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Submitted on 1 Jan 1994
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Etude analytique et numérique de la réponse en vibration à hautes fréquences d’éprouvettes de fatigue
vibratoire des métaux. Application aux aciers
A. Ben Aich, B. El Kihel, A. Kifani, F. Sahban
To cite this version:
A. Ben Aich, B. El Kihel, A. Kifani, F. Sahban. Etude analytique et numérique de la réponse en vibration à hautes fréquences d’éprouvettes de fatigue vibratoire des métaux. Application aux aciers. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (7), pp.1255-1266. �10.1051/jp3:1994200�.
�jpa-00249181�
Classification Physic-s Abstracts
62.20D
Etude analytique et numkrique de la rkponse en vibration h
hautes frkquences d'kprouvettes de fatigue vibratoire des mktaux. Application aux aciers
A. Ben Aich (I), B. El Kihel (2), A. Kifani (I) et F. Sahban (')
(J) Universitd Mohamed V (Fac. Sciences), (2) Ecole Supdrieure de Technologie de Fds,
(Rej,u le 3 mai 1993, rdiisd le 14 ai>nil J994, acceptd le 14 avril1994)
Rksumk. Dans le prd~ent travail, la fatigue vibratoire a did dtudide dans le cas du comportement dlastique des matdriaux en n6gligeant (es effets therrniques pouvant influencer (es champs mdcaniques, La ddtermination de ces champs et de la longueur de rdsonance des 6prouvettes de
fatigue a did faite analytiquement et numdriquement. Le calcul numdnque effectud se base sur la
mdthode des Elements finis. Dans le but d'une comparaison des solutions analytiques et
numdriques, deux aciers ont did considdr6s un acier martensitique (SoleilA2) et un acier
austdnitique de type 18-10 ([CL 472 BCI. Une parfaite convergence est obtenue entre les deux solutions.
Abstract. In the present paper, the so-called
« ultrasonic fatigue » or fatigue at very high frequency has been studied in the materials elastic behaviour case while neglecting the thermal
effects that influence the mechanical fields. The determination of mechanical fields and specimen
resonance length has been done both analytically and numerically. The numerical method used for
this calculation is the finite element method (FEMI. Martensitic steel
« Soleil A2 » and austenitic steel « [CL 472 BC » have been considered in order to compare the two methods (analytical and
numerical). It is shown that a perfect convergence is obtained between the two wlutions.
1, Introduction.
L'dtude de la fatigue vibratoire h trbs hautes frdquences a fait l'objet de peu de travaux par rapport h ceux consacr6s h la fatigue vibratoire classique. Ce n est qu'en 1950 que Mason [I]
s'est intdressd h ce sujet en ddveloppant I'utilisation de transducteurs pidzodlectriques qui
constituent un moyen efficace pour simuler la fatigue vibratoire h trbs hautes frdquences. Par la suite, plusieurs travaux ant dt6 rdalisds et ant permis d'6tudier le frottement inteme dans les mdtaux [2, 3] et les mdcanismes physiques de la fissuration [4, 5]. Rdcemment, d'autres
chercheurs [6, 7J ant considdrd l'action des ddformations plastiques et dlastiques en fatigue
vibratoire et l'influence de la frdquence sur l'endurance.
La fatigue h trbs hautes frdquences utilise des dprouvettes sollicitdes h des hautes frdquences
de l'ordre du kHz et dent les dimensions sont choisies de sorte que ces dprouvettes vibrent en rdsonance avec le milieu excitateur. Pour cela la longueur de l'dprouvette de fatigue doit dtre
agate h un nombre entier de demi-longueurs d'onde de rdsonance. Pour un mode de vibration
longitudinal les distributions des contraintes, des ddformations et des ddplacements le long de I'axe des dprouvettes sent sinusoidales, avec des contraintes et des ddformations maximales au milieu des dprouvettes et des ventres de ddplacement aux extrdmitds.
L'objectif de cette Etude est de ddterminer Ies solutions analytiques des champs mdcaniques
ainsi que la longueur de rdsonance, et de les comparer avec les rdsultats numdriques obtenus au moyen d'un programme d'informatique utilisant la mdthode des dldments finis. Dans le but d'une telle comparaison nous avons choisi deux aciers utilisds en construction a6ronautique :
un acier martensitique (Soleil A2), et un acier austdnitique de type 18-10 (ICL 472 BC) [18].
2, R6solution analytique,
2,I HYPOTHtSES ET tQUATiON DE BASE. Les dprouvettes utilisdes, dent les formes
gdomdtriques sent indiqudes sur la figure I, sent supposdes parfaitement dlastiques, homogb-
nes isotropes, et admettent, comme axe de propagation d'une onde plane longitudinale l'axe des x confondu avec l'axe de l'dprouvette. La continuitd des contraintes, des ddformations et des ddplacements est admise au travers des interfaces entre les dldments infinitdsimaux
constitutifs de l'dprouvette. Les ddplacements transversaux sent supposds ndgligeables. Le milieu dtant parfaitement dlastique, alors toute dissipation d'dnergie, par frottement inteme, et
toute rdflexion des ondes sent ndgligdes.
L'dquation de base du mouvement ddrivant de ces hypothbses est celle de la propagation
d'une onde plane longitudinale, soit
pS(.<) a~u(x, t)lat~
=
aF (x, t)lax (1)
oh s(x), p, u(.<, t) et F (x, t) ddsignent, respectivement, la section transversale, la masse
volumique du matdriau, Ie ddplacement et I'effort local exercd par le milieu extdrieur.
En fatigue vibratoire les efforts extdrieurs sent sinusoidaux ainsi on peut supposer que le
ddplacement est harmonique (u(x, t) = U(x) exp(iwt )).
En se basant sur les iris de l'dlasticitd lindaire, l'dquation de base devient alors :
d~U(x)/dx~ + g (x) dU(x)/dx
+ K~ U(x)
= 0 (2)
avec : K~
=
pw~/E,
w = 2 grf et g (x)
= (I/S(,<)) dS(x)/dx (3)
oh : U(,~), E et fsont, respectivement, I'amplitude de ddplacement, le module d'dlasticitd et la
frdquence de rdsonance.
La rdsolution de (2) ndcessite la connaissance de la forme gdomdtrique de l'dprouvette
dtudide.
2.2 FORMES GfomfTRiouEs DES fPRouvETTEs fTuDifEs ET APPROXIMATIONS. Pour cette
Etude deux formes d'dprouvettes sent considdrdes (Fig. I), une h section circulaire, utilisde
frdquemment dans Ies essais d'endurance (dprouvette d'endurance), I'autre h section rectangu- laire, utilisde dans les essais de fissuration (dprouvette de fissuration). Pour ces deux
gdomdtries nous considdrons la section longitudinale, indiqude sur la figure 2, que nous
ddcomposons en trois rdgions I, II et III. Mais la symdtrie du problbme permet de se limiter h l'dtude de la partie x m 0 et y m 0 (Fig. 3). La rdgion II ne pose aucun problbme particulier
y
ii ii ii ) ii )
I I i
x '
i i i
'
~ 21, l~
2
a) y
ii ii ii ) R ii i)
----_
j" +---
/ / /
/ / /
--
x
/ / /
/ / /
/ / /
~ ~
l / 2R~
l~ 2§ l~
b)
Fig. I. a) Eprouvette d'endurance, b) Eprouvette de fissuration.
[a) An endurance specimen shape. b)Fiwuration specimen shape.]
puisque la section transversale y reste constante (g(.<) = 0). L'6quation (2) se rdduit dans ce
cas h
d~U(x)/du<~ + K~ U(x)
=
0 (4)
y
ii ii ii ) g jjj~
~
---~--- ----~--- x
'
' i
.
.i« ,i J
21~
Fig. 2. Section longitudinale des 6prouvettes de fatigue.
[Longitudinal section of fatigue specimen.]
y
~
~ L--~~
i i
I
Fig. 3. Discrdtisation de la section longitudinale des dprouvettes de fatigue.
[Longitudinal section discritisation of fatigue specimen.]
La rdsolution de cette Equation donne :
U,j(x)
= Ajj cos (Kx) + Bjj sin (Kx (5)
oh Au et Bjj sent des constantes d'intdgration h ddterminer par les conditions aux limites.
Dans la rdgion I, la section transversale ddpend de l'abscisse x j on est amend h donner une forme analytique de S(x)
~ 1Iy~(.<) Pour l'dprouvette d'endurance
~ 4 R y(,<) Pour l'dprouvette de fissuration
et g(x) sera alors :
g(x
= (« /y (x dy(x )/dx (6)
~~ ~ j2 Pour l'dprouvette d'endurance
I Pour l'dprouvette de fissuration
Ii suffit de choisir convenablement la fonction y(x) qui sera de la forme : y(x) = R + R
i (R~ x~)'~~ (7)
Dans ce cas on aura : g(x)
= «xl [(R~ x~)~~~ (Rj + R (R~ x~)'~~)]. (8)
La rdsolution de (2) en y substituant (8) est trbs laborieuse analytiquement ce qui ndcessite l'introduction d'approximations pour la fonction y(x). Les approximations retenues sent les suivantes
Rj ch ax Approximation catdnoidale (chainette)
~~~~
R exp (yx) Approximation exponentielle ~~~
oh :
a = (I I
j) argch (R~/R
i) et y =
I IL
i log (R~/R
i) (10)
En substituant (9, 10) dans (6) la fonction g(x) s'dcrit :
~~~ (aa th (ax Approximation catdnoidale
~~~~
~
« y Approximation exponentielle
La rdsolution de (2) en y substituant (11) donne aisdment les amplitudes de ddplacement
suivantes :
Uj(x)
= « [Aj exp(px) + Bj exp(- px)]/ [exp(8x) + c exp(- 8x)] (12)
Les constantes 8, p et c sent indiqudes dans le tableau1.
Tableau I. Les constantes figurant dans l'dquation (12).
[The constants 8, p and c appearing in equation (12).]
8 p c
APProk. catdnoidaie a (~2 ~2~i12 j
~~~~°~' ~~P°~~~~'~~~~ Y (Y~ K~)~'~ o
2. 3 DtTERMINATION DES CHAMPS MfCANIQUES ET DE LA LONGUEUR DE RtSONANCE. En se
basant sur )es hypothbses prdcddentes, on peut formuler les conditions aux limites correspon- dantes :
dUjj(x)/dx=o h x=I Ujj=U~ h x=I
dUjj(x)/dx
= dUj(.<)/dx h x
=
ii Ujj
= Uj h x
=
ii (13)
Uj=o i x=o
f
= f~ + f~ est la demi-longueur de l'dprouvette.
Ces conditions ainsi explicitdes permettent de ddterminer )es constantes Ajj, Bjj et
Aj, Bj qui figurent dans )es Equations (12) et (4) et la longueur de rdsonance f~ (en fonction de
ii). Les solutions analytiques obtenues sent indiqudes dans le tableau II. Les approximations proposdes pour les dprouvettes dtudides sent, respectivement, l'approximation catdnoidale pour l'dprouvette d'endurance et l'approximation exponentielle pour l'dprouvette de fissura- tion.
Tableau II. Solutions analytiques des champs mdcaniqiJes et de la longueur de idsoiiance pour les deux dprouvettes (Ep. d'endurance et Ep. de fissuration).
[Analytical solutions of mechanical fields and resonance length for the two specimens (endurance and fissuration specimens).]
Eprouvette d'endurance Eprouvette de fissuration
Uj(x Uo Z sh px/ch ax UoW sh px exp (- yx)
Ujj (x ) Uo cos K(I x U~ cos K (I
x
ej(x Uo Z[p ch px a th ax sh px]/ch ax Uo W exp (- yx [p sh px y sh px ejj(x) U~ K sin K(I
,< Uo K sin K(I
x
i~ (I/K) Arctg i(I/K j (p coth pi a th at ii I/K) Arctg j(I/K) (p coth pi
y )1
Les contraintes proportionnelles aux ddformations sent donndes par
«, (x)
= Es, (x i (i
= i, 11). (14)
Les constantes figurant dans le tableau II sent : Z
= cos Ki~ ch aij/sh pi et W
= cos Ki
~ exp (yi~ )/sh pi~ (15)
3, Traitement numdrique,
La rdsolution numdrique du problbme se base sur la mdthode des dldments finis qui utilise la formulation variationnelle inspirde du principe des travaux virtuels, appliquds h un solide en
dquilibre.
3. I FORMULATION VARIATIONNELLE Du PROBLtME. En appliquant le principe des travaux
virtuels au systbme considdrd on aura
I(~r,~ ~ u,* p a~u,lat~ u,*) dV = 0 (16)
v
oh : ii,* est Ie ddplacement virtuel suivant la direction I.
Le ddplacement dtant harmonique (u(x, t)
= U(x) exp(iwt)) on aura alors
a~u(x, t)lat~
=
w~ it(,<, t) (17)
la substitution de (17) dans (16) permet d'dcrire :
I(~r,~ u,* + pM>~ u, u,*) dV = 0 (18)
v
En introduisant la formule de Green au premier terme du premier membre de I'dquation (18)
on obtient
I(~r,~ e,) pM~~ u, u,*) dV = ~r,~ n~ u,* dS (19)
v
s
oh : e,) et n~ sent, respectivement, la ddformation virtuelle et la composante, suivant la
direction j, de la normale h surface S ddlimitant le volume V.
Les efforts surfaciques sent donnds par F,
= ~r,~ n~. En les substituant dans (19), celle-ci devient
1(«,~ e,( pM.~ u, u,* dV = F, u,* dS (20)
v s
3. I,I Cas bidimensionnel (plant. On pose
W~
= (Wjj, W~~, Wj~) p~
= (eij, e~~, pi~)
(21) F~
= (Fj, F~)
U~
" (Uj, U~).
La Ioi de Hooke en dlasticitd Iindaire permet d'dcrire :
(«) = jDj(~) (22)
avec : [D matrice d'dIasticit6 dent Ies dldments sent fonction des constantes dlastiques E et v (Module d'Young et coefficient de Poisson).
Les ddformations sent lifes aux ddplacements par :
alax,
0
E =
Lu
= 0 alax~ u (23)
alax~ alaxj
3.1.2 Cas d'axisymdtrie. La symdtrie cylindrique de l'dprouvette d'endurance rdduit le
problbme tridimensionnel (r, H, z) au problbme bidimensionnel axisymdtrique (r, z). Dans ce
cas les ddformations sent lifes aux ddplacements par :
alar
0 (e)
=
jLi (u)
= ~) ~(_ (u) (24)
alar
a)~
et les contraintes sent donndes en fonction des ddformations par la loi de Hooke (22) oh la matrice d'61asticitd [D] est :
v v v 0
~~~
(l + v))1-
2 v) v
~
l v
~~~~
0 0 0 1- v
3.2 DiscRfTisATioN SPATIALE. Nous discrdtisons la surface longitudinale des dprouvettes
en un ensemble d'dldments quadratiques h huit nwuds (Figs. 3, 4), supposds isoparamdtriques
dont les fonctions d'interpolation sont donndes par [9] :
N,(xj, x~)
=
(I +xjxj,)(I +x~x~,)(xjxj, +x~x~, I)/4 =1,.
,
4
N~(xi, x~ =
I x( I + x~ x~~)/2
l#6(Xl, X2) " (1 X()(I + Xl Xj6) (~6)
N~(xj, x~)
= (I x()(I + x~ x~~)/2
N8(Xl, X2) ~ (l Xj)(I + Xj X18)
oh xi,, x~, sent Ies coordonndes du nwud I (I
= 1,
,
8).
£ 7 3
s 6
1 6 2
Fig. 4. Eldment quadratique h huit nmuds.
[Quadratic element at eight nodes.]
Ces fonctions de formes constituent la matrice :
~~~ ~~
~/.. ~~ ~j l/. ~~l' ~~~~
En introduisant ces fonctions d'interpolation les ddplacements seront exprimds en fonction des ddplacements nodaux soit :
(u)
=
[N] (u) (28)
oh : (u) est le vecteur ddplacement nodal de type (16, 1)
li
juj
= t,~ (29)
U28
k,~(i = 1,2 j
=
1,8 le ddplacement du nwud j suivant la direction I.
En substituant Ies Equations (21-29) dans (20) I'dquation matricielle du mouvement deviendra:
j jK w2 jM j juj
= jfj (30)
oh : [K], [M] et if) sont, respectivement, la matrice de rigiditd, la matrice de masse et le vecteur force nodal
[K]
= I[LN]~ [D]~ [LN] dV (31)
v
[Ml
= v P IN]~ [N dV (32)
(f)
= i [N IF ) dV (33)
L'assemblage et la triangulation de ces matrices pour toute la structure et la ddtermination des champs mdcaniques ont dtd effectuds sur un programme d'ordinateur ddtailld dans [9].
4, Application,
Nous avons choisi deux aciers utilisds dans )es essais de fatigue vibratoire: un acier
martensitique (SoleilA2) et un acier austdnitique de type 18-10 (ICL 4728C). Les tableaux III-V donnent la composition chimique, les caractdristiques mdcaniques et les
propridtds physiques des deux matdriaux.
Tableau III. Composition chimique (en §b) des aciers Soleil A2 et ICL 472 BC.
[Chemical composition of « Soleil A2
» and « ICL 472 BC
» steels in (§b).]
Eldments C Mn Si S P Cr Ni
Ac. A2 0,08/0,15 w I w I w 0,03 w 0,04 0 11,5/13,5
Ac. ICL w 0,03 w 2 w I w 0,03 w 0,04 9/11 17/19
Tableau IV. Caractdristiques mdcaniques des aciers Soleil A2 et ICL 472 BC d tempdia-
ture ambiante (25 °C).
[Mechanical characteristics of « Soleil A2
» and « ICL 472 BC » steels at room temperature (25 °C).]
Aciers Soleil A2 ICL 472 BC
Limite d'dlasticitd
Re (en MPa) 440 185
Rdsistances maximales
Rm (en MPa) 630 h 830 450 h 650
Limite d'endurance 0,45 h 0,55 Rm 0,45 Rm
Tableau V. Propridtds physiques des acieis Soleil A2 et [CL 472 BC 4 tempdiature
ambiante (25 °C).
[Physical properties of « Soleil A2 » and « [CL 472 BC » steels at room temperature (25 °C).]
Aciers Soleil A2 ICL 472 BC
Masse volumique (kg/m3) 7 700 7 900
Module d'dlasticitd en (MPA) en traction E 206 000 193 000
en torsion G 86 000 84 000
5, Discussion et conclusion.
Les figures 5-7 montrent la distribution des amplitudes des ddplacements le long de l'axe des dprouvettes d'endurance et de fissuration pour les deux aciers dtudids. Ces ddplacements sont faibles dans la rdgion I et tendent vers le ddplacement imposd h l'extrdmitd des dprouvettes
dans la rdgion II. Les figures 8-11 reprdsentent les distributions des amplitudes des contraintes
le long de l'axe des dprouvettes. On constate, dans tous les cas, la concentration des
contraintes au milieu des dprouvettes et la ddcroissance rapide de celles-ci le long des
dprouvettes. Les rdsultats analytiques et numdriques des contraintes sont reprdsentds sur les
figures 8-9 pour les deux aciers dans le cas de l'dprouvette d'endurance. Ces figures montrent l'dtroite convergence entre ces solutions.
La convergence entre les rdsultats numdriques et les solutions analytiques valides, d'une part, le programme de calcul faisant appel h la mdthode des 61dments finis, d'autre part, les
approximations et les hypothbses simplificatrices adoptdes pour la rdsolution analytique du problbme.
U~W~~~ ui io-~)
i
6.00 ---(--- '
4.SG 2.2ii
o.0a ' ' '
2 6.a .6 xtm) oo,£ 2 4 8.6 xtaw)
Fig. 5. Fig. 6.
Fig. 5. Distribution des ddplacements. Acier « ICL 472 BC
». Eprouvette d'endurance (Uo = 0,005 ).
[Displacement distribution for « Soleil A2
» steel. (Endurance specimen).]
Fig. 6. Distribution des ddplacements. Acier « Soleil A2 ». Eprouvette d'endurance (Uo 0,0025 ).
[Displacement distribution for « ICL 472 BC » steel (Endurance specimen).]
unto-~)
, i
s-m )
e-so
i,oa
0 2.6 10,66 xtm)
Fig. 7. Distribution des ddplacements. Acier
« [CL 472 BC ». Eprouvette de fissuration.
[Displacement distribution for
« ICL 472 BC » steel (Fissuration specimen).]
(
~ $i~~$~~~$s~##~~
oo.oo
0 4 8.6 xtm)
Fig. 8. Solutions analytiques et num6riques des contraintes en fonction de x. Acier « [CL 472 BC
».
Eprouvette d'endurance h Uo 0,001.
[Analytical and numerical solution of stress in fonction of 2, for
« ICL 472 BC » steel (Endurance specimen at Uo = 0.001.]
' fl."
,li~lutlm atalytlqm
g~ ,li~lutlms nwwlqns
~ 167.28
l10.00
33.oo
o 2 4 6 s 8.6 xtm)
Fig. 9. Solutions analytiques et num6nques des contraintes. Acier
« Soleil A2 ». Eprouvette d'endu-
rance h Un 0,0025.
[Analytical and numerical solution of stress in fonction of 2 for
« Soleil A2 » steel (Endurance specimen)
at Uo 0.0025.
013.
0 6 10.56 xtm)
Fig. lo. Distribution des contraintes. Acier « ICL 472 BC ». Eprouvette de fissuration.
[Stress distribution for
« ICL 472 BC » steel jfissuration specimen).]
6 7.6 10.66 xtm)
Fig. II. -Distribution des contraintes.
[Stress distribution for « Soleil A2 » steel (Fissuration specimen).]
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