II. Formule de Moivre généralisée

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Mines Maths 2 PC 2015 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Le but du sujet est d’étudier les suites de Fibonacci (Fⁿ(λ))ⁿ∈Z et de Lucas (Lⁿ(λ))ⁿ∈Z généralisées oùλ est un réel tel queeλ=λ²+λ−1 6= 0. Elles vérifient surNune même relation de récurrence linéaire d’ordre 2 donnée par

∀n>0 uⁿ+2= (1 + 2λ)uⁿ+1−λ ue ⁿ

Elles diffèrent par leurs deux premiers termes dansNet sont définies dansZ\Npar

∀n>1 F⁻ⁿ(λ) =−Fⁿ(λ)λe⁻ⁿ et L⁻ⁿ(λ) = Lⁿ(λ)eλ⁻ⁿ On retrouve les suites de Fibonacci(Fⁿ)^n∈_Z et de Lucas(Lⁿ)^n∈_Z lorsqueλ= 0.

• La première partie établit quelques résultats sur les matricesJ réelles carrées de taille 2, non multiple de l’identité, et vérifiantJ²= (5/4)I. On fixe une telle matriceJdans toute la suite.

• La deuxième partie a pour but de généraliser à Z la « formule de Moivre » admise par l’énoncé surN:

∀n∈Z R(λ)ⁿ = Fⁿ(λ) J +1

2Lⁿ(λ)I où R(λ) = J + λ+1

2 I

Pour cela, on montre que R(λ) est inversible et on calcule R(λ)⁻¹, puis on établit deux nouvelles relations de récurrence où sont imbriqués les termes des suites(Fⁿ(λ))ⁿ>1 et(Lⁿ(λ))ⁿ>1.

• Dans la troisième partie, on établit des identités remarquables sur les suites de Fibonacci et de Lucas généralisées. Dans un premier temps, des calculs matriciels fournissent les formules sommatoires

∀n∈N Pn k=0

λe^kFⁿ−2k(λ) = 0 et Pn k=0

eλ^kLⁿ−2k(λ) = 2 Fⁿ+1(λ)

Dans un second temps, on fait le lien avec les suites de Fibonacci et de Lucas standard via les formules

∀n∈Z ∀k>1 Uⁿ L^k−1

L^k

=5⌊ⁿ2⌋

L^kⁿ U^nk avec U = FouL

• Enfin, dans l’unique question de la dernière partie, on utilise les identités remarquables précédentes pour démontrer que la famille de réels

p^k= Lⁱ 2

L2i(n−k)

Li(2n+1)

pour k∈ {0,1, . . . ,2n} définit une probabilité.

Ce sujet très calculatoire fait intervenir les suites mais aussi un peu d’algèbre linéaire et un soupçon de probabilités. Il fait essentiellement appel au programme de première année.

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Indications

Partie I 2 Résoudre l’équation matricielleJ²=5

4I en posantJ = a b

c d

oùa,b,c,dsont quatre inconnues réelles.

3 Revenir à la définition pour démontrer que la famille(I,J)est libre : considérerλ etµdeux réels tels queλJ +µI= 0 et montrer queλ=µ= 0.

Partie II 4 Effectuer la division euclidienne de

X +λ+1 2

2

parX²−5 4.

5 Ne pas tenir compte de l’indication de l’énoncé « en déduire » et faire le calcul directement.

6 Commeλ est un élément deC, isoler la matrice I d’un côté de l’égalité à partir de la relation (8) et mettre en facteurR(λ)de l’autre côté de l’égalité.

7 Calculer de deux façons différentes R(λ)ⁿ⁺¹ et conclure en utilisant l’indépen- dance de la famille(J,I)surM₂(R).

8 Démontrer le résultat par récurrence en utilisant les formules obtenues aux ques- tions 6 et 7 et les formules (3) et (4) données par l’énoncé.

Partie III

10 Utiliser le résultat de la question 9 en remarquant queJetR(λ)commutent.

11 Faire apparaîtreW(λ) dans la somme que l’on cherche à calculer puis montrer que

I−W(λ)Pⁿ

k=0

W(λ)^k =I−W(λ)ⁿ⁺¹ et conclure en utilisant la question 10.

12 Utiliser le résultat établi à la question 11, la formule de Moivre et la liberté de la famille(J,I)pour obtenir les valeurs des deux sommes.

13 Suivre l’indication de l’énoncé en exprimant, à l’aide de la formule (2),L^k+1(λ) et L^k+2(λ)en fonction de L^k−1(λ), L^k(λ) et L^k+1(λ)dans la deuxième colonne de∆^k+1(λ). Conclure en utilisant les propriétés du déterminant pour faire appa- raître∆^k(λ).

14 Revenir à la formule de la définition du déterminant d’une matrice de M₂(R) pour faire apparaître la formule demandée dans le calcul de ∆^k(λ).

15 Transformer la partie droite de l’égalité en utilisant la formule de Moivre ainsi que les propriétés admises par l’énoncé. Obtenir alors la partie gauche de l’égalité.

16 Partir de l’égalité établie à la question 15 mise à la puissance 2n. Utiliser la formule de Moivre pour transformer la partie gauche de l’égalité. Remarquer la commutativité des matrices Jet R(0)pour transformer celle de droite. Conclure avec la liberté de la famille(J,I)dansM₂(R).

Partie IV

17 Suivre l’indication de l’énoncé pour démontrer que ² Pn k=0

p^k = 1. Écrire Lⁱ(2n+1)

sous forme de somme à l’aide de la formule (14) puis du résultat de la question 12. Utiliser les propriétés démontrées à la question 14 et la relation (13) pour transformer les termes sommés et faire apparaître le résultat demandé.

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I. Préliminaires

1 Soitλ∈ C. Appliquons les formules (1) et (2) données par l’énoncé àn= 1: F2(λ) = (1 + 2λ) F1(λ) + (1−λ−λ²) F0(λ)

L2(λ) = (1 + 2λ) L1(λ) + (1−λ−λ²) L0(λ) d’où ∀λ∈ C F2(λ) = 1 + 2λ et L2(λ) = 2λ²+ 2λ+ 3

2 PosonsJ = a b

c d

oùa,b,c,dsont quatre inconnues réelles. On a

J²=

a²+bc ab+bd ca+dc cb+d²

donc J²= 5

4I ⇐⇒









a²+bc= 5/4 b(a+d) = 0 c(a+d) = 0

d²+cb= 5/4 Considérons le cas oùa+d= 0. Le système est équivalent à

(

a²+bc= 5 d=−4a

En particulier, si l’on choisita=d= 0la première équation devientbc= 5/4 et on trouve une infinité de solutions possibles.

Les matricesJ = 0 b 5 4b 0

!

pour b∈R^∗ satisfont la conditionc).

Il est inutile dans cette question de donner la forme générale de toutes les matrices vérifiantJ²= (5/4)I. Il suffit d’en donner une infinité qui convient, ce qui est plus simple. Géométriquement, on peut penser à toutes les symé- tries par rapport à une droite dans le plan. Il y en a une infinité. Il suffit de rajouter un coefficient√

5/2en facteur pour avoir une matriceJ.

3 Montrons que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M₂(R).

Soientλetµdeux réels tels que

λJ +µI= 0 Si λ6= 0, alorsJ = −µ

λ I. CommeJn’est pas multiple de I d’après la condition c), nécessairementλ= 0. Il ne reste queµI= 0puisµ= 0:

Les matrices I etJsont linéairement indépendantes surM₂(R).

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II. Formule de Moivre généralisée

4 Soit λ∈ C. Effectuons la division euclidienne du polynôme(X +λ+ 1/2)² par le polynômeX²−5/4. Le reste de la division doit ainsi être un polynôme de degré inférieur ou égal à 1. On a

X +λ+1 2

2

= X²+ (2λ+ 1)X +λ²+λ+1 4

= X²−5

4 + (2λ+ 1)X +λ²+λ+3 2 En posantQ = 1etT = (2λ+ 1)X +λ²+λ+3

2, on a trouvé deux polynômes Q et T deR[X] tels que

X +λ+1 2

2

= X²−5

4

Q(X) + T(X)

5 Soitλ∈ C. On aR(λ) = J + (λ+ 1/2)I. Comme les matrices Jet I commutent et commeJ²= 5/4I,

R(λ)² = J²+ (2λ+ 1) J +

λ²+λ+1 4

I

= (2λ+ 1) J +

λ²+λ+3 2

I

= (1 + 2λ) R(λ)−(1 + 2λ) λ+1

2 I+

λ²+λ+3 2

I

R(λ)² = (1 + 2λ) R(λ) + (1−λ−λ²)I

L’énoncé voudrait en fait que l’on utilise ici les polynômes de matrices, mais ils sont hors programme en PC. Pour vous présenter ce que le concep- teur du sujet attendait (mais pas les correcteurs !), voici d’abord un bref complément. SiP =

Pn k=0

a^kX^k est un polynôme deR[X]etMune matrice de M₂(R), alors on définitP(M)par

P(M) = Pn k=0

a^kM^k

où les puissances de matrices sont définies par récurrence par M⁰=I et pour tout entierk>0,M^k⁺¹= M^kM

Pour répondre à la question 5, on applique à la matrice J la formule obtenue à la question 4 :

J + λ+1

2 I2

= J²−5

4I

+ (2λ+ 1) J +

λ²+λ+3 2

I

Par définition de R(λ)et d’après le choix de la matrice J, il s’ensuit que R(λ)² = (2λ+ 1) J +

λ²+λ+3 2

I

= (1 + 2λ) R(λ) + (1−λ−λ²)I en reprenant le même calcul que précédemment.