Modèles non linéaires ARCH-GARCH applications et simulations

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université Mohammed Seddik Ben Yahia - Jijel

Faculté des Sciences Exacte et Informatique Département de Mathématiques

Mémoire de fin de cycle

Présenté pour l’obtention du diplôme de

Master

Spécialité : Mathématiques fondamentales.

Option : Probabilités et Statistique.

Thème

Modèles non linéaires ARCH-GARCH applications et simulations

Présenté par : Boulkheloua Nadjet Dirigé par : Cheraitia Hassen

Devant le jury composé de :

Djeridi Zohra M.C.B Université de Jijel Président Sellami Nawel M.A.A Université de Jijel Examinateur

Promotion 2019/2020

R emerciements

A vant de présenter ce travail, mes remerciements vont tout d’abord à :

Dieu le tout puissant qui m’a donné la volonté et la santé pour accomplir ce travail et qui m’a aidé à franchir un pas vers le chemin du savoir.

Je remercie beaucoup mon encadreur Mr.CHERAITIA Hassen qui m’a encadré pendant la période de la réalisation de ce travail, sa disponibilité, malgré ses responsabilités, ses orientations permis de mener à merveille ce travail.

Je tient aussi a remercier mon enseignant Mr.GHERDA Mebrouk pour ses sacrifice et aide précieuse jusqu’à l’accomplissement de ce travail.

Mes remerciements vont également aux membres du jury pour l’intéret qu’ils ont porté à mon recherche en acceptant d’examiner mon mémoire et de l’enrichir par leurs propositions.

Mes remerciements les plus vives et chaleureuses à tous les membres de ma famille.

Je tient aussi a remercier mes amies Yasmina, Sara, Fatima, Rofia et particulièrement Imene pour leurs conseils.

Je tient aussi a remercier Mlle LABENI Fahima .

Enfin, que tous ceux et celles qui, de loin ou de prés ils m’ont apporté leur aide et soutien trouveront ici, mon reconnaissance et sympatie.

B.Nadjet

D édicases

J ^e voudrais dédier ce travail :

A ma mère, je prie Dieu d’avoir pitié d’elle et de l’introduire dans ses vastes jardins.

Je le donne aussi à ma grand-mère en guise de gratitude pour sa générosité et sa bonté, en espérant que le Seigneur leur accordera sa miséricorde.

B.Nadjet

Table des matières

Listes des figures iv

Listes des tableaux v

Notations vi

Introduction Générale vii

1 Notions de base sur les séries temporelles 1

1.1 Introduction aux séries temporelles . . . . 2

1.1.1 Modélisation d’une série temporelle . . . . 2

1.1.2 Estimation et Elimination de la partie déterministe . . . . 3

1.1.3 Caractéristiques d’une série temporelle . . . . 3

1.2 Processus stochastique . . . . 6

1.2.1 Définitions . . . . 6

1.3 La notion de stationnarité . . . . 7

1.3.1 La stationnarité au sens stricte . . . . 7

1.3.2 La stationnarité au second ordre . . . . 7

1.3.3 Théorème de Wold (1954) . . . . 8

Table des matières

1.5 Les processus linéaires . . . . 9

1.5.1 Les processus linéaires stationnaires . . . 10

1.5.2 Principales extentions des processus ARMA . . . 16

1.6 Les grandes classes des processus non linéaires . . . 21

1.6.1 Processus bilinéaires . . . 21

1.6.2 Modèles à seuil . . . 23

1.6.3 Processus ARCH et GARCH . . . 25

2 Processus Conditionnellement Hétéroscédastiques 26 2.1 Modèles ARCH/GARCH . . . 27

2.1.1 La notion d’espérance conditionnelle et non conditionnelle, notion de va- riance conditionnelle et non conditionnelle . . . 28

2.1.2 Présentation du modèle ARCH/GARCH . . . 30

2.2 Extentions des modèles ARCH/GARCH . . . 39

2.2.1 Modèle GARCH-M . . . 39

2.2.2 Modèle IGARCH . . . 40

2.3 Modèle ARCH/GARCH asymétriques . . . 40

2.3.1 Modèle EGARCH . . . 41

2.3.2 Modèles GARCH à seuil : TGARCH . . . 41

2.4 Processus ARCH/GARCH et mémoire longue . . . 42

2.4.1 Processus FIGARCH . . . 42

2.5 Estimation de processus ARCH . . . 43

2.6 Rappel sur le test ARCH . . . 45

3 Simulations et Applications 46

3.1 Simulations . . . 46

Table des matières

3.1.1 Quelques simulations de processus GARCH(p,q) . . . 46

3.1.2 Simulation d’un processus avec erreur ARCH . . . 49

3.2 Applications . . . 50

3.2.1 Analyse préliminaire de la série ST . . . 50

3.2.2 Différenciation de la série ST . . . 52

3.2.3 La méthodologie de Box-Jenkins . . . 54

3.2.4 Estimation des modèles GARCH sur les résidus du modèles ARMA . . . 59

3.2.5 Validation du modèle . . . 59

Conclusion 61

Bibliographie 62

Annex 64

Table des figures

3.1 Graphiques des séries GARCH simulées . . . 47

3.2 Variance conditionnelle h

des séries GARCH simulées . . . 48

3.3 Processus bruit blanc ε

des séries simulées . . . 48

3.4 Série simulée par un modèle avec erreur ARCH(1) . . . 49

3.5 L’évolution de la série (ST) entre (1974-2017) . . . 50

3.6 Le corrélogramme de la série (ST) . . . 51

3.7 Estimation du modèle (01,02 et 03) de "ST" . . . 52

3.8 La représentation graphique et le corrélogramme de la série DST . . . 53

3.9 Estimation du modèle de "DST" . . . 54

3.10 Estimation du modèle ARMA(2,1) . . . 55

3.11 Le graphe et le corrélogramme des résidus . . . 56

3.12 Les résultats du test de Ljung-Box . . . 56

3.13 L’histogramme des résidus du modèle estimé . . . 57

3.14 Résultat du test de Jarque-Bera . . . 57

3.15 Le corrélogramme des résidus carrés ˆ ε

. . . 58

3.16 Résultat du test ARCH . . . 58

3.17 Estimation du modèle GARCH(1,1) . . . 59

Table des figures

3.18 Estimation du modèle ARCH(1) . . . 59

3.19 QQ plot du modèle GARCH(1,1) et ARCH(1) . . . 60

Liste des tableaux

3.1 Séries GARCH à simuler . . . 47

3.2 La table des critères . . . 59

Notations

T

: La tendance S

: La saisonnalité C

: Le cycle ε

: Le résidu E : Espérance v : La variance cov : La covariance

L

: Espace de Lebesgue (p=2) ACF : La fonction d’autocorrélation

PACF : La fonction d’autocorrélation Partielle i.i.d : Indépendant identiquement distribué MA : Moyenne mobile

AR : Autorégressif

ARMA : Autorégressif Moyenne mobile

SARMA : Autorégressif Moyenne mobile Saisonnier ARIMA : Autorégressif Moyenne mobile Intégré

SARIMA : Autorégerssif Moyenne mobile Intégré Saisonnier

FARIMA : Autorégressif Moyenne mobile Fractionnerement Intégré ARCH : Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique

GARCH : Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique Généralisé

GARCH-M : Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique Généralisé en moyenne IGARCH : Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique Généralisé Intégré TGARCH : Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique Généralisé à seuil EGARCH : Exponentiel Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique

Généralisé

FIGARCH : Autorégressif Conditionnelement Hétéroscédastique Généralisé Fraction-

nerement Intégré

Introduction Générale

D ans l’analyse traditionnelle de la prévision, la construction des valeurs futures pré- vues est fondée sur la moyenne conditionnelle de la série utilisée. Les méthodes classiques de prévision basées sur les processus ARMA supposent des séries tem- porelles à volatilité constante. Cette modélisation n’est pas toujours conforme à la réalité, elle néglige l’information contenue dans la partie non expliquée du processus d’évolution des séries temporelles. Ces modèles linéaires des séries temporelles n’étaient finalement fondés que sur des combinaisons linéaires de valeurs présentes et passés de chocs. Par conséquent, l’hypothèse de processus ARMA stationnaire ne permet pas de prendre en compte d’une part les mécanismes d’asymétrie et d’autre part les ruptures de forte amplitude. Les modèles GARCH ont muni à un changement fondamental à la modélisation des séries financières, et sont particulièrement annoncés pour prendre en compte les caractéristiques importantes de ces séries (stationnarité, volatilité, asymétrie, saisonnalité,...). De plus, ces processus prennent en compte dans la mo- délisation la forte leptokurticité observée dans la loi de distribution non conditionnelle de la plupart des séries financières. L’avantage de ces modèles est expliqué par le fait qu’ils sont riches de coté théorique et simple à utiliser dans la pratique. L’objet de ce mémoire est de fournir une introduction aux modéles ARCH/GARCH le plus souvent utilisés dans la modélisation des marchés financiers.

Afin de répondre à cet objet, nous articulons ce mémoire autour de trois chapitres. Dans le premier chapitre intitulé Notions de base sur les séries temporelles , nous présentons quelques rappels sur les processus stochastiques et la représentation de séries temporelles par des modèles linéaires, ses principales classes de modèles non linéaires et quelques notions utiles dans notre travail.

Dans le deuxième chapitre intitulé Processus Conditionnellement Hétéroscédastiques ,

nous étudierons les modéles ARCH/GARCH ainsi que ses propriétés de ses nombreuses exten-

sions avec quelques méthodes d’estimation (repose sur la méthode du M.V).

Introduction Générale

Enfin, dans le troisième Chapitre Simulations et Applications , on fait compléter notre travail par la mise en place de quelques simulations de processus GARCH en changeant ces différents paramètres et nous essayerons de modéliser une séries financière réelle par un modèle ARMA avec erreur GARCH.

A la fin, une conclusion générale dresse une synthèse des principaux résultats obtenus au

cours de notre travails.

1

Notions de base sur les séries temporelles

Introduction

D ans ce chapitre nous intéressons de présenter les notions générales des séries tem- porelles et ses modèles (linéaires ou non linéaires). Une série chronologique est une suite d’observations indicées par le temps ( y

, t = 1 , ..., T ). En général, dates d’obser- vation régulières : t=heure, jour, mois, année...Elle a plusieurs domaines d’application comme Finance (cours de bourse quotidiens 1992-1998), Epidémiologie (Décès mensuels dus à des maladies pulmonaires 1974-1980), Ecologie , Environnement , Météorologie , Hydrologie (Température annuelle moyenne à New Heaven 1910-1970, Evolution du rendement de blé tendre d’hiver en France 1940-2010), moyenne annuelle de la concentration en nitrates dans les eaux superficielles en Bretagne 1971-2009, le but de l’étude d’une série chronologique est analyser une phénomène et la prévision.

Depuis le début des années 1970, suite à la parution du livre Box et Jenkins , l’accent a été mis sur les modèles linéaires. Depuis une diziane d’années, devant les problèmes de mo- délisation rencontrés pour certains séries de données (les nombre de taches solaires, des séries de Biologie, des séries financières et monétaires) les modèles non linéaires ont été envisagés.

Plusieurs classes de modèles ont été abordées : Les modèles bilinéaires, Les modèles à seuils,

1.1. Introduction aux séries temporelles

Les modèles hétéroscédastiques...

1.1 ) Introduction aux séries temporelles

Définition 1.1.

Une série temporelle (ou série chronologique) est une suite de nombres réels, indexés par les entiers relatifs tels que le temps.

Pour chaque instant du temps, la valeur de la quantité étudiée X

est appelée variable aléatoire, l’ensemble des valeurs quand t varie est appelé processus aléatoire ( X

)

.

Une série temporelle est ainsi la réalisation d’un processus aléatoire.

1.1.1 ) Modélisation d’une série temporelle

La modélisation d’une série temporelle se fait à partir de la décomposition classique en fonctions des quatre éléments suivants :

1. Tendance ( T

) : mouvement à long terme (longue période).

2. Saisonnalité ( S

) : fonction périodique du temps (période courte).

3. Cycle ( C

) : cycle d’affaire, fluctuation périodique (moyenne terme).

4. Résidu ( R

) : partie irrégulière, correspondante à la notion d’écart au modèle ou encore Bruit.

D’une manière générale, on peut proposer un modèle qui représente la série temporelle étudiée en combinaison des quatre éléments précédents. Pour cela, on a trois types de modèles : Le premier est le modèle d’ajustement de forme additive ou multiplicative comme suit : X

= T

+ S

+ C

+ R

ou X

= T

S

C

+ R

.

Le deuxième type est le modèle autoprojectif , dont on suppose que X

est une fonction de ces valeurs passées et d’une perturbation aléatoire R

, ie, X

= f ( X

, X

, ... ; R

). Dans cette classe, on peut citer les modèles ARIMA, ARMA,...

Le troisième type est le plus important, c’est le modèle explicatif . Dans cette catégorie

de modèle, la variable aléatoire Y

est exprimée en fonction d’un vecteur aléatoire X

et d’une

perturbation aléatoire R

: Y

= f ( X

, R

), ou X

est soit déterministe ou aléatoire, dans ce cas

les processus ( X

)

et ( R

)

ont certains propriétés d’indépendances.

1.1. Introduction aux séries temporelles

1.1.2 ) Estimation et Elimination de la partie déterministe

Pour l’estimation, on propose deux méthodes qui sont la méthode des moindres carrée ordinaires (MCO) et la méthode de lissage par moyenne mobile (pour la tendance) et pour l’élimination, on fait recours à la méthode de différenciation.

1.1.3 ) Caractéristiques d’une série temporelle

Moyenne et variance

Soit une série temporelle stationnaire ( X

, t = 1 , ..., T ), les expressions de la moyenne et de la variance sont :

E ( X

) = 1 T

T

X

t=1

X

v ( X

) = 1 T

T

X

t=1

( X

− E ( X

))

Fonction d’autocovariance

Définition 1.2.

Soit ( X

)

un processus aléatoire de variance finie. On appelle fonction d’autocovariance γ

de X

la fonction :

γ

= cov ( X

, X

)

= E [( X

− E ( X

))( X

− E ( X

))]

Théorème 1.3.

La fonction d’autocovariance d’un processus ( X

)

stationnaire vérifie les propriétés suivantes :

— γ

= cov ( X

, X

) = E [( X

− E ( X

))

] = v ( X

) = σ

> 0

— |γ

| 6 γ

— γ

= γ

: fonction paire

1.1. Introduction aux séries temporelles

Fonction d’autocorrélation

Définition 1.4.

Soit ( X

)

un processus stationnaire. On appelle fonction d’autocorrélation ρ

la fonction : ρ

= γ

γ

, h ∈ Z

Remarque

Le graphique de la fonction d’autocorrélation est appelé corrélogramme . Théorème 1.5.

La fonction d’autocorrélation d’un processus X

stationnaire vérifie les propriétés suivantes :

— ρ

= 1

— |ρ

| 6 ρ

— ρ

= ρ

: fonction paire

Exemple

Soit le processus X

= ε

−ε

où ε

est un processus stationnaire de moyenne nulle, de variance σ

et tel que cov ( ε

, ε

) = 0 , ∀ t 6 = t

. calculons l’espérance et la variance de X

E ( X

) = E ( ε

− ε

) = E ( ε

) − E ( ε

) = 0 v ( X

) = v ( ε

− ε

)

= E (( ε

− ε

)

)

= E ( ε

) + E ( ε

) − 2 E ( ε

ε

)

= 2 σ

On recherche la fonction d’autocorrélation de X

. Pour cela, on commence par calculer la fonction d’autocovariance :

?γ

= v ( X

) = 2 σ

?γ

= cov ( X

, X

)

= E (( ε

− ε

)( ε

− ε

))

= E ( ε

ε

− ε

ε

+ ε

ε

− ε

)

= −σ

1.1. Introduction aux séries temporelles

?γ

= cov ( X

, X

)

= E (( ε

− ε

)( ε

− ε

))

= E ( ε

ε

− ε

ε

− ε

ε

+ ε

ε

)

= 0 on a donc : γ

= 0 , ∀ h ≥ 2

on a en déduit la fonction d’autocorrélation de X

:



















ρ

= 1 ρ

=

=

ρ

= 0 , ∀ h ≥ 2

Fonction d’autocorrélation Partielle

La fonction d’autocorrélation partielle est donnée par : φ

= |P

|

|P

|

où |P

| ( resp |P

| ) est le déterminant de la matrice P

( resp P

) sont données par :

P

=



















1 ρ

· · · ρ

ρ

1 · · · ρ

... ... ...

ρ

ρ

· · · 1



















P

est la matrice symétrique formés des ( h − 1) premiers autocorrélations de X

.

P

=



















1 ρ

· · · ρ

ρ

1 · · · ρ

... ... ...

ρ

ρ

· · · ρ



















P

est la matrice P

dans laquelle on a remplacé la dernière colonne par le vecteur ( ρ

, ..., ρ

)

.

1.2. Processus stochastique

Estimation des autocorrélations

Considérons un ensemble d’observations X

, ..., X

.

• La fonction d’autocovariance empirique est donnée par : ˆ

γ

= 1 T − h

T−h

X

t=1

( X

− X ¯

)( X

− X ¯

)

Remarque

Pour obtenir un estimateur sans biais c’est-à-dire :

E (ˆ γ

) = γ

quand T −→ ∞

• La fonction d’autocorrélation empirique est donnée par : ˆ

ρ

= ˆ γ

ˆ γ

1.2 ) Processus stochastique

1.2.1 ) Définitions

Définition 1.6.

Un processus stochastique est une séquence de variable aléatoire {y

, t ∈ Ω } indicées par le temps, ou t appartient à un ensemble ordonné qui correspond au temps.

• Si l’indice t prend les valeurs réelles, c-à-d, Ω ∈ R

, {y

, t ∈ Ω } est qualifié de processus stochastique continu.

• Dans le cas contraire où les valeurs prises par t sont discrètes, Ω ∈ N alors {y

, t ∈ Ω } est un processus stochastique discret.

Définition 1.7.

Un bruit blanc fort est une suite de variables aléatoires indépendants et identiquement distri- buées (iid) ( ε

)

centrées et de variances σ

. On note ( ε

)

∼ bbf (0 , σ

).

Définition 1.8.

On appelle bruit blanc faible, toute suite de v.a.r ( ε

)

centrée et de variance σ

. On note

(0

).

1.3. La notion de stationnarité

Définition 1.9.

On dit que ( X

)

est un processus linéaire de moyenne m s’il peut ˆ e tre écrit sous la forme :

X

= m +

∞

X

k=−∞

b

ε

tel que : ( ε

)

∼ iid (0 , σ

),

b

< ∞

1.3 ) La notion de stationnarité

1.3.1 ) La stationnarité au sens stricte

On dit qu’un processus aléatoire temporel X

est stationnaire au sens stricte si pour toute suite d’instants {t

, ..., t

} , il existe un entier k quelconque tel que la f.d.p (la fonction de distri- bution de probabilités) jointe f de {X

, ..., X

} est identique à la f.d.p jointe de {X

, ..., X

} ie :

f ( X

, ..., X

) = f ( X

, ..., X

)

Un processus strictement stationnaire a toutes ses caractéristiques (c-à-d ses moments) invariants dans le temps. Cette définition de la stationnarité est cependant trop restrictive, c’est pour cela que l’on à défini la stationnarité au second ordre.

1.3.2 ) La stationnarité au second ordre

On dit qu’un processus aléatoire temporel X

est stationnaire de second ordre s’il vérifie les propriétés suivantes :

1. E ( X

) < ∞, ∀ t ∈ Z 2. E ( X

) = m, ∀ t ∈ Z

3. cov ( X

, X

) = γ

, ∀ t, h ∈ Z

La propriété (2) signifie que la moyenne du processus est indépendante du temps. La condi-

tion (3) traduit le fait que la covariance entre deux périodes t et t+h est uniquement fonction

de la différence des temps h.

1.4. La notion de mémoire longue

Remarque

X ∀ t ∈ Z , ( X

)

est de carré intégrable, la stationnarité au sens stricte (forte) implique la stationnarité au second ordre (faible).

X Si le processus ( X

)

est gaussien, la stationnarité au second ordre implique la station- narité au sens stricte.

1.3.3 ) Théorème de Wold (1954)

Théorème 1.10.

Considérons un processus stationnaire X

. Il est toujours possible de décomposer X

en une composante déterministe d

et une composante stochastique u

telle que :

X

= d

+ u

avec :

u

=

∞

X

i=0

ζ

ε

où ε

est un bruit blanc, c-à-d un processus de moyenne nulle et variance constante et non autocorrélé.

1.4 ) La notion de mémoire longue

Définition 1.11.

Un processus stationnaire X

est un processus à mémoire longue s’il existe un nombre réel d (où d : le paramètre de délai et d <

) et une constante C, C > 0 vérifiant :

h→∞

lim ρ

C.h

= 1 où ρ la fonction d’autocorrélation et h le retard.

Il est possible de faire une distinction suivant la valeur de d :

∗ si d < 0 : mémoire intermédiaire, la série ρ

est absolument convergente

P

|ρ

| < ∞

1.5. Les processus linéaires

∗ si 0 < d <

: mémoire longue, la série ρ

n’est plus absolument convergente

P

|ρ

| = ∞

Par conséquent, les autocorrélations d’un processus à mémoire longue vérifiant la relation asymptotique suivante : ρ

∼ C.h

quand h → ∞ .

Les autocorrélations ρ

décriossent très lentement, c-à-d à un taux hyperbolique. Ce décroisse- ment hyperbolique des autocorrélations est à opposer au décroissement exponentiel des auto- corrélations d’un processus ARMA : ρ

≤ C.a

où C est une constante positive et 0 < a < 1.

En d’autres termes, la fonction d’autocorrélation des processus ARMA est géométriquement bornée.

1.5 ) Les processus linéaires

L’opérateur retard

L’opérateur retard, noté L, est tel que :

LX

= X

Plus généralement, on a :

L

X

= X

On constate ainsi que l’opérateur retard transforme une variable X

en sa valeur passé. Si l’on applique le polynome retard ψ (L) défini comme suit :

ψ ( L ) = 1 − ψ

L − ψ

L

− ... − ψ

L

à une série X

, on a :

ψ ( L ) X

= X

− ψ

X

− ψ

X

− ... − ψ

X

où ψ

, ..., ψ

sont des coefficients.

L’opérateur retard est linéaire et inversible. Son inverse L

= F est défini par F X

= X

est appelé opérateur avance .

1.5. Les processus linéaires

L’opérateur retard vérifie les propriétés suivantes :

— (

a

L

) X

=

a

X

—

a

L

X

+

b

L

X

=

( a

+ b

) L

X

=

( a

+ b

) X

— α

a

L

=

αa

L

où a

, b

et α sont des coefficients.

1.5.1 ) Les processus linéaires stationnaires

On va introduire une classe de processus linéaire très importante dans la modélisation des séries chronologiques à savoir les processus ARMA (Autoregressive Moving Average). Ces processus sont linéaires et sous certains conditions ils sont stationnaires. La linéarité de ces processus fournira une théorie simple de la prévision.

Processus moyenne mobile

Définition 1.12.

On appelle processus moyenne mobile d’ordre q, noté MA(q), un processus X

stationnaire vérifiant une relation de type :

X

= ε

− θ

ε

− ... − θ

ε

où les θ

( i = 1 , ..., q ) sont des réels et ( ε

)

∼ bb (0 , σ

)

En introduisant l’opérateur retard, la relation précédente peut encore s’écrire :

X

= (1 − θ

L − θ

L

− ... − θ

L

) ε

Soit encore :

X

= θ ( L ) ε

avec

θ ( L ) = 1 − θ

L − θ

L

− ... − θ

L

1.5. Les processus linéaires

Remarque

Par définition, un processus MA(q) stationnaire et causal.

Si le polynome θ a toutes ses racines à l’extérieur du disque unité, alors on peut inverser ce polynome et écrire MA(q) sous la forme AR( ∞ ) :

ε

= θ

( L ) X

=

i=0

υ

X

avec υ

= 1 et

|υ

| < ∞

Autocovariance et autocorrélation

La fonction d’autocovariance d’un processus MA(q) est donnée par :

γ

= cov ( X

, X

) =











σ

θ

θ

si 0 ≤ k ≤ q

0 si k > q

où : θ

= 1

Démonstration.

On a

γ

= cov ( X

, X

) = E ( X

X

) − E ( X

) E ( X

) et

E ( X

) = E ( X

) = 0 ( car E ( ε

) = 0 ) donc

γ

= E ( X

X

) = E [(

q

X

i=o

θ

ε

)(

q

X

j=o

θ

ε

)]

= E [

q

X

i=o q

X

j=o

θ

θ

ε

ε

]

=

q

X

i=o q

X

j=o

θ

θ

E ( ε

ε

)

=









 Pq−|k|

i=o

θ

θ

σ

si i = j − k

0 sinon

1.5. Les processus linéaires

=











σ

θ

θ

si 0 ≤ k ≤ q

0 si k > q

∗ Si k=0 alors :

γ

= σ

q

X

i=o

θ

= σ

(1 + θ

+ θ

+ ... + θ

) La fonction d’autocorrélation d’un MA(q) est donnée par :

ρ

= γ

γ

=











θ_k+θ1θ_k+1+...+θq−kθq

1+θ²₁+θ₂²+...+θ_q²

si 0 ≤ k ≤ q

0 si k > q

Propriété 1.13.

Pour un processus MA(q), ρ

= 0 , ∀ k > q . En d’autres termes, les autocorrélations s’annulent à partir du rang q+1. Cette propriété fondamentale nous permet ainsi d’identifier l’ordre q des processus MA.

Les processus autoregressifs

Définition 1.14.

On appelle processus autoregressif d’ordre p, noté AR(p), un processus stationnaire X

vérifiant une relation de type :

X

= φ

X

+ φ

X

+ ... + φ

X

+ ε

où les φ

( i = 1 , ..., p ) sont des réels

et ε

∼ bb (0 , σ

)

En introduisant l’opérateur retard, la relation précédente peut s’écrire :

φ ( L ) X

= ε

avec

φ ( L ) = 1 − φ

L − φ

L

− ... − φ

L

1.5. Les processus linéaires

Remarque

Par définition, le processus AR(p) est inversible.

Si le polynome φ a toutes ses racines à l’extérieur du disque unité, alors on peut inverser ce polynome et écrire AR(p) sous la forme MA( ∞ ) :

X

= φ

( L ) ε

=

i=0

ϕ

ε

avec ϕ

= 1 et

|ϕ

| < ∞

Autocorrélation et équations de Yulle -Walker

Soit ( X

)

un processus AR(p) vérifiée l’équation :

X

= φ

X

+ φ

X

+ ... + φ

X

+ ε

on a :

γ

= cov ( X

, X

) = E ( X

X

) − E ( X

) E ( X

)

= E ( X

X

)

car : E ( X

) = E ( X

) = 0 [AR(p) possède une représentation MA( ∞ )]

alors :

γ

= φ

E ( X

X

) + ... + φ

E ( X

X

) + E ( ε

X

)

= φ

γ

+ ... + φ

γ

+ E ( ε

X

) avec

E ( ε

X

) =











σ

si k = 0 0 sinon donc

γ

=











φ

γ

+ ... + φ

γ

si k = 1 , ..., p

φ

γ

+ ... + φ

γ

+ σ

si k = 0

1.5. Les processus linéaires

D’où, en notant ρ

=

, la fonction d’autocorrélation d’un AR(p) est finalement donnée par :

ρ

=

i=1

φ

ρ

, ∀k > 0

Les autocorrélations d’un processus AR(p) sont ainsi décrites par une équation de récurrence linéaire d’ordre p. En écrivant cette relation pour différentes valeurs de k (k=1,...,p), on obtient les équations de Yulle -Walker :



















ρ

ρ

...

ρ



















=



















1 ρ

ρ

· · · ρ

ρ

1 · · ·

... ρ

ρ

... 1





































φ

φ

...

φ



















Autocorrélations Partielles

Il est possible de calculer les autocorrélations partielles du processus AR à partir des équa- tions de Yulle -Walker.

Propriété 1.15.

Pour un processus AR(p), φ

= 0 , ∀ k > p . En d’autres termes, les autocorrélations partielles s’annulent à partir du rang p+1. Cette propriété fondamentale dans la mesure où elle sert à identifier l’ordre p des processus AR.

Processus ARMA(p,q)

Définition 1.16.

Un processus stationnaire X

suit un processus ARMA(p,q) s’il vérifie la relation suivante :

X

− φ

X

− φ

X

− ... − φ

X

= ε

− θ

ε

− ... − θ

ε

où les coefficients φ

( i = 1 , ..., p ) et θ

( j = 1 , ..., q ) sont des réels et ε

∼ bb (0 , σ

)

En introduisant l’opérateur retard, la relation précédente s’écrit :

φ ( L ) X

= θ ( L ) ε

1.5. Les processus linéaires

φ ( L ) = 1 − φ

L − φ

L

− ... − φ

L

et θ ( L ) = 1 − θ

L − θ

L

− ... − θ

L

Remarque

Un processus ARMA(p,q) stationnaire si le polynome φ a toutes ses racines à l’extérieur du disque unité et inversible si le polynome θ a toutes ses racines à l’extérieur du disque unité.

En conséquent, si φ et θ a toutes ses racines à l’extérieur du disque unité, on peut écrire un processus ARMA(p,q) :

~ Soit sous la forme MA( ∞ ) :

X

= θ ( L )

φ ( L ) ε

=

i=0

ϕ

ε

avec ϕ

= 1 et

|ϕ

| < ∞

~ Soit sous la forme AR( ∞ ) :

ε

= φ ( L )

θ ( L ) X

=

i=0

υ

X

avec υ

= 1 et

|υ

| < ∞

Les propriétés des autocovariances

La fonction d’autocovariances d’un processus ARMA(p,q) est donnée par :

γ

=









 Pp

i=1

φ

γ

pour k ≥ q + 1

Pp

i=1

φ

γ

+ σ

θ

ϕ

pour 0 ≤ k ≤ q Démonstration.

Soit ( X

)

un processus ARMA(p,q) de représentation causal, il admet alors la représentation MA( ∞ ) :

X

=

i=o

ϕ

ε

on a :

γ

= cov ( X

, X

) = E ( X

X

) − E ( X

) E ( X

)

et ona : E ( X

) = E ( X

) = 0 [D’après l’écriture MA( ∞ )]