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Filtrage optimal, SVD et régularisation en holographie acoustique instantanée
Sébastien Paillasseur, Jean-Hugh Thomas, Jean-Claude Pascal
To cite this version:
Sébastien Paillasseur, Jean-Hugh Thomas, Jean-Claude Pascal. Filtrage optimal, SVD et régularisa-
tion en holographie acoustique instantanée. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon,
France. �hal-00546821�
10`eme Congr`es Fran¸cais d’Acoustique
Lyon, 12-16 Avril 2010
Filtrage optimal, SVD et r´egularisation en holographie acoustique instantan´ee
S´ ebastien Paillasseur, Jean-Hugh Thomas, Jean-Claude Pascal
Laboratoire d’Acoustique de l’Universit´ e du Maine (UMR-CNRS 6613) Ecole Nationale Sup´ erieure d’Ing´ enieurs du Mans, rue Aristote, 72085 Le Mans cedex 09
spaillasseur@free.fr, { jean-hugh.thomas,jean-claude.pascal } @univ-lemans.fr
L’holographie acoustique temps-r´ eel est une m´ ethode qui permet de reconstruire le champ acoustique rayonn´ e dans le plan des sources continuellement au cours du temps ` a partir de mesures effectu´ ees dans le champ proche par une antenne de microphones. Cette m´ ethode, qui agit comme si les capteurs acoustiques
´
etaient int´ egr´ es au sein mˆ eme des sources sonores, est bas´ ee sur un traitement dans l’espace temps-nombre d’onde. Il met en œuvre un filtrage temporel du spectre de nombre d’onde instantan´ e au niveau de l’antenne de microphones par un filtre inverse dont la r´ eponse impulsionnelle est obtenue par inversion de la r´ eponse impulsionnelle directe d’expression analytique connue. Cette inversion est n´ eanmoins rendue d´ elicate par le caract` ere mal pos´ e du probl` eme et peut notamment ˆ etre r´ ealis´ ee par filtrage optimal au sens des moindres carr´ es ` a l’aide d’un filtre de Wiener. Une autre solution est l’utilisation d’une d´ ecomposition en valeurs singuli` eres coupl´ ee ` a une r´ egularisation de Tikhonov lorsque le produit de convolution dans l’espace temps-nombre d’onde est exprim´ e par un produit matriciel. L’´ etude pr´ esent´ ee concerne la comparaison des champs acoustiques reconstruits au niveau des sources dans le cas de ces deux techniques d’inversion et en particulier lorsqu’un bruit de mesure vient perturber les donn´ ees. Des crit` eres objectifs permettent d’´ evaluer la pertinence de la reconstruction des signaux temporels sur le plan des sources mais aussi du champ acoustique spatial r´ etro-propag´ e. Ces crit` eres mesurent la ressemblance des signaux reconstruits avec des signaux de r´ ef´ erence. Dans le cas d’une application num´ erique avec trois sources monopolaires rayonnant des signaux non stationnaires, les r´ esultats obtenus permettent de juger de l’int´ erˆ et de la technique employant la r´ egularisation qui est moins sensible au bruit de mesure que la m´ ethode d’inversion par filtrage optimal. L’holographie acoustique temps-r´ eel apparaˆıt ainsi comme un moyen de diagnostiquer au cours du temps l’´ evolution d’un syst` eme g´ en´ erant du bruit.
1 Introduction
L’objectif de la m´ ethode d´ evelopp´ ee dans cette
´ etude, appel´ ee holographie acoustique temps-r´ eel, est de reconstituer en temps continu en tout point d’une grille virtuelle du plan source faisant face ` a une antenne de mi- crophones, des signaux temporels ´ emis par des sources pouvant ˆ etre de nature non stationnaire. Cet objectif diff` ere des travaux de Hald [1], d´ edi´ es ´ egalement aux sources non stationnaires, o` u il s’agit de reconstruire au cours du temps le champ acoustique rayonn´ e mais pour une fr´ equence sp´ ecifique choisie au pr´ ealable. L’informa- tion apport´ ee par l’holographie temps-r´ eel se rapproche plutˆ ot des ´ etudes de Deblauwe et coll. [2], de La Ro- chefoucauld [3] et de Blais et coll. [4] ´ etudes qui sont cependant limit´ ees ` a la reconstruction de signaux transi- toires de courte dur´ ee. La m´ ethode d’holographie acous- tique temps r´ eel fournit au contraire une repr´ esentation des sources en temps continu sans limitation de dur´ ee [5, 6]. Ceci est rendu possible grˆ ace ` a la connaissance du spectre de nombre instantan´ e P ( k x , k y , z m , t) sur le plan d’acquisition z = z m , spectre qui va ˆ etre r´ etropropag´ e sur le plan z = z c par un produit de convolution exprim´ e par l’´ equation
P(k x , k y , z c , t) = P(k x , k y , z m , t)∗h − 1 (k x , k y , Δz, t), (1)
o` u Δz = z c − z m (voir figure 1), k x et k y sont les
nombres d’onde dans les directions x et y alors que h − 1
d´ esigne l’inverse de la r´ eponse impulsionnelle h d´ ecrivant
le probl` eme direct : obtenir le spectre de nombre d’onde
sur un plan en aval ` a partir de celui du plan source. Les
signaux acoustiques temporelles p ( x, y, z c , t ) au niveau
du plan de calcul sont finalement obtenus par trans-
form´ ee de Fourier spatiale bi-dimensionnelle inverse des
spectres de nombre d’onde P ( k x , k y , z c , t ) consid´ er´ es ` a
chaque instant t . La difficult´ e de la m´ ethode r´ eside dans
l’inversion de la r´ eponse impulsionnelle h . Deux pistes
sont propos´ ees dans cet article, d’une part une inver-
sion par filtrage optimal au sens des moindres carr´ es
[7], d’autre part une inversion par d´ ecomposition en
valeurs singuli` eres (SVD) coupl´ ee ` a une r´ egularisation
de Tikhonov [8, 9]. Les deux approches sont ensuite
exp´ eriment´ ees sur des cas simul´ es et ´ evalu´ ees par l’in-
term´ ediaire d’indicateurs.
2 Inversion de la r´ eponse impul- sionnelle directe
Le point de d´ epart de l’´ etude est la connaissance de la r´ eponse impulsionnelle h . Or on dispose de l’ex- pression analytique de cette r´ eponse qui d´ epend de la distance de propagation, de k x , k y et donc de l’empla- cement consid´ er´ e dans le domaine des nombres d’onde [10, 11]. N´ eanmoins obtenir une version discr´ etis´ ee dont les propri´ et´ es fr´ equentielles sont conformes ` a la th´ eorie n’est pas ais´ ee. Ce probl` eme a ´ et´ e ´ etudi´ e par Grulier qui a exp´ eriment´ e plusieurs techniques pour ´ echantillonner et filtrer la r´ eponse impulsionnelle analytique [5, 11]. Ces recherches ont montr´ e que sur´ echantillonner la r´ eponse impulsionnelle analytique, la filtrer ` a l’aide d’un filtre passe-bas de Chebyshev, puis enfin la d´ ecimer de fa¸con
`
a s’accorder ` a la fr´ equence d’´ echantillonnage des signaux acquis par l’antenne, conduit ` a une r´ eponse dont les caract´ eristiques fr´ equentielles sont satisfaisantes. C’est donc cette version discr´ etis´ ee de la r´ eponse impulsion- nelle qui va ˆ etre utilis´ ee dans la suite de l’´ etude. Le fac- teur de sur´ echantillonnage utilis´ e est de 8, la fr´ equence d’´ echantillonage est f e = 16000 Hz et la fr´ equence de coupure du filtre de Chebyshev est f c = 6400 Hz.
2.1 Filtrage optimal au sens des moindres carr´ es
La technique du filtrage optimal au sens des moindres carr´ es [7] appliqu´ ee ` a la r´ eponse impulsionnelle discr´ etis´ ee et filtr´ ee h conduit ` a l’expression du vecteur h − 1 de la r´ eponse impulsionnelle inverse conform´ ement
`
a l’´ equation exprim´ ee sous forme matricielle
h − 1 = Φ h − 1 h r , (2) o` u Φ h est la matrice d’autocorr´ elation de h et h r le vecteur de la r´ eponse impulsionnelle retourn´ ee [h(n) = h r (N − 1 − n), n = 0, N − 1], N ´ etant le nombre d’´ echantillons de la r´ eponse impulsionnelle.
y
x
z zs
plan source
y
x
zm=0.1575 m plan de mesure y
x
zc=0.05 m plan de calcul M
3M
2M
1R
1R
2R
3R
4Fig. 1: Configuration du probl` eme : reconstruire le champ de pression sur le plan z = z c ` a partir du champ
acquis en z = z m dans le cas de la pr´ esence de trois sources non stationnaires simul´ ees en M 1 , M 2 et M 3 .
2.2 SVD et R´ egularisation
L’´ equation du probl` eme direct pour chaque point ( k x
i, k y
j) du spectre de nombre d’onde
P ( k x
i, k y
j, z m , t ) = P ( k x
i, k y
j, z c , t ) ∗h ( k x
i, k y
j, Δ z, t ) ,
(3) peut s’exprimer par l’´ ecriture matricielle
⎡
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎣
P i,j (n τ ) .. . .. . .. . P i,j ( N − 1)
⎤
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎦
z
m= .
⎡
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎣
h i,j ( n τ ) 0 · · · · 0 .. . . .. ... .. . .. . . .. ... .. .
.. . . .. 0
h i,j ( N − 1) · · · · h i,j ( n τ )
⎤
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎦ (4)
×
⎡
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎣
P i,j (0) .. . .. . .. .
P i,j (N − 1 − n τ )
⎤
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎦
z
c.
o` u n τ est l’indice correspondant au retard de pro- pagation de l’onde sur la distance Δ z . Il s’agit ici de d´ eterminer le spectre de nombre d’onde instantan´ e P(k x
i, k y
j, z c , t) sur le plan de calcul z = z c et donc de r´ esoudre un probl` eme du type
y = Ax, (5)
o` u y est le vecteur des mesures et x celui des incon- nus. En consid´ erant la fonction de coˆ ut ` a minimiser
J ( x ) = y − Ax 2 2 + λ x 2 2 , (6) contenant un terme d’ad´ equation de la solution aux donn´ ees mesur´ ees et une contrainte sur l’´ energie de la solution, la solution r´ egularis´ ee de Tikhonov s’exprime [9]
x λ = N n =1
σ 2 n σ n 2 + λ
u H n y
σ n v n , (7)
o` u σ n , v n , u n repr´ esentent respectivement les valeurs singuli` eres, les vecteurs colonnes des matrices singuli` eres obtenues suite ` a la d´ ecomposition en valeurs singuli` eres de la matrice A . H d´ esigne l’op´ erateur Hermitien et λ est le param` etre de r´ egularisation qui sera d´ etermin´ e par la m´ ethode de la validation crois´ ee g´ en´ eralis´ ee [8].
La solution obtenue correspondant au spectre de nombre
d’onde instantan´ ee P(k x
i, k y
j, z c , t) recherch´ e sur le plan
de calcul par transform´ ee de Fourier bi-dimensionnelle
inverse permet bien de reconstituer le champ de pression
rayonn´ e sur le plan de calcul ` a l’instant t.
3 R´ esultats
3.1 Configuration de la simulation
Les deux approches pour l’inversion de la r´ eponse impulsionnelle sont test´ ees en simulation ` a partir d’un plan source constitu´ e de trois monopoles qui rayonnent des signaux non stationnaires (voir figure 1). M 1 et M 2 g´ en` erent des signaux modul´ es lin´ eairement en fr´ equence dont les amplitudes sont modul´ ees par une gaussienne.
M 3 ´ emet un signal dont la forme est une ondelette de Morlet. L’acquisition des signaux est simul´ ee avec une antenne de 11 × 11 microphones situ´ ee ` a z m = 0.1575m du plan des sources. L’objectif est ici de r´ etropropager le champ de pression spatial sur le plan z c = 0 . 05m. Les champs p ( x, y, z c , t ) reconstruits par les deux m´ ethodes sont compar´ es entre eux mais ´ egalement avec des si- gnaux de r´ ef´ erence p ref ( x, y, z c , t ) directement simul´ es sur le plan z c = 0 . 05m.
x [m]
y [m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fig. 2: Cartographie de l’indicateur T 1 sur le plan de calcul apr` es reconstruction des signaux temporels par d´ ecomposition en valeurs singuli` eres et r´ egularisation.
Le contour correspond ` a une valeur de T 1 de 0.95. Les positions R 1 , R 2 , R 3 et R 4 sont indiqu´ es.
x [m]
y [m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fig. 3: Cartographie de l’indicateur T 1 sur le plan de calcul apr` es reconstruction des signaux temporels par
filtrage optimal au sens des moindres carr´ es. Le contour correspond ` a une valeur de T 1 de 0.95. Les
positions R 1 , R 2 , R 3 et R 4 sont indiqu´ es.
3.2 Indicateurs spatiaux
Les indicateurs T 1 et T 2 sont ´ evalu´ es afin de rendre compte de fa¸con objective de la pertinence des r´ esultats.
Ils permettent d’´ evaluer la similarit´ e des signaux tem- porels reconstruits et des signaux de r´ ef´ erence en termes d’amplitude et de d´ ephasage.
T 1 (x, y) = < p ref (x, y, z c , t) p (x, y, z c , t) >
< p 2 ref (x, y, z c , t) >< p 2 (x, y, z c , t) > , (8)
T 2 ( x, y ) = |p rms ref (x, y, z c , t) − p rms (x, y, z c , t)|
p rms ref ( x, y, z c , t ) , (9) o` u p rms ref ( x, y, z c , t ) et p rms ( x, y, z c , t ) sont les pressions efficaces telles que
p rms ref (x, y, z c , t) = < p 2 ref (x, y, z c , t) >, (10)
p rms (x, y, z c , t) =
< p 2 (x, y, z c , t) >. (11)
<> d´ esigne une valeur moyenn´ ee dans le temps.
T 1 en tant que coefficient de corr´ elation est repr´ esentatif de la similarit´ e entre les formes des signaux temporels et est donc sensible au d´ ephasage entre le si- gnal reconstruit et la r´ ef´ erence. T 2 exprime la diff´ erence relative entre les valeurs efficaces des deux signaux et donne une information sur la pertinence des niveaux d’amplitude reconstruits. Une reconstruction efficace se traduit par une valeur de T 1 proche de 1 et une valeur de T 2 proche de 0.
Afin d’´ evaluer la pertinence de la reconstruction sur tout le plan de calcul, ces deux indicateurs sont cal- cul´ es en tout point de ce plan face aux microphones.
Les cartographies des figures 2 ` a 5 illustrent les valeurs des indicateurs T 1 et T 2 pour une inversion r´ ealis´ ee par SVD suivie d’une r´ egularisation et pour celle utilisant un filtrage optimum. Les lignes de contour sur les figures 2 et 3 correspondent ` a T 1 = 0 . 95. La zone int´ erieure correspond donc ` a T 1 ≥ 0 . 95. En ce qui concerne l’in- dicateur T 1 , la m´ ethode avec r´ egularisation donne de bons r´ esultats notamment dans une zone assez ´ etendue en face des sources. La phase des signaux reconstruits semble aussi moins pertinente sur les bords de l’antenne, et ceci pour les deux approches test´ ees mais avec un degr´ e nettement moindre pour l’approche avec SVD et r´ egularisation.
Les figures 4 et 5 qui renseignent sur les valeurs de l’indicateur T 2 sur le plan de calcul mettent en ´ evidence une zone gris´ ee dans laquelles les valeurs sont com- prises dans l’intervalle [-0.05 0.05]. La superficie de cette zone est nettement plus importante lorsque l’inversion de la r´ eponse impulsionnelle directe est faite par SVD et r´ egularisation.
L’observation des cartographies spatiales des indica-
teurs T 1 et T 2 montrent bien l’avantage de l’inversion
par d´ ecomposition en valeurs singuli` eres suivie d’une
r´ egularisation de Tikhonov sur la technique d’inversion
par filtrage optimal au sens des moindres carr´ es.
x [m]
y [m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 4: Cartographie de l’indicateur T 2 sur le plan de calcul apr` es reconstruction des signaux temporels par d´ ecomposition en valeurs singuli` eres et r´ egularisation.
Les positions R 1 , R 2 , R 3 et R 4 sont indiqu´ es.
x [m]
y [m]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 5: Cartographie de l’indicateur T 2 sur le plan de calcul apr` es reconstruction des signaux temporels par
filtrage optimal au sens des moindres carr´ es. Les positions R 1 , R 2 , R 3 et R 4 sont indiqu´ es.
3.3 Influence du bruit de mesure
Les deux m´ ethodes d’inversion de la r´ eponse im- pulsionnelle ont ´ egalement ´ et´ e test´ ees en pr´ esence d’un bruit de mesure simul´ e. En effet, le bruit est un param` etre d´ eterminant dans le cadre des probl` emes inverses, sa pr´ esence intensifiant souvent de fa¸con consid´ erable le caract` ere mal pos´ e de la situation.
Au cours de simulations, un bruit blanc gaussien ind´ ependant a ´ et´ e ajout´ e aux signaux de pression ac- quis par les microphones de l’antenne dans le but d’´ evaluer l’effet r´ egularisant des deux m´ ethodes d’inver- sion pr´ esent´ ees. Deux rapports signal ` a bruit (RSB) de 3 dB et 10 dB ont ´ et´ e test´ es. Les signaux de pression r´ etropropag´ es sur le plan de calcul ` a deux emplacements R 2 et R 3 situ´ es en face des sources et ` a un emplace- ment R 4 quelconque (voir figure 1), dans le cas plus d´ efavorable d’un RSB de 3 dB, sont pr´ esent´ es sur les figures 6 ` a 11 pour les deux m´ ethodes d’inversion de la r´ eponse impulsionnelle. A chaque fois figure ´ egalement un signal de r´ ef´ erence pour faciliter la comparaison. Les indicateurs T 1 et T 2 sont calcul´ es au niveau des quatre points R 1 , R 2 , R 3 et R 4 et report´ es dans la table 1.
Malgr´ e l’ajout d’un bruit de mesure important, les deux m´ ethodes d’inversion permettent d’obtenir des solutions relativement stables. Les valeurs des indicateurs au ni- veau des quatre points R 1 , R 2 , R 3 et R 4 sont en fait proches des valeurs obtenues sans bruit de mesure [6]. La m´ ethode d’inversion bas´ ee sur le filtrage optimal semble cependant ˆ etre plus sensible au bruit de mesure. Ceci peut s’expliquer car la m´ ethode ne prend pas en compte le bruit de mesure lors du calcul du filtre inverse. Lors de la r´ egularisation du processus d’inversion dans la se- conde m´ ethode, le signal bruit´ e concourt au contraire ` a la d´ etermination du param` etre de r´ egularisation.
Filtrage optimal SVD+R´ egularisation R 1
T 1 0.759 0.986
T 2 0.078 0.056
R 2
T 1 0.817 0.987
T 2 0.101 0.070
R 3
T 1 0.663 0.977
T 2 0.005 0.084
R 4
T 1 0.652 0.948
T 2 0.691 0.041
Tab. 1: Indicateurs T 1 et T 2 [voir ´ equations (8) et (9)]
calcul´ es ` a partir des signaux de r´ ef´ erence et des signaux r´ etropropag´ es sur le plan de calcul aux emplacements R 1 , R 2 , R 3 et R 4 (voir figure 1). Le
rapport signal sur bruit de mesure est de 3 dB.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−25
−20
−15
−10
−5
0 5 10 15 20 25
temps [s]
pression [Pa]
R2: T
1= 0.987, T
2= 0.070 signal de référence
signal rétropropagé
Fig. 6: Signal temporel reconstruit au niveau de R 2
par la m´ ethode bas´ ee sur la r´ egularisation (en bleu) et signal de r´ ef´ erence (en rouge). Le rapport signal ` a
bruit est de 3 dB.
3.4 Indicateur temporel
Les indicateurs pr´ esent´ es pr´ ec´ edemment ont permis
d’´ evaluer la qualit´ e de la reconstruction des signaux tem-
porels pour une position d´ etermin´ ee de l’espace. Les car-
tographies montrent que la pertinence des reconstruc-
tions d´ epend de l’emplacement consid´ er´ e. Un nouvel in-
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−30
−20
−10
0 10 20 30
temps [s]
pression [Pa]
R2: T
1= 0.817, T
2= 0.101 signal de référence
signal rétropropagé
Fig. 7: Signal temporel reconstruit au niveau de R 2
par la m´ ethode bas´ ee sur le filtrage inverse de Wiener (en bleu) et signal de r´ ef´ erence (en rouge). Le rapport
signal ` a bruit est de 3 dB.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−20
−15
−10
−5
0 5 10 15 20 25
temps [s]
pression [Pa]
R3: T
1= 0.977, T
2= 0.084 signal de référence
signal rétropropagé
Fig. 8: Signal temporel reconstruit au niveau de R 3 par la m´ ethode bas´ ee sur la r´ egularisation (en bleu) et
signal de r´ ef´ erence (en rouge). Le rapport signal ` a bruit est de 3 dB.
dicateur est propos´ e dans le but de juger de la perti- nence de la localisation sonore des sources acoustiques au cours du temps. Il s’agit du crit` ere d’erreur spatiale E x,y (t) ´ evalu´ e ` a chaque instant t.
E x,y (t) = < (p ref (x, y, z c , t) − p(x, y, z c , t)) 2 >. (12) Il correspond ` a l’erreur moyenn´ ee dans le domaine spatial (plan z = z c pour tous les x et y ) entre le champ de pression spatial de r´ ef´ erence p ref ( x, y, z c , t ) et le champ de pression spatial r´ etropropag´ e p ( x, y, z c , t ).
L’´ evolution temporelle de l’erreur E x,y ( t ) est illustr´ ee aux figures 12 et 13 avec et sans bruit de mesure pour les deux m´ ethodes d’inversion de la r´ eponse im- pulsionnelle. L’examen des valeurs globales de l’erreur spatiale souligne l’avantage de la m´ ethode d’inversion bas´ ee sur la r´ egularisation de Tikhonov par rapport ` a celle bas´ ee sur un filtrage optimal au sens des moindres carr´ es. Concernant la m´ ethode faisant appel ` a une r´ egularisation, la pr´ esence du bruit de mesure contri- bue notablement ` a l’augmentation de l’erreur lorsque les sources acoustiques sont peu actives (` a partir de
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−25
−20
−15
−10
−5
0 5 10 15 20 25
temps [s]
pression [Pa]
R3: T
1= 0.663, T
2= 0.005 signal de référence
signal rétropropagé
Fig. 9: Signal temporel reconstruit au niveau de R 3
par la m´ ethode bas´ ee sur le filtrage inverse de Wiener (en bleu) et signal de r´ ef´ erence (en rouge). Le rapport
signal ` a bruit est de 3 dB.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−10
−8
−6
−4
−2
0 2 4 6 8 10
temps [s]
pression [Pa]
R4: T
1= 0.948, T
2= 0.041 signal de référence
signal rétropropagé
Fig. 10: Signal temporel reconstruit au niveau de R 3 par la m´ ethode bas´ ee sur la r´ egularisation (en bleu) et
signal de r´ ef´ erence (en rouge). Le rapport signal ` a bruit est de 3 dB.
l’instant t = 0.012s). La r´ egularisation permet de sta- biliser la solution et diminuer le bruit de mesure mais ne le filtre pas enti` erement. Lorsque les sources acous- tiques rayonnent, le bruit de mesure a peu d’influence sur l’erreur spatiale : la technique de SVD coupl´ ee ` a la r´ egularisation est donc bien adapt´ ee ` a la r´ esolution du probl` eme inverse pr´ esent´ e ici en pr´ esence de bruit de mesure. Au contraire la m´ ethode d’inversion par fil- trage optimum est sensible au bruit de mesure d’apr` es l’augmentation de l’erreur spatiale lorsque les sources rayonnent.
4 Conclusion
L’holographie acoustique temps-r´ eel ou holographie
acoustique instantan´ ee est une technique d’imagerie
de sources acoustiques qui permet de reconstruire
en continu les signaux temporels ´ emis ` a partir du
plan des sources comme si le capteur ´ etait imbriqu´ e
au niveau mˆ eme des sources. La m´ ethode est parti-
culi` erement adapt´ ee ` a l’´ etude de signaux dont les ca-
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−10
−5
0 5 10 15
temps [s]
pression [Pa]
R4: T
1= 0.652, T
2= 0.691 signal de référence
signal rétropropagé
Fig. 11: Signal temporel reconstruit au niveau de R 3
par la m´ ethode bas´ ee sur le filtrage inverse de Wiener (en bleu) et signal de r´ ef´ erence (en rouge). Le rapport
signal ` a bruit est de 3 dB.
0 0.004 0.008 0.012 0.016
0 0.5 1 1.5 2
Temps [s]
Ex,y
sans bruit RSB=10 dB RSB=3 dB
Fig. 12: Influence du bruit de mesure sur l’erreur spatiale E x,y dans le cas de la m´ ethode d’inversion par
SVD et r´ egularisation.
ract´ eristiques sont non stationnaires. Elle est bas´ ee sur la convolution dans le temps entre le spectre de nombre d’onde instantan´ ee capt´ ee par une antenne de micro- phones dans le champ proche et une r´ eponse impul- sionnelle inverse ` a d´ eterminer ` a partir d’une r´ eponse directe donn´ ee, trait´ ee ` a bon escient. Deux approches ont ´ et´ e pr´ esent´ ees pour r´ ealiser l’inversion de cette r´ eponse impulsionnelle directe, inversion qui constitue le point d´ elicat de la m´ ethode. La premi` ere approche proc` ede par filtrage optimum au sens des moindres carr´ es, la seconde par d´ ecomposition en valeurs sin- guli` eres puis r´ egularisation. Les r´ esultats de simulation pr´ esent´ es dans le cas du rayonnement acoustique de trois sources sonores g´ en´ erant des signaux non station- naires soulignent l’apport de la r´ egularisation dans la pr´ ecision des signaux reconstruits. De plus l’inversion par d´ ecomposition en valeurs singuli` eres coupl´ ee ` a une r´ egularisation de Tikhonov s’est av´ er´ ee moins sensible au bruit de mesure que l’inversion par filtrage optimum au sens des moindres carr´ es au regard des indicateurs propos´ es. Cette m´ ethode de reconstruction continue des signaux acoustiques au cours du temps offre donc des perspectives int´ eressantes en termes de diagnostic d’un syst` eme acoustique.
0 0.004 0.008 0.012 0.016
0 1 2 3 4 5 6
Temps [s]
Ex,y
sans bruit RSB=10 dB RSB=3 dB
