Semaine 37- Séance 1
LOIS GENERALES DE L’ELECTROCINETIQUE
Exercice 1: Loi des nœuds Objectif :
Appliquer les lois de Kirchhoff dans des circuits simples.
Déterminer la valeur de i4 sur tous les schémas suivants.
Exercice 2: Loi des mailles
Calculer les valeurs des tensions U2.
Exercice 3: Etude de circuits simples par les lois de Kirchhoff
Déterminer la grandeur électrique demandée dans chacun des cas suivants. On vérifiera la pertinence du résultat : dimension, signe, ordre de grandeur.
Ex.1 App.1 Ex.2
App.2 Ex.3
App.3 App.4
Réponse : 0,5 A dans le sens trigonométrique
1kΩ 4kΩ 2kΩ
M
A
2V 4V
i2?
2R R
2R E
i? A
E R1
E1 B 10Ω 10 V
15 V i?
P3 TD 2017/2018
A rédiger pour la semaine 38 – Séance 2 Exercice C1: Réseau a deux sources
1) Ecrire la loi des mailles pour chacune des trois mailles. Ces relations sont-elles indépendantes, ou bien sont-elles liées par une combinaison linéaire ?
2) Déterminer par les lois de Kirchhoff, la tension U aux bornes de la résistance R du circuit ci-contre (on exprimera U en fonction de toutes ou partie des caractéristiques des composants : E,R1,R2,R,I0).
Semaine 38- Séance 2 Exercice 4: Mesures d’intensité et de tension
Objectif : Savoir brancher des appareils de mesure électrique.
On s’intéresse au troisième schéma de l’exercice 3.
1) Où positionner l’ampèremètre pour mesurer l’intensité du courant i dans la résistance 2R ? dans le générateur de fém E ?
2) Où positionner le voltmètre pour mesurer la tension aux bornes de la résistance R ? de la résistance 2R extérieure ?
Exercice 5: Incertitudes en électricité
Objectif : Evaluer des incertitudes, comme il sera pratiqué en TP.
On mesure une résistance par deux méthodes.
Deux types d’erreur entachent cette mesure : l’erreur systématique et l’erreur aléatoire. Le calcul d’incertitude n’évalue pas l’erreur systématique.
Voici deux méthodes d’évaluation de l’incertitude associée à l’erreur aléatoire.
1ère méthode : Incertitude sur une mesure
On mesure U, on mesure I. On en déduit R sans arrondis. Le calcul d’incertitudes va nous permettre de déterminer le bon nombre de chiffres significatifs.
A l’aide de la notice, on détermine les incertitudes ∆U et ∆I.
Par la formule de propagation des incertitudes, on en déduit ∆R.
On conclut en faisant la synthèse des résultats tenant compte du bon nombre de chiffres significatifs.
Application : Le voltmètre APPA97 indique tension (en volts) : 1 5 . 6 8 L’ampèremètre M9803R indique intensité (en mA) : 2 2 3 . 8
Les notices indiquent : Calibre Précision
APPA97 32 V ± (0.5% rdg + 2d) M9803R 400 mA ± (0.8% rdg + 5d) Calculer R et son incertitude.
2ème méthode : Incertitude déterminée à partir de plusieurs mesures
n groupes de TP font chacun une mesure de U et I pour une même résistance. On calcule ainsi n valeurs de R. On constate une dispersion des résultats. On écarte les valeurs aberrantes.
La valeur expérimentale affectée à R est la moyenne des n mesures : R = . L'incertitude de répétabilité associée à la mesure - pour un niveau de confiance de 95 % - est : = √ , où sR est l’estimateur de l’écart-type de la série de mesures (voir cours de mathématiques).
Synthèse des résultats.
Application : Tableau des 14 mesures et valeurs statistiques
Binôme 1 2 3 4 5 6 7
U(V) 4,525 8,332 12,35 0,436 1,025 2,036 3,587
I(A) 0,06490 0,1190 0,1738 0,006228 0,01430 0,02856 0,07254 R(Ω) 69,723 70,017 71,059 70,006 71,678 71,289 49,449
Binôme 8 9 10 11 12 13 14
U(V) 5,243 6,287 7,853 8,003 9,451 10,57 11,26
I(A) 0,07502 0,08979 0,1116 0,1168 0,1301 0,1523 0,1611 R(Ω) 69,888 70,019 70,367 68,519 72,644 69,402 69,894
R moyenne 68,854
5,6795637 Estimateur écart-type
ECARTTYPE.S.
Calculer R et préciser l’intervalle et le niveau de confiance de ce résultat.
Exercice 6: Application des lois de Kirchhoff
Objectif : Savoir analyser qualitativement un circuit, et y appliquer les lois de Kirchhoff.
Soit le réseau linéaire représenté ci-dessous. L’interrupteur K est ouvert.
A.N.: E1 = 8 V R1 = 8 kΩ R3 = 4 kΩ E2 = 16 V R2 = 8 kΩ
1) Déterminer l'intensité et le sens conventionnel du courant traversant R3. 2) Calculer la tension U entre les bornes A et B. Vérifier la pertinence du
résultat (dimension, ordre de grandeur).
3) Question libre : l’interrupteur K étant fermé, déterminer l’intensité et le sens du courant dans K.
A rédiger pour la semaine 39 – Séance 3 Exercice C2:Préparation du TP « Mesures de résistance »
Semaine 39- Séance 3 Exercice 7: Association de résistances
Objectif : Obtenir une résistance de valeur donnée grâce aux associations de résistance.
On souhaite utiliser dans un montage une résistance de 180 Ω et on dispose uniquement de trois résistances de 120 Ω.
Expliquer comment procéder en réalisant un schéma électrique du montage.
Exercice 8:
Distribution des potentiels dans un circuit
Objectif : Expliquer le comportement d’un circuit par l’étude des potentiels.
On s’intéresse au schéma App.2 de l’exercice 3.
On rappelle que i2 = -0,57 mA.
Le point M est choisi comme masse du circuit, ce qui signifie que, par convention, le potentiel en M est nul.
Calculer les différentes valeurs de potentiel dans le circuit. En déduire les sens conventionnels des différents courants.
Exercice 9: Montage amplificateur non inverseur
Le montage ci-après est constitué d’un amplificateur opérationnel et de deux résistances. L’amplificateur est alimenté sous les potentiels +Vcc et – Vcc. Les courants d’entrée i+ et i- sont nuls ; et la tension différentielle ε = V+ - V- est également nulle.
1) Analyse qualitative : Comparer les courants dans R1 et dans R2. Combien y a- t-il de valeurs de potentiel dans le montage ?
2) Appliquer la loi des mailles au parcours : M1,E,E-,E+,M1 3) Appliquer la loi des mailles au parcours : M1,E,E-,S,M2,M1
4) Des questions précédentes, déduire que Us = K Uc, où K ne dépend que de R1
et R2. Vérifier l’homogénéité du résultat.
5) Justifier le nom du montage
P3 TD 2017/2018
A rédiger pour la semaine 40 – Séance 4 Exercice C3: Analyse qualitative du comportement d’un circuit
Dans les montages ci-dessous, les caractéristiques des composants R1,R2,R3,E,η sont positives.
Répondre aux questions 1 à 7 pour chacun des montages représentés ci-dessous.
Schéma A Schéma B
Analyse qualitative (sans calculs) :
1) Combien y-a-t-il de valeurs d’intensité ? Justifier par coloriage du schéma.
2) Combien y-a-t-il de valeurs de potentiel ? Justifier par coloriage du schéma.
3) Quels sont les sens conventionnels des différents courants ? 4) Classer les différents potentiels.
Analyse quantitative :
5) Déterminer en fonction de R1,R2,R3,E,η l’intensité du courant dans chaque composant.
6) Choisir une masse, puis exprimer en fonction de R1,R2,R3,E,η les différents potentiels dans le circuit.
7) Les résultats obtenus sont-ils bien en accord avec l’analyse qualitative ?
Semaine 40 - Séance 4
RESEAUX LINEAIRES
Exercice 10: Puissance électrique maximale fournie par un générateur A quoi sert d’avoir un générateur de puissance
nominale 20 W si on l’utilise dans des conditions où il ne peut fournir que 2 W à la charge qui lui est connectée ?
Dans cet exercice on étudie à quelle condition sur la charge un générateur peut fournir un maximum de puissance à celle-ci.
Un générateur de f.é.m. E et de résistance interne r débite sur une charge R réglable.
1) Remplacer le générateur par son modèle équivalent de Thévenin.
2) Exprimer en fonction de E, R et r, l’intensité dans la maille puis la puissance électrique absorbée par la charge. Vérifier l’homogénéité.
3) Pour quelle valeur de R la charge R reçoit-elle un maximum de puissance de la part du générateur ? Calculer cette puissance maximale. Vérifier l’homogénéité.
4) Tracer en fonction de R les variations de la puissance
P
absorbée par R.Exercice 11: Détecteur de flamme
Objectif: Concevoir un détecteur de flamme. Les composants seront choisis par étude de leur caractéristique.
« Comme d’habitude », on prévoira le comportement du montage avant tout calcul ; puis, après ceux-ci, on contrôlera la cohérence des résultats : dimension, ordres de grandeur.
Documents :
Figure 2 : Caractéristique d’une photodiode
● dans l’obscurité ● en présence d’un rayonnement infrarouge.
Figure 3 : Caractéristique de transfert d’un comparateur simple Figure 5 : Caractéristique d’une diode électroluminescente (DEL)
Figure 1 Figure 2
Figure 3 E
R2
R1 R3
A B
1k 2k 10V
100k
Figure 4 Figure 5 Questions :
1) Bloc 1 (figures 1 et 2) : Comparer VA et VB :
● dans l’obscurité ● en présence d’infrarouge.
2) Bloc 2 (figure 3) : A partir de la figure 3, expliquer le fonctionnement du comparateur.
3) Bloc 3 (figures 4 et 5) : Que se passe-t-il ● si VC = +10 V ?
● si VC = -10 V ? Quel est le rôle de RP ? Quelle valeur peut-on lui donner ?
4) Un détecteur de flamme déclenche un signal (sonore ou lumineux) en présence d’une source infrarouge anormale. Comment agencer nos trois blocs ci-dessus afin de réaliser un tel système ? Expliquer en quelques lignes.
A rédiger pour la semaine 41 – Séance 5 Exercice C4: Préparation du TP « Caractéristiques de dipôles »
Semaine 41- Séance 5 Exercice 12: Théorème de l’équivalence Thévenin / Norton
Le modèle de Norton convient bien aux calculs d’intensité. Le modèle de Thévenin convient bien aux calculs de tension.
Dans les deux montages ci-dessous, Ru = R.
A l’aide de ce théorème, déterminer :
• dans le réseau 1, l’intensité dans Ru ;
• dans le réseau 2, la tension aux bornes de Ru.
Réseau n°1 Réseau n°2
Exercice 13: Mise au point d’une chaîne d’acquisition de position
Dans cette étude, on veut repérer la longueur du ressort. La mesure de position se fait en utilisant une éprouvette contenant une solution de sulfate de cuivre avec des électrodes en cuivre. Celle-ci se comporte comme une résistance R. Elle dépend de la concentration de la solution et de la distance entre les électrodes. L’électrode mobile est mécaniquement reliée à l’extrémité du ressort. Elle mesure la tension UAM, qu’on peut lire sur le voltmètre V supposé idéal.
Rp
C DEL Vmax = 3V
Pmax = 100 mW
P3 TD TRAVAUX DIRIGES 2017/2018
On vérifiera systématiquement l’homogénéité des relations trouvées.
Schéma électrique équivalent du montage :
1) Déterminer le modèle de Thévenin (eT,RT) du réseau à gauche de B et M.
2) Exprimer U en fonction de eT, RT, R.
A.N. :
E = 5 V ; R = 300 Ω. R1 = 1 kΩ ; R2 = 10 kΩ ; On intercale dans le circuit un montage suiveur. Ce montage est alimenté sous deux potentiels +Vcc
et –Vcc. Il a deux propriétés remarquables :
• La tension de sortie et la tension d’entrée sont égales : ue = us.
• Le courant d’entrée i+ est nul.
Schéma équivalent avec suiveur : 3) Exprimer U en fonction des
caractéristiques des composants.
Faire l’application numérique.
4) Citer deux intérêts de l’introduction du montage suiveur.
A rédiger pour la semaine 42 – Séance 6 Exercice C5: Modèle équivalent de Norton
I. Deux générateurs en parallèle ont respectivement pour f.é.m. e1, e2, et pour résistances internes R1, R2
(figure 1). Les fils de jonction sont de résistance négligeable.
Données numériques : e1 = e2 = 10 V R1 = R2 = 1,0 kΩ. I.1) Exprimer, en fonction de e1, e2, R1 et
R2, l’intensité i du courant qui circule dans le circuit.
A.N. : Calculer l’intensité i.
R1
B
A i
C
Figure 1
e1
R2
e2 0
0
I.2) Le dipôle CB de ce circuit électrique est équivalent à un générateur de Norton (ηN, rN).
Exprimer ηN et rN en fonction de e1, e2, R1 et R2. A.N. : Calculer ηN et rN.
II. On branche une résistance R aux bornes C et B du circuit, (figure 2).
II.1) Exprimer, en fonction de e1, e2, R1, R2
et R, l’intensité i’ du courant qui circule dans la résistance R.
A.N. : R = 9,0 kΩ. Calculer i’.
II.2) Calculer :
• la puissance fournie par chacun des générateurs (e1,R1) et (e2,R2).
• La puissance absorbée par R.
R1
B
A
C
Figure 2
e1
R2
e2
i'
R
Comment vérifier la cohérence de ces résultats ?
NOMBRES COMPLEXES
PLAN COMPLEXE
a tan b
z cos a
z sin b
z Arg et
b . j a z
= θ
⇒
= θ
= θ
= θ +
=
-1 + 1
-j +j
sin θ
c os θ R=1
b z
a θ
LA FONCTION ARCTANGENTE
-1/2 π -1/4 π 0 1/4 π 1/2 π
-10 -5 0 5 10
Arctan x
Elle prend ses valeurs entre 2
−π et 2 +π.
FORMULAIRE
j² = -1 z = a + jb z = a2+b2 Si a > 0 :
a z Arctanb Arg =
Formule d’Euler : ejθ = cosθ + j sinθ ejθ =1 et Arg ejθ = θ
Si z=A.ejB (A>0), alors : |z| = A et Arg z = B z= zejArgz Complexe conjugué : z* = a - jb z* = z Arg z* = - Arg z
2 1 2
1 z z z
z • = • Arg (z1z2) = Arg z1 + Arg z2 (z1z2)*=z1*z2*
2 1 2 1
z z z
z = 1 2
2
1 Arg Arg
Arg z z
z
z = −
* 2
* 1 2
1
* z z z
z =
P3 TD 2017/2018
RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE
Semaine 42- Séance 6 Exercice 14: Tension, intensité, impédance et déphasage (2)Trois dipôles R = 820 Ω ; L = 0,300 H et C = 0,470 µF sont associés en série.
L’intensité a pour équation horaire : = 7,00.10 cos − . La fréquence vaut 800 Hz.
Déterminer : 1) l’impédance Z du dipôle RLC ;
2) le déphasage ϕ de u par rapport à i (u est la tension aux bornes du dipôle RLC) ;
3) la tension u aux bornes du dipôle RLC.
Exercice 15: Réseau à deux mailles
Dans le circuit ci-contre, les deux sources délivrent des tensions sinusoïdales u1(t) et u2(t), de même fréquence. Les impédances complexes y sont indiquées en ohms.
= 50"# $%&'( et ) = 50"#$%
Calculer l’intensité complexe i.
A rédiger pour la semaine 43/44 – Séance 7 Exercice C6: Préparation du TP « Montages à amplificateur opérationnel »
Semaine 43 – Séance 7 Exercice 16: Etude d’un oscillogramme
On réalise le montage représenté sur la figure 1, qui comporte un résistor de résistance 10 Ω, une bobine d’inductance L et de résistance négligeable, et un condensateur de capacité C. L’ensemble est alimenté par un générateur fournissant une tension alternative sinusoïdale de fréquence f.
L
voie 1 voie 2
R M
P
C
A i
Figure 1
L’oscillogramme obtenu est reproduit figure 2.
Figure 2
1) Déduire de l’oscillogramme les valeurs de la fréquence f, de l’impédance Z du dipôle (P,M) et du déphasage ψ de l’intensité i par rapport à la tension
appliquée aux bornes de tout le circuit.
2) Donner l’expression numérique de l’intensité instantanée i(t) et de la tension instantanée uPM(t) en fonction du temps.
3) Déterminer en fonction de R,L,C,ω, les expressions littérales de l’impédance complexe Z et de ψ.
C = 20 µF. En déduire la valeur de L.
4) Calculer les impédances de R, de L, de C. Comparer la somme de ces trois impédances à l’impédance Z calculée au 1).
u1 u2
50 -50j
30+40j
i vitesse de balayage: 2,5 ms/div
voie 1: 5V/div voie 2: 5V/div
Exercice 17:
Phénomène de surtension
Un générateur entretient aux bornes d'un dipôle RLC série une tension alternative sinusoïdale u(t).
On donne : f = 650 Hz Umax = 10 V
R = 10 Ω L = 60 mH C = 0,5 µF
1) On veut visualiser à l’oscilloscope la tension aux bornes du générateur et la tension aux bornes du condensateur. Indiquer les branchements de l’oscilloscope.
2) Calculer l’amplitude Ucmax de la tension aux bornes du condensateur.
Commenter.
A rédiger en préparation à l’IS - Semaine 45 Exercice C7: Résolution d’une maille
Ce circuit RC est alimenté en régime sinusoïdal par un générateur de f.é.m. e(t)=Emaxcosωt.
R C
e(t) s(t)
1) Quelle est, en régime permanent, la tension s(t) aux bornes du condensateur ? 2) Préciser l’expression de l’amplitude de s(t) et du déphasage de s par rapport à
e. Faire l’analyse dimensionnelle de ces résultats.
Exercice C8:Détermination des éléments d’une bobine
Pour déterminer la résistance et l’inductance d’une bobine, on effectue les deux essais suivants :
• Alimentée sous la tension continue E = 10 V, la bobine est traversée par un courant continu d’intensité I0 = 1 A.
• Alimentée sous la tension u(t) = 10cos100πt (en V), elle est traversée par un courant d’amplitude Imax = 0,3 A.
En exploitant ces deux expériences, déterminer le schéma équivalent série de cette bobine.
Semaine 46 – Séance 8 Exercice 18: Résolution d’un réseau en représentation complexe
Le circuit ci-contre est alimenté par une source de tension sinusoïdale
t U
t
u()= maxcosω et de fréquence f = 50Hz.
1) Quelle est la représentation complexe de u(t) ? Donner en fonction de R,L,C,ω,u : les expressions des grandeurs instantanées complexes iC, iL. En déduire les amplitudes ICmax, ILmax ainsi que les déphasages respectifs ψC, ψL de ces courants par rapport à u.
Application numérique.
2) De même, donner l’expression littérale de i ; puis de l’amplitude Imax et du déphasage ψ de ce courant par rapport à u.
On donne: Umax = 12 V ; C = 1 µF ; L = 100 mH ; R = 200 Ω. Exercice 19: Théorème en représentation complexe
BUT : Appliquer Thévenin – Norton en complexes ; analyse dimensionnelle en sinusoïdal.
Données : Emax = 120 V ; f = 50 Hz L = 12,8 mH ; C = 50 µF ; Z = 5 + 4j
1) Par un calcul littéral, déterminer le modèle équivalent de Thévenin du dipôle MN vu de Z.
Faire l’analyse dimensionnelle des résultats
Effectuer l’application numérique.
2) Déterminer, par un calcul numérique uniquement, la tension instantanée u(t) aux bornes de Z.
C
e(t) u(t) Z
L
~
M
N
P3 TD 2017/2018
FILTRAGE
A rédiger pour la semaine 47 – Séance 9 Exercice C9: Préparation du TP « Analyse et transformation d’un son »
Semaine 47 – Séance 9 Exercice 20: Filtre inductif
BUT : Déterminer les propriétés d’un filtre.
Le dipôle R,L ci-dessous fonctionne en régime sinusoïdal forcé.
1) Déterminer sa fonction de transfert
* =++(
, en fonction de R, L et ω. Quel est l’ordre de cet opérateur ?
2) Déterminer la bande passante à – 3 dB de ce filtre. En déduire la nature de celui-ci.
3) La nature de ce filtre n’aurait-elle pas pu être identifiée plus simplement, sans calcul ?
Exercice 21: Phénomène de résonance BUT : Lien entre filtrage et résonance.
Soit l’opérateur ci-dessous, constitué de composants parfaits. Le montage est alimenté par une tension sinusoïdale v2 de pulsation ω.
1) Déterminer la fonction de transfert - =../( en fonction de R,R3,L,C,ω.
2) Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme canonique
− +
=
x x jQ K A
1 1
0 .
x est la pulsation réduite ; A0 un réel ; et Q le facteur de qualité du système.
On déterminera les expressions de A0, Q et x.
En déduire l’ordre de l’opérateur et la pulsation propre ω0 du système.
3) Montrer que |K| passe par un maximum pour une valeur de x que l’on déterminera. On dit alors que l’opérateur est à la résonance.
4) Tracer l’allure des variations de |K| en fonction de la pulsation ω. Quelle est la nature du filtre ?
5) On s’intéresse à la bande passante du filtre ∆ω exprimée en pulsations.
Déterminer ∆ω en fonction de la pulsation propre ω0 et du facteur de qualité Q du système.
Méthode : on ne cherchera pas à déterminer les deux pulsations de coupure, mais, directement la différence 01 − 0.
6) Commenter l’allure de la courbe tracée au 4) en fonction des valeurs de Q.
u2 R
u1 L
A rédiger pour la semaine 48 – Séance 10 Exercice C10: Etude d’un oscillogramme
BUT : Déterminer les éléments d’une bobine et d’un condensateur à partir de leur comportement en régime sinusoïdal forcé.
Le circuit représenté sur la figure 1 est branché aux bornes d’un générateur délivrant une tension alternative sinusoïdale u de pulsation ω.
1) Exprimer, en fonction de r,r1,L,C,ω, le déphasage de uAD par rapport à uBD.
2) On observe sur l’écran les courbes de la figure 2.
Le balayage horizontal est réglé sur 2 ms.div-1.
La sensibilité verticale est:
2 V.div-1 pour la voie 1;
0,2 V.div-1 pour la voie 2.
Que vaut le déphasage de uAD par rapport à uBD ? En déduire la résistance r de la bobine.
3) La bobine est remplacée par une résistance de même valeur r.
On observe sur l’écran les courbes de la figure 3, avec les mêmes réglages que précédemment pour l’oscilloscope.
a) La tension uAD est elle en avance ou en retard de phase par rapport à uBD ? Pouvait- on prévoir ce résultat ? Justifier.
b) En utilisant l’oscillogramme, calculer le déphasage θ de la tension uAD par rapport à uBD. Ecrire numériquement les équations horaires uAD(t) et uBD(t).
Figure 1 Y Y
2
1
Figure 2
Figure 3
c) Calculer des valeurs approchées de L et de C.
Semaine 48 – Séance 10 Exercice 22: Gestion économique de la distribution de l’énergie électrique
EDF propose plusieurs types d’abonnement aux usagers de l’énergie électrique, dont l’abonnement « EDF Tempo ».
Dans ce cadre, l’abonné se voit facturer l’énergie au prix fort pendant les périodes de grande consommation, tandis qu’il bénéficie d’un tarif réduit pendant le reste du temps. EDF prévient l’usager d’un changement de tarif en injectant un signal, dit « signal d’alerte », sur le réseau.
A la tension simple du secteur u(t) , de valeur efficace 240 V et de fréquence 50 Hz, EDF superpose pendant un bref instant, un signal s(t) dit signal d’alerte, de fréquence 175 Hz et d’amplitude égale à 1% de l’amplitude du signal 50 Hz u(t). Ce procédé avertit l’usager que le tarif du kWh va changer dans les heures qui suivent.
Le problème porte sur le traitement de la tension S(t) = u(t) + s(t) délivrée de façon à détecter le signal d’alerte.
I Etude du transformateur
Un transformateur est un appareil permettant de modifier la tension efficace du signal reçu, avec un rendement énergétique proche de 100%.
Données : Relation entre la valeur efficace d’une tension sinusoïdale et son amplitude :
2 Umax
Ueff =
Rapport de transformation du transformateur :
30 1
1 =
=
eff eff
S S m
Si on néglige le signal d’alerte s(t), la valeur efficace de S(t) est égale à 240 V.
Calculer la valeur efficace de S1(t).
A Y1
Y2 C
(L ; r) B
D r1= 20Ω
Y Y 2
1
P3 TD 2017/2018
II Etude du FILTRE 1
On pose : S(t) = A cos(100πt) + B cos(350πt) et S1(t) = A1 cos(100πt) + B1 cos(350πt) 1) Calculer numériquement A1 et B1 ; puis représenter le spectre du signal S1(t).
2) La fonction de transfert complexe du filtre 1 est de type :
( )
1 1
1 ωωωω ω
j Kj j
T
+
= .
2.1 A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la nature du filtre. Que représente ω1 pour ce filtre ?
2.2 Le diagramme de Bode GdB(f) est représenté ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de la pulsation de coupure à -3 dB, et en déduire la bande passante.
2.3 Après filtrage, la tension de sortie s’écrit : S2(t) = A2 cos(100πt + ΦA2) + B2 cos(350πt + ΦB2). ΦA2 et ΦB2 sont les termes de phase à l’origine, non étudiés ici.
Déterminer les amplitudes des différentes composantes du signal de sortie S2(t), puis représenter le spectre des amplitudes en sortie.
2.4 Calculer le rapport
2 2
A B .
III Etude du filtre 2 (réalisation analogique)
1) Exprimer en fonction de R,L,C,ω, la fonction de transfert T2(jω) du filtre 2, définie par :
( ) ( ) ( )
j tS t j j S
T ω
ω ω
2 3
2 = .
2) A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la nature du filtre. Déterminer, en fonction de R,L,C, une pulsation ω2 caractérisant ce filtre, ainsi qu’un autre paramètre remarquable de celui-ci.
3) On donne ci-dessous les abaques de ce type de filtre. On y porte en abscisse la pulsation réduite ωω2
=
x et en ordonnée le gain en décibels.
m est un paramètre lié au facteur de qualité par : m Q
2
= 1 . On choisit m = 0,05 et f2 = 175 Hz.
Après filtrage, la tension de sortie s’écrit : S3(t) = A3 cos(100πt + ΦA3) + B3 cos(350πt + ΦB3).
Déterminer les amplitudes des différentes composantes du signal de sortie S3(t), puis représenter le spectre des amplitudes en sortie.
4) Calculer le rapport
3 3
A B .
5) Par rapport à la problématique : Rendre le signal d’alerte détectable, expliquer le sens du traitement effectué.
A rédiger pour la semaine 49 – Séance 11 Exercice C11: Préparation du TP « Diagrammes de Bode »
P3 TD 2017/2018
Semaine 49 – Séance 11 Exercice 23: Filtre de Hartley
On réalise le montage ci-dessous :
1) Etablir sa fonction de transfert H
( ) ( )
jω =es( )
jjωωtt en fonction de R,L,C,ω
.2) A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la nature du filtre. Déterminer, en fonction de R,L,C, une pulsation ω0
caractérisant ce filtre, ainsi qu’un autre paramètre remarquable de celui-ci.
3) La courbe de gain du diagramme de Bode a l’allure représentée ci-dessous.
3.a Par une étude asymptotique, déterminer les pentes des portions linéarisées de la courbe.
3.b Dans le cas où L = 1,0 mH, C = 100,0 nF, R = 100 kΩ, déterminer les valeurs numériques des coordonnées du maximum.
3.c Déterminer la bande passante à – 3 dB du filtre.
A rédiger pour la semaine 50 – Séance 12 Exercice C12: Etude d’un filtrage
Le réseau ci-dessous est constitué de deux résistances, d’un condensateur et d’un amplificateur opérationnel idéal ADI2 fonctionnant en régime linéaire.
Dans un premier temps, la tension d’entrée imposée ue(t) est sinusoïdale, de pulsation ω.
On rappelle que pour un amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire :
Les courants d’entrée i+ et i- sont nuls.
La tension différentielle V+ - V- est nulle.
1) Déterminer l’admittance complexe équivalente Y25 aux dipôles C2 et R5. 2) Par l’écriture de deux lois des mailles, exprimer la fonction de transfert
2 j =++4
5 en fonction de R4 et Y25. En déduire que T(jω) a pour expression : 2 j =6
7 ,
89&:;($ .
3) A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier l’ordre et la nature du filtre. Déterminer, en fonction de R4,R5,C2 la pulsation de coupure ωc de ce filtre, ainsi qu’un autre paramètre remarquable de celui- ci.
4) Donner l’expression de T en continu (ω = 0). En déduire T0 et G0 les expressions du module de T et du gain en décibels en régime continu.
A.N. : R4 = 9,6 kΩ et R5 = 10 kΩ. Calculer T0 et G0.
5) Quel est le schéma équivalent d’un condensateur en très haute fréquence (ω → +∞) : fil ou interrupteur ouvert ? Justifier. En déduire la valeur de us(t).
6) D’après le diagramme de Bode ci-dessous, déterminer graphiquement la fréquence de coupure fc.
7) On applique à présent en entrée du filtre une tension u4(t) de la forme : u4(t) = Um + Û41sin(ωt + Φ1) + Û42sin(2ωt + Φ2) + Û43sin(3ωt + Φ3) Représenter l’allure du spectre d’amplitudes de u4(t).
Comment s’appelle le premier terme ? le second terme ?
8) Sachant que ω >> ωc, comment le filtre modifie-t-il la tension u4(t) ? En ne tenant compte que des résultats des questions 3) et 4), représenter le spectre d’amplitudes de la tension de sortie du filtre, qu’on notera u5(t).
Donner l’expression analytique de u5(t). Représenter l’allure de son chronogramme (courbe u5 en fonction du temps).
-19 -17 -15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1
0,001 0,01 0,1 1
GdB
Fréquence (kHz)
Semaine 50 – Séance 12 Exercice 24: Filtres en cascade
Objectifs:
Concevoir un .filtre du deuxième ordre à l’aide de filtres du premier ordre.
Montrer que pour associer les filtres en cascade, il est préférable que chaque cellule ait une impédance d’entrée infinie. C’est ce que permet un montage suiveur.
On considère
( ) ( )
( )
j tu t j j u
H
e ω
ω 1 ω
1 = , la
fonction de transfert du filtre ci-contre en sortie ouverte.
I Etude d’une cellule (R,C)
I.1) A l’aide du chapitre 5, rappeler la nature et l’ordre de ce filtre.
Quelle sont les expressions de H1 ; de sa pulsation de coupure ωc et de sa pulsation réduite x ?
I.2) A l’aide des pages 10 et 11 du chapitre 5, tracer l’allure de la courbe de gain du diagramme de Bode de H1.
I.3) Déterminer l’impédance d’entrée et l’impédance de sortie du filtre en sortie ouverte.
II On souhaite réaliser un filtre du deuxième ordre à l’aide du filtre précédent.
On associe pour cela deux cellules (R,C) en cascade.
Déterminer l’expression de la fonction de transfert
( ) ( ) ( )
j tu t j j u
H
e ωω ω 2
2 = (u2 est
la tension en sortie de la deuxième cellule (R,C)).
Obtient-on un filtre du deuxième ordre de même nature que celui étudié au I ? Quelles sont ses caractéristiques ?
P3 TD 2017/2018
III Introduction de montages suiveurs III.1) On connecte à présent un montage suiveur en entrée de la deuxième cellule (R,C).
On rappelle les deux propriétés remarquables d’un montage suiveur.
La tension de sortie et la tension d’entrée sont égales : ue = us.
Le courant d’entrée i+ est nul. ue s R
ε = 0
u u
Déterminer la nouvelle expression de l’impédance d’entrée du montage.
III.2) Le montage complet est représenté ci-dessous.
Montrer que, grâce au montage suiveur, la fonction de transfert
( ) ( ) ( )
j tu t j j u
H
e ωω ω 2
'
2 = a pour expression le produit des fonctions de transfert individuelles.
Obtient-on un filtre du deuxième ordre de même nature que celui étudié au I ? Quelles sont ses caractéristiques ?
A rédiger pour la semaine 51 – Séance 13 Exercice C13: Préparation du TP « Filtre ADSL »
Semaine 51 – Séance 13 Exercice 25: Conception d’un filtre
On souhaite nettoyer l’enregistrement d’une conversation, rendue difficilement audible par des bruits divers.
On considère que le spectre de l’audition humaine s’étend de 20 Hz à 20 kHz, tandis que celui de la voix couvre un intervalle allant de 100 Hz à 2 kHz.
1) Tracer sur papier semi-logarithmique, le gabarit d’un filtre permettant de transmettre la voix humaine avec une atténuation maximale de 10 dB, tout en réduisant de 40 dB les sons aux limites du spectre audible.
Quelle est la nature du filtre répondant au cahier des charges ? 0
u2 u
u1 Suiveur Cellule
(R,C)
0
u2 u
u1 Suiveur Cellule
(R,C) ue
Cellule (R,C)
2) On utilise le filtre RLC série représenté ci-contre :
2.a Exprimer en fonction de R,L,C,ω, la fonction de transfert H(jω) du filtre, définie par : H
( ) ( )
j es( )
jjωttω = ω
2.b A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du
chapitre 5, identifier la nature du filtre. Déterminer, en fonction de R,L,C, la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q caractérisant ce filtre.
3.a Déterminer graphiquement la valeur numérique de la pulsation propre ω0 du filtre adapté au gabarit.
3.b Pour le choix du facteur de qualité Q, on se fixe le critère suivant : La bande passante à -3 dB du filtre coïncide avec le spectre de la voix humaine.
Déterminer la valeur numérique de Q.
3.c Comment choisir les pentes des portions linéarisées en basse et haute fréquence, afin de respecter le cahier des charges traduit par le gabarit ? Le filtre RLC convient-il ?
4) On dispose de plusieurs filtres RLC identiques à celui de la question 2).
Comment procéder pour obtenir un filtre conforme au gabarit ? Quel sera alors l’ordre du filtre ?
A rédiger pour la semaine 02 – Séance 14 Exercice C14: Amplificateur sélectif
Un amplificateur sélectif a pour fonction d’amplifier de manière sélective les signaux dont la fréquence est dans la bande passante.
1) Comme tout dipôle réel, une bobine peut être représentée par un modèle parallèle (Rp, Lp) d’admittance
ω
p
p jL
Y R1 1 +
= . La bobine est
associée en parallèle avec un condensateur C pour former un dipôle d'admittance Y2.
Exprimer Y2.
i
ic C
Rp
Lp
2) Le montage de l'amplificateur sélectif est construit autour d'un amplificateur opérationnel.
Z1 est une résistance R; Z2 est le dipôle précédent.
On rappelle les propriétés de l’amplificateur opérationnel dans l’état de fonctionnement :
« amplificateur opérationnel idéal fonctionnant en régime linéaire :
• les courants d’entrée i+ et i- sont nuls.
• les potentiels v+ et v- sont égaux.
2.a Ecrire deux lois des mailles. En déduire l'amplification
e s
v
A= v du montage
en fonction de Z1 et de Z2.
2.b Montrer que A peut se mettre sous la forme:
)
( ω
ω ω
ω o o o o
jQ A
A
− +
×
−
=
1
1
Donner: ● A0 en fonction de R et Rp; ● ωo en fonction de C et Lp;
● Q0 facteur de qualité du montage en fonction de Rp, Lp et ωo. 2.c A l’aide des diagrammes pages 10 et 11 du chapitre 5, identifier la nature du
filtre.
+ +
- Z2
Z1
ve vs
M1
E E-
E+
S
M2
P3 TD 2017/2018
3) On prendra: fo = 1600Hz Qo = 28,6 Ao = 286
3.a Par une étude aux limites, déterminer les pentes des asymptotes à la courbe.
3.b Calculer le gain en ω0, puis représenter l’allure de la courbe de gain du diagramme de Bode.
4) Application au filtrage:
4.a Soit ∆f la bande passante à –3 dB du filtre. On rappelle que :
0 0
Q f = f
∆ .
Calculer ∆f.
4.b On donne le spectre du signal appliqué à l'entrée de l'amplificateur:
20 100 (mV)
0.8 1.6 3.2
f kHz 2.4
60
Par une simple étude qualitative, déterminer le spectre du signal de sortie (amplitude et fréquence).
Semaine 02 – Séance 14 Exercice 26: Adaptation d’impédance
I. Un générateur de force électromotrice e(t) = E 2.cos ωt et d’impédance complexe Zg = Rg + j.Xg alimente une charge Zu = Ru + j.Xu.
1) Déterminer, en fonction de E, Ru, Rg, Xu, Xg, l’expression de la puissance électrique moyenne absorbée par Zu.
2) Pour quelle valeur de (Ru, Xu) la puissance moyenne absorbée par Zu est-elle maximale?
II. Application : Dans le montage étudié ci-dessus, le générateur a une impédance de sortie purement résistive : Zg = r.
DONNEES NUMERIQUES : E = 18 V ; r = 25 Ω ; Zu = 5 - 10.j (en ohms).
1) Calculer la puissance moyenne absorbée par Zu.
2) Pour transmettre une puissance maximale du générateur (e, r) à la charge Zu, on branche en parallèle avec celle-ci un dipôle passif (D) à déterminer.
Déterminer l’admittance complexe du dipôle (D) pour que l’adaptation d’impédance soit réalisée. En déduire la nature et la valeur des éléments constituant ce dipôle, sachant que la fréquence vaut 100 Hz.
3) Comparer les puissances moyennes absorbées par Zu avant et après adaptation d’impédance.
R +j.Xu e(t)
(D) u r
