: plus
préisément, onsidérons un ensemble d'objets pon-
tuelsdeladroitedontlespositionshangentauours
dutemps.Àhaqueinstant,haqueobjetauneposi-
tiondonnée.AveunUPSTPnouspourronsexprimer
des ontraintes sur les positions relatives des objets
auoursdutempsetenpartiulierdesontraintesde-
vantêtre satisfaites sur haqueinstant à partird'un
ertain instant (des ontraintes périodiques). Dans
un ontexte temporel, une ativité ou un événement
pontuel réurrent peut posséder un nombre ni ou
inni d'ourrenes au ours du temps. Dans er-
taines appliations es ourrenes doivent satisfaire
desontraintessurlesduréeslesséparant.UnUPSTP
permettradespéierdetellesontraintes.
Nousétudionslespropriétésdebasedeesréseauxde
ontraintes.Nousproposonségalementunalgorithme
depropagation loalede ontraintes spéiquesàes
réseauxdeontraintes.Nousmontrons quepourplu-
sieurs as intéressants et algorithme est omplet et
donrésoutleproblèmedelaohérene.
estonsaréeàdesrappelssurlesSTP.Danslasetion
3nousdénissons les réseauxde ontraintes UPSTP.
Danslasetion4nousmontronsprinipalementom-
mentpeuventêtrereliéeslaohérened'unUPSTPet
laohérened'uneséquenedeSTPlassiques.Lase-
tion5estdévolueàl'étudedeUPSTPpartiuliers:les
UPSTP fermés. Un algorithme de propagation loale
deontraintesestproposédanslasetion6.Lasetion
7onlutnotrepapier.
2 Préliminaires sur les STP
Nousdénotons l'ensemble des intervalles de la droite
des nombres rationnels par INT
Q
. Les bornes des in-
tervalles de et ensemble peuvent être nies ou in-
nies,ferméesououvertes.Cet ensemble ontientéga-
lement l'intervalle vide que nous dénoterons par ;.
ÉtantdonnésdeuxintervallesI etJ, I dénoteral'in-
tervalle opposé à I, 'est-à-direl'intervalledéduit de
I par la symétrie x 7! x par rapport à l'origine.
I\J dénoteral'intervalle orrespondantàl'interse-
tion de I et J, I +J orrespondra à la somme des
deux intervalles I et J, 'est-à-dire l'intervalle ayant
pourborneinférieurelasommedesbornesinférieures
des deux intervalles I et J et pour borne supérieure
lasommedes bornes supérieures desdeux intervalles
I et J. Étant donné un entier positif , :I orres-
pond à l'intervalle dont la borne inférieure (resp. la
borne supérieure) est laborne inférieure(supérieure)
deI multipliée par.À desns d'illustration,onsi-
dérons les deux intervalles ℄ 1;3℄ et ℄1;5℄. Nous
avons ℄ 1;3℄ = [ 3;+1[, ℄1;5℄ = [ 5; 1[,
℄ 1;3℄\℄1;5℄ =℄1;3℄, ℄ 1;3℄+℄1;5℄ =℄ 1;8℄
et 2:℄1;5℄ =℄2;10℄. Les STP [4℄ sont des réseaux de
ontraintes quantitativesbinairespermettantde dé-
nirdesontraintessurlesdistanesmutuellesd'unen-
sembledepointsdeladroite.Chaunedesontraintes
estdénieparunintervalleorrespondantauxvaleurs
possibles dela distane entre les deux pointsoner-
nés.LesontraintesdesSTPquenousonsidéronssont
déniespardesintervallesdeINT
Q :
Dénition1 UnSTPS estunouple(V;C)où:
V est un ensemble ni de variables
fv
0
;:::;v
n 1
g, ave n un nombre entier po-
sitif;
Cestune appliationde V V dansINT
Q ,asso-
iant à haqueouple (v
i
;v
j
)2V V uninter-
valleC(v
i
;v
j
)deINT
Q
(quenousnoteronségale-
mentC
ij
)tellequeC(v
i
;v
i
)[0;0℄etC(v
j
;v
i )=
C(v
i
;v
j
)pour toutv
i
;v
j 2V.
Chaquevariablev
i
représenteunpointdeladroitedes
nombresrationnels.UnintervalleC(v;v )stipulel'en-
j i
entrelespointsreprésentésparv
i etv
j
.Lessolutions
d'un réseau de ontraintes de typeSTP sontdénies
formellementdelamanièresuivante:
Dénition2 SoitunSTP S=(V;C).
Une instaniation de S est une fontion de V
dans Q assoiant à haque variable v
i
de V un
nombrerationnel(v
i
)(quenousdénoteronséga-
lement par
i ).
UneinstaniationdeSestunesolutionssipour
toutv
i
;v
j 2V,
j
i 2C
ij .
Un STP sera dit ohérent ssi il admet une solution.
Le problème de la ohérene des STP onsiste à dé-
terminer,étantdonnéunSTP,sielui-iestohérent
ou non. Ce problème est un problème onnu omme
étantunproblèmepolynomial.Nousdironsqu'unSTP
S =(V;C) est unsous STP deS 0
=(V 0
;C 0
), e qui
se note S S 0
, lorsque V = V 0
et que C(v
i
;v
j )
C 0
(v
i
;v
j
) pour tout v
i
;v
j
2 V (on notera S S 0
lorsquepouraumoinsunouplev
i
;v
j
2V nousavons
C(v
i
;v
j )C
0
(v
i
;v
j )).
Nous dirons qu'un STP S = (V;C) est fermé par
hemin-ohérenessi pour tout triplet v
i
;v
j
;v
k 2 V,
C(v
i
;v
j
) C(v
i
;v
k
)+C(v
k
;v
j
). Il est bien onnu
qu'un STP fermé par hemin-ohérene et ne onte-
nant pas l'intervalle vide omme ontrainte est o-
hérent et est également globalement ohérent (toute
solution partielle sur un sous-ensemble de variables
pourra toujours être étendue à une autre variable).
ÉtantdonnéunSTPS,ilexisteununiqueSTPéqui-
valentetferméparhemin-ohérene,nousledénote-
ronsparPC(S).Desméthodespolynomialesonsistant
prinipalement à itérer l'opération de triangulation :
C
ij C
ij
\(C
ik +C
k j
) surtout tripletde variables
v
i , v
j et v
k
jusqu'àl'obtention d'un point xe. Nous
pouvonsparexempleutiliserl'algorithmePC1[7℄qui
ne réalise qu'une seule boule prinipale dans le as
des STP et qui a don une omplexité en temps de
0(jVj 3
).
3 Les réseaux de ontraintes quantita-
tives ultimement périodiques
Dans un ontexte temporel, un STP exprime des
ontraintes quantitativesentre les omposantes tem-
porelles pontuelles d'un ensemble d'ativités ou
d'événements. Un STP peut également être uti-
lisé dans un ontexte spatial pour représenter des
ontraintes sur les positions relatives d'un ensemble
d'objets pontuels sur la droite. Nous dénissons
maintenantlanotionprinipal dee papierque nous
appelons réseau de ontraintes quantitatives ultime-
mentpériodiqueoubienenoreSTPultimementpério-
prétée dansunontextespatial peut êtrevueomme
unSTP temporisé: pluspréisément, onsidéronsun
ensembled'objetspontuelsdeladroitedontlesposi-
tions hangentau ours dutemps. À haqueinstant,
haqueobjet aune positiondonnée. Ave unUPSTP
nouspourronsexprimertroistypesdeontraintes:
desontraintesentrelespositionsdedeuxobjets
àuninstantdonné,
desontraintesentrelespositionsdedeuxobjets
àdesinstantsdiérents,
desontraintesentrelespositionsdedeuxobjets
devantêtresatisfaitessurtouslesinstantsfuturs
d'unertaininstant.
Noussupposons queletemps estmodéliséparlesen-
tiersnaturels.Ainsi,àhaquenombreentiert0or-
respond un instant. Dans un ontexte temporel, une
ativitéouunévénementpontuelréurrentpeutpos-
séder unnombreni ouinni d'ourrenesauours
dutemps.Dansertainesappliationsesourrenes
doiventsatisfairedesontraintessurlesduréeslessé-
parant. Un UPSTP permettra de spéier de telles
ontraintes.
Formellement,nousdénissonsunSTPultimementpé-
riodiquedelamanièresuivante:
Dénition 3 Un UPSTP est un quadruplet U =
(V;C ;t
min
;t
max )où:
V =fv
0
;:::;v
n 1
gestunensemble nide n va-
riables;
t
min et t
max
sont deux entiers positifs tels que
t
min t
max
;
C est une appliation de V f0;:::;t
max g
V f0;:::;t
max
g dans INT
Q
telle que
C(v
i
;t
i
;v
j
;t
j
) = C(v
j
;t
j
;v
i
;t
i ) et
C(v
i
;t
i
;v
i
;t
i
) [0;0℄ pour tous v
i
;v
j 2 V
et t
i
;t
j
2f0;:::;t
max g.
Intuitivement, dans un ontexte spatial, haque va-
riable v
i
2 V représente un point de la droite des
nombresrationnelsdontlapositionévolueauoursdu
temps. Leouple(v
i
;t
i
),avet
i
2N, représenteette
position à l'instant t
i
. La ontrainte C(v
i
;t
i
;v
j
;t
j )
ontraint la distane entre le point v
i
à l'instant t
i
et lepointv
j
àl'instantt
j
.Dans unontextetempo-
rel, lavariable v
i
représente,non pluslaomposante
spatialepontuelled'unobjet,maisuneativitéouun
événementréurrent.Leouple(v
i
;t
i
)2V N repré-
sente don la (t
i +1)
ème
ourrene de l'événement
représenté parv
i .
L'appliation C exprime de manière expliite les
ontraintes entre les positions des diérentes our-
renes des variables de V pour les instants ompris
entre 0 et t
max
. L'appliation C exprime également
desontraintesquidevrontêtresatisfaitesauoursdes
detempsorrespondantauxinstantsft
min
;:::;t
max g
devront êtreégalementsatisfaites sur lespériodesde
temps futures, 'est-à-dire sur haune des périodes
ft
min
+i;:::;t
max
+ig pour tout i 0. Conformé-
ment à es interprétations, nous dénissons les solu-
tionsd'unUPSTPdelamanièresuivante :
Dénition4 Une solution d'un UPSTP U =
(V;C ;t
min
;t
max
) est une appliation de V N dans
Q telleque pour toutv
i
;v
j
2V ett
i
;t
j 2N :
1. si t
i
;t
j
t
max
alors (v
j
;t
j
) (v
i
;t
i ) 2
C(v
i
;t
i
;v
j
;t
j );
2. si t
min t
i t
j et t
j t
i t
max t
min alors
pourtoutt 0
i
;t 0
j
telsquet
min t
0
i
minft
max
;t
i g
et t
min t
0
j
minft
max
;t
j get t
j t
i
=t 0
j t
0
i
nousavons(v
j
;t
j ) (v
i
;t
i )2C(v
i
;t 0
i
;v
j
;t 0
j ).
Nousétendonsdemanièrenaturellelesnotionsdeo-
hérene, d'inohérene et d'équivalene aux réseaux
deontraintesdetypeUPSTP.Lesexemplessuivants
illustrentlesdénitions préédentes.
Exemple1 Dansunadrereprésentationdedonnées
spatiales, onsidérons trois objets O
0 , O
1 et O
2 , dont
les positions spatiales sont représentées par trois va-
riables v
0 , v
1 et v
2
ayant pour domaine l'ensemble
des nombres rationnels. Supposons que es objets se
meuvent au ours du temps ave les ontraintes sui-
vantes:
àl'instant 0, O
0
est à gauhede O
1
et àgauhe
de O
2
àune distane omprise entre 3et5;
la positionde O
2
àl'instant 0estàgauhe de sa
positionàl'instant 1;
àl'instant 1,et pourtous lesinstants futurs,O
0
estàdroitedeO
1
àunedistanemaximalede10;
à partir de l'instant 1, O
0
se déplae sur sa
gauhe, etO
1
se déplae sursadroite;
àpartirdel'instant 2,O
2
bouge sursagauheet
reste aux alentours de O
1
à une distane maxi-
male de 4.
Cesontraintespeuvent êtreexprimées par leUPSTP
U =(V;C ;t
min
;t
max
), où V =fv
0
;v
1
;v
2 g, t
min
=1,
t
max
= 3. Les ontraintes dénies par C sont re-
présentées dans la gure 1. Comme d'habitude, ne
sontpasreprésentéesdanslagurelesontraintessui-
vantes:la ontrainteentreunevariableetellemême,
la ontrainte universelle (℄ 1;+1[), la ontrainte
opposéeàune ontrainte déjà représentée. CeUPSTP
est ohérent, une de ses solutions est dérite dans la
gure2.
Exemple2 Considérons maintenant deux événe-
ments pontuels réurrents E
0 et E
1
représentés par
deuxvariables v etv ayantpourdomainel'ensemble
v
0
v
1
v
2
v
1
v
2 v
0 v
0
v
1
v
2
v
0
v
1
v
2
℄0;+1[
℄ 1;0[
℄0;+1[
℄ 1;0[
℄0;+1[
[3;5℄
[ 10;0[
t=2 t=3(tmax) t=1(tmin)
t=0
[ 4;4℄
Fig.1LeUPSTPU orrespondantàl'exemple1.
1 2 3 4 5 6 7
0 t=1
v
2 v
0 v
1
1 2 3 4 5 6 7
0 t=2
v1 v2 v0
v
1 v
0
v
2
1 2 3 4 5 6 7
0 t=0
1 2 3 4 5 6 7
0 t=3
v
2 v
1
v
0
5+(1=i) v
0
1 2 3 4 5 6 7
0 t=i(i>3)
v
1
3 (1=i) 3+(1=i) v
2
Fig.2UnesolutionduUPSTPU del'exemple 1.
desnombres rationnels. Supposons queles diérentes
ourrenesdeesévénementssoientontraintesdela
manièresuivante :
pourtouti0,lai ème
ourrenedeE
1
apparaît
toujoursaprès la i ème
ourrene de E
0
. Ceso-
urrenessont séparéesd'aumoins uneseonde.
Pour tout i 0, la (i+1) ème
ourrene et la
i ème
ourrene de E
0
sont séparées d'au moins
deuxseondes,ellesdeE
1
sonttoujoursdistantes
d'exatementune seonde.
Cesontraintespeuvent êtreexprimées par l' UPSTP
U = (V;C ;t
min
;t
max
), où V = fv
0
;v
1 g, t
min
= 0,
t
max
= 1. Les ontraintes dénies par C sont repré-
sentéesdanslagure3.Leleteurpeutvérierqueet
UPSTPn'estpasohérent.
v
0
v
0
v
1
v
1
t=0(t
min
) t=1(t
max ) [1;+1[
[2;+1[
[1;1℄
Fig.3LesontraintesCduUPSTPUdel'exemple2.
laohérened'unUPSTPquelonquepeutêtreramené
(de manière polynomiale) au problème d'un UPSTP
dontlesontraintesontpourbornesniesdesnombres
entiers:
Proposition1 Soit un UPSTP U =
(V;C ;t
min
;t
max
) et soit d l'entier orrespondant
au produit des dénominateurs des bornes nies 1
des
intervalles dénissant C (d=1dans leas oùtoutes
les bornes sont innies). SoitU 0
=(V;C 0
;t
min
;t
max )
leUPSTPdéniparC 0
(v
i
;t
i
;v
j
;t
j
)=d:C(v
i
;t
i
;v
j
;t
j )
pourtoutv
i
;v
j
2V ett
i
;t
j
2f0;:::;t
max
g.Alors U
est ohérent ssiU 0
est ohérent.
Preuve Soit une solution de U. Soit 0
l'appliation de V N dans Q dénie par
0
(v
i
;t
i
)=d((v
i
;t
i ) (v
0
;0)) pourtout v
i
2V et
t
i
2N. Nouspouvonsmontrerque 0
estunesolution
deU 0
. Maintenant,supposons donnéeunesolution 0
deU 0
.Endénissantuneappliation deV N vers
Q par (v
i
;t
i ) = (
0
(v
i
;t
i
)
0
(v
0
;0))=d pour tout
v
i
2V ett
i
2N nousobtenons unesolutiondeU. a
Fort de e fait, dans la suite de e travail nous
onsidérerons sans perte de généralité des UPSTP
dontlesontraintesontpourbornesniesdesnombres
entiers.
4 Contraintes impliites versus
ontraintes expliites
Dansettesetionnousallonsrelierleproblèmedela
ohérened'unUPSTPquipotentiellementexprime
un nombre inni de ontraintes aux problèmes de
la ohérene deSTP. Pour e fairenous réalisons les
étapessuivantes:
1. nous assoionsà tout UPSTP un STP représen-
tantsesontraintespériodiques.Ce STPseraap-
pelélemotifduUPSTP.
2. En utilisant ette notion de motif, nous dénis-
sons une séquene de STP au support tempo-
rel roissant. Chaun de es STP expliite les
ontraintes du UPSTP sur un ertain nombre
de premiers instants. Nous les appelons les k-
renforementsduUPSTP.
3. Nous relions la ohérene d'un UPSTP à des
propriétés onernant la ohérene de ses k-
renforements.
Nousallonsmaintenantproéderàlaréalisationendé-
tailsdeestroisétapes.Nousdénissonstoutd'abord
lemotifd'unUPSTP:
1
Nous supposons que la valeur d'une borne nie d'une
ontrainteestdénie parunefrationp=qavepunentieretq
