Table des matières

Table des matières

15 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles 3

15.1 Fonctions continues par morceaux . . . 3

15.1.1 Subdivisions et fonctions en escalier . . . 3

15.1.2 Fonctions continues par morceaux . . . 4

15.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 6

15.2.1 Cas d’une fonction en escalier . . . 6

15.2.2 Cas d’une fonction continue par morceaux . . . 9

15.3 Propriétés de l’intégrale . . . 10

15.3.1 Croissances et Linéarité . . . 10

15.3.2 Structure métrique deC(I) . . . 14

15.4 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes . . . 18

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

Chapitre 15

Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles

Dans tout ce chapitre on considère des fonctions définies sur un segment[a, b]

15.1 Fonctions continues par morceaux

15.1.1 Subdivisions et fonctions en escalier

Définition 15.1.1 On appelle subdivision de[a, b] toute famille finieσ:= (ai)i∈[|0,n|] telle que a=a0< a1< . . . < an−1< an=b

La quantité

δ(σ) := max

i∈[|0,n−1|]|ai+1−ai| est ce qu’on appelle le pas de la subdivision.

On dit que la subdivision σ⁰:= (a⁰_i)i∈[|0,m|] est plus fine queσ lorsque {a0, . . . , an} ⊂ {a⁰₀, . . . , a⁰_m}

On notera iciσ⁰≺σ ♠

Exercice: Montrer que la relation "≺" est une relation d’ordre non totale

Exercice: Montrer queSi σ⁰≺σAlors δ(σ⁰)≤δ(σ). La réciproque est-elle vraie ?

Exercice: Pourσ=σ⁰:= (ai)i∈[|0,n|] etσ⁰ := (a⁰_i)i∈[|0,m|], on noteσtσ⁰la subdivision dont les éléments sont{a₀, . . . , a_n, a⁰₀, . . . , a⁰_m}. Montrer que

σtσ⁰=σ⁰tσ σtσ⁰≺σ et σtσ⁰≺σ⁰ Exemple: le plus souvent on utilisera les subdivisions de[a, b]suivantes.

σ:=³

a+kb−a n

´

0≤k≤n, σ⁰:=³

a+kb−a 2n

´

0≤k≤2n et σ⁰⁰:=³

a+kb−a 2ⁿ

´

0≤k≤2ⁿ

Elles vérifientσ⁰⁰≺σ⁰ ≺σet ont pour pas respectif δ=b−a

n , δ⁰ =b−a

2n et δ⁰⁰= b−a 2ⁿ Il s’agit là de subdivisions à pas constant.

Définition 15.1.2 (Fonctions en Escalier)

On dit que ϕ : [a, b] → R est une fonction en escalier lorsque l’on peut trouver une subdivision σ :=

(ai)_i∈[|0,n|] telle queϕest constante sur tout intervalle ]xi, xi+1[(aveci∈[|0, n−1|]).

On dit que σest une subdivision adaptée à ϕ(toute autre subdivision plus fine l’est aussi) ♠

Exemple: la fonction partie entière est une fonction en escalier sur[−10,27]

Exercice: Toute restriction d’une fonction en escalier est une fonction en escalier

Proposition 15.1.1 L’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b], notéEsc([a, b]), est un sous-anneau

(resp. un sous-espace vectoriel) deB([a, b],R) ♣

DémonstrationToute fonction en escalier ne prend q’un nombre fini de valeurs est donc bornée.

•la fonction constante 1est en escalier.

•Si ϕetψsont deux fonctions en escalier ayant pour subdivisions adaptées sontσetσ⁰, σtσ⁰ étant plus fine queσet σ⁰ elle est adaptée simultanément àϕet àψ.

Elles sont donc constantes sur tout intervalle ouvert associé à la subdivisionσtσ⁰. D’où il en va de même pourϕ−ψ etϕ×ψ

ϕ−ψ∈ Esc([a, b]) et ϕ×ψ∈ Esc([a, b])

•Avec les mêmes notations, on a de même pour λ, µdansR λϕ+µψ∈ Esc([a, b])

•

15.1.2 Fonctions continues par morceaux

Définition 15.1.3 On dit quef : [a, b]→Rest continue par morceaux sur[a, b], lorsque l’on peut trouver une subdivision σ:= (ai)_i∈[|0,n|] telle que

∀i∈[|0, n−1|],









f ∈ C(]ai, ai+1[) lim

a⁺_i f existe lim

a⁻_i+1f existe

On dit que σest une subdivision adaptée à f (toute autre subdivision plus fine l’est aussi) ♠

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.1. FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX 5

Remarque 15.1.1

f est donc prolongeable par continuité sur chaque intervalle [ai, ai+1]...

mais n’est pas forcement continue sur[a, b] ∗

Remarque: Toute fonction continue par morceaux n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité.

Exemple: Toute fonction continue sur[a, b]est continue par morceaux Exemple: Toute fonction en escalier est continue par morceaux

Exercice: Toute restriction d’une fonction continue par morceaux est une fonction continue par mor- ceaux

Exercice: la valeur absolue d’une fonction continue par morceaux est continue par morceaux.

Proposition 15.1.2 L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur[a, b], notéCpm([a, b]), est un

sous-anneau (resp. un sous-espace vectoriel) deB([a, b],R) ♣

Démonstration

• Toute fonction en continue par morceauxf de subdivisionσ:= (ai)i∈[|0,n|] est prolongeable par conti- nuité sur chaque segment [ai, ai+1], son prolongement y est bornée et donc f l’est aussi sur chaque intervalle ouvert]ai, ai+1[.

f est donc bornée sur la réunion finie de ces intervalles[a, b]\ {a0, . . . , an}en dehors elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs,f est donc bornée sur[a, b]

•la fonction constante 1est continue par morceaux.

•Si ϕetψsont deux fonctions en escalier ayant pour subdivisions adaptées sontσetσ⁰. σtσ⁰ est adaptée simultanément àϕet àψ.

Elles sont donc continues sur tout intervalle ouvert associé à la subdivisionσtσ⁰et convergent (à gauche resp. à droite) aux bornes de ces intervalles.

D’où il en va de même pourϕ−ψ etϕ×ψ

ϕ−ψ∈ Cpm([a, b]) et ϕ×ψ∈ Cpm([a, b])

•Avec les mêmes notations, on a de même pour λ, µdansR λϕ+µψ∈ Cpm([a, b])

• Théorème 15.1.3 (Densité - Admis)

Etant donnée une fonctionf continue par morceaux sur [a, b], pour tout réel ε >0, on peut trouverϕetψ en escalier sur[a, b] telles que

ϕ≤f ≤ψ et ψ−ϕ≤ε

PierredeFermat-MartinDelHierro

♣ Approximation supérieure "ψ"

Approximation inférieure "ϕ"

Remarque: Avec les notations ci-dessus, on dira ici que(ϕ, ψ)est uneε-approximation def

15.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

15.2.1 Cas d’une fonction en escalier

Définition 15.2.1 Soitϕ∈ Esc([a, b]) de subdivision adaptéeσ:= (ai)i∈[|0,n|].

On note pour chaque i∈[|0, n−1|],ci la valeur constante deϕsur ]ai, ai+1[, alors la quantité

I(ϕ, σ) :=

n−1X

i=0

(ai+1−ai)ci

est indépendante des valeurs prises parϕsur les points de la subdivision et ne dépend pas du choix de la subdivision adaptée σ.

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.2. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX 7

On la note Z

[a,b]

ϕ

♠ DémonstrationIl est clair queI(ϕ, σ)ne dépend pas des valeurs prises aux points de la subdivision.

Montrons que pour deux subdivisons adaptéesσet σ⁰ on a I(ϕ, σ) =I(ϕ, σ⁰) Commeσtσ⁰ est également adapté il suffit de montrer que

I(ϕ, σ) =I(ϕ, σtσ⁰) =I(ϕ, σ⁰) Et commeσetσ⁰ jouent des rôles symétriques il suffit de montrer que

I(ϕ, σ) =I(ϕ, σtσ⁰)

Puisqueσtσ⁰ est plus fine queσ, on peut construire une suite fine de subdivisions σp:=σtσ⁰≺σp−1≺. . .≺σ0:=σ

Où pour chaquek∈[|0, p−1|],σk+1 à un élément de plus queσk. Il suffit alors de montrer que

∀k∈[|0, p−1|], I(ϕ, σk) =I(ϕ, σk+1)

Soit donck∈[|0, p−1|]fixé et notonsσk= (ai)_i∈[|0,m|] etbl’élément supplémentaire deσk+1. Soitp∈[|0, m−1|]tel queap< b < ap+1.

En notantϕcI la valeur constante deϕsurI.

I(ϕ, σ_k) =

n−1X

i=0

(a_i+1−a_i)ϕc_]ai,ai+1[

=

p−1X

i=0

(ai+1−ai)ϕc_]ai,ai+1[+ (ap+1−ap)ϕc_]ap,ap+1[

| {z }

(b−ap)ϕc_]ap,b[+(ap+1−b)ϕc]b,ap+1[

+ Xm

i=p+1

(ai+1−ai)ϕc_]ai,ai+1[

= I(ϕ, σ_k+1)

• Remarque 15.2.1 En notantAla somme algébrique des aires des parallélogrammes construits à partir de du graphe deϕsur [a, b], on a

A= Z

[a,b]

ϕ

∗

PierredeFermat-MartinDelHierro

Proposition 15.2.1 Soientϕ etψdans Esc([a, b])et λ, µdeux réels, on a ϕ≥0 =⇒

Z

[a,b]

ϕ≥0 Z

[a,b]

(λϕ+µψ) =λ ÃZ

[a,b]

ϕ

! +µ

ÃZ

[a,b]

ψ

!

On dit que l’intégration sur[a, b] est une forme linéaire positive surEsc([a, b]) ♣ DémonstrationEn reprenant les notations précédentes :

ϕ≥0 =⇒ Z

[a,b]

ϕ=

n−1X

i=0

(ai+1−ai)

| {z }

≥0

ϕc_]ai,ai+1[

| {z }

≥0

≥0

Par ailleurs pourσ= (bi)i∈[|0,m|] adaptée àϕetψsimultanément (ce qui est toujours possible) Z

[a,b]

(λϕ+µψ) =

n−1X

i=0

(bi+1−bi)(λϕ+µψ)c]bi,bi+1[ =

n−1X

i=0

(bi+1−bi)(λ·ϕc]bi,bi+1[+µ·ψc]bi,bi+1[)

Et donc Z

[a,b]

(λϕ+µψ) =λ

n−1X

i=0

(bi+1−bi)·ϕc]bi,bi+1[+µ

n−1X

i=0

(bi+1−bi)·ψc]bi,bi+1[

• Corollaire 15.2.2 (Croissance)

Soientϕet ψdansEsc([a, b]).

ϕ≤ψ=⇒ Z

[a,b]

ϕ≤ Z

[a,b]

ψ En particulier pour tout réel metM

m≤ϕ≤M =⇒m(b−a)≤ Z

[a,b]

ϕ≤M(b−a)

♣ PreuveD’après ce qui précède

ϕ≤ψ=⇒ψ−ϕ≥0 =⇒ Z

[a,b]

ψ− Z

[a,b]

ϕ= Z

[a,b]

ψ−ϕ≥0 =⇒ Z

[a,b]

ϕ≤ Z

[a,b]

ψ La dernière implication découle alors de

Z

[a,b]

m=m(b−a) et Z

[a,b]

M =M(b−a)

• Proposition 15.2.3 (Relation de Chasles) Soitϕ∈ Esc([a, b])etc∈]a, b[, alors

Z

[a,b]

ϕ= Z

[a,c]

ϕ+ Z

[c,b]

ϕ

♣ DémonstrationSoitσ= (ai)i∈[|0,n|] adapté àϕ, en notantσ⁰ = (bi)i∈[|0,m|] la subdivision construite à partir des points{a1, . . . , an, c}. Puisqueσ⁰ (plus fine queσ) est adaptée àϕ.

Z

[a,b]

ϕ= X

i≤p−1

(bi+1−bi)·ϕc]bi,bi+1[+X

i≥p

(bi+1−bi)·ϕc]bi,bi+1[= Z

[a,c]

ϕ+ Z

[c,b]

ϕ

Oùpest tel quec=bp •

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.2. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX 9

15.2.2 Cas d’une fonction continue par morceaux

Proposition 15.2.4 Soitf ∈ Cpm([a, b]), les ensembles I−(f) :={

Z

[a,b]

ϕ |ϕ∈ Esc([a, b]) et ϕ≤f} et I+(f) :={ Z

[a,b]

ψ |ψ∈ Esc([a, b]) et f ≤ψ}

sont non vides et majorés, resp. minorés ♣

DémonstrationPuisquef est bornée on a

m≤f ≤M Et donc

∀ϕ∈ Esc([a, b]), ϕ≤f =⇒ϕ≤M =⇒ Z

[a,b]

ϕ≤M(b−a) resp. ∀ψ∈ Esc([a, b]), f ≤ψ=⇒m≤ψ=⇒

Z

[a,b]

ψ≥m(b−a) D’où (puisque les fonctions constantesmetM sont en escalier)

{m(b−a)} ⊂I−(f)⊂]− ∞, M(b−a)] et {M(b−a)} ⊂I−(f)⊂[m(b−a),+∞[

• Définition 15.2.2 Pour f continue par morceaux sur [a, b], la borne supérieure de I−(f) et la borne inférieure de I+(f)coïncident, on note leurs valeurs communes

Z

[a,b]

f := supI−(f) = infI+(f)

♠ DémonstrationNotonsI− etI+ ces deux bornes.

par croissance de l’intégration.

∀(ϕ, ψ)∈ Esc([a, b])², ϕ≤f ≤ψ=⇒ϕ≤ψ=⇒ Z

[a,b]

ϕ≤ Z

[a,b]

ψ Et donc

∀(u, v)∈ I−(f)× I+(f), u≤v D’où

I−≤I+

Soitε >0, d’après le théorème de densité,on peut trouverϕet ψen escalier sur [a, b]telles que ϕ≤f ≤ψ et ψ−ϕ≤ε

On par linéarité et croissance de l’intégrale on en déduit Z

[a,b]

ψ

| {z }

∈I+(f)

− Z

[a,b]

ϕ

| {z }

∈I−(f)

= Z

[a,b]

(ψ−ϕ)≤ Z

[a,b]

ε=ε(b−a)

Or puisqueI+ et I− minorent et majorent respectivement I+(f)et I−(f) I+≤

Z

[a,b]

ψ et

Z

[a,b]

ϕ≤I−

D’où

I+−I−≤ Z

[a,b]

ψ− Z

[a,b]

ϕ≤ε(b−a) D’où

∀ε >0, 0≤I+−I−≤ε(b−a)

Et doncI+=I− •

Remarque: Sif est une fonction en escalier son intégrale au sens des fonctions en escalier coïncide avec son intégrale au sens des fonctions continues par morceaux.

PierredeFermat-MartinDelHierro

Lemme 15.2.5 Pourf ∈ Cpm(I) etε >0, Si(ϕ, ψ)est uneε-approximation def, alors Z

I

ϕ≤ Z

I

f ≤ Z

I

ψ

Et plus précisément

0≤ Z

I

f− Z

I

ϕ≤ |I|ε et 0≤ Z

I

ψ− Z

I

f ≤ |I|ε

♣

PreuvePuisque Z

I

ϕ∈ I−(f) et Z

I

ψ∈ I+(f) Par définition des bornes sup et inf, on obtient la premier encadrement.

Le deuxième provient de la croissance de l’intégrale des fonctions en escalier : ψ≤ϕ+ε d’où

Z

I

ψ≤ Z

I

(ϕ+ε) = Z

I

ϕ+|I|ε

• Remarque 15.2.2 En notant A l’aire algébrique du secteur compris entre le graphe de f est l’axe des abscisses entre [a, b], on a

A= Z

[a,b]

f

∗

Corollaire 15.2.6 Soitf ∈ Cpm([−ω, ω])avec ω >0.

Si f est paireAlors R

[−ω,ω]f = 2R

[0,ω]f Si f est paireAlors R

[−ω,ω]f = 0 ♣

15.3 Propriétés de l’intégrale

15.3.1 Croissances et Linéarité

Dans toute cette section I:= [α, β]désigne un segment deR

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.3. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE 11

Proposition 15.3.1 Soientf etg dansCpm(I)etλ, µ deux réels, on a f ≥0 =⇒

Z

I

f ≥0 Z

I

(λf+µg) =λ µZ

I

f

¶ +µ

µZ

I

g

¶

On dit que l’intégration sur[a, b] est une forme linéaire positive surCpm([a, b]) ♣ PreuveSoitε >0 et(ϕ, ψ)une ε-approximation def.

Puisque ψ≥f ≥0, par positivité de l’intégrale des fonctions en escalier.

Z

I

ψ≥0

D’où Z

I

f ≥ Z

I

ψ+|I|ε≥ |I|ε D’où

∀ε >0, Z

I

f ≥ |I|ε On conclut sur la positivité par passage à la limite lorsqueε→0.

Montrons la linéarité.

soit(ϕ1, ψ1)et (ϕ2, ψ2)desε-approximations def et grespectivement (avecε >0quelconque).

ϕ1≤f ≤ψ1≤ϕ1+ε et ϕ2≤g≤ψ2≤ϕ2+ε D’où

|f−ϕ1| ≤ε et |g−ϕ2| ≤ε Et donc par inégalité triangulaire

|(λf+µg)−(λϕ1+µϕ2)|=|λ(f−ϕ1) +µ(g−ϕ2)| ≤ |λ| · |f−ϕ1|+|µ| · |g−ϕ2| ≤(|λ|+|µ|)ε D’où

(λϕ1+µϕ2)−(|λ|+|µ|)ε

| {z }

∈ Esc(I)

≤

∈ Cpm(I)

z }| {

λf+µg≤(λϕ1+µϕ2) + (|λ|+|µ|)ε

| {z }

∈ Esc(I)

D’où par définition des bornes sup et inf deI−(f)etI+(f) Z

I

(λϕ1+µϕ2)−(|λ|+|µ|)ε≤ Z

I

λf+µg≤ Z

I

(λϕ1+µϕ2) + (|λ|+|µ|)ε soit par linéarité de l’intégrale des fonctions en escalier

(∗) λ Z

I

ϕ1+µ Z

I

ϕ2−(|λ|+|µ|)|I|ε≤ Z

I

λf+µg≤λ Z

I

ϕ1+µ Z

I

ϕ2+ (|λ|+|µ|)|I|ε Par ailleurs

0≤ Z

I

f − Z

I

ϕ₁≤ |I|ε et 0≤ Z

I

g− Z

I

ϕ₂≤ |I|ε

D’où ¯

¯¯

¯ Z

I

f− Z

I

ϕ1

¯¯

¯¯≤ |I|ε et

¯¯

¯¯ Z

I

g− Z

I

ϕ2

¯¯

¯¯≤ |I|ε Et donc par inégalité triangulaire

¯¯

¯¯(λ Z

I

f+µ Z

I

g)−(λ Z

I

ϕ1+µ Z

I

ϕ2)

¯¯

¯¯≤ |λ| ·

¯¯

¯¯ Z

I

f − Z

I

ϕ1

¯¯

¯¯+|µ| ·

¯¯

¯¯ Z

I

g− Z

I

ϕ2

¯¯

¯¯≤(|λ|+|µ|)|I|ε D’où

(∗∗) (λ Z

I

f+µ Z

I

g)−(|λ|+|µ|)|I|ε≤λ Z

I

ϕ1+µ Z

I

ϕ2≤(λ Z

I

f+µ Z

I

g) + (|λ|+|µ|)|I|ε

PierredeFermat-MartinDelHierro

Et donc en combinant(∗)et(∗∗) λ

Z

I

f+µ Z

I

g−2(|λ|+|µ|)|I|ε≤ Z

I

λf+µg≤λ Z

I

f+µ Z

I

g+ 2(|λ|+|µ|)|I|ε Ceci étant vérifié pour toutε >0, on obtient par passage à la limite lorsqueε→0

λ Z

I

f+µ Z

I

g≤ Z

I

λf+µg≤λ Z

I

f+µ Z

I

g

CQFD •

Corollaire 15.3.2 (Croissance et Inégalité de la Moyenne) Soientf et g dansCpm([a, b]).

On a lacroissancede l’intégrale :

f ≤g=⇒ Z

I

f ≤ Z

I

g Puisquef est alors bornée, on a l’inégalité de la moyenne

¯¯

¯¯ Z

I

f g

¯¯

¯¯≤sup

I |f| · Z

I

|g|

En particulier on obtient une "généralisation aux sommes continues de l’inégalité triangulaire"

¯¯

¯¯ Z

I

f

¯¯

¯¯≤ Z

I

|f|

♣ DémonstrationLa croissance est une conséquence immédiate de la positivité et de la linéarité

f ≤g=⇒g−f ≥0 =⇒ Z

I

g− Z

I

f = Z

I

(g−f)≥0 =⇒ Z

I

f ≤ Z

I

g L’inégalité de la moyenne, en découle puisque

|f g| ≤

³ sup

I |f|

´

· |g| d’où −

³ sup

I |f|

´

· |g| ≤f g≤

³ sup

I |f|

´

· |g|

D’où par croissance et linéarité de l’intégrale

−

³ sup

I |f|

´

· Z

I

|g| ≤ Z

I

f g≤

³ sup

I |f|

´

· Z

I

|g|

La dernière inégalité en découle puisque pourf = 1, on obtient

¯¯

¯¯ Z

I

1g

¯¯

¯¯≤sup

I |1|

| {z }

=1

· Z

I

|g|

• Remarque 15.3.1 Le nom d’inégalité de la moyenne provient du fait que

R1

If Z

I

f g

peut être interprétée comme la moyenne def pondérée pargsur I(comme un barycentre). La proposition affirme alors que cette moyenne est majorée en valeur absolue comme la fonction. ∗ Remarque 15.3.2 En particulier pourf ∈ Cpm([a, b])

m≤f ≤M =⇒m≤ 1 b−a

Z

[a,b]

f ≤M

1 b−a

R

[a,b]f est ce qu’on appelle la valeur moyenne def sur[a, b] ∗

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.3. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE 13 Proposition 15.3.3 (Relation de Chasles) Soitf ∈ Cpm(I)et a < b < cdansI, alors

Z

[a,c]

f = Z

[a,c]

f+ Z

[c,b]

f

♣ DémonstrationSoit(ϕ, ψ)uneε-approximation defsur[a, b], elle constitue aussi desε-approximations def sur[a, c]et sur [c, b]. On a

Z

[a,c]

ϕ ≤R

[a,c]f ≤ Z

[a,c]

ψ Z

[c,b]

ϕ ≤R

[c,b]f ≤ Z

[c,b]

ψ

D’où par addition Z

[a,c]

ϕ+ Z

[c,b]

ϕ≤ Z

[a,c]

f+ Z

[c,b]

f ≤ Z

[a,c]

ψ+ Z

[c,b]

ψ Et donc grâce à la relation de Chasles relative aux fonctions en escalier

Z

[a,b]

ϕ≤ Z

[a,c]

f + Z

[c,b]

f ≤ Z

[a,b]

ψ Or parεapproximation def sur[a, b]

Z

[a,b]

f−(b−a)ε≤ Z

[a,b]

ϕ et

Z

[a,b]

ψ≤ Z

[a,b]

f+ (b−a)ε

Et donc Z

[a,b]

f−(b−a)ε≤ Z

[a,c]

f+ Z

[c,b]

f ≤ Z

[a,b]

f+ (b−a)ε Ceci étant réalisé qul que soitε >0, on conclut grâce au passage à la limite

ε→0

• Remarque 15.3.3 En notant pourf ∈ Cpm(I)eta, bdansI

Z _b

a

f(x)dx=



 R

[a,b]f Si a < b

0 Si a=b

−R

[b,a]f Si a > b la relation de Chasles s’écrit

∀(a, b, c)∈I³,

Z _c

a

f(x)dx= Z _b

a

f(x)dx+ Z _c

b

f(x)dx

∗ Remarque 15.3.4 Pour aet b quelconques, l’application f 7→R_b

af(x)dx est encore linéaire mais n’est plus croissante, cependant :

|f| ≤M =⇒

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a

f(x)dx

¯¯

¯¯

¯≤M|b−a|

∗ Corollaire 15.3.4 (Croissance relativement au domaine d’intégration)

Pour toutf ∈ Cpm(I) on a

³

f ≥0 et [a, b]⊂I´

=⇒ Z

[a,b]

f ≤ Z

I

f

♣

PierredeFermat-MartinDelHierro

DémonstrationSif ≥0 et[a, b]⊂I, alors Z

I

f = Z _a

α

f(x)dx

| {z }

≥0

+ Z _b

a

f(x)dx+ Z _β

b

f(x)dx

| {z }

≥0

≥ Z _b

a

f(x)dx

•

15.3.2 Structure métrique de C(I)

Proposition 15.3.5 (Séparation)

∀f ∈ C(I),

³

f ≥0 et Z

I

f = 0

´

=⇒f = 0

♣ DémonstrationSoitf ∈ C(I)telle que

f ≥0 et Z

I

f = 0

Supposons par l’absurdef 6= 0, alors pour un certainx0∈I f(x0)>0.

Et donc par continuité def enx0, on peut trouverJ segment contenantx0tel que tel que J ⊂I |J|>0 et ∀x∈J, f(x)≥ f(x0)

2

D’où par croissance relativement au domaine d’intégration et croissance de l’intégration Z

I

f ≥ Z

J

f ≥ Z

J

f(x0)

2 =|J|f(x0) 2 >0

D’où la contradiction •

Remarque: Cette proposition est en général fausse dans le cas des fonctions continues par morceaux.

Exemple: R₁

0 E(x)dx= 0et pourtantE(0)6= 0

Remarque: De même cette proposition est en général fausse dans le cas des fonctions non positives.

Exemple: R₁

−1x dx= 0

Lemme 15.3.6 (Invariance par translation) Soitf ∈ Cpm([a, b]) eth∈R

Z _b−h

a−h

f(x+h)dx= Z _b

a

f(x)dx

♣ DémonstrationSoit(ϕ, ψ)uneε-approximation def (avecε >0 quelconque)

∀x∈[a, b], ϕ(x)≤f(x)≤ψ(x) et ψ(x)−ϕ(x)≤ε On en déduit

∀x∈[a−h, b−h], ϕ(x+h)≤f(x+h)≤ψ(x+h) et ψ(x+h)−ϕ(x+h)≤ε Et commeϕ(·+h)etψ(·+h)sont en escalier, on en déduit :

(ϕ(·+h), ψ(·+h))est uneε-approximation def(·+h)sur[a−h, b−h].

D’où Z _b−h

a−h

ϕ(x+h)dx≤ Z _b−h

a−h

f(x+h)dx≤ Z _b−h

a−h

ϕ(x+h)dx+ (b−a)ε Or s’agissant d’une fonction en escalier (exercice)

Z _b−h

a−h

ϕ(x+h)dx= Z _b

a

ϕ(x)dx

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.3. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE 15

Par ailleurs Z _b

a

ϕ(x)dx≤ Z _b

a

f(x)dx≤ Z _b

a

ϕ(x)dx+ (b−a)ε Et donc en combinant ces trois derniers encadrements

Z _b

a

f(x)dx−(b−a)ε≤ Z _b−h

a−h

f(x+h)dx≤ Z _b

a

f(x)dx+ (b−a)ε Ceci étant vrai quel que soitε >0, on en déduit

Z _b

a

f(x)dx≤ Z _b−h

a−h

f(x+h)dx≤ Z _b

a

f(x)dx

• Corollaire 15.3.7 Soitf ∈ Cpm(R) T-périodique alors pour tout a∈R

Z _a+T

a

f(x)dx= Z _T

0

f(x)dx

♣ DémonstrationPosonsa=mT+ravecm∈Zetr∈[0, T[

Z _a+T

a

f(x)dx= Z _r+T

r

f(x+mT)

| {z }

=f(x)

dx= Z _T

0

f(x)dx+ Z _r+T

T

f(x)dx− Z _r

0

f(x)dx

Or Z _r+T

T

f(x)dx= Z _r

0

f(x+T)dx= Z _r

0

f(x)dx

• Remarque 15.3.5 lorsquef est T-périodique et I est un intervalle de longueurT, la quantité

1 T

Z

I

f

est ce qu’on appelle la valeur moyenne de f, elle ne dépend ni du choix deI ni du choix de T ∗ Exemple: les moyennes de cosinus et sinus sont nulles.

En effet sinus étant impaire

1 2π

Z _π

−π

sinx dx= 0 On en déduit

1 2π

Z _2π

0

cosx dx= 1 2π

Z _5π/2

π/2

cos(x−π/2)dx= 1 2π

Z _5π/2

π/2

sinx dx= 0

Exercice: Montrer que

1 2π

Z _2π

0

sin²x dx= 1 2π

Z _2π

0

cos²x dx=1 2

Solution: Notonssetcles moyennes desin²etcos². Par linéarité

s+c= 1 2π

Z_2π

0

sin²x+ cos²x

| {z }

=−1

dx= 1

Par ailleurs, par translation et par périodicité

s= 1 2π

Z_5π/2

π/2

sin²(x−π/2)dx= 1 2π

Z_5π/2

π/2

cos²x dx= 1 2π

Z_2π

0

cos²x dx=c

PierredeFermat-MartinDelHierro

Proposition 15.3.8 (Produit Scalaire) l’applicationh· | ·idéfinie surC(I)²à valeurs réelles et définie par

∀(f, g)∈ C(I)², hf |gi= Z

I

f g est uneforme bilinéaire:

(?) ∀(f, g, h)∈ C(I)³, ∀(λ, µ)∈R²,

½ hf |λg+µhi = λhf |gi+µhf |hi hλg+µh|fi = λhg|fi+µhh|fi symétrique

(??) ∀(f, g)∈ C(I)², hf |gi=hg|fi définie positive

(? ? ?) ∀f ∈ C(I), hf |fi>0⇐⇒f 6= 0

On résume ces propriétés en disant queh· | ·i défini un produit scalaire sur leR-espace vectoriel C(I) ♣ PreuveLa caractère symétrique est immédiat.

Pour montrer la bilinéarité il suffit de prouver la linéarité à droite : Pourf, g, hquelconques dansC(I)et λ, µdeux réels quelconques.

hf |λg+µhi= Z

I

f·(λg+µh) = Z

I

λ f·g+µ f·h=λ Z

I

f·g+µ Z

I

f·h=λhf |gi+µhf |hi Enfin, Soitf ∈ C(I)quelconque.

Le caractère défini positif provient d’une part de la croissance de l’intégrale f²≥0 d’où hf, fi=

Z

I

f²≥0 et d’autre part du théorème de séparation puisque

hf, fi= 0 =⇒ Z

I

f²

|{z}

≥0

= 0 =⇒f²= 0 =⇒f = 0

Ainsi puisqueh0,0i= 0 on af = 0⇐⇒ hf, fi= 0, et donc par contraposition f 6= 0⇐⇒ hf, fi

| {z }

≥0

6= 0⇐⇒ hf, fi>0

• Remarque 15.3.6 le caractère définie positif nous permet d’associer à ce produit scalaire une application k · k₂ définie surC(I)par

kfk2:=p (f, f)

∗ Théorème 15.3.9 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soientf, g deux fonctions dansC(I), on a

¯¯

¯¯ Z

I

f g

¯¯

¯¯≤ sZ

I

f²· sZ

I

g²

Où de façon équivalente ¯

¯¯hf |gi

¯¯

¯≤ kfk2· kgk2

le cas d’égalité n’arrivant que lorsquef et g sont proportionnels (on dit aussi qu’ils sont liés), i.e.

∃λ∈R; f =λg ou g=λf

♣

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.3. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE 17 DémonstrationSoientf, g dansC(I).

Dans le casg= 0l’inégalité devient une égalité (et la fonction nulle est liée àf par0 = 0·f).

Supposons alorsg6= 0, c’est à direkgk26= 0.

On poseP:R→Rdéfini par

P:λ7→ hf +λg|f +λgi

elle est positive , mais aussi polynômiale de degré2car par bilinéarité et symétrie

∀λ∈R, P(λ) =kgk²₂λ²+ 2hf, giλ+kfk²₂

On en déduit que son discriminant réduit∆⁰ ne peut être strictement positif (car alors P changerait de signe), d’où

∆⁰≤0 et donc hf, gi²− kgk²₂· kfk²₂≤0 D’où l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Le cas d’égalité correspond à ∆⁰ = 0 et donc l’égalité n’a lieu que si P admet une unique racine, ce qui équivaut à dire qu’elle admet au moins une racine (car le cas de 2 racines est exclu, d’après ce qui précède).

D’où on a égalité si et seulement si il existeλ∈Rtel queP(λ) = 0.

Ce qui équivaut à

hf+λg|f+λgi= 0 Et donc par le caractère défini ceci équivaut à

f+λg= 0

• Exercice: Monter que l’applicationk · k₂ définie surC(I)

• est positive: ∀f ∈ C(I), kfk2≥0

• est définie: ∀f ∈ C(I), kfk2= 0⇐⇒f = 0

• est homogène: ∀λ∈R, ∀f ∈ C(I), kλ·fk2=|λ| · kfk2

• vérifie l’inégalité triangulaire:∀(f, g)∈ C(I)², kf+gk2≤ kfk2+kgk2

On résume ces propriétés en disant quek · k2est une norme sur leR-espace vectoriel C(I) Définition 15.3.1 (Somme de Riemann)

Pourf défini sur[a, b]on pose

∀n∈N, Rn(f) :=b−a n

n−1X

k=0

f(a+kb−a n )

Rn(f)est ce qu’on appelle la somme de Riemann def d’ordren sur [a, b] ♠ Remarque 15.3.7 Si f est définie sur [a, b] et si on pose σ := (a+k^b−a_n )k∈[|0,n|] une subdivision de [a, b] de pas constant, alors

Rn(f) =I(ϕ, σ) oùϕest une fonction en escalier de subdivision adaptéeσ avec

ϕc_]ai,ai+1[:=f(ai)

∗

PierredeFermat-MartinDelHierro

Remarque: D’autres sommes sont possibles ne remplaçant f(ai) par f(ai+1), ou encore la valeur moyenne ^f(ai)+f(a₂ ⁱ⁺¹⁾ ou encore toute autre valeur def sur[ai, ai+1]

Proposition 15.3.10 Sif est lipschitzienne sur [a, b] alors

Rn(f)−−−−−→

n→+∞

Z _b

a

f(x)dx

♣ DémonstrationSoitf M-lipschitzienne et posonsak :=a+k^b−a_n pour chaquek∈[|0, n|].

D’après la linéarité de l’intégrale et la relation de Chasles, on a pour toutn∈N

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a

f(x)dx−Rn(f)

¯¯

¯¯

¯ =

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a

f(x)dx−Rn(f)

¯¯

¯¯

¯

=

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a

f(x)dx−b−a n

n−1X

k=0

f(ak)

¯¯

¯¯

¯

=

¯¯

¯¯

¯

n−1X

k=0

Z _ak+1

ak

f(x)dx−b−a n

n−1X

k=0

1 ak+1−ak

Z _ak+1

ak

f(ak)dx

¯¯

¯¯

¯

=

¯¯

¯¯

¯

n−1X

k=0

Z _ak+1

ak

f(x)dx−

n−1X

k=0

Z _ak+1

ak

f(ak)dx

¯¯

¯¯

¯

=

¯¯

¯¯

¯

n−1X

k=0

Z _ak+1

ak

³

f(x)−f(ak)

´ dx

¯¯

¯¯

¯

D’où par inégalité triangulaire (sur la somme discrète et continue)

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a

f(x)dx−Rn(f)

¯¯

¯¯

¯≤

n−1X

k=0

¯¯

¯¯ Z _ak+1

ak

³

f(x)−f(ak)

´ dx

¯¯

¯¯≤

n−1X

k=0

Z _ak+1

ak

¯¯

¯f(x)−f(ak)

¯¯

¯dx

On en déduit puisquef estM-lipschitzienne et par croissance de l’intégrale

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a

f(x)dx−Rn(f)

¯¯

¯¯

¯≤

n−1X

k=0

Z _ak+1

ak

M |x−ak|

| {z }

≤ak+1−ak

dx≤

n−1X

k=0

M(ak+1−ak)²=

n−1X

k=0

M µb−a

n

¶₂

=M(b−a)² n

On conclut par le théorème des gendarmes •

15.4 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes

Dans cette section I désigne encore un segment deR

Définition 15.4.1 Une fonction à valeurs complexesf est dite continue par morceaux, et on note f ∈ Cpm(I,C) lorsque

Re(f)∈ Cpm(I) et Im(f)∈ Cpm(I)

Cpm(I,C) est unC-espace vectoriel et un anneau (stable par passage au conjugué complexe).

On étend alors l’intégration aux fonctions complexes en posant Z

I

f = Z

I

Re(f) +i Z

I

Im(f)

♠

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

15.4. BRÈVE EXTENSION AUX FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES 19

Remarque: Par définition Re

µZ

I

f

¶

= Z

I

Re(f) et Im µZ

I

f

¶

= Z

I

Im(f)

On en déduit immédiatement Z

I

f = Z

I

f Proposition 15.4.1 (Linéarité)

l’intégration est une formeC-linéaire surCpm(I,C) (à valeurs complexes)

∀(f, g)∈ C(I,C)², ∀(λ, µ)∈C², Z

I

(λf+µg) =λ µZ

I

f

¶ +µ

µZ

I

g

¶

♣ DémonstrationSoientf et gcontinues par morceaux.

Z

I

f+g= Z

I

Re(f+g) +i Z

I

Im(f +g) = Z

I

Re(f) +Re(g) +i Z

I

Im(f) +Im(g) D’où par linéarité de l’intégration réelle.

Z

I

f+g= Z

I

Re(f) + Z

I

Re(g) +i Z

I

Im(f) +i Z

I

Im(g) = Z

I

f + Z

I

g D’où l’additivité. Montrons l’homogénéité, soitλ∈C. On pose (avecr, sréels)

λ=r+is et γ:=Re(f) δ:=Im(f) Z

I

λf = Z

I

(rγ−sδ) +i(rδ+sγ) = Z

I

rγ−sδ+i Z

I

rδ+sγ Et donc par linéarité de l’intégrale réelle

Z

I

λf =r Z

I

γ−s Z

I

δ+ir Z

I

δ+is Z

I

γ= (r+is)· µZ

I

γ+i Z

I

δ

¶

=λ Z

I

f

• Proposition 15.4.2 (Relation de Chasles) Avec les mêmes conventions de notation que dans le cas réel, on a

∀(a, b, c)∈I³,

Z _c

a

f(x)dx= Z _b

a

f(x)dx+ Z _c

b

f(x)dx

♣ Exercice: Donner une preuve

Proposition 15.4.3 (Inégalité de la Moyenne - Admis)

∀(f, g)∈ C(I,C)²,

¯¯

¯¯ Z

I

f g

¯¯

¯¯≤sup

I

|f| · Z

I

|g|

En particulier

∀f ∈ C(I,C),

¯¯

¯¯ Z

I

f

¯¯

¯¯≤ Z

I

|f|

♣

PierredeFermat-MartinDelHierro