Université de Caen 1

Université de Caen 1

^er

semestre 2014-2015

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Séries numériques

Exercice 1. Déterminer la nature des séries données par les termes généraux suivants : – a n = cos n

n ³ , – b n = sin e ⁻ⁿ , – c n = n sin ¹ _n ,

– d _n = 2n + 3

2 ⁿ , – e _n =

√ n + 1

n + ln n , – f _n = arctan n,

– g n = 1

n + (−1) ⁿ √

n , – h n = ln

n

²

+n+1 n

²

+n−1

, – i n =

n+3 2n+1

ln n

, – j _n = R π/2

0

(cosx)

²

n

²

+(cosx)

²

dx, – k _n = 1

ln(n) ln(ch n) , – l _n = arccos √

³

1 − n ⁻² , – m n =

cos ^{√ 1} _n ⁿ

− ^{√ 1} _e , – n n = n ⁻

√

2 sin(

^π₄

+

_n¹

) .

Exercice 2. Soit (u n ) n une suite de réels positifs tels que la série ( P

n u n ) converge.

a. Montrer que la série ( P

n u ² _n ) converge. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus les u _n positifs ? b. Montrer que les séries ( P

n u

n

n

²

), ( P

n

√ u

_n

n ) convergent. Pour la deuxième on pourra utiliser Cauchy-Schwartz.

c. Montrer que la suite des produits P n = Q n

k=1 (1 + u k ) a une limite quand n tend vers +∞.

d. Soit (v n ) n une autre suite de réels positifs tels que la série ( P

n v n ) converge.

Montrer que la série ( P

n

√ u n v n ) converge.

Exercice 3. Déterminer la nature des séries données par les termes généraux suivants : – a n = n ²

(n − 1)! , – b n = ⁿ ₂ ⁿ

, – c n =

n−1 2n+1

n

, – d n =

n−1 2n+1

(−1)

ⁿ

n

, – e n = n!

n ²ⁿ , – f n = ¹ ₂

√ n

.

Exercice 4. Pour tout n ∈ N ^∗ on pose

u _n = 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)

2 × 4 × 6 × · · · × (2n) et v _n = 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 3) 2 × 4 × 6 × · · · × (2n) . a. Quelle est la limite de la suite ^u

ⁿ⁺¹

_u

n

?

Montrer que la suite (nu n ) n est croissante. En déduire la nature de la série (Σ n u n ).

b. Quelle est la limite de la suite ^v

ⁿ⁺¹

_v

n

?

Montrer qu’on a (n + 1) ^α v n+1 ≤ n ^α v n pour tout n et tout α ∈ 0, ³ ₂

. En déduire la nature de la série (Σ n v n ).

Exercice 5. Étudier la nature des séries données par les termes généraux suivants : a _n = (−1) ⁿ ln n

n , b _n = sin πn ²

n + 1

, c _n = (−1) ⁿ n + (−1) ⁿ⁻¹ .

Exercice 6. Pour tout n ∈ N ^∗ on pose a n = _n ¹

s

et b n = ⁽⁻¹⁾ _n

sⁿ⁻¹

. a. Étudier la convergence des séries ( P

n≥1 a _n ) et ( P

n≥1 b _n ), selon la valeur du paramètre réel s.

b. Lorsque s > 1, déterminer une relation entre ζ = P ∞

n=1 a _n et η = P ∞ n=1 b _n . c. Le paramètre s est maintenant un nombre complexe non nul.

(i) Montrer qu’on a b _2n−1 + b _2n = ⁻¹⁺⁽¹⁻ _(2n−1)

²ⁿ¹_s

⁾

^s

. En déduire un équivalent simple de b _2n−1 + b _2n . On admet que le DL 1 (0) de (1 + t) ^α reste valable pour α ∈ C .

(ii) On écrit s = r + iθ. Déterminer la forme trigonométrique du complexe n ^s . Montrer que ( P

n≥1 b 2n−1 + b 2n ) converge absolument si r > 0.

(iii) Étudier la convergence de la série ( P

n≥1 b _n ) selon la valeur du paramètre complexe s.

Exercice 7. Étudier la convergence des séries de termes généraux suivants : u n = ln

1 + (−1) ⁿ n

, v n = ln

1 + (−1) ⁿ

√ n

, w n = (−1) ⁿ

p n ^α + (−1) ⁿ , x n = (−1) ⁿ n ^α + (−1) ⁿ n ^β . Comparer la convergence de

P

n (−1)

ⁿ

√ n

et

Q

n (1 + ^{(−1) √} _n

ⁿ

) . Exercice 8. Calculer les sommes suivantes :

A =

∞

X

n=1

1

n(n + 1) , B =

∞

X

n=2

1

√ n − 1 + 1

√ n + 1 − 2

√ n

, C =

∞

X

n=3

2n − 1 n ³ − 4n .

Exercice 9.

a. Calculer P ∞ n=1

1 1+2+···+n . b. Calculer P ∞

n=1

1

n + _n+1 ¹ − _2n+1 ⁴

. On rappelle que P ∞ n=1

(−1)

ⁿ

n = − ln 2.

c. Calculer P ∞ n=1

1 1

²

+2

²

+···+n

²

. Exercice 10.

a. Calculer, pour tout x 6= r, la somme s(x) = P n k=0

x

^k

r

^k

. Exprimer s ⁰ (x) comme une somme.

b. Calculer les sommes suivantes : A =

∞

X

k=0

1

4 ^k , B =

∞

X

k=0

k

3 ^k , C =

∞

X

k=0

k ² 5 ^k .

Exercice 11. On rappelle que e ^z = P ∞ n=0

z

ⁿ

n! pour tout z ∈ C . Calculer les sommes suivantes : A =

∞

X

n=0

1

n! , B =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ

n! , C =

∞

X

n=0

1

(2n)! , D k =

∞

X

n=0

1 (kn)! , E =

∞

X

n=0

n

n! , F =

∞

X

n=0

n − 1

n! , G =

∞

X

n=0

(n + 1) ² n! .

Exercice 12. On cherche à démontrer la formule de De Moivre n! ∼ C √ n( ⁿ _e ) ⁿ . Pour cela on va étudier la suite u n = ⁿ

ⁿ

√ n

e

ⁿ

n! . On pose v n = ln(u n+1 ) − ln(u n ).

a. Simplifier l’expression de v _n . En utilisant un DL ₃ (0) de ln(1 + x), déterminer un équivalent simple de v _n . b. Montrer que la série ( P v _n ) converge.

c. En déduire que (u _n ) _n converge vers une limite non nulle. Conclure.

La valeur C = √

2π dans la formule de De Moivre a été déterminée par Stirling.

Exercice 13. Soit (x _n ) _n la suite définie par x ₀ > 1 et la relation de récurrence x _n+1 = x _n + x ² _n . a. Démontrer que la suite (x n ) n tend vers +∞.

b. On pose u n = 2 ⁻ⁿ ln x n et v n = u n+1 − u n . Démontrer que la série ( P

n v n ) converge.

c. En déduire qu’il existe α > 0 tel que x n ∼ α ²

ⁿ

.

Exercice 14. On définit une suite (u n ) n par la donnée de u 0 > 0 et la relation de récurrence u n+1 = u n + _u ¹

n

. En étudiant la suite (u ² _n ) n , montrer que

u n = √ 2n +

√ 2 8

ln n

√ n + O 1

√ n

.

Exercice 15. Soit (p _k ) _k la suite ordonnée des nombres premiers. On souhaite étudier la série ( P

k 1

p

k

). Pour tout n ∈ N ^∗ on pose V n = Q n

k=1 (1 − _p ¹

k

) ⁻¹ .

a. Montrer que la suite (V n ) n converge ssi la suite (ln V n ) n converge.

En déduire que la suite (V n ) n converge ssi la série ( P

k 1

p

_k

) converge.

b. Démontrer que V n = Q n k=1

P ∞ j=1 p ^−j _k

. En déduire que V n ≥ P n j=1

1

j . Conclure.

c. Pour α ∈ R , quelle est la nature de la série ( P

k

1

p

^α_k

) ?

Université de Caen 1

^er

semestre 2014-2015

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Séries numériques (suite)

Exercice 16.

a. On pose H n = P n k=1

1

k , u n = H n − ln(n) et v n = ¹ _n . (i) Montrer que ( P (v n+1 − v n )) converge.

(ii) Montrer que u n+1 − u n ∼ v n+1 − v n . (iii) Montrer que ( P (u n+1 − u n )) converge.

(iv) En déduire l’existence d’une constante γ telle que H _n = ln(n) + γ + o(1).

Ce nombre γ est appelé constante d’Euleur.

b. On pose A n = P n k=1

(−1)

^k

k . (i) Vérifier que A 2n = H n − H 2n . (ii) En déduire que lim A 2n = − ln(2).

(iii) Montrer que P ∞ n=1

(−1)

^k

k = − ln(2).

Exercice 17. Pour n, p ∈ N ^∗ on pose a n,p = _n

2

−p ¹

²

si n 6= p et a n,n = 0.

a. Montrer que pour tout p fixé, la série ( P

n a _n,p ) converge.

b. Vérifier que a _n,p = _2p ¹ ( _n−p ¹ − _n+p ¹ ).

c. Calculer P ∞

n=p+1 a _n,p et P p−1 n=1 a _n,p . d. En déduire que pour tout p fixé on a P ∞

n=1 a n,p = _4p ³

2

. e. Montrer que la série ( P

p ( P ∞

n=1 a n,p )) converge.

En admettant que P ∞ k=1

1

k

²

= ^π ₆

²

, calculer P ∞ p=1

P ∞ n=1 a _n,p . f. Comparer a _n,p et a _p,n . Quelle est la valeur de P ∞

n=1

P ∞ p=1 a _n,p ? g. La famille (a _n,p ) _n,p est-elle sommable ?

Exercice 18. On fixe a ∈ C tel que |a| < 1 et on pose u _p,q = a ^p(2q−1) . a. Justifier la convergence des séries ( P

p≥1 u p,q ) et ( P

q≥1 u p,q ) et déterminer leurs sommes.

b. Montrer que la série ( P

p≥1

|a|

^p

1−|a|

^2p

) converge.

c. Montrer que la famille (u _p,q ) _p,q≥1 est sommable et en déduire que

∞

X

n=1

a ⁿ 1 − a ²ⁿ =

∞

X

n=1

a ²ⁿ⁻¹

1 − a ²ⁿ⁻¹ .