• Aucun résultat trouvé

CRYPTOGRAPHIE : LE SYSTEME RSA.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "CRYPTOGRAPHIE : LE SYSTEME RSA."

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

CRYPTOGRAPHIE : LE SYSTEME RSA.

Alice a plusieurs correspondants, dont Bob, et elle souhaite que chacun puisse lui envoyer des messages codés mais qu elle seule puisse décoder ces messages.

Elle va choisir d utiliser le système RSA qui propose d’utiliser deux clés : une publique et une privée.

Alice choisit deux nombres premiers p et q très grands et calcule n pq . Elle pose ensuite m (p 1)( q 1).

Elle choisit enfin un entier c premier avec m.

La clé publique, qu elle envoie à tous ses correspondants est ( n c).

Dans la suite, on prendra p = 5 et q = 19.

1. Vérifier que c = 61 convient.

2. Codage.

a. Donner la clé publique.

Soit a le nombre à coder.

Bob déterminer un nombre b compris entre 1 et n tel que a

c

b [n ] puis envoie le nombre b à Alice.

b. Quel nombre va envoyer Bob si a = 3 ?

3. Décodage.

a. Montrer qu il existe un entier d tel que 61 d  1[m ] . b. Déterminer d tel que 61 d  1[m] et 0 d < m.

Pour décoder le nombre b reçu, Alice déterminer un entier a compris entre 1 et n tel que b

d

 a [n ].

c. Décoder le nombre déterminé à la question 2b. Le système semble-t-il fonctionner ?

4. Démonstration.

On a :

n pq avec q et q deux nombres premiers distincts

m (p 1)(q 1)

a, b, c et d sont des entiers avec 0 a, b < n ; 0 d < m.

a

c

 b [n ]

c et m premiers entre eux

cd  1[m ]

Montrons qu alors b

d

 a [n].

a. Si a ne divise pas n, montrer que a

m

 1[ p] puis que a

cd

 a[p].

b. Si a divise n, montrer qu on a aussi a

cd

 a[p].

De même, on admet que a

cd

 a[q ].

c. En déduire que n divise a

cd

a puis que b

d

a[n ].

Remarques :

 Les trois lettres RSA sont les initiales de Rivest, Shamir, Adleman qui ont mis au point cet algorithme en 1978.

 Le système repose sur le fait qu on ne peut pas trouver p et q à partir de n. Seule Alice connaît p et q donc seule Alice peut déterminer m puis d et décoder les messages.

 En pratique, on code des nombres de plusieurs chiffres correspondant à des groupes de lettres.

Exemples d applications :

 L authentification de carte bancaire qui se passe entre la carte et le terminal. La clé publique est publiée par le groupement des banques.

 L achat via Internet : l internaute commande un objet en donnant des informations sur sa carte de crédit. Cette demande est cryptée à l aide de la clé publique de la société puis envoyée. Seule la société visée peut déchiffrer le message à l aide de la clé privée.

L intérêt pour ce genre de codes est d avoir un nombre n produit de deux nombres premiers très grands de façon à ce que les calculateurs les plus rapides ne puissent pas trouver en un temps suffisamment court ces deux facteurs premiers. Actuellement, les clés sont d environ 256 octets, soit environ 616 chiffres.

Outil : petit théorème de Fermat :

Soient a un entier et p un nombre premier ne

divisant pas a. Alors a

p 1

 1[p ].

Références

Documents relatifs

of data set dsname. Programmer Response: Retry the operation. Ensure the quality of the hardware medium on which the dataset resides. Resubmit the job.

Explanation: An error occurred whose exact nature is not indicated in the sense data for the unit. System Action: Processing is suspended. Operator Response:

Une eau cristalline, une plage de sable clair, et…des messages écrits avec des galets, de parfois plusieurs mètres de long.. Voici à quoi ressemblait la plage de Granite Bay, sur

Le latin et le grec au Collège Saint-Louis , c’est 4 heures/semaine de la 3e à la rhétorique avec comme objectifs d’acquérir discipline et méthode de

Option I: The OCL statement that caused this error is ignored. This option is allowed· only if you are entering OCL statements from the keyboard. Data created by

[r]

Il suffit de regarder les images à l'écran , avec l'agrandissement et le fenêtrage adéquats pour diagnostiquer cette fracture de contrainte du col anatomique du fémur... Dans

- Nous avons remarqué que plusieurs albums actuels sont très riches en messages de toutes sortes, et que de plus en plus, les auteurs et illustrateurs ne se contentent plus de donner