Université de Caen 1

Université de Caen 1

^er

semestre 2015-2016

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Séries numériques

Exercice 1. Déterminer la nature des séries données par les termes généraux suivants : – a n = cos n

n ³ , – b n = sin e ⁻ⁿ , – c n = n sin ¹ _n ,

– d _n = 2n + 3

2 ⁿ , – e _n =

√ n + 1

n + ln n , – f _n = arctan n,

– g n = 1

n + (−1) ⁿ √

n , – h n = ln

n

²

+n+1 n

²

+n−1

, – i n =

n+3 2n+1

ln n

, – j _n = R π/2

0

(cosx)

²

n

²

+(cosx)

²

dx, – k _n = 1

ln(n) ln(ch n) , – l _n = arccos √

³

1 − n ⁻² , – m n =

cos ^{√ 1} _n ⁿ

− ^{√ 1} _e , – n n = n ⁻

√

2 sin(

^π₄

+

_n¹

) .

Exercice 2. Soit (u n ) n une suite de réels positifs tels que la série ( P

n u n ) converge.

a. Montrer que la série ( P

n u ² _n ) converge. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus les u _n positifs ? b. Montrer que les séries ( P

n u

n

n

²

), ( P

n

√ u

_n

n ) convergent. Pour la deuxième on pourra utiliser Cauchy-Schwartz.

c. Montrer que la suite des produits P n = Q n

k=1 (1 + u k ) a une limite quand n tend vers +∞.

d. Soit (v n ) n une autre suite de réels positifs tels que la série ( P

n v n ) converge.

Montrer que la série ( P

n

√ u n v n ) converge.

Exercice 3. Déterminer la nature des séries données par les termes généraux suivants : – a n = n ²

(n − 1)! , – b n = ⁿ ₂ ⁿ

, – c n =

n−1 2n+1

n

, – d n =

n−1 2n+1

(−1)

ⁿ

n

, – e n = n!

n ²ⁿ , – f n = ¹ ₂

√ n

.

Exercice 4. Pour tout n ∈ N ^∗ on pose

u _n = 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)

2 × 4 × 6 × · · · × (2n) et v _n = 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 3) 2 × 4 × 6 × · · · × (2n) . a. Quelle est la limite de la suite ^u _u

ⁿ⁺¹

n

?

Montrer que la suite (nu n ) n est croissante. En déduire la nature de la série (Σ n u n ).

b. Quelle est la limite de la suite ^v

ⁿ⁺¹

_v

n

?

Montrer qu’on a (n + 1) ^α v n+1 ≤ n ^α v n pour tout n et tout α ∈ 0, ³ ₂

. En déduire la nature de la série (Σ n v n ).

Exercice 5. Étudier la nature des séries données par les termes généraux suivants : a _n = (−1) ⁿ ln n

n , b _n = sin πn ²

n + 1

, c _n = (−1) ⁿ n + (−1) ⁿ⁻¹ .

Exercice 6. Pour tout n ∈ N ^∗ on pose a n = _n ¹

s

et b n = ⁽⁻¹⁾ _n

sⁿ⁻¹

. a. Étudier la convergence des séries ( P

n≥1 a _n ) et ( P

n≥1 b _n ), selon la valeur du paramètre réel s.

b. Lorsque s > 1, déterminer une relation entre ζ = P ∞

n=1 a _n et η = P ∞ n=1 b _n . c. Le paramètre s est maintenant un nombre complexe non nul.

(i) Montrer qu’on a b _2n−1 + b _2n = ⁻¹⁺⁽¹⁻ _(2n−1)

²ⁿ¹_s

⁾

^s

. En déduire un équivalent simple de b _2n−1 + b _2n . On admet que le DL 1 (0) de (1 + t) ^α reste valable pour α ∈ C .

(ii) On écrit s = r + iθ. Déterminer la forme trigonométrique du complexe n ^s . Montrer que ( P

n≥1 b 2n−1 + b 2n ) converge absolument si r > 0.

(iii) Étudier la convergence de la série ( P

n≥1 b _n ) selon la valeur du paramètre complexe s.

Exercice 7. Étudier la convergence des séries de termes généraux suivants : u n = ln

1 + (−1) ⁿ n

, v n = ln

1 + (−1) ⁿ

√ n

, w n = (−1) ⁿ

p n ^α + (−1) ⁿ , x n = (−1) ⁿ n ^α + (−1) ⁿ n ^β . Comparer la convergence de

P

n (−1) √

ⁿ

n

et

Q

n (1 + ^{(−1) √} _n

ⁿ

) . Exercice 8. Calculer les sommes suivantes :

A =

∞

X

n=1

1

n(n + 1) , B =

∞

X

n=2

1

√ n − 1 + 1

√ n + 1 − 2

√ n

, C =

∞

X

n=3

2n − 1 n ³ − 4n .

Exercice 9.

a. Calculer P ∞ n=1

1 1+2+···+n . b. Calculer P ∞

n=1

1

n + _n+1 ¹ − _2n+1 ⁴

. On rappelle que P ∞ n=1

(−1)

ⁿ

n = − ln 2.

c. Calculer P ∞ n=1

1 1

²

+2

²

+···+n

²

. Exercice 10.

a. Calculer, pour tout x 6= r, la somme s(x) = P n k=0

x

^k

r

^k

. Exprimer s ⁰ (x) comme une somme.

b. Calculer les sommes suivantes :

A =

∞

X

k=0

1

4 ^k , B =

∞

X

k=0

k

3 ^k , C =

∞

X

k=0

k ² 5 ^k .

Exercice 11. On rappelle que e ^z = P ∞ n=0

z

ⁿ

n! pour tout z ∈ C . Calculer les sommes suivantes : A =

∞

X

n=0

1

n! , B =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ

n! , C =

∞

X

n=0

1

(2n)! , D _k =

∞

X

n=0

1 (kn)! , E =

∞

X

n=0

n

n! , F =

∞

X

n=0

n − 1

n! , G =

∞

X

n=0

(n + 1) ² n! .

Exercice 12. Soit (x n ) n la suite définie par x 0 > 1 et la relation de récurrence x n+1 = x n + x ² _n . a. Démontrer que la suite (x n ) n tend vers +∞.

b. On pose u n = 2 ⁻ⁿ ln x n et v n = u n+1 − u n . Montrer que v n = o(2 ⁻ⁿ ).

c. Démontrer que la série ( P

n v n ) converge. On note S sa somme. Montrer que u n+1 − u 0 = S + o(2 ⁻ⁿ ).

d. En déduire qu’il existe α > 0 tel que x n ∼ α ²

ⁿ

.

Exercice 13. On définit une suite (u n ) n par la donnée de u 0 > 0 et la relation de récurrence u n+1 = u n + _u ¹

n

. a. Montrer que la suite (u _n ) _n tend vers +∞, puis que lim(u ² _n+1 − u ² _n ) = 2.

b. À l’aide d’une série télescopique, en déduire que u _n ∼ √ 2n.

c. On pose v _n = u ² _n − 2n. En utilisant la question précédente, déterminer un équivalent simple de v _n+1 − v _n . d. On rappelle que P n

k=1 1

k ∼ ln(n). Déterminer un équivalent simple de v _n . e. Montrer que

u _n = √ 2n +

√ 2 8

ln n

√ n + O 1

√ n

.

Exercice 14. Soit (p k ) k la suite ordonnée des nombres premiers. On souhaite étudier la série ( P

k 1

p

_k

). Pour tout n ∈ N ^∗ on pose V _n = Q n

k=1 (1 − _p ¹

k

) ⁻¹ .

a. Montrer que la suite (V _n ) _n converge ssi la suite (ln V _n ) _n converge.

En déduire que la suite (V n ) n converge ssi la série ( P

k 1

p

_k

) converge.

b. Démontrer que V n = Q n k=1

P ∞ j=1 p ^−j _k

. En déduire que V n ≥ P n j=1

1

j . Conclure.

c. Pour α ∈ R , quelle est la nature de la série ( P

k

1

p

^α_k

) ?

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^er

semestre 2014-2015

UFR Sciences Mathématiques

L2 Maths Analyse

Séries numériques (suite)

Exercice 15.

a. On pose H _n = P n k=1

1

k , u _n = H _n − ln(n) et v _n = _n ¹ . (i) Montrer que ( P (v _n+1 − v _n )) converge.

(ii) Montrer que u n+1 − u n ∼ v n+1 − v n . (iii) Montrer que ( P (u n+1 − u n )) converge.

(iv) En déduire l’existence d’une constante γ telle que H n = ln(n) + γ + o(1).

Ce nombre γ est appelé constante d’Euleur.

b. On pose A _n = P n k=1

(−1)

^k

k .

(i) Vérifier que A 2n = H n − H 2n . (ii) En déduire que lim A 2n = − ln(2).

(iii) Montrer que P ∞ n=1

(−1)

^k

k = − ln(2).

Exercice 16. (Partiel 2014)

On considère la suite réelle (x n ) _n∈N définie par x 0 = 1 et la relation de récurrence x n+1 = x n + √ x n . a. Étudier le sens de variation de la suite (x n ) n , et en déduire que lim _n→∞ x n = +∞.

b. (i) Donner un équivalent simple de √

1 + t − 1 quand t → 0.

(ii) En déduire que lim

x→∞

p x + √ x − √

x

= ¹ ₂ . c. On pose u n = √

x n+1 − √

x n pour tout n ∈ N et on va étudier la série ( P

n≥0 u n ).

On note S n = P n

k=0 u k les sommes partielles de cette série.

(i) α. Exprimer u _n en fonction de x _n seul, puis déterminer la limite de la suite (u _n ) _n . Qu’obtient-on comme équivalent simple de la suite (u _n ) _n ?

β. Quelle est la nature de la série P

n≥0 u _n

?

Donner un équivalent simple de la suite des sommes partielles S _n . (ii) α. Exprimer x n à l’aide des sommes partielles S n de la série ( P u n ).

β. Déduire des questions précédentes un équivalent simple de la suite (x n ) n . d. On pose v n = √

x n − ¹ ₂ n pour tout n ∈ N . (i) Montrer que v _n+1 − v _n ∼ − ₈ ^{√ 1} _x

n

. On pourra utiliser un DL ₂ (0) de √ 1 + t.

(ii) Quelle est la nature de la série ( P

n≥1 (v _n+1 − v _n )) ? En déduire un équivalent de la suite (v _n ) _n . On rappelle que H n ∼ ln(n), où on note H n = P n

k=1 1 k .

(iii) Déterminer α, β ∈ R tels que x n = αn ² + βn ln(n) + o(n ln(n)).

Exercice 17. Pour n, p ∈ N ^∗ on pose a n,p = _n

2

−p ¹

²

si n 6= p et a n,n = 0.

a. Montrer que pour tout p fixé, la série ( P

n a n,p ) converge.

b. Vérifier que a n,p = _2p ¹ ( _n−p ¹ − _n+p ¹ ).

c. Calculer P ∞

n=p+1 a _n,p et P p−1 n=1 a _n,p . d. En déduire que pour tout p fixé on a P ∞

n=1 a n,p = _4p ³

2

. e. Montrer que la série ( P

p ( P ∞

n=1 a n,p )) converge.

En admettant que P ∞ k=1

1

k

²

= ^π ₆

²

, calculer P ∞ p=1

P ∞ n=1 a n,p . f. Comparer a n,p et a p,n . Quelle est la valeur de P ∞

n=1

P ∞ p=1 a n,p ? g. La famille (a n,p ) n,p est-elle sommable ?

Exercice 18. On fixe a ∈ C tel que |a| < 1 et on pose u p,q = a ^p(2q−1) . a. Justifier la convergence des séries ( P

p≥1 u p,q ) et ( P

q≥1 u p,q ) et déterminer leurs sommes.

b. Montrer que la série ( P

p≥1

|a|

^p

1−|a|

^2p

) converge.

c. Montrer que la famille (u _p,q ) _p,q≥1 est sommable et en déduire que

∞

X

n=1

a ⁿ 1 − a ²ⁿ =

∞

X

n=1

a ²ⁿ⁻¹

1 − a ²ⁿ⁻¹ .