CRYPTOGRAPHIE : LE SYSTEME RSA.

CRYPTOGRAPHIE : LE SYSTEME RSA.

Alice a plusieurs correspondants, dont Bob, et elle souhaite que chacun puisse lui envoyer des messages codés mais qu elle seule puisse décoder ces messages.

Elle va choisir d utiliser le système RSA qui propose d’utiliser deux clés : une publique et une privée.

Alice choisit deux nombres premiers p et q très grands et calcule n pq . Elle pose ensuite m (p 1)( q 1).

Elle choisit enfin un entier c premier avec m.

La clé publique, qu elle envoie à tous ses correspondants est ( n c).

Dans la suite, on prendra p = 5 et q = 19.

1. Vérifier que c = 61 convient.

2. Codage.

a. Donner la clé publique.

Soit a le nombre à coder.

Bob déterminer un nombre b compris entre 1 et n tel que a

b [n ] puis envoie le nombre b à Alice.

b. Quel nombre va envoyer Bob si a = 3 ?

3. Décodage.

a. Montrer qu il existe un entier d tel que 61 d  1[m ] . b. Déterminer d tel que 61 d  1[m] et 0 d < m.

Pour décoder le nombre b reçu, Alice déterminer un entier a compris entre 1 et n tel que b

 a [n ].

c. Décoder le nombre déterminé à la question 2b. Le système semble-t-il fonctionner ?

4. Démonstration.

On a :

 n pq avec q et q deux nombres premiers distincts

 m (p 1)(q 1)

 a, b, c et d sont des entiers avec 0 a, b < n ; 0 d < m.

 a

 b [n ]

 c et m premiers entre eux

 cd  1[m ]

Montrons qu alors b

 a [n].

a. Si a ne divise pas n, montrer que a

 1[ p] puis que a

 a[p].

b. Si a divise n, montrer qu on a aussi a

 a[p].

De même, on admet que a

 a[q ].

c. En déduire que n divise a

a puis que b

a[n ].

Remarques :

 Les trois lettres RSA sont les initiales de Rivest, Shamir, Adleman qui ont mis au point cet algorithme en 1978.

 Le système repose sur le fait qu on ne peut pas trouver p et q à partir de n. Seule Alice connaît p et q donc seule Alice peut déterminer m puis d et décoder les messages.

 En pratique, on code des nombres de plusieurs chiffres correspondant à des groupes de lettres.

Exemples d applications :

 L authentification de carte bancaire qui se passe entre la carte et le terminal. La clé publique est publiée par le groupement des banques.

 L achat via Internet : l internaute commande un objet en donnant des informations sur sa carte de crédit. Cette demande est cryptée à l aide de la clé publique de la société puis envoyée. Seule la société visée peut déchiffrer le message à l aide de la clé privée.

L intérêt pour ce genre de codes est d avoir un nombre n produit de deux nombres premiers très grands de façon à ce que les calculateurs les plus rapides ne puissent pas trouver en un temps suffisamment court ces deux facteurs premiers. Actuellement, les clés sont d environ 256 octets, soit environ 616 chiffres.

Outil : petit théorème de Fermat :

Soient a un entier et p un nombre premier ne

divisant pas a. Alors a

 1[p ].