Table des matières Table des matières ........................................................................................................................ 1 Liste des figures.............................................................................

Table des matières

Table des matières ... 1

Liste des figures... 2

Physique des plasmas - La fonction de distribution... 3

La distribution Maxwell-Boltzmann... 7

Applications de la fonction Maxwell-Boltzmann ... 10

La vitesse (module) la plus probable... 10

La vitesse (module) moyenne ... 10

La vitesse RMS (Root Mean Square)... 11

L'énergie la plus probable ... 11

L'énergie moyenne... 11

La distribution Maxwellienne dans un champ de force conservatrice ... 11

La longueur de Debye ... 13

La gaine près d'une surface ... 17

Le taux de réaction... 21

Le flux diffusif... 29

Appendices ... 35

Appendice A... 35

Appendice B ... 36

Appendice C : Note sur le terme pour les collisions:... 37

Liste des figures

Figure 1 Illustration du calcul de la densité à partir de la fonction de distribution... 5

Figure 2 Illustration de la gaine devant une surface... 18

Figure 3 Schéma de la géométrie utilisée pour le calcul du taux de réaction ... 22

Figure 4 Densité de puissance totale pour les réactions de fusion D-T et D-D ... 25

Figure 5 Valeurs des taux de réaction <σv> pour les réactions D-T, D-D et D-He3 en supposant des distributions Maxwelliennes... 26

Figure 6 Section efficace d’ionisation par impact électronique de l’He ... 27

Figure 7 Taux de réactions pour l’ionisation de l’He par impact électronique en supposant une distribution Maxwellienne... 28

Figure 8 Géométrie utilisée pour estimer le flux diffusif ... 29

Physique des plasmas -

La fonction de distribution

La base de la théorie de la physique des plasmas est la théorie cinétique. Dans cette théorie on définit une fonction f

(

rr,rv,t

)

telle que f

(

rr,rv,t

)

drrdvr est le nombre probable de particules (d'une espèce donnée) dans le petit élément de volume drrdvr autour du point

( )

rr,vr dans l’espace de phase au temps t ou rr =

(

x,y,z

)

est le vecteur position et vr=

(

vx,vy,vz

)

le vecteur vitesse. Il faut noter que la fonction f est continue - on sait bien que les électrons et les protons dans le plasma sont des particules discrètes et que si on pouvait regarder avec un microscope on verrait une distribution de points dans drrdvr.

On considère donc que drrdvr est assez grand pour que l’on puisse définir une fonction moyenne. Par exemple, l'élément de volume rdr doit être plus grand que la distance inter-particule dans le plasma, mais aussi plus petit qu'une distance "caractéristique" dans le plasma. On voit qu'il y a probablement des situations dans lesquelles la théorie cinétique n'est pas valide, mais la plupart des problèmes sont faisables avec la théorie cinétique.

Si nous sommes intéressés par le nombre de particules dans l'élément de volume rdr, indépendamment de leur vitesse, à un temps t, on peut le calculer à partir de f

(

rr,vr,t

)

:

(

r,v,t

)

drdv f

= t) , r ( n

d v

r r r r

r

∫

r 3. 1

et la densité peut être écrite:

v )d t , v , r ( f

= ) t , r (

n v

r r r r

∫

r 3. 2 où on intègre sur toutes les vitesses (vx,vy,vz) de - ∞ à ∞.

Très souvent, il est intéressant de calculer la moyenne de certaines quantités - on ne veut pas savoir tous les détails de toutes les particules, mais plutôt la densité, la vitesse moyenne, etc. à la position rr dans le plasma à un temps t. Si la quantité qui nous intéresse est g

(

rr,vr,t

)

- qui peut être un scalaire, un vecteur ou autre - on a un nombre f

(

rr,rv,t

)

drrdvr de particules avec cette valeur de g.

Donc, une fraction

( ) (

r,v,t

)

dv f

r d

v d r d t , v , r

fr r r r r r r r

∫

de toutes les particules dans drrdvr ont cette valeur. La moyenne de g est donc donné par:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

(

r,v,t

)

dv f

v d t , v , r f t , v , r g

v d t , v , r f r d

v d t , v , r f t , v , r g r t d , r g

r r r

r r r r r

r r r r

r r r r r r r

∫ ∫

∫ ∫

=

=

3. 3

qui devient:

( ) ( )

^{r,t g r,t g}

(

^r,v,t

) (

^{f r,v,t}

)

^dv

n r r r r r r r

∫

= 3. 4 Exemples

(i) Considérons g

(

rr,vr,t

) ( )

=vv rr,t alors la vitesse moyenne est donnée par:

( ) ( )

^{r,t v r,t v}

( ) (

^{r,t f r,v,t}

)

^dv

n r r r ⁼

∫

r r r r r 3. 5 (ii) Ou encore considérons

( )

mv

( ) ( )

r,t r,t

2 t 1 , v , r

g ^{r r = 2 r =}

ε

^r alors l'énergie cinétique moyenne est donnée par:

( ) ( )

mv

( ) (

r,t f r,v,t

)

dv 2

t 1 , r t , r

n ^r

ε

^{r =}

_∫

^{2 r r r r} 3. 6 La fonction de distribution peut être une fonction du temps, et il faut développer une équation qui décrit l'évolution temporelle de f. L'équation que nous allons développer est une équation de conservation de particules et est appelée en général l'équation de Boltzmann.

Considérons un élément de volume δrrδvr dans "l'espace de phase". Les forces sur les particules les déplacent d'un élément de volume à l'autre. Ce changement est donné par l'équation cinétique qui décrit le flux au travers des surfaces de ce petit élément de volume.

1) dans l'espace tridimensionnel la quantité totale N de particules dans le volume est donné par

Figure 1 Illustration du calcul de la densité à partir de la fonction de distribution

) t , v , r ( f v d r d

= N

δv δr

r r r r

∫

∫

3. 7 et le changement de ce nombre dans le temps par:

dS v n f v d t = N

r r δv Sr

r r

r •

∂

∂

∫ ∫

3. 8 où nr est le vecteur perpendiculaire à la surface Sr. Le terme vr•nr_r représente la vitesse dirigée vers l'extérieur du volume.

(2) dans l'espace des vitesses:

dS a n f r d t = N

v v δr Sv

r r

r •

∂

∂

∫ ∫

3. 9

où ar est l'accélération des particules à la surface Sv, avec le normal nr_v.

(3) S'il y a des collisions qui prennent une particule de ce petit volume à un autre ou qui prennent une particule d'ailleurs et le mettent dans le volume δrrδvr on a:

δv c

δr δ t

f v δ d r d t =

∆ N

∆ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

∫

⎛

∫

^{r r} 3. 10 Le changement du nombre de particules dans le petit volume est:

c δv

δR v v δr S

r r v S

δ δ t

f v δ d r d S + n d a f r d S - n d v f v d t =

N

v r

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

• ⎛

•

∂ −

∂

∫

^r

∫

^{r r}

∫

^r

∫

^{r r}

∫

^r

∫

^r 3. 11

Si nous utilisons le théorème de la divergence F ndS= FdV

V S

r r r

r•

∫

∇•

∫

ou V est le volume déterminé

par la surface fermée S on obtient:

r d ) v f ( S =

n d v

f _r

δr r r

Sr

r r r r

r•

∫

∇ •

∫

et

dv ) a f ( S =

n d a

f _v

δv v v Sv

r r r

r•

∫

∇ •

∫

et avec N= dr dvf

δv δr

r

∫

r

∫

on obtient:

δv c δr v

δv δr r

δv δr δv

δr δt

v δf d r d + ) a f ( v d r d ) v f ( v d r d -

= f v d r

t d ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

• ⎛

− ∇

∇ •

∂

∂

∫

^r

∫

^r

∫

^r

∫

^{r r r}

∫

^r

∫

^{r v r}

∫

^r

∫

^r

comme le volume δrrδvr est arbitraire on obtient:

c v

r δt

= δf ) a f ( + ) v f ( t +

f ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

• ⎛

• ∇

∂ ∇

∂ r r r r 3. 12

Il est important de noter que rr et vr sont des variables indépendantes de telle sorte que:

r v f

= ) v f

r ( r r r

r

∂

•∂

∇ • 3. 13

Notons aussi que m

= F a

r r , et si on suppose que Fr

n'est pas une fonction de vitesse, ou est donné par B

v

qr×r de telle sorte que:

v f m

= F ) a f

v ( r

r r r

∂

• ∂

∇ • 3. 14

[ Dans le cas

( )

^{v B =0}

B v v q

F r r

r r

r • ×

∂

× ∂

= ]

Dans un plasma, les collisions entre les particules chargées peuvent être importantes même si la distance entre les particules est assez grande. L'interaction entre les particules est déterminée par le champ électrique self-consistent. Ce champ est déterminé par la fonction f et est calculé par la charge nette dans le plasma:

v d ) t , v , r ( f ρ ε

= 1 ε

) t , r (

=ρ ) t , r (

E _i

i i

o o

r r r

r r r

r ^•

∑ ∫

∇ 3. 15

ou ρ est la densité de charge donnée par nq . Ce champ électrique est normalement inclus avec la force Fr

, d'une façon "self-consistente" telle que ^Fr=q

(

^{Er +vr×Br}

)

Le terme t c

f⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ tient compte des collisions entre les particules - les collisions qui sont traitées comme des collisions binaires.

On peut maintenant substituer dans l'équation 3.12 et on obtient ainsi pour l'équation qui décrit le changement de la fonction f:

t

c

= f v f m + F r v f t +

f ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

• ∂

∂

• ∂

∂

∂ r

r r r

3. 16

La distribution Maxwell-Boltzmann

Un cas très important est la fonction de distribution pour une collection de particules qui sont en équilibre thermique. Cette situation peut être le résultat de particules bien confinées dans une certaine région de l'espace et qui, par échange d'énergie par des collisions, arrivent à une distribution f qui ne varie pas avec le temps. Dans ce cas, l'échange d'énergie est un processus de marche aléatoire. Le résultat est que la distribution de ces particules être décrite par la fonction de distribution normale de probabilité qui a une forme Gaussienne:

(

β v

)

exp ) t , r A(

= ) t , v , r (

f r r r − ^{2 2} 3. 17 Ici, on permet une variation spatiale de la densité. De 3.17, il est aussi évident que la distribution en vitesse est isotrope. Dans ce cas on trouve pour la densité:

( )

r, t exp

(

β v

)

^dv

A

= ) t , r (

n r

∫

r − ^{2 2} r 3. 18

avec l’élément de volume dans l’espace des vitesses dvr=4πv²dv à cause de l'isotropie on obtient:

( )

( )

₃

2 2 2

0

β 4 t π , r A π 4

v dv exp β

πv 4 ) t , r ( A

= ) t , r ( n

r r r

=

∫

−

∞

3. 19

Nous pouvons donc écrire

4π ) t , r β n(

= 4 ) t , r

A( _3/2

3 r

r de telle sorte que la fonction de distribution Maxwellienne s'écrit donc:

(

β v

)

exp ) t , r ( π n

= β ) t v, , r (

f _3/2 ^{2 2}

3

r −

r 3. 20

Étant donné que la fonction de vitesse est isotrope, on voit que le nombre de particules dans une intervalle vdr, indépendamment de la direction de vr, est donné par 4 πv²f (rr ,vr, t )dvr

Considérons la vitesse dans la direction x. On peut calculer la vitesse moyenne:

(

β2v2

)

^dv=0

exp π v

= β

v _{3/2 x}

3

x

∫

^∞ − r

∞

−

3. 21

L'énergie cinétique moyenne dans la direction x n'est cependant pas nulle:

( ) ( ) ( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

∫

−

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

dv β2v v exp

d v β2 v exp

d v β2 exp π v

m β 2

=1 m v 2

=1

2 z z y

2 x y

2 x 2

3/2 x 3 2x

ε

x

3. 22

4β

= m β

π 4 4 β

π 4 2 π mβ 2

=1 _{3/2 3 2 2}

3/2

ε

x

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ 3. 23

Dans un système en équilibre, on associe avec chaque degré de liberté une énergie de kT 2

1 , (où k = constante de Boltzmann et T la température) donc:

T k 2

= m β T

2k

=1 β 4

= m₂

ε

x ^⇒ 3. 24

Il est à noter que k T

2

=1

=

=

ε ε

ε

^{x y z donc}

ε

⁼

ε

x⁺

ε

y⁺

ε

z^{= 3}₂^{k T}

D'où on obtient finalement:

( ) ( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

T k 2

v exp m t , r T n k π 2 t m , v , r

f ^{2 2}

3

r r

r 3. 25

On peut aussi définir une fonction de l'énergie comme le nombre de particules dans l'intervalle d'énergie d

ε

^:

dv t) v, , r ( v f 4π

= d )

F(

ε ε

^{2 r où} mv

2

=1 ²

ε

qui implique que d

ε

=m vdv qui donne

ε ε

m 2

= d dv

( ) ( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎥⎦ ⎛ −

⎢⎣ ⎤

= ⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

exp kT t , r π n

4 kT

1

m 2 ) 1 v ( m f π 2 4

= ) ( F

ε ε

ε ε ε

2 1

2 3

r 3. 26

NOTE: On écrit écrit F(

ε

), écrite en terme de l'énergie, parce que la forme fonctionnelle est différente de celle pour la fonction de vitesse f(v) qui est écrite en terme de la vitesse.

Applications de la fonction Maxwell-Boltzmann

La vitesse (module) la plus probable

Calculons la vitesse pour laquelle 4πv²f(v) est maximum. Celui-ci se trouve à la valeur de la vitesse pour laquelle la dérivée est nulle:

0

T k

v v m T 2 k 2

v exp m T n

k π 2 π m T 4

k 2

v exp m T n

k π 2 v m π v 4 d

d ^{2 2 3}

2 3 2

3 2

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3. 27

qui est donnée par:

m kT

= 2

v^PP 3. 28

La vitesse (module) moyenne

( )

2 2 3

2 2 3 3

0 0

m T k 2 2 1 T k π 2 π m 4

v T d k 2

v exp m T k π 2 v m π 4

v d v f v v

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

∫

∫

∞

r ∞

3. 29

et on obtient finalement:

2 1

m π

T k

v 8 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

r 3. 30

La vitesse RMS (Root Mean Square)

2 1 2

RMS m

T k v 3

v ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

= 3. 31

L'énergie la plus probable

Comme pour la vitesse, l'énergie la plus probable est calculée en prenant la dérivée mais ici comme on veut obtenir l'énergie, on utilise les expressions écrites en terme de l'énergie.

( ) ( )

^{2 exp kT kT exp kT 0}

n 1 π 4 T k

1 T

exp k π n

4 T k

1 d

d

ε ε ε

ε ε

ε ε

² ₂³

1

2

3 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎥=

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− 3. 32

D'où on obtient finalement que l'énergie la plus probable est donnée par:

T 2k 1

ε

PP ⁼ 3. 33 L'énergie moyenne

2kT

=3

ε

3. 34

La distribution Maxwellienne dans un champ de force conservatrice On suppose qu'il y a une force dans le plasma qu'on peut représenter par le gradient d'un potentiel:

( )

r φ Fr=−∇r

3. 35 Cette force réduira le nombre de particules d'une espèce dans une région de l'espace. On suppose qu'il n'y a pas de changement avec le temps et on écrit:

) t , v , r ( f f 0 v= f m + F r

v f r r

r r

r r ≡

∂

•∂

∂

•∂ 3. 36

avec v

v f v

= 1 v

f r

r ∂

∂

∂

∂ à cause de l'isotropie de f, et avec

( )

r ) r ( r φ

φ

F r

r r r r

∂

−∂

=

∇

−

= on obtient:

0 r = v φ v f mv

1 r

v f r r

r r

∂

•∂

∂

− ∂

∂

•∂ 3. 37

Si on écrit f ( rr )=f

[

φ( rr)

]

on a

r φ φ

= f r

fr ∂r

∂

∂

∂

∂

∂ et l'équation 3.37 devient:

v 0 f mv

1 φ f r

v φ ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂

∂

∂

•∂r

r 3. 38

Un petit rappel:

( ) ( ) ( ) ( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂ f v

, v v v f , v v f v

vf _{x y z}

r v r

r r

avec v

= f v

= f v

f

z y

x ∂

∂

∂

∂

∂

∂ et

v f v

= v v

v v

= f v

f _x

x

x ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ on obtient:

vv f v 1 v

f r

r ∂

= ∂

∂

∂

En supposant que f =g

( ) ( )

v h ϕ on a de l'équation 3.38 =0 dv h dg mv

1 dφ gdh −

ou =K

dv dg g 1 mv

= 1 dφ dh h 1

on peut vérifier que ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− 2kT mv A exp

=

g ₁ ² est une solution possible. On trouve aussi

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

kT K 1

et

exp kT

φ

=A

h ₂ d’ou

( )

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

T k

r exp φ T k 2

v exp m T k π 2 n m f

2 2 3

0 3. 39 et donc:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

kT (r) exp φ

=n (r)

n _o 3. 40

NOTE: Cette formule est valide seulement pour une force retardatrice. Si la force attire les particules, f

( )

vr n'est plus isotrope et on ne peut pas faire le calcul comme on l'a fait ici.

NOTE: normalement on écrit φ

( )

rr =qV

( )

rr , où V

( )

rr est le potentiel électrique au point rr .

La longueur de Debye

Considérons un mélange d'ions et d'électrons, avec les ions immobiles avec une densité no m^-

3 mais avec les électrons mobiles. Mettons un point de charge dans le plasma et calculons la densité des électrons autour de la source (mais assez loin pour que 1

kT (r) φ

e

<< , où Te est la température des

électrons). Dans ce cas on a

ε r 4π

q (r) q

φ

o B

= A s'il n'y a pas de blindage. Donc, il faut supposer que le signe de qA est le même que celui de qB. La charge qB (l'électron dans ce cas) subit une force

( )

r φ

Fr r r

∇

−

= qu'on peut représenter par un champ électrique q

= F E

B

r r

. Par la suite, le champ électrique peut être trouvé à partir d'un potentiel électrique: Er rV

( )

rr

∇

−

= .

( )

r =q E= q V

( )

r φ r _Br _Br r

r − ∇

∇

− 3. 41 On suppose que q_B=−e, e la charge élémentaire, et que la distribution des électrons est donnée par:

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

kT exp eV

=n kT exp φ

=n n r

e o

e o

e r 3. 42 NOTE: ne(r)→nopour r → ∞ou 0φ→ .

Donc la charge nette est donnée par:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

kT exp eV en

=en n q + n q

= ) r ( ρ

e o o

e e i i

r 3. 43

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

kT exp eV n 1

e

= r ρ

e

r o 3. 44 Considérons l'équation de Poisson:

ε

= ρ E

o

r r •

∇ qui s'écrit aussi

ε V ρ

o

2 =−

∇ 3. 45

Avec 1

kT eV

e

<< on peut écrire:

kT ε

n V

=e kT 1 eV ε 1

en - V

e o 2 o e o

2 o

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

≅

∇ 3. 46

Écrivons

(r) r γ 4πε

= q (r) V

o

A 3. 47 où γ(r)→1 pour r →0 et →0 pour r →∞.

En coordonnées sphériques on a:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

∇ ∂

r r V r r

= 1

V ₂ ²

2

En dérivant 3.47 on obtient:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

∂

∂

∂

∂

r γ r γ r 1 4πε

= q r V

o 2 A

En multipliant par r² et en dérivant de nouveau on obtient:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

−∂

∂

∂

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

r γ r + γ r r γ 4πε

= q r r V

r ²

2

o A 2

Et finalement on obtient

r γ r 1 4πε

= q r r V r r

V 1 ² ₂

o A 2

2 2

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∇ 3. 48

Mais en combinant 3.46 et 3.47 on a:

r γ 4π

q kT

ε n e kT

ε n V

=e V

0 A e o

2 o e o 2 o

2 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

∇ ε 3. 49

qui, en égalant 3.48 et 3.49 se traduit par:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

∂ →

∂

e D o

2 o 2 2

λ exp r

= (r) γ kT γ ε

n

= e r

γ 3. 50

où nous avons posé

2 1

2 0

e D 0

e n

kT

λ ε ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 3. 51

Le potentiel à une distance r de la charge devient donc:

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

D 0

A

λ exp r r 1 4π r q

V ε 3. 52

Donc, l'effet de la charge est blindé dans une distance λD, qu'on appelle la longueur de Debye:

) m ( m n

) eV T ( x 10 7.43

λ = ₃

o 3 e

D 3. 53

Un autre paramètre d'intérêt est le nombre de particules dans une sphère de rayon λD (Sphère de Debye):

(a) le nombre de charges N autour de la charge qA est donné par:

r dr n 4π r dr

4π (r) n

=

N _o ²

0 2

0

∫

∫

^∞

∞

− = ∆n 4πr²dr

∫

0

∞

où V

kT en n

∆

e

≅ o pour »1

kT eV

e

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

D 0

A

λ exp r r 1 4π r q

V ε

e dr r ε 4π 4π

q kT en

=

N ^r/λ

o 0 A e

o ∞ − _D

∫

e dr e

= r e dr

r ^{r/λD r/λD −r/λD}

∞ ∞

− −

∞

∫

∫

^{− =λD}

∫

^{∞e- r/λDdr =λD2}

e

= q 4πλ 4πε

q kT

en

=

N ²_D ^A

o A e

∴ o

avec

e n

kT

=ε

λ ₂

o e 2 o

D .

m ) n (

) eV T ( x 10 1.72 n =

πλ 3

= 4

N _{1/2 3}

o 3/2e o 12

3D

D 3. 54 Il faut que cette quantité soit >> 1 pour que notre dérivation reste valide.

La gaine près d'une surface

Si le plasma touche une surface - ou si une surface est insérée dans le plasma, comme une sonde électrostatique - les ions et les électrons viennent frapper cette surface et se recombinent sur celle-ci.

S'il n'y a pas de champ magnétique, les électrons sont perdus plus rapidement que les ions, avec le résultat que le plasma se charge légèrement positif (ou la paroi se charge légèrement négative si elle est en verre, par exemple). La différence de potentiel se trouve sur une couche qui se développe entre la surface et le plasma, avec une épaisseur ~ λD. Cette couche s'appelle la gaine, et a comme fonction la formation d'une barrière contre l'espèce la plus mobile. La hauteur de cette barrière s'ajuste pour égaliser les pertes des deux espèces.

A l'intérieur du plasma, on suppose qu'il n'y a pas de champ électrique et que le plasma est “neutre”:

ni = ne. Près de la surface, la gaine se forme et on trouve une variation de potentiel illustrée à la Figure 2.

On suppose que les ions sortent du plasma et sont incidents sur la gaine avec une vitesse vo. On suppose aussi que Ti = 0, et donc tous les ions ont la même vitesse. En plus, on suppose que φ(x) est une fonction monotone. La vitesse des ions à une position x est donnée par:

v 2m

=1 (x) eV v + 2m

1 ₂

o 2 i

i

m -2eV

= v (x) v

i o2

∴ 3. 55

Figure 2 Illustration de la gaine devant une surface

Le courant est constant donc:

v m 1 2eV

= n n (x) (x)

v n (x) v = n

2o i i o

i o o

−

⇒

Les électrons suivent la relation de Boltzmann parce qu'ils sont dans un champ retardataire:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ kT exp eV

=n n (x)

e o

e 3. 56 L'équation de Poisson devient:

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= −

−

=

−2 1

2 0 i e

0 0

o i e 2 o

2

v m

V e 1 2 kT exp eV ε

e n

ε n e n ε

ρ dx

d V

3. 57

On simplifie le calcul en mettant:

kT v M m

λ ξ x kT

χ eV

e o2 2 i

D e

=

=

−

= de telle sorte que 3.57

devient:

( )

χ M exp

χ 1 2 dξ

χ

d ¹²

2 2

2 ⎟ − −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

−

3. 58

Si on multiplie par dξ

dχ et on intègre de 0 ( la frontière entre le plasma et la gaine) à ξ:on obtient:

( )

χ 1 exp

M 1 χ 1 2 dξ M

dχ dξ

dχ 2

1 ¹²

2 2

2

0 2

−

−

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 3. 59

NOTE: si le champ électrique est zéro à la frontière, |0=0 dξ

dχ .

Si on considère la région près de la frontière on aχ»1donc on écrit:

Pour obtenir 3.57 examinons les trois termes à intégrer.

1 2

0 2

l ξ

0 2 ξ 2

0 2

l ξ

0 2 2 1

dξ l χ d dξ

χ d

dξ dξ χ d dξ

χ d dξ

χ d

dξ dξ χ d dξ

χ l d

⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

∫

∫

qui donne finalement:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2

0 2

1 dξ

χ d ξ

d χ d 2 l 1

Avec dξ

dξ

= dχ

dχ_{l 1}

2 1

l 2 χ

0

l 2 1

2 ξ

0 2

M χ 1 2 χ d

M dξ χ 1 2 dξ l dχ

−

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

∫

∫

Effectuons la substitution dχ dY

M Y 2

M

1+ 2χ₂ = ⇒ ₂ =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

=

− + +

∫

M 1 χ 1 2 M

(1/2)Y 1 2

=M dY 2 Y

l M

2 1

2 2

M χ 1 2

1 2 2 1

2 M 1 1 2χ

1 2 2

2 2

et finalement:

( )

χ dξ = dχ exp

( )

χ 1 exp

(

χ

( )

ξ

)

dξ exp

l dχ ₁

χ

0 1 ξ

0

3 =

∫

−

∫

− = − −

2 2 2

2 M

χ 2 1 M 1 χ M

χ 1 2

2 1

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

⎥⎦ ≅

⎢⎣ ⎤

⎡ +

( )

2

χ χ 1 χ

exp − ≅ − + ²

On obtient pour le côté droit de l'équation:

( )

− − ≅ − − + = _⎢⎣^{⎡ −} _⎥⎦^⎤

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

M 1 1 2 χ 2 χ χ M

χ 2 χ 1 1 χ exp M 1

χ 1 2

M ₂

2 2 2

2 2 1

2 2

Étant donné que le côté gauche est nécessairement positif, il faut que:

M 1 M 0

1− 1₂ > ⇒ ²>

Ici M est en fait le nombre de Mach.

Cette condition se traduit par un critère important en physique des plasmas.

m c kT

v s

i e

o> ≡ 3. 60 Cette condition s'appelle le critère de Bohm, et il impose une limite inférieure pour la vitesse des ions incidents sur la gaine.

NOTE: l'hypothèse que =0 d

d ξ 0

χ ne peut pas être exactement valide car il faut un faible champ électrique dans le plasma pour accélérer les ions vers la gaine. Malgré ceci, le critère de Bohm reste valide.

Le taux de réaction

On veut calculer l'effet du mouvement des particules cibles sur le taux de réaction des particules. L'interaction des deux particules dépend seulement de la vitesse relative au moment de l'interaction:

Figure 3 Schéma de la géométrie utilisée pour le calcul du taux de réaction dN1 = f1(v1) dv1

dN2 = f2(v2) dv2

Le taux de réaction entre ces deux groupes est:

( )

v v σ

dv f dv

=f

dR _{1 1 2 2} r_rel r_rel

ouvrrel=vr2−vr1est la vitesse relative. Le taux de réaction R est donc donné par:

( ) ( )

v f v v σ

( )

v f

dv dv

=

R

∫

₁

∫

_{2 1} r_{1 2} r₂ r_rel r_rel On définit le paramètre <σv>:

f f dv dv

) v | | ( σ v | f | f dv dv n

n v R σ

2 2 1 1

rel rel

2 1 2 1 2

1 ₌

∫ ∫ ∫ ∫

≡

Si f1 et f2 sont isotropes ( eg Maxwellienne) on peut simplifier le calcul:

m v m + v m v = m v

m + v m

v = rel

2 1 2 1

rel 2 1

1 + 2 −

aussi l’élément de volume dv₁dv₂=dvdv_rel. Prenons

( )

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

kT 2

v exp m

kT π 2 n m v f

kT 2

v exp m

kT π 2 n m v f

2 2 2 2

3 2 2 2 2

2 1 2 1

3 1 1 1 1

r r

3. 61

de telle sorte que:

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

kT 2

v µ v exp M

kT π 2

m kT

π 2 n m n f

f ^{2 2 2rel}

3 2 2

3 1 2 1 2

1 3. 62

où M=m₁+m₂

+m m

m

= m µ

2 1

2 1

Mais on a R=

∫

dv

∫

dv_relf ₁f ₂v_relσ( v_rel) . Si on suppose que les limites de v et vrel sont de - ∞ à ∞ et on écrit: dv=4π v²dv

∫

0

∫

^∞

∞

∞

−

on obtient:

( ) ( )

( ) ( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∫

∫

∫

∞

∞

∞

2kT µ v v exp

v σ dv M

kT π 2 4 1 kT

2 m ) ( m ) (4π

2kT µ v v exp

v σ dv 2kT ) Mv ( v exp kT dv

2 m ) ( m ) v (4π

σ

2rel 3 rel

rel rel 0 2 3 3

2 3 2 1 2

2rel 3 rel

rel rel 0 2 2

0 3

2 3 2 1 2

π π

3. 63

Normalement l'intégral sur la vitesse relative est considérée en terme de résultats expérimentaux,

qui donne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ m v

2

=1 E

σ ₁ ²_rel , la section efficace comme étant une fonction de l’énergie relative entre les particules en considérant la particule 2 comme étant stationnaire. On a

ε ε

ε

, m v dv ^=d m

v 2 v

2m 1

rel rel 1 1

2rel 2rel

1 = = et _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

m KT exp µ 2kT

µ v exp

1

2rel

ε

On obtient:

( ) ε ε ε

ε

^d

kT m exp µ kT σ

m µ m π 2 v 4 σ

0 1 2 3

1 1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∫

^∞ 3. 64

L'intégral est calculé numériquement, et on trouve que pour les réactions thermonucléaires DT

>

σv

< a un maximum de ~ 9 x 10^-22 m³ sec^-1 pour T ~ 70 keV. A cette température on trouve une densité de puissance dans le plasma:

>W σv n <

=n

P _{1 2 n}

où MeVWn=17.6 est l'énergie produite par réaction de fusion.

Pour n1 = n2 = 10²⁰ m^-3 on obtient:

P ~ 25.3 MW/m³.

Figure 4 Densité de puissance totale pour les réactions de fusion D-T et D-D

Figure 5 Valeurs des taux de réaction <σv> pour les réactions D-T, D-D et D-He3 en supposant des distributions Maxwelliennes.

Figure 6 Section efficace d’ionisation par impact électronique de l’He

Figure 7 Taux de réactions pour l’ionisation de l’He par impact électronique en supposant une distribution Maxwellienne

Le flux diffusif

Calculons le nombre de particules qui frappent une surface (m^-2 sec^-1).

Figure 8 Géométrie utilisée pour estimer le flux diffusif

Considérons les "atomes" qui frappent la surface dS dans l'intervalle de temps dt.

Considérons d'abord ceux qui ont leur vitesse près de vr. Ils sont dans le cylindre avec base dS et hauteur vdt (parallèle à vr). On suppose que vdt << λ pour qu'il n'y a pas de collisions "avant d'arriver à la surface ". Le volume de ce cylindre est vzdtdS. Le nombre de molécules (par m³) avec leur vitesse près de vr (dans v et v + dv et dans l'angle solide dΩ autour de la direction de vr) est:

( ) ( )

( )

v v dΩdv f

dv dφ dθ v sinθ v f v d v f

2 2

r r r r

=

= 3. 65 Le nombre de particules avec leur vitesse entre v et v + dv - indépendamment de la direction - est donc:

( )

v dΩv dv f

= dv (v)

F ²

θ φ

∫

r

∫

^d'où

Ω d (v) v f

= (v)

F ²

θ φ

∫

∫

3. 66 Si f (vr) est indépendant de la direction de vr, on a f (vr) → f (v) et donc:

( ) ( )

v f v π 4

θ d sinθ v v f φ d (v) F

2 2 π 0 2π

0

=

=

∫ ∫

3. 67

par exemple pour la fonction de distribution Maxwellienne

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

kT 2 exp mv kT n

π 2 v m

f ^{2 2}

3

on obtient:

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

kT 2 exp mv kT n

π 2 v m π 4 v F

2 2 3

2 3. 68

Le nombre de particules dans ( v, v + dv ) et dans l'angle solide d Ω autour de la direction de vr est 4π

dvdΩ (v)

F si f (vr) est isotrope. Nous avons donc que le nombre de particules qui frappent la surface dS dans un temps dt est donné par v dt dS

4π dvdΩ (v)

F _z oùvz= vcosθ et dΩ=sin θdθdφ. Le nombre de particules qui frappent l'unité de surface ( 1 m²) par seconde, indépendamment de la direction, est:

dφ dθ θ cos θ sin dv

v (v) πF 4

1

φ θ

∫

∫

mais on a = π

2 2π 1

= dθ cosθ θ sin dφ

π/2 0 2π

0

∫

•

∫

Il y a donc F(v) vdv 4

1 collisions ( par m², par seconde) sur une surface par des particules ayant leur vitesse entre (v, v + dv). Le nombre de collisions par m² par second est donc donné par:

>

v

<

4n

=1 dv v (v) 4 F

=1 dt dN

∫

0

∞

3. 69

où <v> = la vitesse moyenne. Pour une distribution Maxwellienne, on a

πm

= 8kT

>

v

< de

Equilibre thermique et la relation de Saha

Dans un plasma composé d'atomes, d'ions et d'électrons, la population des niveaux excités est déterminée par les processus de collision (excitation, désexcitation, ionisation) et rayonnement (émission spontanée). C'est un problème très compliqué en générale; dans la limite d'équilibre thermique il est cependant relativement simple.

Dans le cas de l'ÉQUILIBRE THERMIQUE, les processus collisionnels dominent sur tous les processus radiatifs.

Dans ce cas, la population Ni du niveau i de l'atome est donné par

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= kT

exp E g

N_{i i} ⁱ

Le coefficient gi est le poids statistique associé à l’état i. Ce coefficient reflète le fait que plus d’un état peuvent avoir la même énergie, ils sont alors dits dégénérés. Par exemple, l’hélium neutre (He I) possède 2 électrons dans l’état fondamental mais ceux-ci ont des spins opposés (ms = +1/2, −1/2).

Considérons alors 2 états a et b d’un atome nous aurons alors

( )

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

= kT

E exp E

g g N

N _{b a}

b a b

a (3. 70) Cette équation est l’équation de Boltzmann et donne la répartition des atomes dans les différents états. Mais le plasma est un mélange d’ions, d’électrons et de neutres ou chaque ion et chaque neutre peut se retrouver dans différents états. Peut-on calculer, dans un premier temps, la répartition des ions dans l’état fondamental par rapport aux neutres dans l’état fondamental?

La loi de Boltzmann nous permet d’écrire:

( )

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

+ −

kT m v 2 χ 1 g exp

= g N

v N

d ^{I e 2}

o o

o (3. 71)

où dNo+(v) est le nombre différentiel d’ions dans l'état fondamental avec l'électron libre associé ayant une vitesse entre v, v + dv. No est le nombre des atomes dans l'état fondamental et

χ

I est l'énergie d'ionisation. En considérant les poids statistiques go, go+ et ge de l’atome, de l'ion et de l'électron libre respectivement, nous avons :

ge

g g= ₀⁺

Par définition, on a v

m p_e = _e et

Ne

dV= 1 ou on a N_e dV=1 étant donné qu'on considère un seul électron dans l’élément de volume dV. On a aussi

3 2 3 e e

3 3

e h

dv v m π 4 N

2 h

p 2dVd

g ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

pour obtenir le terme à l’extrême droite nous avons utilisé

( ) ( )

dv v m 4π

mv d mv π 4

dp p dΩ p d

2 3

2 2 3

=

=

=

d'où

( )

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

−

+ =

kT v 2m χ 1 N exp

h dv v m 8π g g N

v N

d ^{I e 2}

3 e 2 e o + o o

o (3. 72)

( )

^{23 2}

( )

²

e I 3 e

e o + o 0

o

o+ x exp x

m kT 2 kT exp χ N h

m 8π g v g N N d

N ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

=

∫

⁺

∫

(3. 73)

où nous avons fait le changement de variable

2kT v m

x≡ ^e

Pour effectuer l’intégrale on utilise

2 dx π e π dx

e 0

x

x² = ⇒

∫

² =

∫

−^∞∞ ^{∞ −}

− par symétrie par rapport à x = 0 et

( )

( )

4 π

dy α e

1 dα

d 1 α lim

dx α e

1 1 α dx lim e x

2 π 0

y α f 0

αx 0

x 2

2 2 2

=

− →

=

∂

− ∂

= →

∫

∫

∫

∞ −

∞ −

∞ −

43 42 1

43 42 1

L'intégration de (3.73) nous permet d'écrire finalement:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ ⁺

+

kT exp χ g 2g h

kT m π 2 N

N

N _I

0 2 0 3

2 e 0

e

0 (3. 74)

Cette équation est l’équation de Saha entre le niveau fondamental d’un atome et le niveau fondamental d’un ion (un état d’ionisation donné). Peut-on généraliser à tous les niveaux d’énergie?

Soit U la fonction de partition donnée par

e χ

= g

U -kT

i i

∑

i

la somme sur tous les niveaux i des poids statistiques gi pondérés par un terme fonction de l’énergie nécessaire pour passer de l’état fondamental au niveau i. Reprenons l’équation (3.70) (équation de Boltzmann) ou les niveaux a et b sont les niveaux i et le fondamental o. Nous pouvons alors écrire :

( )

g U

= N

= N e χ N

g e g

g

= g N N

o i o i kT

i o kT i E E o i o

i ^{− o− i = − ⇒}

∑

ou le nombre total N est la somme sur les niveaux i. De la même manière, nous pouvons faire le calcul pour un état d’ionisation donné identifié par l’exposant + de telle sorte que nous pouvons écrire :

g U

= N

= N

N ₊ ⁺

o +o +i i

+

∑

ce qui permet d'écrire pour l’équation (3.74):

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ ⁺

+ + +

kT exp χ g 2g h

kT m π 2 U

N g

N U

N

g _I

0 2 0 3

2 e 0

e

0 (3. 75)

qui donne finalement:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⁺ ⎛

+

kT exp χ h

kT m π 2 U 2U N

N

N ²³ _I

2 e

e (3. 76) Alors que (3.74) donnait la répartition entre les niveaux fondamentaux, (3.76) donne la quantité relative totale, c’est à dire en tenant compte de la répartition entre les niveaux d’un ion et du neutre.

L'équation (3.76) peut être généralisée pour permettre de déterminer la répartition entre deux états d’ionisation et prend alors la forme:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⁺ ⎛ ⁺

+

kT exp χ

h kT m π 2 U 2U N

N

N ²³ _j,j1

2e j

1 j j

e 1

j (3. 77)

ou j et j+1 sont des états d’ionisation et

χ

j,j+1 l’énergie pour passer du niveau fondamental de l’état d’ionisation j au niveau fondamental de l’état d’ionisation j+1.

Appendices

Appendice A

v Ξ ψ f m dv 1 dv fv r ψ + ] ψfdv

t [ ∂

•∂

∫

∫

∂ •

∫ ∂

∂

∂

c t | ψ f dv

= ∂

∫ ∂

avec mvψ= on obtient:

] v (v) kˆ v + jˆ + v (v) iˆ [ m

=

vmv _{x y} ∂ _z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂r

Appendice B B A

∆

=aˆ B A

ƥ _{i j j i}

] B ) (A + x

B ) (A + x

B ) (A [ x

=aˆ _{3 1}

3 1

2 2 1

1 1

1 ∂

∂

∂

∂

∂

∂

] B ) (A + x

B ) (A + x

B ) (A [ x

+aˆ _{3 2}

3 2

2 2 2

1 1

2 ∂

∂

∂

∂

∂

∂

].

B ) (A + x

B ) (A + x

B ) (A [ x

+aˆ _{3 3}

3 3

2 2 3

1 1

3 ∂

∂

∂

∂

∂

∂

x B A x + B A x + B A aˆ [

=

3 1 3 2 1 2 1 1 1

1 ∂

∂

∂

∂

∂

∂

x A B x + A B x + A B +

3 3 1 2 2 1 1 1 1

∂

∂

∂

∂

∂

∂

x A aˆ B x + B A

=aˆ _j

j i i j j i

i ∂

∂

∂

∂

B )

∆ A ( + B ) A

∆ (

= • •

mnu )

∆ u ( + mnu ) u

∆ (

= ] mnuu [

∆• • •

∴

qui donne:

mnu ) u

∆ ( + mnu )

∆ u ( + ) mnu

t ( • •

∂

∂

mnu ) u

∆ ( + ) mnu dt (

= d •

aussi∆• [mnuu ]= (∆•mnu)u + (mnu •∆ )u u

] (nu)

∆ [ m + u )

∆ nu ( m

= • •